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很多俗语,其实都是人们对经验的概括。它们未必很准确,却总是有些道理。如果我们尝试数学的眼光去分析这些俗语,又会得到什么结果呢?

上得山多终遇虎

靠山吃山靠水吃水,住在山边的人,馋了上山打猎,病了上山采药,总之是经常与大自然亲密接触。但是,在古代,环境还没有被破坏得这么厉害,山上有老虎是常有的事。尽管一只老虎的领地可达数平方公里,它也不是天天在领地闲逛,所以上山打一次猎遇到老虎的概率也不高。但对于那些天天上山打猎的老猎人来说,在职业生涯中一次老虎都没有遇到过,倒是件稀有的事。所谓“上得山多终遇虎”,大概就是指的这种情况。

假设猎人每次上山打猎,遇到老虎的概率是p,也就是说遇不到老虎的概率是1-p。那么,在m次打猎中,每次都没有遇到过老虎的概率就是(1-p)^m。只要有可能遇到老虎,相当于说p>0,当m越来越大时,(1-p)^m就越来越小,趋向于0,也就是说,尽管每次倒霉遇上老虎的概率不高,但如果每天都去打猎的话,总有一天会倒霉的。

可能有人会反过来想:我每次买彩票,中头奖的概率不是0,那么,总有一天我会中头奖的。这种想法既对又不对,理论上来说,的确一直买下去的话总有一天会中奖,但是大概要买多少遍才会中头奖呢?以36选7为例,中头奖的概率是1/C(36,7),所以大概要买C(36,7)期会有一期中头奖,那是大概八百万期,也就是大概两万年。两万年后,福彩是否存在还是个问题。

而对于猎人来说,每次上山遇虎的概率显然没有那么低。要是听到虎啸也算遇虎的话,千分之一应该算是一个不错的估算。这样算来,大概打一千次猎就会有一次遇到老虎,对于经常上山的猎人来说大概十多年就有这个数了,难怪“上得山多终遇虎”。

现在环境破坏得严重,要“遇虎“,大概只能到动物园去了,山里反倒非常安全。“盛世出猛虎”之类的,只能是笑话了。

坐吃山空

“坐吃山空”,大概是告诫那些只愿吃闲饭不愿干活的人,无论家里有多少钱,总有一天要吃光的。

在忽略货币变化的前提下,假设家里的存款是M,一顿饭只需要花费m,这些存款也只能支撑M/m顿饭,也就是说是不可能永远吃闲饭吃下去的。

用数学的语言来说,只要m不是0,无论m多么小,将很多同样的m加起来,我们可以得到要多大有多大的数。这种性质叫做实数的阿基米德性质。

利用阿基米德性质,我们能解释0.999...=1的问题。假设p=1-0.999...,如果p不等于0的话,p就是一个正实数。根据阿基米德性质,总存在一个整数M,使得M*p>=1。于是p=1-p=0.999...。然而,这是不可能的,因为1/M总会在小数点后某一位开始非0,导致1-1/M不等于0.999...。这个矛盾表明我们的假设是错误的,也就是说其实0.999...=1。

很多我们常见的数都有阿基米德性质,比如说有理数,实数,复数。当然,对于复数来说,“要多大有多大”就要重新定义了,一般是用它的范数——也就是在复平面上与原点的距离——来定义的。在复数里边,就应该讲是可以得到范数要多大有多大的数。

也有一些数是没有阿基米德性质的,比如说p进数。它们的结构普遍比实数的要复杂得多,也能表达更多的东西。

久赌必输

从来只听过开赌场而富甲一方的,没听过有赌徒能通过赌博而过上幸福生活的,反倒是家破人亡的不计其数。在赌场赌博的话,既有抽头,赌局也是对赌场有利的。说难听点,去赌场赌钱就相当于直接送钱给赌场老板。就算是一对一机会均等的赌局,要是一直赌下去的话,也总有一天会输光的。这就是“久赌必输”。

假设每盘赌局的赌注是1,而赌徒的财产是n。在每盘赌局中,赌徒有1/2的概率赢,有1/2的概率输。那么,如果一直这样赌下去的话,赌徒输光的概率是多少呢?

显然,赌徒的钱越多,输光需要的局数也越多。当赌徒的财产是n时,我们记输光的概率为p(n)。因为每次赌局有一半的可能赢,一半的可能输,赢的时候财产变成n+1,输的时候变成n-1,所以p(n)=(p(n+1)+p(n-1))/2。当n=0的时候,即使不用赌,所有东西都输光了,所以p(0)=1。

所以,p可以看作一个满足下列递推关系的数列:

p(0)=1

p(n+1)=2p(n)-p(n-1),也就是p(n+1)-p(n)=p(n)-p(n-1)

容易验证p(n)=n*p(1)-(n-1)正好符合上面的递推关系。因为p(n)>=0,所以对于任意的n,必定有p(1)>=1-1/n,所以p(1)=1,从而对于所有的n,p(n)=1。在无限次的赌博中,赌徒在某一次赌博中输光的概率是1。

赌徒的赌博轨迹,可以用所谓的马尔可夫链来描述。赌徒的财产作为状态,而每次赌局相当于在这些状态之间转移,赢钱时转移到钱多些的状态,输钱时转移到钱少些的状态。而破产的状态就像个陷阱,是跳不出的,因为已经没有赌本了。如果一条有限的马尔可夫链有这样的“陷阱”状态,而每一个状态都有可能到达“陷阱”的话,在不断的转移中,总有一天会掉到“陷阱”里去。而即使是无限的马尔可夫链,在赌徒和拥有无限本钱的赌场之间,即使是平等的对赌,由于赌徒赌本有限,也总有一天会输光。所谓“久赌必输”,其实说的就是这么一个道理。

本文原发于果壳网(guokr.com)“死理性派主题站”《俗语新解,用数学的眼光看世界

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42 Responses to “俗语新解,用数学的眼光看世界”

  1. 郭钢说道:

    把概率论讲得〞浅入深出〞,这就是新解?

  2. 电驴党说道:

    p(n)=(p(n+1)+p(n-1))/2这个公式不太明白啊。

  3. 郭钢说道:

    楼主假设每盘赌局的赌注是1,而赌徒的财产是n。在每盘赌局中,赌徒有1/2的概率赢,有1/2的概率输。

    这应该是独立事件的概率,结果应该是久赌必平。

    • 黑色南极洲说道:

      我也这样觉得,如果必输,应该是输的时候为了更快地赢回来,加倍后输掉的。
      要不然,把这篇文章的 输 和 赢 对调一下,也一样有道理啊。

      看见数学就犯困。

      • bubu说道:

        不一样,输光了就再无翻身之日,赢了个翻倍还会继续玩下去,这就是赌徒

    • 西瓜刀说道:

      正解

  4. watson说道:

    1. “容易验证p(n)=n*p(1)-(n-1)正好符合上面的递推关系”。如何证明只有唯一解?
    2. 如前面两个例子,一个赌徒的岁月是有限的,如何证明他不需要几万年才会输光?

  5. laoma说道:

    “根据阿基米德性质,总存在一个整数M,使得M*p>=1。于是p=1-p=0.999...。”没有看懂。

  6. dark148说道:

    概率论都忘光了。很喜欢配图

  7. morpheus说道:

    配图不错

  8. 开山说道:

    怎么有一种被忽悠的感觉?

  9. Illusiwind说道:

    给文科生写的文真是很没意思……

  10. jjx874说道:

    在每盘赌局中,赌徒有2/3的概率赢,有1/3的概率输。那么,如果一直这样赌下去的话,赌徒输光的概率是多少呢?

    请贴主分析?

    • watson说道:

      从马尔可夫链来看,“如果一条马尔可夫链有这样的“陷阱”状态,而每一个状态都有可能到达“陷阱”,足够得到结论是100%了。。。
      从概率去算,我也对本文有所疑问

      • hunter说道:

        赌博等价于有单侧吸收壁的随机游动。
        无论每局能赢的概率有多么大,只要赌徒的初始资本有限,输光是必然的。

      • 方弦说道:

        这个结论仅仅对于有限的马尔可夫链成立,我学计算机的,经常忘记世界上还有无限的东西了……已更改……

  11. Lunar说道:

    文中两点问题:
    第一,“于是p=1-p=0.999...。”这句应该是打错了。
    第二,关于最后的一个赌博,作者的本意应该是在赌博全过程中只有输光是一个稳定态,所以当n无穷大时输光这个状态会必然出现。但是这个显然与作者本人刚分析过的“买无穷多彩票必中头奖”说法一样不靠谱。。。
    希望作者谨慎,不要再出现此类低级错误了。

  12. 冷昶说道:

    你说的是赌徒和资产为无穷的赌场对赌的情况。实际上赌场的资本是有限的,赌场输光资本的状态不也是个稳态?假设赌场的资本为m,赌徒的资本为n,两者公平对赌,直到一方输光。最后赌徒赢的概率为n/(m+n),赌场赢的概率为m/(m+n)。实际上赌场的资本远大于赌徒,所以最后输光的总是赌徒。而且实际上赌场和赌徒并不是公平的对赌,赌局的设计总是对赌场稍稍有利的,所以对赌徒来说输也就成了必然。
    当然澳大利亚那些数学家,就算我没说。

  13. jjx874说道:

    还有“范数”的概念,对于复数,用“模”就可以,何必用大学本科都未必接触到的词语?做科普之前先消灭一大块读者,这科普的受众是哪些人?

  14. jjx874说道:

    Plot[(1/10)*((Log[x]/2)^Sin[x]), {x, 16.5, 27}, AspectRatio -> Automatic]

    ………………完全不像嘛

    1/10改成5差不多

  15. abg说道:

    千分之一的概率并不代表1000次就会有一次哦,实际上0.999^1000=0.368,也就是说36.8%的概率上山1000次都碰不到老虎呢

    • Illusiwind说道:

      知道你数学学得好,行了吧?回去补补语文吧……
      “大概打一千次猎就会有一次遇到老虎”,这个意思是平均值懂么?会求期望值么?

  16. jmyhyu说道:

    如果跟李嘉诚 、李兆基这些超级大富翁的资产一样多,想“ 坐吃山空
    ”也是不可能的

    m足够少,M/m能吃很多顿,比方30万顿饭,问题是你一生当中能吃30万顿饭吗?

  17. 王鲲说道:

    文章让我若有所思,数学几乎能解释一切,但是。。。。。。。。。。。。。。最重要的是数学能多大程度上可信与可靠,比如座吃山空这个问题,就存在着分析,100亿元人民币财产,假如你活100岁,换成秒就是30多亿秒,每秒平均花3.3元,一天就花3.3*3600秒*24小时=285120元!!!可能吗?况且你还要睡觉呢!当然,这例子很极端,有几个人有100亿?我只是想说:数学很有用,但存在一定的适用范围,超出范围,数学就无用了。但文章总体很好,支持!

  18. 有点意思说道:

    如果不以输光本钱做为结束赌博的条件,而是以无限记账和自愿离席的机制的话,只要不是最后离开的那个赌徒,都有机会赚的盆满钵满并择机离开。

  19. benjamin说道:

    "当赌徒的财产是n时,我们记输光的概率为p(n)。因为每次赌局有一半的可能赢,一半的可能输,赢的时候财产变成n+1,输的时候变成n-1,所以p(n)=(p(n+1)+p(n-1))/2",这里没太看明白:p(n+1)和p(n-1)分别代表什么?

  20. benjaminwolf说道:

    "当赌徒的财产是n时,我们记输光的概率为p(n)。因为每次赌局有一半的可能赢,一半的可能输,赢的时候财产变成n+1,输的时候变成n-1,所以p(n)=(p(n+1)+p(n-1))/2"这里面没看明白,p(n+1)和p(n-1)分别代表什么?根据对p(n)的定义,它们分别代表“当资产为n+1时输光的概率”和“当资产为n-1时输光的概率”,那它们的算术平均值为什么就成了p(n)?

  21. J说道:

    -“那么,在m次打猎中,每次都没有遇到过老虎的概率就是(1-p)^m。只要有可能遇到老虎,相当于说p>0,当m越来越大时,(1-p)^m就越来越小,趋向于0,也就是说,尽管每次倒霉遇上老虎的概率不高,但如果每天都去打猎的话,总有一天会倒霉的。”----------这种概率是可以累加的么

  22. tiger说道:

    0.999=o.333x3=(1/3)x3=1

  23. 大厨说道:

    本文的阅读门坎高,有些地方看不懂。知识储备不足!

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