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作者: 阮一峰

如果你问我,哪一种算法最重要?我可能会回答"公钥加密算法"

因为它是计算机通信安全的基石,保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下,信用卡交易被破解的后果。

进入正题之前,我先简单介绍一下,什么是"公钥加密算法"。

一、一点历史

1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:

(1)甲方选择某一种加密规则,对信息进行加密;

(2)乙方使用同一种规则,对信息进行解密。

由于加密和解密使用同样规则(简称"密钥"),这被称为"对称加密算法"(Symmetric-key algorithm)。

这种加密模式有一个最大弱点:甲方必须把加密规则告诉乙方,否则无法解密。保存和传递密钥,就成了最头疼的问题。

1976年,两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman,提出了一种崭新构思,可以在不直接传递密钥的情况下,完成解密。这被称为"Diffie-Hellman密钥交换算法"。这个算法启发了其他科学家。人们认识到,加密和解密可以使用不同的规则,只要这两种规则之间存在某种对应关系即可,这样就避免了直接传递密钥。

这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"。

(1)乙方生成两把密钥(公钥和私钥)。公钥是公开的,任何人都可以获得,私钥则是保密的。

(2)甲方获取乙方的公钥,然后用它对信息加密。

(3)乙方得到加密后的信息,用私钥解密。

如果公钥加密的信息只有私钥解得开,那么只要私钥不泄漏,通信就是安全的。

1977年,三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法,可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名,叫做RSA算法。从那时直到现在,RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说,只要有计算机网络的地方,就有RSA算法。

这种算法非常可靠,密钥越长,它就越难破解。根据已经披露的文献,目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说,长度超过768位的密钥,还无法破解(至少没人公开宣布)。因此可以认为,1024位的RSA密钥基本安全,2048位的密钥极其安全。

下面,我就进入正题,解释RSA算法的原理。文章共分成两部分,今天是第一部分,介绍要用到的四个数学概念。你可以看到,RSA算法并不难,只需要一点数论知识就可以理解。

二、互质关系

如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系(coprime)。比如,15和32没有公因子,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系,不难得到以下结论:

1. 任意两个质数构成互质关系,比如13和61。

2. 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10。

3. 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和57。

4. 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99。

5. p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56。

6. p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15。

三、欧拉函数

请思考以下问题:

任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)

计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式:

可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积,

n = p1 × p2

φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到"中国剩余定理",这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论,得到

再根据第3条的结论,得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:

四、欧拉定理

欧拉函数的用处,在于欧拉定理。"欧拉定理"指的是:

如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:

也就是说,a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说,a的φ(n)次方减去1,可以被n整除。比如,3和7互质,而7的欧拉函数φ(7)等于6,所以3的6次方(729)减去1,可以被7整除(728/7=104)。

欧拉定理的证明比较复杂,这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如,7和10互质,根据欧拉定理,

已知 φ(10) 等于4,所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。

因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来。

欧拉定理有一个特殊情况。

假设正整数a与质数p互质,因为质数p的φ(p)等于p-1,则欧拉定理可以写成

这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理,就可以理解RSA。

五、模反元素

还剩下最后一个概念:

如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。

这时,b就叫做a的"模反元素"

比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

可以看到,a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。

好了,需要用到的数学工具,全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识,就是上面这些,下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。

关于本文

本文授权转载自阮一峰的网络日志

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46 Responses to “RSA算法原理(一)”

  1. aaa说道:

    大家看到第几种情况放弃的

  2. mangaspiderman说道:

    比特币就是用这种算法加密的啊。。。一直没搞懂

  3. g说道:

    我表示看不下去

  4. jimmyfluore说道:

    从来不看数学函数,头疼

  5. 阿荣说道:

    看到第四就看不下去了
    最后看结论也看得不太懂
    如果可以多给几个例子就好了
    睡一觉起来再看看

  6. 光明路说道:

    最爱数论

  7. 巴洛特利说道:

    要不要再介绍下ECC算法

  8. cruelworm说道:

    又不需要看证明
    只要看结论而已
    怎么会看不下去?

  9. potatos666说道:

    我浏览了一下,发现了几个对于半个文科生来说太过复杂的公式,然后我就坚决的只看开头和结尾了

  10. Synn说道:

    表示看到第一个公式的时候,就下来看评论了。。

  11. 曾经酒囊饭袋说道:

    每多一行公式,读者减少一半……这句话不是原文、也记不起来是哪本书哪个人说的了,就这么抄出来,算不算抄袭?

  12. zmzy说道:

    在滑铁卢大学学过一个学期的加密课. 老师很牛, 非常深入浅出, 轻轻松松就把加密这门我以前一直认为很高深的课程给学完了. 建议本文作者:
    1, 讲解加密算法, 要从Confusion和Diffusion说起, 否则很容易陷入知其然, 不知其所以然. 我当时的老师是从纯Confusion的破解和纯Diffusion的破解开始. 所以所有的加密算法, 都必须把Confusion和Diffusion结合起来;

    2, 与其从书上抄写具体的算法细节, 不如讲讲 DES, 3DES, ECC的关系, 香农理论, 熵. 那些内容更加"科普", 易懂一些. 或者讲讲WEP破解, Men-in-middle,大把人感兴趣.

    • promehades说道:

      UW的数学和计算机系肯定没话说,好羡慕TT
      做一个加密课的思维导图把一些概念联系起来就好了,或者写个科普小文也是极好的啊!通过知识落实纸面的过程,会理解课程的深层次含义,一些以前没有注意到的知识点联系、知识结构和深层次的抽象逻辑会在通过教授他人时体现出了。有些科研者就是在脑内模仿这种教学模式提炼自己知识精华。所以爱因斯坦才会说什么只有用简练优雅的描述才真正弄清楚自己所知的名言了。试试吧!你会有意外的发现。

  13. feeling4t说道:

    马克一下,以后睡不着的时候看

  14. airaria说道:

    上标全没了啊

  15. zzh说道:

    第五种就开始吐了

  16. Gin说道:

    看懂了

  17. king说道:

    郁闷地跳到后面那句话- -

  18. minimal说道:

    看到第5放弃= =

  19. lanser说道:

    "已知 φ(10) 等于4,所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1"
    这个怎么得出的?

  20. 玫瑰海岸说道:

    欧拉公式必须有质数参与吗 。

  21. Grayash说道:

    不明觉厉……

  22. wb说道:

    嘛,就当心里从新过一遍证明吧,不碰数学有好长时间了

  23. 赵磊说道:

    我是程序员。看到互质就放弃了。直接调用库函数.

  24. kkkkkkkk说道:

    看这种东西看得懂的就看过程,看不懂的看结论。最后用的时候真的是靠直觉!

  25. 0O说道:

    看到请思考以下问题时我竟然尝试去思考了

  26. versugw www.kuaipu.com.cn说道:

    第一次听说哦

  27. Adam说道:

    第三种情况中,1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p这里不应该到p^(k-1)×p,而应该到p^(k-2)×p。

  28. 不吃豆子说道:

    还是原版的格式比较好看:

    http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html

  29. cookiegg说道:

    我这个从没学过数论的都看的下去,只要记住结论就可以了,又不是让推导定理。

  30. 迷梦轮回说道:

    竟然全部看完了!!!

  31. watchkeep说道:

    “如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。”这个没看懂。。。。

  32. live.it说道:

    没看完,中间省略数行完成了

  33. good说道:

    写得不错啊,也不难看,认真想一下就能明白

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