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如何知道自己有没有戴绿帽子Comments>>

发表于 2013-06-20 06:46 | Tags 标签:

三个逻辑学家走进酒吧,侍者问:"每个人都要来杯啤酒吗?"第一个逻辑学家说:"我不知道。"第二个说:"我也不知道。"第三个说:"是的!"

这是一个经典的低笑点段子,相信大多数人稍稍思考片刻,就可以恍然大悟:对于侍者的问题,三个人只要有一个人答案为否,整个问题的答案就是否,第一个逻辑学家如果自己心里想要啤酒,但是不知道其他两个人的意向,只能回答不知道,相反,如果他自己心里不想要啤酒,就可以直接回答否,不用再看其他两个人的意向。第二个逻辑学家也是类似的情形,不知道第三个逻辑学家的意向,只能回答不知道。轮到了第三个逻辑学家,他从前两个逻辑学家的回答中已经可以判断出前两个人都要啤酒,而他自己也要啤酒,于是最终才给出侍者的问题的答案:"是的!"。

其实此类的逻辑游戏还有很多更好玩的,跟"戴绿帽子"有关系的那些逻辑故事就很有趣。

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【图片出处:http://9thcivic.com/】

版本1

假设在监狱里有一百个囚犯,他们即将被执行死刑,不过在最后时刻,执行官给了他们一次活命的机会。执行官让一百个囚犯前后站成一排,然后给每个人带上一顶帽子,帽子是红色或者绿色的,两种帽子的可能性各有一半,每个囚犯都看不到自己头上帽子的颜色。然后执行官掏出枪来,从站在排尾的那个囚犯开始,"一个一个过筛子",逐一要求每个囚犯说出一种颜色,红色或者绿色,如果说对了就可以绝处逢生,如果说错了,砰一声,立刻枪口对准脑袋一枪解决。执行官还强调:"你们回答我问题的时候,只准说红色或者绿色,说任何多余的话立刻就地正法。"看来在这个游戏中,有没有带绿帽子可是事关生死的大事情。

表面上看起来,在这种情况下,每个囚犯虽然能看到自己前面的人帽子的颜色,却看不到自己头顶上的帽子是红色还是绿色的,只能乱猜一个,听天由命了,平均100个人里能有50个活下来。有人会说如果每个人说帽子颜色的时候都说前面一个人的帽子的颜色,暗中起了提醒作用,情况会不会好一些?对于排位的最后一个人来说,这样做无妨,可以让倒数第二个人知道自己帽子的颜色。不管之后排尾那个人被崩掉了还是活下来,轮到倒数第二个人的时候,他已经在心里知道自己帽子的颜色(比如红色),如果他前面的人,也就是倒数第三个人的帽子也是红色,他喊一声红色既可以救自己的命,就可以通知前面的人。可是如果事情走向另外一半的可能:倒数第三个人的帽子是绿色,对于倒数第二个人来说,舍己为人或者舍人为己,让自己活就不能提醒前面的人,提醒前面的人自己就没命了。事实上,即使每个人都舍己为人提醒前面的人,总的生还比例并不会增加。

100名囚犯除了接受以扔硬币的方式死亡以外,有没有更好的办法呢?当然有,而且可以保证100个人里有多达99.5个人活命,而不是50个。

99个是指除了排尾最后一个人以外的99个人,0.5个人是指排尾的那个最不幸的家伙也有1/2的可能性活命。

办法是这样:所有的囚犯要团队合作。规则1:从倒数第一个人开始,数一下前面的所有人戴绿帽子的个数是奇数还是偶数,如果是奇数,就说绿色;如果是偶数,就说红色。规则2:从倒数第二个人开始,在思考自己应该说的颜色同时,还要仔细听一下前面的人说过的颜色,如果一共有奇数个人说过绿色,就改变自己按照规则1原本要说的颜色;否则正常说出规则1的颜色就可以。

只要按照这样,每个人既可以说出自己头顶帽子的颜色,还可以为前面的同伴提供信息,那个执行官只好无奈的放走所有的犯人。

举个例子:假设一共四个囚犯,从后向前,红帽子,绿帽子,红帽子,绿帽子,倒数第一个囚犯看到前面有偶数个绿帽子(2个),说红色,自己可以活命;倒数第二个人看到前面有奇数个绿帽子(1个),后面0个人说过绿色,于是喊绿色,也活命了;正数第二个人看到前面有奇数个绿帽子(1个),本应喊绿色,但是后面有1个人喊过绿色,于是喊红色,也可以得救;轮到最前面的那个囚犯,前面绿帽子为0,本应喊红色,但是同样因为前面有人喊过一次绿色,改喊绿色,也和自己帽子颜色一致。最后四个人都可以生还。

版本2

如果游戏不是一长排从后向前逐个人说出帽子的颜色,而是所有人在同一个瞬间说出,而且所有人要死一起死,要活一起活。具体是这样的,每个人可以选择说红色,绿色或者沉默不语,但是必须保证没有人说错自己头顶帽子的颜色,而且至少有一个人说对自己头顶帽子的颜色,才算过关(也就是说所有人如果都保持沉默照样要被枪决),所有人都可以活命,否则后果你懂得。

在这种情况下每个人都不可能在瞬间知道自己头顶上有没有绿帽子,似乎也无计可施了吧,这回真的要看运气了吧。其实并不是这样的,我们假设最简单的情况,一共只有三个囚犯,可以有一种策略保证他们在75%的时候可以活命。

方法很简单,三个囚犯在同时猜的时候按照这样的规则:如果看到另外两个人帽子颜色不一样,保持沉默,如果另外两个人帽子的颜色都是红色,喊绿色;如果另外两个人帽子颜色都是绿色,喊红色。

三个人A,B,C的帽子颜色组合一共有下面这八种:

A B C 结果
挂了
绿 得救
绿 得救
绿 绿 得救
绿 得救
绿 绿 得救
绿 绿 得救
绿 绿 绿 挂了

按照以上的策略,在所有的八种情况的六种下,三个苦逼的囚犯都可以保住性命。这似乎有点和概率相违背,因为无论怎么猜,是同时进行的,每个人都不知道自己头顶帽子的真正颜色,对于确定的某一个人来说,假设说绿色,自己头顶的帽子是红色和绿色的可能性各占50%,这意味着在一种情况下的正确的答案,在另外一种相反的情况下就是错误的答案。

按照规则每次只要有一个人说对,其他两个人沉默就可以完成任务,要是八种情况下有六种情况脱险,需要一共有六次说对,但同时也意味着在其他情况下有六次说错。我们可以设法"编码",把说错的6次都集中在一起,在剩余的两种情况中(全是红色,全是绿色)一错到底。这正是以上提到策略的初衷,在75%的时候保证每次有一人说对,在剩下25%的时候让每个人都说错,这样总的说错次数和说对次数相等,但是生还的概率却远超过一半。事实上,对于3个人的情况,75%概率也已经是可能的最好结果。

如果游戏有更多的囚犯参加,他们一起生还的机会还可以更高,如果有N = 2^n – 1 个人参加, 他们使用最佳的策略活命的机会将是N/(N + 1) = (2^n – 1)/2^n,如果7个囚犯参加,活命的机率将是87.5%,如果15个囚犯参加,活命的机率将是15/16=93.75%。

7个人玩游戏的时候道理还是同样的,他们帽子颜色的组合将会一共有2^7=128种可能性,在这128中里面我们最多可以保证有112种情况下有一个人才对,其他人全部沉默不语;然后在剩下的16种情况下,所有人全部去猜,而且全猜错,16*7=112,猜错的次数和猜对的次数还是相等的,不与概率计算相违背。不过策略具体执行起来就不是用一两句话就能说清楚的了,需要首先给七个囚犯用二进制遍上号000,001一直到111,然后每个囚犯在决定是不是要喊,喊红色还是绿色的时候,要根据其他人帽子的颜色和对应的编号,进行二进制的计算,应用的是通信上的Hamming Code纠错码方式,详情可以参看:

http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/dozen_hats.pdf

虽然计算复杂了一点,但是可以保证所有的人以最大的概率活命,也算值了,当然如果囚犯都不是逻辑学家和程序猿,数学没死理性派这么好,估计活命有点难。

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49 Responses to “如何知道自己有没有戴绿帽子”

  1. 子隐于斯说道:

    赤裸裸的标题党啊

  2. z1@126.com说道:

    标题一时爽,全家火葬场

  3. ssua说道:

    版本1没那么复杂啊,如果每个人可以看到前面人的帽子,又是从最后一个(看到除了自己的所有帽子)开始,显然每个人自己帽子的颜色都是唯一可解的。
    所以100% 可以正确说出颜色,更简单的规则是看到绿帽个数+报过绿帽个数是否为50? 是就报红的,不然绿的。反过来也一样。 干嘛奇偶的说一大堆呢

    • qinghao1说道:

      对啊,不只标题党,逻辑上还有漏洞,这下只剩下标题党了。

    • Albert_JIAO说道:

      只是红帽子和绿帽子的可能性各为一半,并不是说一定50个

      • qinghao1说道:

        我数学是不好,概率也都和没学过一样,在没看评论之前也真的被忽悠到了一半。
        剩下一半就是及时看了下评论。

        本来准备继续和你无理取闹,但看到其他评论有人像是明事理的人在。

    • birdflyer说道:

      您的数学基础不适合看这种文章

    • 李文说道:

      我也是这样想的,如果都能看前面的人的帽子,那肯定就是是100%的知道自己的帽子颜色了。

      • 1st_sWorD说道:

        帽子颜色不一定相等的,笨蛋们啊,帽子相等了,那囚犯们都数数就可以活下来啦,还写什么文章,人家作者是说帽子红绿是随机的
        比如,假设犯人,是10个
        这样 红红红红绿红绿红绿红
        或者 红红红红红红红绿红绿
        或者 绿绿绿红绿红绿红红红
        都可以让最起码9个人活下来,加上可以看到前面所有人帽子的那个人也有一半的概率活下来。
        作者只是说每个人头顶帽子的是红或绿的概率是50%

        • edif90说道:

          明白了。无论帽子的红绿组合是什么,如果绿色总数是偶数,10个全活;如果绿色总数是奇数则第1个必死,然后剩下的9个人全活。

          实际上,如果所有囚犯事先已知绿色总数是奇数还是偶数,则能够定一个规则全活。现在等于是让第一个囚犯试出了奇偶,从而保证后面的全活。

  4. 薄底鞋说道:

    我都看晕了,真复杂啊。

  5. 丹东巴布罗夫将军说道:

    还以为是讲男人如何识别媳妇是否出轨的呢,标题党无疑。完全可以改名红帽子啊@!

  6. 隐矢宇说道:

    我去,我抓狂了。

  7. 丹丹说道:

    思路不错,问题描述略不严格。
    1。版本一中,应该说明每个人头上的颜色是红色是绿色是50%。我看的时候就错解了。
    2。版本二中,每个人都可以看见所有其他人的帽子还是只能看到前面的?如果只看到前面的,三个人按你的规则不会有那么高啊?比如第二种情况B会说错。如果每个人都可以看到别人的,当人数越多概率越小,因为有越多情况全部人都保持沉默。

  8. 明显逻辑错误说道:

    随便举两个版本1的例子:

    例子一:
    两个人,1.绿 2.红

    第一个人看到是偶数绿(0),说红,死掉
    第二个人看到是奇数绿(1),偶数个人说绿(0),说绿,死掉

    例子二:
    6个人, 1.绿 2.绿 3.绿 4.红 5.红 6.红
    第一个人看到偶数绿(2),说红,死掉
    第二个人看到偶数绿(2),偶数个人说绿(0),说红,死掉
    第三个人看到偶数绿(2),偶数个人说绿(0),说红,死掉
    第四个人看到奇数绿(3),偶数个人说绿(0),说绿,死掉
    第五个人看到奇数绿(3),偶数个人说绿(0),说绿,死掉
    第六个人看到奇数绿(3),偶数个人说绿(0),说绿,死掉

    我不知道作者从哪里找来的逻辑题,怎么自己都没有验证一下就往外发啊,这个正确率还不如看看红的少还是绿的少,哪个少说那个颜色。

    • wind说道:

      是你理解错误

      版本1说得很明白 看前面 而不是让你数全队人

      所以你的例子二从第二个人开始就是错的

      至于例子一 只有两个人你还需要做个毛的逻辑推理啊 看另外一个人的帽子颜色就能猜出自己的了

      • 明显逻辑错误说道:

        这是作者的例子:
        举个例子:假设一共四个囚犯,从后向前,红帽子,绿帽子,红帽子,绿帽子,倒数第一个囚犯看到前面有偶数个绿帽子(2个),说红色,自己可以活命;倒数第二个人看到前面有奇数个绿帽子(1个),后面0个人说过绿色,于是喊绿色,也活命了;正数第二个人看到前面有奇数个绿帽子(1个),本应喊绿色,但是后面有1个人喊过绿色,于是喊红色,也可以得救;轮到最前面的那个囚犯,前面绿帽子为0,本应喊红色,但是同样因为前面有人喊过一次绿色,改喊绿色,也和自己帽子颜色一致。最后四个人都可以生还。

        他有两个人居然都能数出1顶绿帽子,你敢说不是全队人?

        至于2个人,每个人50%的概率带红帽子,这么低的统计样本,为什么不可能是同一种颜色?

        如果你都假设一定必须是一半一半的了,作者那个题还用这么复杂的求解么。。。。

        • pig_10说道:

          我怎么看怎么觉得是你有逻辑错误
          每个人不可能看到自己头上的帽子
          于是按照回答顺序是红绿红绿的话,第一个人能看到两个绿帽子和一个红帽子,回答红,第二个人能看到一个绿帽子和一个红帽子,前面0人说绿帽子,于是说绿帽子,第三个人仍然是看到了一个绿帽子,但是前面1人说绿帽子于是需要改口说红帽子。最后一个人后面没帽子了,自然是0个绿帽子,但是前面有一个人说了绿帽子,所以要改口说绿。
          缓冲红绿绿绿也是一样,除了第一个人会死,第一个人看到三个绿帽子,于是回答绿,死了,第二个人能看到两个绿帽子,应该回答红但是前面有个人回答了绿帽子,需要改口回答绿,第三个人能看到一个绿帽子,前面有两个人回答了绿帽子,不需要改口,所以说绿,第四个人后面没帽子,0绿帽子,前面三人说了绿帽子,所以仍然要说绿。
          要点是要从自己往后的绿帽子数量和轮到自己位置喊出的绿帽子数量,奇数为1偶数为0,然后进行与异或运算,出1喊绿出0喊红。只有第一个人是听天由命,剩下的都能活,这个跟奇偶校验的思维非常类似。

      • 李文说道:

        看前面 不就等于数人了?此题就是这个地方有问题。
        这个游戏已经说明了,红绿帽子数量是相等的,如果能看到前面 那就必然能数出总囚犯人数。

        • 1st_sWorD说道:

          1楼的连文章版本一的玩法都没看懂就出来咿呀鬼叫,还有作者没说红绿帽子的总数是相等的,明白不?这里随便举个例子
          1红 2绿 3红 4红 5红 6绿
          1见到前面绿色(其实你数红色帽子也可以,只要数量是偶数,就说出另一种颜色,如果是奇数就说所数的颜色)是偶数,就说红色,1幸运的活下来了
          2见到前面绿色是奇数,且0人说过绿色,大喊绿色,2活下来
          3见前面绿色是奇数,但有1人(2号)喊了绿色,原本要喊绿色的,改喊红色,3活下来
          4见前面绿色是奇数,但有1人(2号)喊了绿色,原本要喊绿色的,改喊红色,4号活下来
          5见前面绿色是奇数,但有1人(2号)喊了绿色,原本要喊绿色的,改喊红色,5号活下来,
          6号前面绿色为0,当偶数个,但有1人喊了绿色,原本要喊红色的,改喊绿色,6号也活下来了

          • aaa说道:

            LS的傻子按你的逻辑试试
            1红 2绿 3红 4绿 5红 6绿?

          • 1st_sWorD说道:

            1红 2绿 3红 4绿 5红 6绿?OK

            1看到前面有3个绿色,为奇数,大喊绿色,不幸地牺牲了
            2看到前面有2个绿色,为偶数,准备大喊红色,但前面有1人(奇数)喊了绿色,所以他大喊绿色,活下来了
            3看到前面有2个绿色,为偶数,且前面有2人(偶数)喊了绿色,就按规则1大喊红色,活下来
            4看到前面有1个绿色,为奇数,且前面有2人(偶数)喊了绿色,就按规则1大喊绿色,活下来
            5看到前面有1个绿色,为奇数,准备大喊绿色,但前面有3人(奇数)喊了绿色,就按规则2改喊红色,活下来了
            6看到前面0个绿色,当偶数,准备大喊红色的,但前面有3人(奇数)喊了绿色,就按规则2改喊绿色,活下来了

            aaa啊,说别人前,请先看明白规则好不好,只死了1号啊,其他都活了,作者正是说这个方法其他犯人肯定能活下来,至于最末端的那个犯人就有一半机会活下来。
            ------------------------------
            在给你说说作者的规则吧
            1、最后的那个犯人,数前面犯人某种颜色为奇数还是偶数,如果是奇数,则大喊这种颜色(如绿色),如果是偶数则大喊另一种颜色(如红色),这个犯人的生死纯粹是运气的,他有1/2机会活下来。
            2、倒数第二个犯人开始,还是数前面某种颜色(以绿色为例)是奇数还是偶数,但还要考虑已经说过的颜色是奇数还是偶数,举例
            情况1:如果数数发现,前面绿色的个数是奇数,原本应该要大喊绿色的,发现前面有奇数个人已经喊过绿色了,就不能喊绿色,改喊红色
            情况2:如果数数发现,前面绿色的个数是奇数,且前面有偶数个人已经喊过了绿色,那么就按规则1大喊绿色就可以了~~
            写得有点长,有点臭,希望aaa脑袋能看懂

  9. 小猫咆哮说道:

    很不错的文章,我拿回群里分享了。
    看了下其他的评论,竟然有人没看懂文章就说文章逻辑有问题,还有人明确表示自己只读了一半,而且数学和概率没学好,却还要盲从其他评论去质疑文章的逻辑性。╮(╯▽╰)╭

  10. 1234说道:

    我智商太低了看不懂TAT

  11. 道明说道:

    说实话,初看这个文章的时候想到了“博弈理论”

  12. 音乐召唤说道:

    我头好大啊

  13. 音乐召唤说道:

    作者如果身在二战集中营一定会玩的很嗨

  14. 李文说道:

    这个游戏 必须是偶数人参加游戏吗

  15. 李文说道:

    此题中,我有一处不明
    假设最后一个人能够数处前面戴绿帽子人数 ,那么也必然能够数出总的囚犯数。
    如果绿帽子跟红帽子是一样多。那么这这个不就是有100%的存活绿吗?

    比如说 例子中是4人参加游戏,他看到前面有2个绿帽子,自然自己就是红帽子。
    假设是6个囚犯,红帽子 绿帽子各三个。如果能看到前面有3个绿帽子,自己肯定就是红,如果只看到了2个绿帽子,自己就是绿。

  16. trouble说道:

    这不是扯么?到底版本是不是50个红的50个绿的,如果是显然从后往前报数的时候每个人都能活啊,只要会数数就行了,哪有什么概率。如果每个人戴什么颜色帽子的概率是独立的两点分布,那人和人之间还能怎么串谋?作者到底是在什么假设下讨论这个问题的。

    • 我就字符吧说道:

      不是啊,随机红绿数量都成立的。不是非得50个红50个绿的

    • edif90说道:

      同意你的看法。

      如果每个囚徒都已知红、绿总数,那么已知其他99个就可以知道自己的,因此100%可活。

      如果每个囚徒的红、绿是由独立掷均匀硬币决定的,那么:已知其他99个对判断自己的帽子颜色没有任何帮助。

  17. 诚招淘宝兼职说道:

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  18. 乐乐说道:

    不少朋友把“两种帽子的可能性各有一半”这句话理解为“两种帽子数量各半”,这不是作者表达问题、或读者理解问题,而是这些朋友不是死理性派,不懂死理性派的说话方式而已,没什么的,不用争,大家各说各就行,不相干,不碍事。

    • aaa说道:

      严谨的描述“各占一半”就是每种颜色五十顶,如果不是这样的话,也不可能推出99.5个人可以活命的结论。
      假定颜色比是49::51,所有人都按作者的规则喊,100个全灭了。
      正确的表述是偶数比,但是如果真是偶数比跟50比50也没有区别,直接数前面的+后面的判断奇偶数就完了。
      只能说明作者在扯淡。

  19. 吕蒙说道:

    如果是可以数的话,倒数第一个自然能判断出自己是什么颜色的帽子。因为前面的比例必然是50:49. 那么倒数第二个也根据他是否被枪毙知道他帽子的颜色,然后同样去数前面不同颜色帽子的数量,也会知道自己的帽子颜色。如此类推,应该所有犯人都不会被枪毙吧。

  20. pob说道:

    实际上就是信息论中选取典型序列的问题,当人数趋于无穷时,帽子颜色情况在典型序列集中的概率趋近1,此时选取典型序列则活命概率趋近于1

  21. sairuisi说道:

    真的佩服作者的思路,很牛啊!!膜拜ing

  22. 南瓜马车十_二点说道:

    好强的逻辑

  23. Frank说道:

    holy…是说红色跟绿色出现的几率各为一半 而不是一定是50啊

  24. fgg说道:

    从第二个人算起,无论绿帽子总数是奇数还是偶数,都可推出绿帽子已经出现了奇数次还是偶数次,进而推出剩下的人包括自己在内绿帽子数量为奇数还是偶数。

  25. 緋色狂想说道:

    第一个逻辑是对的,假设有m个囚犯,最后一个囚犯可以知道(m-1)个囚犯中绿帽数量的奇偶性,并通过规则1告诉了倒数第二个囚犯,而倒数第二个囚犯则知道(m-2)个囚犯中绿帽数量的奇偶性,再根据之前得到的信息并加以对比,就可以知道自己的是否绿帽,这个规则其实就是一个有效的传递信息的过程,只是笔者在描述时为什么要弄得这么复杂就不得而知了。(或许可能是为了后面那个结论打掩护?)
    第二个逻辑有问题,笔者已经描述了3个囚犯的情况,我试了一下4个囚犯的情况,发现生还率只有50%,例子如下:
    以简化的0和1来代表绿帽红帽,则按照笔者的规则,只有当0和1只出现1次的情况下,才会实现生还结果,否则就会导致错误或沉默不语。
    0000 1000
    0001 1001
    0010 1010
    0011 1011
    0100 1100
    0101 1101
    0110 1110
    0111 1111
    可以看到,0或1单独出现的概率是50%,所以生还可能也就是50%
    那么当增加到5位囚犯时会怎么样呢?只有
    00001 00010 00100 01000 10000
    11110 11101 11011 10111 01111
    这10种情况可以生还,但是数集合的总数是32,也就是说降低到了30%
    所以这样人数越多,几率越低。
    不过笔者后面也说了,人数多的时候,是需要使用更复杂的策略的,而且这个也是一种信息收集策略的手段,是可能有比较有效但复杂的方法的,只是笔者没有说而已。

  26. 鼠毛说道:

    各位前辈,一点浅见,不知对错:两个问题是通过规则设定达成最小出错率的研究,第一个版本的规则保证了由最后一个人告诉前面的人总体红绿颜色的奇偶性,在规则导引下,前边的人自然会根据眼前的帽子颜色的奇偶性猜对自己帽子的颜色。第二个问题是根据一组随机事件发生的总体概率,提出一个规则使得对随机事件的状态描述出错概率最低。这两个问题都很有意思。

    • 象宝贝说道:

      我想问一下,第一个版本的规则,是通过规则设定达成最小出错率的研究,是数学上一种研究对吗?那么是不是数学专业的同学学了这个研究之后,以后再遇到类似的问题,就可以立马想出规则去解决某个问题,类似如上100个犯人的生死问题,如果某个数学专业并且恰好学过此研究的同学是犯人之一,是不是能立即想出办法解救100个犯人呢?

  27. Illusiwind说道:

    果然不少读者数学水平是高中以下……
    最后竟然出来差错控制编码了……好吧。

  28. 大灰羊说道:

    标题太无良了啊

  29. zhuyugang说道:

    利用日本产的电子产品TRY以下!

  30. zhujianshinian说道:

    真理往往掌握在少数人手中,看了看评论,好多人还是不明白啊!

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