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CB040327设想有两位枪手甲和丙,他们在进行一场生死决斗,甲的枪法比较准,命中率有80%,而丙的枪法比较差,命中率只有40%,如果两个人隔着一段距离,同时朝对方开枪射击,最后谁获胜的可能性大?不用说,当然是枪法更好的甲。

如果我们让决斗游戏更刺激一些,变为三人游戏,另外一个枪手乙也加入,乙的枪法中游,比甲差一些,比丙好一些,命中率为60%,决斗规则还是三人同时射出一发子弹,情况又会如何呢?

你或许觉着三人中生存机会最大的应该是甲,其次是乙,获胜机会最小的是丙。但结果可能令你大吃一惊,三个人中最容易活下来的是丙。

这是因为三人同时射击时,每一个枪手的枪口只能瞄准另外两个人中的一个,如果三人之间没有任何协议,每个人自然会朝另外两个人中威胁更大的人开枪,比如说,在乙看来,甲丙二人中,如果第一轮先把甲干掉,剩下实力较弱的丙,下一轮和他单挑对自己有利。三人博弈的结果是乙和丙都会朝枪法最好的甲射击,而甲则会朝乙射击,最后计算下来,首轮过后,甲活下来的概率为24%,乙只有20%,丙却是100%。当然,如果甲或乙有一人活下来,决斗还可能会在剩下的两人中进行第二轮,第三轮,但是单单从首轮过后的结果就可以发现,丙成为这种决斗方式大赢家的可能性最大。

本来甲和乙都做出了对自己有利的选择,把枪口瞄准了应该瞄准的人,但是结果却事与愿违,甲和乙多半会互相击中对方,"鹬蚌相争,渔翁得利",让本来最水的丙成为赢家。

这是一个经典的"三个火枪手"的博弈论模型,从中我们可以学到的一招是:如果你是丙,实力很弱,将要与一个强敌甲大战一场,必然凶多吉少,一个办法是拉另外一个强敌乙进来,把两方决斗变成三方决斗,局势一下子变乱了,本来对自己悲催的局面就可以得到根本扭转。

在现实中,和"三个火枪手"类似情形的例子有很多。在历史上,最盛产多方错综复杂的斗争博弈的故事的当数战国七雄——秦齐楚燕赵韩魏的年代了,我们就来穿越一下吧。

秦兴师临周求九鼎

话说战国在历史上算作是东周年代的一部分,当时虽然全国已经分裂成了很多个国家,在洛阳仍有一个周王朝,是名义上的中央政府,可是周王也仅仅是名义上是秦齐楚燕赵韩魏的盟主,实际上能控制的地盘不过是洛阳周围的一小块,战国七雄他哪个也惹不起,秦齐楚燕赵韩魏随便一个都可以虐一下周大王。

有一次,秦国出动大军到了洛阳附近,"听说周王那里有九个天下王权的大鼎,我们也不是想要,但就是很喜欢,呵呵。"面对大兵压境的武力威胁,周王不想把宝物拱手交出,可是自己手头的那点兵力根本没法阻挡战国七雄中实力最强的秦国,一时为了难,此时周王就相当于丙,而秦国则是强大的甲。

周王手下有个叫颜率的谋士主动请缨帮忙解决困境,他到了东边的位于山东的齐国,在齐王面前先大骂秦国是叛贼,是不义之徒,然后又说齐国才真正具有大国风范,请求齐国出兵帮忙抵御秦国,事成之后会把宝物赏赐给齐国。齐王听了很高兴,出兵一来可以树立威信,二来可以获得宝物,于是立刻派了五万大军到了洛阳。于是齐国被拖下水,作为乙也加入到了博弈之中,矛盾的焦点不再是集中在秦和周王之间,而成了秦齐两国之间。

秦国闻讯之后,不想把事情闹大,就主动撤军,不再向周王索要大鼎了。可是新的麻烦又来了,秦国不要大鼎了,齐国还要呢,这回齐国变成了甲。

周王又为了难,再次派颜率出使齐国。齐王见到颜率说,"我们事先可说好了,作为报答,周王要把大鼎给俺们作为答谢。"颜率说"我们当然说到做到,只是九鼎非普通之物,运送九个大鼎需要上万人,从洛阳到齐国有一段距离,大王也要先选个路线。"齐王说"可以途径北边的魏国"。颜率说"魏国人一直就想要九鼎,馋得都流口水了,如果路过魏国,一定会被他们半路抢去。""那我们可以选择南边的楚国。"颜帅又说,"楚国也不行,楚王也一直想打九鼎的主意。看来运动宝鼎的路线真是个难题,大王有没有其它的好办法呢?"齐王"呃……这事就先算了吧"。这一次,颜率故计重施,把其它国家又拉进来,两个火枪手情形变成三个火枪手的情形,使得危机得以化解。本来实力不堪一击的周王室不费一兵一卒,利用列强之间的矛盾两次把宝物成功地保护住了。

韩献上党,秦赵对峙长平

接下来再来看另外一个三方博弈的故事。在战国七雄中,韩国一向较为弱小,可韩国的地理位置又处在秦国通向其他各国的门户,秦国崛起之后,韩国首当其冲,为了生存,韩国只好反覆无常,一会儿帮助秦国打其他国家,一会儿帮助其他国家打秦国。这种做法让秦国很恼火,在公元前263年,秦王决定"动真格的",出动大军征讨韩国,韩无力抵抗,危在旦夕。韩王只好把韩拥有的上党地区献给秦国,以换取秦撤兵,当时韩负责镇守上党城的将领是冯亭,很显然,冯亭的任务就是等待秦军到来,把城池一交了事。可是冯亭觉着把这一块地白白交给秦国心有不甘,要跟秦军打又打不过,于是他把目光放到了另外一个国家赵国。

在这里,如果秦国是甲,韩国是丙,赵国就是乙了。在战国后期,秦国已经所向披靡,赵国是唯一一个还能和秦国较量一下的国家。"赵武灵王胡服骑射"、"蔺相如廉颇将相和","蔺相如完璧归赵"这些故事都发生在当时的赵国,通过君臣在全国上下的一些革新,赵国在当时颇具实力,拥有廉颇、赵奢、蔺相如等人才。秦国战场上先后被赵国的廉颇、赵奢击败过,连骗个和氏璧也没骗成,自然颜面大失,秦赵两国间早晚会有一场大战发生。

冯亭派人告诉赵王,"韩国要把上党割让给秦国,但是上党百姓都痛恨秦国,希望归顺赵国",赵王在上党这块地势险要土地的诱惑下,觉着白白送上手的土地怎么能不要呢,于是派人去接收上党。

秦国听说赵国要趁火打劫,先一步夺取上党,大怒之下立刻派兵攻打赵国,因为这件事秦赵两国大打出手,最后演变成了两国出动全国兵力,决一生死的长平大战。

后来的结果大家都知道,赵国先是派老将廉颇应战,双方战局僵持不下,后来赵奢的儿子赵括接替廉颇,结果赵括纸上谈兵,盲目进攻被围,赵军大败,四十万大军都被坑杀。在长平大战中,赵国兵力损失殆尽,而秦国伤亡也很惨重,需要很长一段时间才能恢复元气,而秦国下一步计划是利用剩余的兵力一鼓作气攻克赵国首都邯郸,灭掉赵国,根本无暇顾及韩国。通过献出上党,挑拨起了秦国和赵国的矛盾,韩国一下子就转危而安了,成为了甲乙丙中那个损失最小的丙。

三个火枪手的另一种玩法

我们再回到三个火枪手的情境中,如果游戏规则变一下,不是三个人同时开枪,而是轮流开枪,会怎么样呢?

在这种情况下,丙依然有一定优势,假设三人的先后顺序是甲乙丙,在丙之前,很可能甲把乙打死或者乙把甲打死,甲乙只剩一人,然后轮到丙的时候,丙可以向剩下的一个人射击,如果打中,丙就是赢家;如果打不中,才轮到丙被打,而甲或乙命中率也不是100%,丙仍然有机会。丙的好处就在于可以先让甲乙两人互相斗,然后拥有主动权去收拾剩下的那个。

如果三人的先后顺序中丙在第一个,又怎么办呢?丙似乎应该像三人同时开枪情况下那样先攻击甲乙中较强的甲,可是仔细想一想,这并不划算,因为如果真把甲打死了(尽管丙枪法并不好),接下来就轮到乙开枪了,后果你懂的。

出乎意料,丙如果有第一个开枪的机会,正确的做法是谁也不打,朝天开枪,这样轮到下一个甲或者乙的时候,甲还会先打乙或者乙打甲,然后轮到丙再次射击收拾残局的时候仍然占先机。

这个推理结果表面上看多少有点不可思议,但是我们再次穿越回战国年代,看一看秦国和魏国之间的博弈,就会发现丙的这种策略很符合现实。

秦魏与甲乙丙

在文章前面提到的两个故事中,秦国已经成了战国七雄中最强的一个,但其实秦国在商鞅变法之前,实力平平,在战国初期,地理位置偏僻的秦国在战国诸雄之中甚至处于垫底的位置,也就是个"小丙"。

在战国初期,七国中实力最强的国家是魏国,这是因为当时魏国有两个牛人,文有李悝,武有吴起,两人对国家进行改革,使得魏国从诸侯中脱颖而出,称霸一时。魏国与周围国家的战争中不断取胜,称得上是七国中的"甲老大"。

不过其它国家也不甘心于魏国一天天的牛叉哄哄的样子,东边的齐国就是其中一个,齐拥有田忌和孙膑(赛马的那两位)两位大神,有一次,魏国去攻打赵国,齐国来了个"围魏救赵",给魏国了一个下马威。后来魏国的庞涓和齐国的田忌、孙膑多次交手,在襄陵之战中,魏国打败齐国,但是后来的马陵之战中孙膑使用计谋让庞涓中了埋伏,齐国取得决定性胜利。

在这段历史时期,作为魏国邻居的秦国商鞅变法刚刚开始,国家实力依然较弱,不仅比不上最强大的魏国,恐怕也不敢跟魏国的对手齐国赵国等国叫板,在魏国与其它国家进行战争的时候,起初秦国也想去分一杯羹,掺和掺和。但后来商鞅向秦王进谏说,现在秦还不够强大,如果去帮魏国,魏国打赢了那些国家,回头就会解决咱们;如果帮别的国家打魏国,那些国家打败魏国之后恐怕也要顺便解决了咱们。咱们最好还是谁也不惹,韬光养晦,让那些国家之间残杀,坐山观虎斗,时机成熟了再出手,于是秦王为了不得罪魏国,乖乖地尊魏国为王,同时也也与其他国家和好。此时秦国作为丙,让那些强大的甲和乙之间互相决斗,自己不出手,等待机会,正如丙作为轮流射击的三个火枪手中的第一个的情况。

待到后来,马陵之战后,魏国实力下降,而经过多年的发展,秦国实力逐渐上升,如果魏国还是甲的话,秦国至少已经是乙了,此时坐在旁边看已经不是最佳策略,这时正赶上齐国、赵国的联军进攻魏国,秦军也加入进去,魏国被打的满地找牙,秦国也从魏国那里获得了不少好处。

再后来,秦国实力进一步增强,已经成了战国七雄中的老大,称得上"甲"了,可是魏国越来越衰,从当年的霸主踏入了第三世界,沦落成了"小丙"。在甲乙丙的博弈中,乙和丙常常会同时把枪口对准了甲,对于甲来说,如果能把丙拉到自己一边将会很有利。于是秦国对待魏国的态度再次发生了转变,这时秦国的主要对手"乙"是齐国、楚国那些国家,魏国已经不再举足轻重,所以秦国主要不再攻打魏国,而是拉拢魏国作为自己的同盟,一起攻打其它国家。在战国后期,其他六国联合到一起进攻秦国称为"合纵",秦国把六国中较弱的国家拉拢过来,拆散联盟成为"连横",最终"合纵"一直被"连横"破坏,秦国得以逐一把六国灭掉。

在战国七雄争霸中,秦国最后能够灭六国统一中原除了依靠实力以外,在丙乙甲不同的实力对比阶段,采取了正确的博弈策略也是制胜法宝之一。

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题图出处:http://austenacious.com/

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41 Responses to “三个火枪手的博弈与战国七雄争霸”

  1. Jason说道:

    提问:在同时进行的三个火枪手的博弈中,乙方如何获胜?

    • HappyLee说道:

      如果保持题设状态的话,乙必然会被甲第一个瞄准,所以除非乙有办法降低自己的命中率,不然就只能自求多福希望甲射不中自己。

    • Terry说道:

      加点到敏捷上……否则还真没办法

  2. york说道:

    三国就是反例啊,最弱的蜀拉了吴干魏,结局不怎么好啊。

  3. fare2000说道:

    其实蜀不穷兵黩武,也不会那么快被灭。同时也是厚黑文化影响,曹魏不激烈进攻蜀吾,蜀吾联盟就自动瓦解,窝里斗。

    • 圓月彎刀说道:

      吳蜀連盟打敗曹操,吳怕蜀坐大,捅了蜀一刀,後來被各各擊破

      • 圓月彎刀说道:

        所以乙丙讓甲受了傷,誤判甲己構不成威脅,乙丙互射受傷,甲喘了口氣干掉乙丙

  4. 114博客大全说道:

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  5. asahi说道:

    二战时也有甲和乙先解决了丙,再继续窝里斗的情况吗?苏联和德国一起攻打波兰吗。

  6. hunke说道:

    如果大家都采取了正确的策略,最后谁获胜?

  7. jjx01说道:

    周比战国开始得早,结束得也早.

  8. coldrocky说道:

    这个分析太粗略了。应该吧最终几率列出来。比如说轮流开枪的话,甲乙丙活下来的几率各是多少

  9. yjc说道:

    甲:日本
    乙:国民当
    丙:共铲当

  10. yjc说道:

    若是4个人呢?
    若是5个人呢?
    ...
    是不是就会发展成海盗分财宝的问题了

    • 六天魔王说道:

      海盗分财宝有投票机制,多人博弈不是投票,而是比拳头。但现实当中有个问题就是,对谁拳头硬认识未必准确,一个典型的参考就是三国杀,新手眼里看出的哪方强弱和老手眼里看到的往往差别很大。

  11. tottit说道:

    可以考察三国杀,进行研究。

  12. glavewu说道:

    周天子还在的时候应该是春秋吧,后来周灭亡了才是战国~

    • Event Horizon说道:

      周王朝分为西周和东周,东周又分为春秋和战国。战国末期,在秦始皇嬴政灭六国的过程中才把东周君给杀了,所以在名义上,秦王朝建立周王朝才算是灭亡。

  13. 蒋方舟子说道:

    春秋时,楚庄王陈兵于洛水,向周王朝示威。周派使者慰劳,“楚子(楚庄王)问鼎之大小轻重”,意思是说楚庄王有夺取周朝天下的意思(见《左传·宣公三年》

    为什么会变成秦国,晒昏头了么

  14. woh说道:

    三个枪手那个明显不对!第一轮丙肯定活,但甲乙肯定也有一个活的,第二轮的话就又成了丙存活率最低的了

    • leviathan说道:

      第一轮甲乙都死了好吧

    • Barrin说道:

      甲活过第一轮的概率=第一轮乙失误*第一轮丙失误=40%*60%=24%
      乙活过第一轮的概率=第一轮甲失误*第一轮丙失误=20%*60=12%
      丙活过第一轮的概率=100%

      甲活过第二轮的概率=甲活过第一轮*(第一轮乙死+第一轮乙活*第二轮乙失误)*第二轮丙失误=24%*(88%+12%*40%)*60%=
      13.3632%
      乙活过第二轮的概率=乙活过第一轮*(第一轮甲死+第一轮甲活*第二轮甲失误)*第二轮丙失误=12%*(76%+24%*20%)*60%=5.8176%
      丙活过第二轮的概率=100%-第一轮甲活*第一轮乙死*第二轮甲命中-第一轮乙活*第一轮甲死*第二轮乙命中=100%-24%*88%*80%-12%*76%*60%=77.632%

      • Barrin说道:

        写错了 第一轮乙的生存率是20% 不该*丙的命中 晕了

        • Barrin说道:

          但甲乙第一轮全死的概率是76%*80%=60.8% ,即是说枪法最差的丙只要随便向甲开一枪就有超过一半的可能性成为最后的胜家,这……还真是不甘心啊。

  15. boy说道:

    如果加入奖励机制,比如一个火枪手杀死另一个后可以获得奖励,那谁最弱小就谁先死。三国杀就是这样

  16. lililili说道:

    秦国在商鞅变法之前,实力平平?
    从哪得出的结论?

    • 白鸦说道:

      秦国在商鞅变法之前相当于偏远山区的一群养马的,又没文化又没实力,诸侯的地位都是因为替周王养马才勉强获得的,实力比其他六国差了一大截,唯一的优势就是有战略纵深所以后来才能发展起来

  17. wuzexuan说道:

    要是最后三个火枪手都学聪明了,都不开枪,于是就蹲到平了。。。

  18. Herry说道:

    现实中一定会有很多变数,因为有可能没那么公平大家都傻傻的同时开,还有就是即使是同时也有快慢,加上如果你遇到的是有串谋的人,那么很可能有一个人死得很惨!

  19. hawky说道:

    这个游戏里没有考虑到受伤的因素。如果只有被击中打死和未被击中两种可能,则丙无论成为最后的赢家的概率并不是最大的。因为甲乙互射,除非两者互相射中对方,这个概率是48%,甲乙只要有一个活下来,和丙的决斗中,丙存活的概率都是最低的。所以丙存活最高的概率的情况只存在于第一轮。这个游戏的规则没有描述好(或者说数学建模没有建好),结论给得太草率。如果考虑到互射受伤和实力受损的情况,就是“隔山观虎斗”和“二桃杀三士”。

  20. tang说道:

    三国杀中 内奸就是丙 但是实际上内奸的胜率是最低的 比反贼 ,忠臣与主公的胜率低好多

    • boy说道:

      三国杀变数太多,而且内奸对忠臣,反贼,主公都不利。可以说是威胁最大的一个,不杀他杀谁

  21. 梧桐清声说道:

    三个火枪手用的是剑哎,谁翻成的这个名

  22. 扯淡说道:

    文中的推论太想当然了。齐国帮周王击退秦国那段,齐国的兵是怎么到洛阳的?那九鼎不会跟着他的兵撤回去么

  23. bin说道:

    战国里面,秦国地势的因素也得考虑进去吧。

  24. 王敬贤说道:

    涨知识了!

  25. hzh说道:

    大英帝国说:拉着老三打老二,才能确立一个世界性的帝国···

  26. 朱飞扬说道:

    甲:0% 乙:20% 丙:100%

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