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每到春节,大家总会展望和憧憬一下新的一年,“在羊年什么时候我才能邂逅心目中的女神呢?”,玩起了各种占卜游戏。这其中最简单的玩法就是扑克牌“摆十二月”了。

玩法是先把扑克54张牌中的两个王、四个K去掉,然后把剩余的48张牌洗牌后分成背面向上的十二叠,每叠四张,这十二叠分别代表未来一年的十二个月。接下来,抽出第一叠最底下的一张牌并翻开,按照牌上面的数字放到相应月份的那叠牌上方,比如数字是2,就放到第二叠代表2月的牌最上方;数字是J,就放到第十一叠代表11月的牌最上方,然后把放牌的那叠牌最底部的一张牌抽出并翻开,同样地按照数字放到相应月份的牌上。这样一直下去,直到四张A全部翻出,一局游戏就停止了。此时看一下,哪个月份的四张牌全部翻开了,就代表那个月会有好运,如果十二个月全部被翻开,则预示着未来的一年每天都会幸福快乐。

这些天看到不少人在“摆十二月”,不到作为死理性派,想知道的是,十二月“全开”的概率究竟有多大呢?

尽管“摆十二月”的规则包括了好几条,要分成十二叠,要把牌移来移去,但在死理性派眼中,这些过程可以看作一种特别的随机洗牌方式,“摆十二月”的全过程就等同于把48张扑克牌的顺序打乱,从第一张到最后一张,逐一翻开。在“摆十二月”的时候,如果等不到最后十二月全亮,中途4张A已经全部翻开,游戏也要终止,48张牌并没有被完全翻开。但我们可以假设此时游戏还可以继续玩下去,从剩下背面朝下的牌中任何一张开始翻下去,直到48张牌全部被翻开。也就是说,每局“摆十二月”游戏是48张牌随机出场先后顺序的一个48!排列组合。

如果十二月可以全开,其它所有的牌必须在最后一张A之前全部翻出,也就是说48张牌的最后一张必须是A,这样十二月全开的概率就变得很简单——十二分之一(因为扑克牌数字有A到Q十二种均等的可能性),平均玩十二次“摆十二月”,可以有一次全开的机会,不知道这和你的个人经验是不是一致,有没有出乎你的意料呢?

看来十二月全开的概率不算很低,但也不是次次都有,那么没有全开的情况下,开多少个月可以算作运气还OK呢?一局十二月游戏能开多少个月,完全取决于四张老A在何时登场,在他们出现之前,有多少个月的四张牌全部出现,就有多少个月开了,我们希望最后一张A现身的越晚越好。上面我们已经假设了即使最后一张A已经出现了,仍然继续翻下去,直到每一局48张牌最后都会全部翻出。这样从A到Q的十二个月每个月四张牌最后都要出现,它们登场的先后顺序是随机的,一共有12!种,四张A可能作为第一个、第五个、第七个……第十二个出现,这些概率也都是相等的,都是十二分之一。所以,玩十二月的时候,最差的情况只有一个月开(四张A开局不久就不幸全部被翻出了),最好的情况十二个月全开,和其他不好不差的情况,比如正好“一半一半”六个月开,所有这十二种情况的概率都正好是十二分之一。

为了让大家相信,“摆十二月”的概率真的是这样的,作者在电脑上编写了一小段程序,模拟了一百万局“摆十二月”游戏的结果,当然这在电脑上运行也只花费了不到十秒时间而已。下面是一百万次“摆十二月”中有多少个月开了的百分比的分布,可以看到无论只有1个月开的结果还是12个月全开的结果出现的次数都非常接近,平均大约有6个或者7个月会开。

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在电脑模拟中,还顺便计算了另一个数字:四张A全部出现的时候,平均有多少张会被翻开,答案是平均39。这个不小的数字说明了玩“摆十二月”经常出现的情况:当四张老A全部露脸的时候,往往牌已经翻了很多,远远超出一半,但是开的月份却没有那么多。

所以在死理性派的眼中,“摆十二月”的扑克牌游戏只是一个均匀分布的概率题目而已。

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13 Responses to “扑克牌“摆十二月”全开的机会有多大?”

  1. 七月的烟火说道:

    "下面是一百万次“摆十二月”中有多少个月开了的百分比的分布"——“下面”在哪儿?

    (*^__^*)

  2. Illusiwind说道:

    "在电脑模拟中,还顺便计算了另一个数字:四张A全部出现的时候,平均有多少张会被翻开,答案是平均39。"
    实际答案是39.2。这还用模拟么?我来告诉你怎么手算……
    期望值应该是
    (48*C^3_47+47*C^3_46+...+4*C^3_3)/C^4_48
    =4*(C^4_48+C^4_47+...+C^4_4)/C^4_48
    =4*C^5_49/C^4_48
    =4*49/5
    =39.2
    完了。
    ……

  3. helld说道:

    在电脑模拟中,还顺便计算了另一个数字:四张A全部出现的时候,平均有多少张会被翻开,答案是平均39。这个不小的数字说明了玩“摆十二月”经常出现的情况

  4. 蛇精一只说道:

    曾经四次开了四张A,求问这个概率有多大啊,我当时简直惊呆了。

  5. cruelworm说道:

    想讨论下这个游戏的规则
    如果翻到某一叠的最后一张牌是与其序列号相同 的牌
    比如说第2叠得最后一张牌
    刚好是2时
    该怎么继续下去?
    或者停止?
    这个概率还是挺高的

    • Illusiwind说道:

      那就把2放在第2叠的最上方,然后接着抽第2叠的最底下一张啊。这不是很明显么……

      • cruelworm说道:

        我说的就是2叠的最底下一张就是2
        再底下没有了
        该叠全翻开了
        怎么继续?或者结束?

        • Illusiwind说道:

          醒醒吧少年……第二叠一共有4张,最上边一张是2的话,你要开前边3张需要先翻出来3张2,然后第四次翻出来2才能继续翻这最后一张……但它还是2!哪来的第五张2来着?……所以如果第K叠最上边一张本身数字就是K的话,这叠就开不了了……不知您的“概率还挺大”是怎么得来的。

  6. 流火若虛说道:

    作为数据而言概率均等,对于个人而言实际操作次数还不够采样的……

  7. 方程说道:

    古典概型万岁!

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