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虽然您要寻找的数字有两个, 但您很清楚, 实际上只要找到其中一个就行了。 因为太阳就在天上, 它看起来有多大您早就知道了, 它的真实尺寸越大, 意味着离我们越远, 反之, 真实尺寸越小, 意味着离我们就越近。 这表明, 在太阳的大小和远近这两者之间存在完全确定的关系, 只要知道任何一者, 就可以推算出另外一者。

那么, 在大小和远近这两者之间您该选择哪一者入手呢? 从兴趣上讲, 您也许会对大小更感兴趣, 因为那才是属于太阳本身的性质, 但在实际上, 您却只能从远近入手。 对于普通物体来说, 这两种选择并无多大分别, 只要用一把尺子, 您爱测量哪一个都行。 可惜太阳却并非普通物体, 您无法直接拿一把尺子去测量它的大小。 当然, 您同样也无法直接拿一把尺子去测量它的远近。 但您知道, 测量物体的远近有一种很常用的间接方法, 那就是通过从两个不同的观测点来观测物体, 然后利用观测到的角度差异——即所谓的视角差异——来推算它的远近。 这种被称为三角视差法 (triangulation) 的方法从古至今都是测量远近的重要手段。 事实上, 远在其基本原理被理解之前, 我们的大脑和眼睛就已在本能地采用这种方法了, 我们的大脑正是利用了左右两眼之间的视角差异, 来判断物体远近的[注一]

【三角视差法】

但当您试图用三角视差法来测量太阳的远近时, 却遇到了巨大的麻烦。 三角视差法需要两个观测点, 但您很快就发现, 从您能够走得到的相距无论多远的两个观测点去看太阳, 那视角差异都太小了。 地球表面的弧度, 地形的细微起伏, 乃至您的观测误差都远比您要测量的视角差异大得多。 在这种情况下进行测量, 犹如在惊涛拍岸声中去倾听远处一只水龙头的滴水之声, 您就算长一对兔耳朵也不够用。

怎么办呢? 在哪儿才能找到第二个观测点呢?

您冥思苦想了一整夜。 当黎明的曙光照到您身上时, 您把目光投向了天空。 在那里, 您看到了一轮淡淡的上弦月 (在北半球, 上弦月是指右半边可见的 “半月”)。 看见它, 您心中忽然闪过一片灵光, 激动得几乎要象传说中的阿基米德 (Archimedes, 287BC-212BC) 那样一边裸奔, 一边大叫: “我找到了!”[注二]

是的, 您找到了, 您终于找到了第二个观测点, 那就是月亮!

别紧张, 您没喝酒, 您并不是要到月亮上去观测。 在古希腊时代人们就已知道, 月亮的月相变化并不是月亮本身在变 (在古希腊人眼里, 天上的东西是永恒不变的), 而只是因为阳光从不同角度照射月亮所致。 在刚才看见月亮的一刹那, 您忽然想到, 既然月相是阳光从不同角度照射月亮所致, 那它实际上是在告诉您阳光照射月亮的方向, 从而也就是太阳相对于月亮的方向。 利用这一点, 您无需登上月亮就可以推算出从月亮上看太阳的角度, 这等于是为您提供了第二个观测点。
特别是, 当您看到的月亮恰好是上弦月时, 您的视线方向与阳光照射月亮的方向正好是垂直的 (如左图所示)。 这时候如果您记录下太阳的方向, 那么它与月亮方向的夹角的一边是月亮到地球的距离, 另一边则是太阳到地球的距离, 而它的一个邻角恰好是直角。 这样简单的三角关系对于即将跻身古希腊先贤行列的您来说无疑是小菜一碟, 那两个距离的比值就等于那个夹角的余弦值 (cosine)。 事实上您还知道, 那个夹角的余弦值不仅给出那两个距离的比值, 而且还给出了月亮直径与太阳直径的比值。 之所以如此, 是因为在太阳和月亮之间存在一个美妙的巧合, 那就是它们看起来几乎是一样大的[注三]。 对于两个看起来一样大的天体, 它们与我们距离的比值显然就等于它们直径的比值。

【太阳、 地球与上弦月的相对方位】

看来那个夹角很重要, 但它究竟是多少呢? 那就得靠观测了。 不幸的是, 那是一个难度很大的观测, 因为那个夹角非常接近 90°, 接近到了让您无法分辨的程度。 而且在那个夹角如此接近 90° 的情况下, 一些在古希腊时代不为人知的因素, 比如地球大气对阳光的折射, 将足以对结果造成不可忽视的干扰 (感兴趣的读者请想一想, 那种影响会使观测到的太阳距离偏大还是偏小?)。 但不管怎么说, 您的方法是正确的, 并且即便在当时也有一定的可行性。 如果现代人用您的方法来做观测并扣除干扰的话, 将会发现那个夹角在 89°51' 到 89°52' 之间, 由此得出的结论将是太阳的直径约为月亮直径的 400 倍, 或者等价地, 太阳与我们的距离约为月亮与我们距离的 400 倍[注四]

这个结果无疑是漂亮的, 但与您所要的答案仍有差距, 因为它只是把有关太阳的数字和有关月亮的数字联系在了一起, 除非您有办法知道有关月亮的数字, 它并不能提供您所要的答案。 那么, 您有办法知道有关月亮的数字——即月亮的大小或月亮离我们的远近 (这两个数字您也只要知道其中一个就行了)——吗? 答案是肯定的。

在常年的天文观测中, 您和其他古希腊先贤们一样, 已经知道月食是由于地球挡住了射向月亮的太阳光所致。 您并且还注意到, 当地球的影子——确切地说是本影 (umbra), 即完全阻隔阳光的那部分影子——“蚕食” 月亮时, 影子的边缘是圆弧状的 (这是最早使人推测地球为球形的现象之一)。 您很快就想到, 通过对比影子边缘的形状与月亮本身的形状, 您就可以估计出地球影子与月亮的相对大小。 不过, 这种方法实践起来并不容易, 因为地球的影子投射在球状的月亮上并不是一个很简单的几何问题。 您想到的一个更好的方法, 是对月亮进入地球影子与它穿过地球影子所花的时间进行比较。 在前一段时间里, 月亮移动的距离等于它自己的直径, 在后一段时间里, 它移动的距离等于地球影子的直径。 因此这两个时间的比值就等于月亮与地球影子的直径之比 (当然, 这种办法必须要在月亮恰好从地球影子正中间穿过的那种特殊的月食下才能得到可靠的结果)。

【测定月亮与地球的相对大小】

如果您进行了那样的测量, 您也许会得到一个很接近正确的结果, 即地球影子的直径约为月亮直径的 2.66 倍[注五]。 当然, 这个地球影子的直径是指地球影子在月亮轨道附近的直径, 它——如图所示——要比地球本身的直径来得小。 到底小多少呢? 几乎恰好小了相当于一个月亮直径的大小 (这个结果不是偶然的, 感兴趣的读者可以结合太阳比地球大得多, 以及太阳和月亮看起来几乎一样大这两点来自行证明一下)。 把这个因素考虑在内, 您就得到了另一个重要结果: 地球的直径约为月亮直径的 3.66 倍

将这个结果与前面的结果联系在一起, 您就发现了太阳的直径约为地球直径的 109 倍。 这个结果意味着太阳是一个庞然大物, 在它肚子里可以装下 130 万个地球——顺便说一下, 那是指剁碎了装, 如果要问最多能装多少个完整的地球, 那可就变成一道著名的数学难题了[注六]

就象接力一样, 您先把有关太阳的数字与有关月亮的数字联系起来, 现在又进一步将它与地球的直径挂上了钩。 凭借几何与推理的力量, 一个天文问题已被您转变成了地理问题。 但问题是, 地球虽然就踩在您的脚底下, 它的直径却仍然不是可以拿尺去测量的。 事实上, 在古希腊时代, 多数人一生的活动都局限在几公里的范围内, 对他们来说, 地平线以外的东西就象天边一样遥远。 更不用说地球表面的大部分地区被当时还从未有人探索过的汪洋大海所覆盖。

不过您当然不是普通的古希腊人, 您总是有办法的。

在所有使人推测地球是球形的天文现象中, 除了前面提到的月食时地球影子的边缘形状为弧形外, 还有一个很重要的现象, 那就是不同纬度的人看到的星空是不一样的。 具体地说, 那些熟悉的星星或星座在不同的纬度上看时, 与天顶的夹角是不一样的 (请读者想一想, 为什么我们只提纬度而不提经度?)。 不仅星星如此, 太阳也一样。 住在北回归线附近的人大都知道, 盛夏正午的太阳是位于天顶正中央的 (证据是阳光能直射到垂直深井的底部), 而住在北回归线以北的您却发现盛夏正午的太阳是在天顶偏南方向的, 具体偏南的角度可以用一根立在地上的垂直杆的投影来计算。 这个角度占整个圆周的比例显然就等于您与北回归线的距离 (这对您来说是可以测量的) 占整个地球周长的比例。 由此您就可以计算出地球的周长和直径。 经过这样的测量和计算, 您发现地球的直径约为 12740 公里 (当然, 这是改用后世的距离单位来表示了)[注七]

【测量地球的大小】

这样, 您就完成了一个漂亮的 “三步走战略”: 先从太阳到月亮, 再从月亮到地球, 最后归结到地面上的两个地点, 步步相连, 环环相扣。 将这些环节联系在一起, 您就得到了有关太阳的第一个数字: 太阳的直径约为 139 万公里。 由此您当然也可以推算出另一个数字: 太阳离地球约有 1.5 亿公里 (感兴趣的读者可以用 [注三] 提供的数据自行推算一下)。 如果您愿意, 您还可以写下有关月亮的两个数字: 月亮的直径约为 3500 公里, 它离地球约为 38 万公里 (更精确的数字是 384400 公里)[注八]

站在我们这个小小星球上, 居然能推算出如此遥远天体的性质, 这是一件奇妙的事情。 在我们太阳故事的其它章节中, 在后来的科学发展史上, 这样奇妙的事情还将一再发生。 事实上, 直到今天为止, 除少数飞往过月球, 或在近地轨道上生活过的宇航员外, 几乎所有人的足迹都从未离开过我们这个小小的星球 (包括大气层), 但我们却对越来越广阔的外部世界有了越来越精密的了解。 这种能力就是智慧。 当然, 我们在这里替您稍稍粉饰了一下, 限于当时的观测条件, 您在数值上是不可能得到象上面那样接近正确的结果的。 但对于那个时代来说, 最重要的不是数值, 而是方法, 那一系列精巧的方法足以使您当之无愧地跻身于人类最伟大的先贤之列, 永载史册。

您的古希腊虚拟人生兼自助游到这里就结束了, 但我们的太阳故事才刚刚开始。 接下来, 我们将追随历史的足印去探究另外一些重要问题: 比如那个肚子里能装下一百多万个地球的庞然大物究竟是什么? 它真的是在围绕小小的地球转动吗? 再往后, 我们还将一起去探究许许多多更现代、 更奇妙、 当然也更困难的问题。

注释

  1. 不仅人类如此, 就连某些无法直接利用双眼视差的动物, 比如鸽子, 也会通过移动自己的脑袋来造成不同的视角, 进而判断物体的远近 (鸽子虽有两只眼睛, 但视野并不重叠, 从而不能象人类一样直接利用两只眼睛的视角差异, 而只能采用移动脑袋这样的 “下策”)。
  2. 传说阿基米德受国王所托, 要鉴定一顶皇冠是否被掺了杂物。 他苦思良久, 最终在洗澡时悟出了用浮力进行鉴定的方法, 欣喜若狂的他连衣服都没穿就冲出浴室大喊: “我找到了!” 这个故事并未被记录在阿基米德著作之中, 它的真实性后来引起了一些有趣的争议。
  3. 确切地讲, 由于地球绕太阳和月亮绕地球的公转轨道都是椭圆, 太阳和月亮看起来的大小都不是不变的。 其中太阳的角直径最小时为 31'27.7", 最大时为 32'31.9", 平均为 31'59.3"; 月亮的角直径最小时为 29'23.0", 最大时为 33'31.8", 平均为 31'05.3"。 我们在后文中将会看到, 月亮的角直径有时比太阳大, 有时又比太阳小这一特点对于日食的种类有着很重要的影响。
  4. 在历史上, 古希腊先贤阿里斯塔克斯 (Aristarchus, 310BC-230BC) 曾经用这种方法进行过测量。 他估计出那个夹角为 87°, 与实际数值只相差不到 3°。 可惜对于这种很接近 90° 的角度来说, 哪怕只相差 1° 也足以造成很大的误差。 阿里斯塔克斯估算出的太阳直径只有月亮直径的 18-20 倍。
  5. 在历史上, 这个方法也同样被阿里斯塔克斯采用过, 他估计出的地球影子直径约为月亮直径的两倍, 由此得到的太阳直径约为地球直径的 7 倍。 这个结果虽然误差极大, 但——如我们在下节 中将会提到的——仍给了阿里斯塔克斯一个很重要并且很正确的启示。 阿里斯塔克斯之后的其他先贤们对地球影子的直径给出了更好的估计, 比如喜帕恰斯 (Hipparchus, 190BC-120BC) 给出的估计为月亮直径的 2.5 倍; 托勒密 (Ptolemy, 90-168) 给出的估计为月亮直径的 2.6 倍。
  6. 这个数学问题被称为 “开普勒猜想” (Kepler Conjecture), 是一个著名的数学难题。 1998 年, 美国数学家黑尔斯 (Thomas Hales, 1958 -) 发表了一个长达 250 页, 并且需要计算机辅助的证明, 但该证明迄今尚未得到数学界的公认。
  7. 在历史上, 古希腊先贤埃拉托斯特尼 (Eratosthenes, 276BC-195BC) 曾经用这种方法估算过地球的周长。 插图中那两个城市 (即 Syene 和 Alexandria, 纬度分别为 24°05N 和 31°02N) 就是埃拉托斯特尼所选的观测点。 由于史学界对埃拉托斯特尼所用的距离单位尚有争议, 今天我们尚无法确切知道他的估算结果, 但一般认为是在 39690 公里到 46620 公里之间 (相应的直径在 12630 公里到 14840 公里之间)。
  8. 有意思的是, 月亮的存在对于上述推理具有极大的重要性。 事实上, 如果没有月亮, 人类科学的很多早期探索都会遇到额外的困难。

二零一零年一月二十四日写于纽约
二零一零年一月二十五日发表于本站

http://www.changhai.org/

太阳的故事

(本文授权转载于卢昌海老师的个人博客,欲再转载者请联系原作者)

题图出处:http://tech.enorth.com.cn

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12 Responses to “太阳的故事(二)天文自助游 推算太阳的大小和远近”

  1. 谢鹏说道:

    复杂计算

  2. 虫子说道:

    开普勒猜想用纯数学计算很困难是没错
    可是现今用计算机模拟应当不是多大的难事啊

  3. Illusiwind说道:

    把地球剁碎了。
    然后扔进太阳里。

  4. 1说道:

    建造一个内径1.09米的球,再往里填充1厘米直径的小球,看最多能装多少个不就好了吗

    • 游识猷说道:

      这样得出的是“能装下多少”,无法确认那就是极大值。

  5. 明明说道:

    期待~

  6. 荆凯说道:

    看完这两篇文章很感动,人是那么渺小,同时又是那么伟大。文章很精彩。

  7. flash6说道:

    非常敬佩那些先贤们,几千年前就有这样的智慧。

  8. 婕妤见弃湿纨素说道:

    想知道 α 角具体怎么观测 还有 就是为什么 地球的直径是月球的3.66倍?

  9. 张盈说道:

    受到一些启发,很多事情我们都到外面去找原因,其实解决问题的实质在了解自己。关键是要变的聪明一些。

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