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发表于 2012-09-17 06:57 | Tags 标签：, ,

上个周末（本文写于2011年7月6日）去了一趟密苏里州的 St. Louis。这里一百年前还是美国的第四大都市，拜得天独厚的地理条件所赐，是整个美国的水陆交通枢纽。一百年后，这里已经变成了一个乡下小城。它最著名的地标建筑当然是上世纪六十年代建成的 Gateway Arch，是为纪念美国的西部大开发而树立的一座纪念碑，高 192 米，是至今为止全美最高的纪念碑。

【图片来自wiki】

直到到了现场我才意识到它真的非常高，高到看起来有点不自然的程度。而另一个让我到了现场才意识到的问题是，作为这么高的一个拱，要稳定地树立在那里，它的形状不可能是任意弯成的。事实上，它的曲线是在数学上被唯一确定的。我不知道这个事实在建筑从业者中是不是尽人皆知，但是我自己至少此前从来没有想到过。

确切来说，它的曲线一定是悬链线，也就是一根绳子固定两头后自然下垂得到的曲线（当然要经过一个上下反转）。

这个事实可以这样简单的推出：一根悬绳的曲线所满足的数学要求是每个质点所受到的三个力——即左侧和右侧的拉力以及自身的重力——必须刚好平衡。而这样的一个拱要想保持稳定，所需要满足的数学要求则是每一小段所受到的三个力——即左侧和右侧的推力以及自身的重力——必须刚好平衡。容易看出，这两种关系正好相差一个正负号，所以把悬链线翻过来就是拱的曲线。

悬链线早在文艺复兴时代之前就吸引了数学家的注意，伽利略曾经错误地以为悬链线就是抛物线（看起来确实很像），莱布尼茨、惠更斯和伯努利兄弟差不多同时在十七世纪末给出了悬链线的正确数学公式（即双曲余弦函数 cosh）。

【射线出原点交双曲线 x^2-y^2=1 于点 (\cosh\mbox{ }a,\sinh\mbox{ }a)，这里的 a 被称为双曲角，是这条射线、它关于 x 轴的镜像和双曲线之间的面积。图片及图说出处：维基百科】

确切说来，Gateway Arch 的曲线并不是严格的悬链线，因为它的粗细不匀，拱顶的宽度只有两脚的三分之一，所以它相当于把一根粗细不匀的绳子垂成的形状翻转过来。但是数学上它仍然是由双曲余弦函数来刻画的。

我不知道在建筑学上人们是什么时候意识到悬链线可以用来做拱的，似乎是胡克第一个严格指出了这一点，但是显然早在它之前就有更古老的建筑采用悬链线拱了。（不过更多的古代拱门还是半圆形的。悬链线作为数学曲线来说过于精巧，而半圆看起来似乎已经挺稳定了。有更好的解释么？）

本文转载自木遥的博客。

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25 Responses to “拱”

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  1. 神奈七香说道：
    2012-09-17 07:55

    数学好神奇

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  2. BranYang说道：
    2012-09-17 09:06

    这是拱上没有质量时候的情况吧。
    像拱桥那样的情况还跟这个一样么？

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    • 怀璧说道：
      2012-09-17 13:05

      【作为这么高的一个拱，要稳定地树立在那里，它的形状不可能是任意弯成的。】这个结论是错误的，事实上只要有足够强大的材料以及准确的受力分析，任意形状的结构都能建成。目前这个形状只是在只考虑自重的情况下最优化的结构（或者说是最省材料）。
      【每一小段所受到的三个力——即左侧和右侧的推力以及自身的重力——必须刚好平衡】这个说法也有点问题，在分析某一段的受力状态时，要考虑的是两端的压力、剪切力、弯矩以及自重，将这些分解为两个互相垂直的方向（例如水平和垂直方向）的力以及弯矩进行结构设计计算。
      假如设计时考虑的荷载是水平均布于桥上，相当于桥拱的自重平均增加了，桥拱的曲线应该没有变化。
      【我的问题】：如果考虑地震之类的荷载时，该曲线还是最佳的吗？

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      • weridlove说道：
        2012-09-17 16:48

        我觉得你说的对~~~~

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      • 一轮红日说道：
        2012-09-18 09:02

        只要人傻钱多到一定程度，科学规律等神马也可以是浮云，有央视大裤衩为证

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      • chenmao006说道：
        2012-09-18 11:07

        我觉得你说的比较正确。可以用一根钢筋弯成任意形状的放在那里，只要钢筋的强度可以支撑自己重量。悬链线的做用应该是用最少的材料做出这个拱所要的效果。
        如果有负荷的话应该可以把负荷算进去的。

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      • 關山聆月说道：
        2014-01-24 15:35

        感觉你说的对。长知识了。

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  3. 路人甲说道：
    2012-09-17 09:19

    这是在说苏州秋裤？

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  4. 郭钢说道：
    2012-09-17 09:29

    拱在建筑上普遍应用，这个用在记念碑上也是一个出色的成就。

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  5. 不系说道：
    2012-09-17 10:03

    不错 很好奇 所以能分析下三力平衡的模型么？

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  6. robin_ren说道：
    2012-09-17 11:12

    抛物线与坐标轴交点在无限远
    悬链线应该与坐标轴有可见交点吧

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  7. 卡卡西莫多说道：
    2012-09-17 11:39

    好像最近国内哪个地方也在搞这么一个纪念碑嘛

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  8. airportcon说道：
    2012-09-17 13:32

    想起了圣家族大教堂地下室的高迪做的模型...

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  9. 白左说道：
    2012-09-17 22:24

    恩，自平衡这段说得很好，一下子就明白了
    不过考虑到等应力，风载荷，地震载荷等等因素的话，还真不好设计哦
    建筑学果然是数学、艺术和工程的多料学科呀

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    • lwjgxj999说道：
      2012-09-29 11:15

      说的好！
      我感觉，一切自然稳定的东西都蕴含了奇妙的规律

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  10. hannibal说道：
    2012-09-18 08:04

    参见赵州桥

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  11. Illusiwind说道：
    2012-09-18 10:31

    能不能配个正常点的图亲？cosh x分明是(e^x+e^-x)/2，你放那个图根本没人能看懂……有谁能直接从这图里把角度-截距变换成x-y坐标么？……搞笑么。

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  12. 科学松鼠说道：
    2012-09-18 17:17

    作为这么高的一个拱，要稳定地树立在那里，它的形状不可能是任意弯成的……确切来说，它的曲线一定是悬链线。这句话可以是成立的，但是要加上一个限定条件：使用抗压而不抗拉的材料

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  13. 深夜狼说道：
    2012-09-18 19:43

    告诉我我不是一个人想到红色警戒2

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  14. nil说道：
    2012-09-19 17:21

    那岂不是要求从底部到顶部线密度一致。

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  15. Elan说道：
    2012-10-08 19:30

    by Architect Eero Saarinen and structural engineer Hannskarl Bandel. 小沙利宁绝对是艺术与理性上的天才，有兴趣的可以google图片下他别的作品。

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  16. 薛的猫说道：
    2013-02-02 14:56

    圣保罗大教堂的拱顶，三重顶都是悬琏线曲线。

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  17. ZKL说道：
    2013-02-16 09:33

    建材要克服压力和拉力（剪切力），拱顶用石拱替代梁，用受压替代受弯受剪切力。中国历史上石建筑水平和欧洲相差甚远！

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  18. 1step2far说道：
    2013-10-27 00:08

    作为建筑学的人，我总是很自然的用形象思维。。。地上地下做个一体化港结构的椭圆，再把一部分埋到地下不就很稳定了么。。。。

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