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7.贝尔不等式

1963-1964年,在长期供职于欧洲核子中心(CERN)后,约翰·贝尔有机会到美国斯坦福大学访问一年。北加州田园式的风光,四季宜人的气候,附近农庄的葡萄美酒,离得不远的黄金海滩,加之斯坦福大学既宁静深沉,又宽松开放的学术气氛。这美好的一切,孕育了贝尔的灵感,启发了他对EPR佯谬及隐变量理论的深刻思考。

贝尔开始认真考察量子力学能否用局域的隐变量理论来解释。贝尔认为,量子论表面上获得了成功,但其理论基础仍然可能是片面的,如同瞎子摸象,管中窥豹,没有看到更全面、更深层的东西。在量子论的地下深处,可能有一个隐身人在作怪:那就是隐变量。

根据爱因斯坦的想法,在EPR论文中提到的,从一个大粒子分裂成的两个粒子的自旋状态,虽然看起来是随机的,但却可能是在两粒子分离的那一刻(或是之前)就决定好了的。打个比喻说,如同两个同卵双胞胎,他们的基因情况早就决定了,无论后来他(她)们相距多远,总在某些特定的情形下,会作出一些惊人相似的选择,使人误认为他们有第六感,能超距离地心灵相通。但是实际上,是有一串遗传指令隐藏在它们的基因中,暗地里指挥着他们的行动,一旦我们找出了这些指令,双胞胎的‘心灵感应’就不再神秘,不再需要用所谓‘非局域’的超距作用来解释了。

尽管粒子自旋是个很深奥的量子力学概念,并无经典对应物,但粗略地说,我们可以用三维空间的一段矢量来表示粒子的自旋。比如,对EPR中的纠缠粒子对A和B来说,它们的自旋矢量总是处于相反的方向,如下图中所示的红色矢量和蓝色矢量。这两个红蓝自旋矢量,在三维空间中可以随机地取各种方向,假设这种随机性是来自于某个未知的隐变量L。为简单起见,我们假设L只有八个离散的数值,\(L=1,2,,3,4,5,6,7,8\),如下图所示,分别对应于三维空间直角坐标系的八个卦限。

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由于A、B的纠缠性,图中的红矢和蓝矢总是应该指向相反的方向,也就是说,红矢方向确定了,蓝矢方向也就确定了。因此,我们只需要考虑A粒子的自旋矢量(红矢)的空间取向就够了。假设红矢出现在八个卦限中的概率分别为\(n_1,n_2...n_8\)。由于红矢的位置在8个卦限中必居其一,因此我们有:

\(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5+n_6+n_7+n_8 = 1\)

现在,我们列出一个表,描述A、B的自旋矢量在3维空间可能出现的8种情况。下图中的左半部分列出了在这些可能情况下,自旋矢量在xyz方向的符号:

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既然AB二粒子系统形成纠缠态,互为关联,我们便定义几个关联函数,用数学语言来更准确地描述这种关联的程度。比如,我们可以如此来定义\(P_{xx}(L)\):观察x方向红矢的符号,和x方向蓝矢的符号,如果两个符号相同,函数\(P_{xx}(L)\)的值就为+1,否则,函数\(P_{xx}(L)\)的值就为-1。我们从上表左边列出的红矢蓝矢的符号不难看出,\(P_{xx}(L)\)的8个数值都是-1。然后,我们使用类似的原则,可以定义其他的关联函数。比如说,\(P_{xz}(L)\),是\(x\)方向红矢符号,与\(z\)方向蓝矢符号的关联,等等。

在上图中的右半部分,我们列出了\(P_{xx}(L)\) 以及\(P_{xz}(L)\)\(P_{zy}(L)\)\(P_{xy}(L)\)的数值。

现在,贝尔继续按照经典的思维方式想下去:我们的小孙悟空A和B蹦出石头缝时,它们的两个自旋看起来是随机的,但实际上是按照上面的列表互相关联。然后,他们朝相反方向拼命跑。经过了一段时间之后,两个小孙悟空分别被如来佛和观音菩萨抓住了。如来和观音分别对A和B的自旋方向进行测量。因为L是不可知的隐变量,因此,只有关联函数的平均值才有意义。根据上面表中的数值,我们不难预测一下这几个关联函数被测量到的平均值:

\(P_{xx} = -n_1-n_2-n_3-n_4-n_5-n_6-n_7-n_8 = -1\)
\(P_{xz} = -n_1+n_2+n_3-n_4+n_5-n_6-n_7+n_8\)
\(P_{zy} = -n_1-n_2+n_3+n_4+n_5+n_6-n_7-n_8\)
\(P_{xy} = -n_1+n_2-n_3+n_4-n_5+n_6-n_7+n_8\)

让我们直观地理解一下,这几个关联函数是什么意思呢?可以这样来看:\(P_{xx}\)代表的是A和B都从\(x\)方向观测时,它们的符号的平均相关性。因为纠缠的原因,A、B的符号总是相反的,所以同被在\(x\)方向观察时,它们的平均相关性是-1,即反相关。类似的,\(P_{xz}\)代表的是从\(x\)方向观测A,从\(z\)方向观测B时,它们符号的平均相关性。如果自旋在每个方向的概率都一样,即:\(n_1=n_2=...n_8=1/8\)的话,我们会得到\(P_{xz}\)为0。对\(P_{zy}\)\(P_{xy}\),也得到相同的结论。换言之,当概率均等时,如在相同方向测量A、B的自旋,应该反相关;而如果在不同方向测量A和B的自旋,平均来说应该不相关。

我们可以用一个通俗的比喻来加深对上文的理解:两个双胞胎A和B,出生后从未见过面,互相完全不知对方情况。一天,两人分别来到纽约和北京。假设双胞胎诚实不撒谎。当纽约和北京的警察问他们同样的问题:“你是哥哥吗?”,如果A回答“是”,B一定是回答“不是”,反之亦然。对这个问题,他们不需要互通消息,回答一定是反相关的,因为问题的答案是出生时就因出生的顺序而决定了的(这可相仿于\(P_{xx}\)=-1的情况)。但是,如果纽约警察问A:“两人中你更高吗?”,而北京警察问B:“你跑得更快吗?”,按照我们的经典常识,两人出生后互不相识,从未比较过彼此的高度,也从未一起赛跑。所以,他们的回答就应该不会相关了(这可相仿于\(P_{xz}=0\)的情况)。

现在再回到简单的数学:我们在\(P_{xz}\)\(P_{zy}\)\(P_{xy}\)的表达式上,做点小运算。首先,将\(P_{xz}\)\(P_{zy}\)相减再取绝对值后,可以得到:

\(|P_{xz}-P_{zy}| = 2|n_2-n_4-n_6+n_8| = 2|(n_2+n_8)-(n_4+n_6)|\) (7.1)

然后,利用有关绝对值的不等式\(|x-y|<=|x|+|y|\),我们有:

\(2|(n_2+n_8)-(n_4+n_6)| <= 2(n_2+n_4+n_6+n_8)=\)
\((n_1+n_2+n_3+n_4+n_5+n_6+n_7+n_8)+\)
\((-n_1+n_2-n_3+n_4-n_5+n_6-n_7+n_8) = 1+P_{xy}\)(7.2)

这样,从(7.1)和(7.2),我们得到一个不等式:

\(|P_{xz}-P_{zy}|<= 1+P_{xy}\) (7.3)

这就是著名的贝尔不等式。上述不等式是贝尔应用经典概率的思维方法得出的结论。因此,它可以说是在经典的框架下,这三个关联函数之间要满足的约束条件。也就是說,经典的孙悟空不可以胡作非为,它的行动是被师傅唐僧的紧箍咒制约了的,得满足贝尔不等式!

但是,如果是量子世界的量子孙悟空,情况又将如何呢?当然只有两种情形:如果量子孙悟空也遵循贝尔不等式,那就好了,万事大吉!爱因斯坦的预言实现了。量子论应该是满足‘局域实在论’的,量子孙悟空表现诡异一些,只不过是因为有某些我们不知道的隐变量而已,那不着急,将来我们总能挖掘出这些隐变量的。第二种情况:那就是量子孙悟空不遵循贝尔不等式,贝尔用他的‘贝尔定理’来表述这种情形:“任何局域隐变量理论都不可能重现量子力学的全部统计性预言”。如果是这样的话,世界好像有点乱套!

不过没关系,贝尔说,重要的是,这几个关联函数是在实验室中可能测量到的物理量。这样,我的不等式就为判定EPR和量子力学谁对谁错提供了一个实验验证的方法。

那好,理论物理学家们说,我们就暂时停止耍嘴皮,让将来的实验结果来说话吧。

参考资料

E. C. G. Sudatshan and Tony Rothman“A New Interpretation of Bell’s Inequalities” International Journal of Theoretical Physics, Volume 32, Number 7, 1077-1086,

关于本文

本文授权转载于张天蓉老师的个人博客,欲再转载者请联系原作者

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8 Responses to “走近量子纠缠(7)——贝尔不等式”

  1. 平平说道:

    不错啊

  2. AlayaShaka说道:

    文中完全没有必要举双胞胎和孙悟空的例子,大家看的懂,正文已经很简单了,例子反而多此一举

    • 来峰神说道:

      我觉得很有必要,因为有助于我的理解,没有那两个比喻我是看不懂的,也是看不下去的。有点趣味性是科普文的特征吧。

    • 耿直说道:

      我可没看那些公式(看不懂啊),只看了例子

    • shenzhijiaozi说道:

      我也觉得挺好的,更加形象生动

  3. OK说道:

    这个系列的最大败笔绝对是孙悟空...

    • Event Horizon说道:

      这不是量子力学史话中的段落吗?只不过加了个孙悟空的比喻,有抄袭的嫌疑!但正如楼上所说,这个比喻真的太让人纠缠了!

  4. Wanna说道:

    挺好只是觉得少点什么

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