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Riemann 猜想漫谈 (二十)大结局

Filed under: 数学 发表于 2012-07-31 15:18

我们的 Riemann 猜想漫谈到这里就接近尾声了。 在过去的一个半世纪里, 无数数学家从各种角度为探索这一猜想付出了艰辛的努力, 但可惜的是, 直到今天它仍是一个未被证明 (或否证) 的猜想, 对这一猜想的探索迄今仍是不断延伸着的未竟的征途。

Riemann 猜想漫谈 (十九)

Filed under: 数学 发表于 2012-07-24 13:28

本节我们来介绍 “豪华版” 的 Riemann 猜想。 所谓 “豪华版”, 顾名思义, 就是要比 “普通版” 更高一筹, 后者有的前者都得有, 而且还得有新东西。 对于数学命题来说, 这意味着得比原命题更强、 更普遍, 将原命题包含为自己的特例。 那样的命题如果成立, 原命题就自动成立, 但反过来则不然 (否则两者就等价了, 对不住 “豪华版” 这一光荣称号)。

Riemann 猜想漫谈 (十八)

Filed under: 数学 发表于 2012-07-19 09:07

“山寨版” Riemann 猜想这枚坚果该从哪里啃起呢? 为了彰显将科普进行到底的决心, 让我们从中小学算术啃起吧!这并不是搞笑, 在它背后其实有一段小小的故事——一段与美苏冷战有关的故事。 故事发生在半个多世纪前的 1957 年。

Riemann 猜想漫谈 (十七)

Filed under: 数学 发表于 2012-07-09 08:31

在前面各节中, 我们介绍了数学家们在证明 Riemann 猜想的漫长征途上所做过的多方面的尝试。 这些尝试有些是数值计算, 它们虽然永远也不可能证明 Riemann 猜想, 却有可能通过发现反例而否证 Riemann 猜想——当然, 迄今为止并未有人发现反例。

Riemann 猜想漫谈 (十六)

Filed under: 数学 发表于 2012-06-20 11:44

有关Riemannζ函数临界线上的零点在全体非平凡零点中所占比例的具体计算时隔二十多年才有了突破性的、 并且引人注意的进展。 这一进展是由美国数学家Norman Levinson做出的。 Levinson 小时候家境非常贫寒, 父亲是鞋厂工人, 母亲目不识丁且没有工作, 但他在十七岁那年成功地考入了著名的高等学府麻省理工学院。

Riemann 猜想漫谈 (十五)

Filed under: 数学 发表于 2012-06-15 16:12

在二十世纪的数学家中, Selberg 是非常独特的一位。 当数学的发展使得数学家之间的相互合作变得日益频繁的时候, Selberg 却始终维持了一种古老的 “独行侠” 姿态——他所走的是一条独自探索的道路。 他十二岁开始自学高等数学, 十五岁开始发表数学作品, 而到了二十岁那年, 他已经可以对 Hardy 与 Ramanujan 的一个著名的公式作出改进。

Riemann 猜想漫谈 (十四)

Filed under: 数学 发表于 2012-06-05 09:08

就在 Bohr 与 Landau 研究零点分布的同时, 另一位为 Riemann 猜想而着迷的数学家——Hardy——也没闲着。 1914 年, 即与 Bohr-Landau 定理的提出同一年, Hardy 对 Riemann 猜想的研究也取得了突破性的结果。 这便是我们在 第一节 中提到过的那个 “令欧洲大陆数学界为之震动的成就”。

Riemann 猜想漫谈 (十三)

Filed under: 数学 发表于 2012-05-30 08:37

现在让我们重新回到纯数学的领地中来。 从纯数学的角度讲, 对一个数学猜想最直接的研究莫过于是寻求它的证明 (或否证), 对 Riemann 猜想也是如此。 可惜的是, Riemann 猜想却一直顽固地抗拒着这种研究, 直到今天为止, 也还没有任何人能在这种研究上取得被数学界公认的成功。

Riemann 猜想漫谈 (十一)

Filed under: 数学 发表于 2012-05-01 06:19

Montgomery 虽然得到了有关Riemann ζ 函数非平凡零点对关联函数的猜测性结果。 但这一结果究竟有什么深意? 对他来说却还是一个谜。 他觉得这个结果应该预示着某种东西, 可那究竟是什么东西呢? 他毫无头绪, 这多少让他感到有些苦恼。

Riemann 猜想漫谈 (十)

Filed under: 数学 发表于 2012-04-10 15:39

三亿个零点摆平了 Zagier, 但显然远不是对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行计算的终点。

Riemann 猜想漫谈 (九)

Filed under: 数学 发表于 2012-03-29 14:00

本篇将讲述黎曼猜想证明史上的一场赌局。 数学家Zagier预测至少要计算出300,000,000 (三亿)个零点,才是对黎曼猜想有价值的判定。而奥卡姆剃刀理论的信仰者,数学家Enrico Bombieri则坚信黎曼猜想的成立。二位决定以两瓶波尔多葡萄酒为赌注打赌。没成想,决定这场赌局走向的是计算机时代的到来和Zagier的一位损友……

Riemann 猜想漫谈 (八)

Filed under: 数学 发表于 2012-03-22 17:04

时下流行一种休闲方式叫做 DIY , 讲究自己动手做一些原本只有工匠才做的东西, 比方说做件陶器什么的。 在像我这样懒散的人看来这简直比工作还累, 可如今许多人偏偏就兴这个, 或许是领悟了负负得正 (累累得闲?) 的道理吧。 既是大势如此, 我们也乐得共襄盛举, 让大家亲自动手用 Riemann-Siegel 公式来计算一个 Riemann ζ 函数的非平凡零点,走着?

Riemann 猜想漫谈 (七)

Filed under: 数学 发表于 2012-03-13 13:30

Siegel曾计划在柏林学习天文学, 因为天文学是看上去最远离战争的学科。 但是入学那年的天文学课程开得较晚, 为了打发时光,他去旁听了德国数学家 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) 的数学课。 这一听很快改变了他的人生轨迹, 使他最终成为了一名数学家。

Riemann 猜想漫谈 (六)

Filed under: 数学 发表于 2012-03-06 05:34

随着 Riemann 论文中的外围命题——那些被 Riemann 随手写下却没有予以证明的命题——逐渐得到证明, 随着素数定理的攻克, 也随着 Hilbert 演讲的聚焦作用的显现, 数学界终于把注意力渐渐投向了 Riemann 猜想本身, 投向了那座巍峨的主峰。

Riemann 猜想漫谈 (五)

Filed under: 数学 发表于 2012-03-02 06:15

在Riemann的论文发表之后的最初二、 三十年时间里, 他所开辟的这一领域显得十分冷清, 没有出现任何重大进展。 如果把 Riemann 论文的全部内涵比做山峰的话, 那么在最初这二、 三十年时间里, 数学家们还只在从山脚往半山腰攀登的路上。高耸入云的山颠还笼罩在一片浓浓的雾霭之中, 正所谓高处不胜寒。 但到了1885 年,在这场沉闷的登山之旅中却爆出了一段惊人的插曲:有人忽然声称自己已经登顶归来!

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