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“三角形的内角和是……”孔老师话音刚落,我们就异口同声地接着说:“180度!”

“把一个三角形切成两个小三角形,每个三角形的内角和是……”孔老师连忙换了一道带“迷彩”的题,哼哼,想骗我们上当?

“还是180度。”全班同学没有一个掉进孔老师布下的陷阱。

“一个四边形的内角和?”

“切成2个三角形,360度!”

“五边形的内角和?”

“3个三角形,540度!”同学们答题的速度和孔老师出题一样快。

“哎呀,你们今天怎么一个个都这么厉害呀?哦,想让我在这个长假里不要布置家庭作业?记起来了,我昨天是答应过你们,今天答题全对的话,就让你们痛痛快快地玩一周。”孔老师这才发现,原来今天弟子们是有备而来呀,“好吧,最后一个问题,六边形的外角和是?”

“4个三角形,720度……哎呀,不对,孔老师,你赖皮!书上讲的是内角和,怎么考起外角和来了?”同学们纷纷抗议这种“额外增加学生负担”的可恶行为。

“大难题才能给大奖品嘛,其实这个问题啊,不难哦,多边形的外角和,更有规律呢。”孔老师顺手在沙盘上画起来。

“瞧,这就是六边形的外角。想当年我周游列国,走过卫、曹、宋、郑、陈、蔡六国,嗯,楚国我只在边境转了转,不算在内。把走过的路线连起来,也是个六边形啊!每次转过的角度,就是外角……嗯,不能再多说了。”孔老师拍拍手上的沙子,站起来凝望着远方,仿佛想起了那些为理想奔波的岁月。

收回目光,他环顾了弟子们一圈,继续说:“这样吧,我请子路、子卢和宰予来做个实践活动,你们三个从学校出发,在平原上沿直线走六条直线,正好走出个任意六边形。以一天为限,回来后如果你们中有人想出了多边形外角和的规律,那咱们班这个长假的作业就全免了。”

还没等我们三人表态,班上的同学们就纷纷围上来,表达期待之情。

“你们三人快出发吧,抽屉里的点心我会帮你吃的。”

“一人苦行,全班受益啊。”

“听说一边走一边用木棍敲头,常常会有灵感迸发。”

“就拿班上的扫把敲吧,做卫生我只要用手就行了,千万千万不要感动,这都是我们应该做的。”

就这样,在同学们的七嘴八舌加九手十脚中,我们三人走出了校门,开始了“多边形外角和探索之旅”。子路一边还跟我们探讨:“送别的同学共九个,这多出来的一脚是怎么回事?”

“不是有一脚踹在我们屁股上吗?那就是传说中的临门一脚嘛。”

“哦。”子路点点头,明白了。

看看树梢上幸灾乐祸的乌鸦,宰予提议:“我看咱们三人还是分开行动,免得互相影响。只要有人想到规律,就成功了,也算对得起同学们的‘热情’。”

和子路、宰予分手后,我一路目不斜视,沿着正北的方向往前走,当然这样的结果是好几次差点儿掉进井里。估计着走出好长一段路了,我想要是再不拐弯,恐怕要走到传说中的北冥国去了。于是立定脚步,把刚才走的方向认真地画出直线来,再小心翼翼地转了一个角度,这下我朝向东北了。我从背上的包裹里解出量角的木架,然后蹲下来,量出新旧两个方向之间的角度来,“嗯,是25度,不算大。”

我正要继续向前走去。隐约听到街道拐角有人在说:“咦,刚才这个怪怪的年轻人好像在地上写了些什么,该不会是敌国派来的间谍吧?我们要不要报告国君?”

“哎呀,要被抓了去就要解释上半天,可就误事了。”我不由得加快了脚步。

“瞧,越跑越快,果然心里有鬼!”

这下可糟了,我狂奔起来……

一天过得很快,夕阳西斜了,我也拖着疲惫的脚步重回到了教室门口。我吃力地蹲下来,量出最后一个角度,“38度”。

“嗯,就缺这个了,现在全加起来。啊!正好是360度!”突然,一个灵光在我的脑海中闪过,“其实,不管我转的是几条边,总的来看,我都是转了一圈。今天上午我出门时面朝正北,现在,又是脸朝正北,这不正好是一圈360度吗?结论很明显!无论几边形,外角的和都是360度!”

“我发现了!”全身的劳累一下子消失得无影无踪,我快乐地喊着,跑进杏林。

“你这根本是特殊的六边形嘛,正六边形,不符合要求啊。”一听声音就是学习最严谨的曾参。我们一致认为,要是孔老师让他去买鸡蛋,他可能还要问问是买公鸡蛋还是母鸡蛋。

“正六边形也是六边形嘛,每个内角都是120度,每个外角就是60度,六个外角一共是360度。”原来一向莽撞的子路今天却选了个投机取巧的办法,走个正六边形,得出了与我一样的结论。

当然,大家对我的结论更加认可,颜回还夸奖说“外角和就是转个圈圈,子卢的话我一下子就记住了。”

同学们正期待着孔老师宣布“没有作业”,他却微微一笑,说:“我觉得你们听听宰予的话可能更有收获,我发现他早就回来了,正躺在河边草坡上乘凉呢。”

话音刚落,宰予就从树后闪出身影来,看他神闲气定,完全不象我和子路风尘仆仆满脸泥土的样子。宰予先是不好意思地对孔老师说:“原来老师您早就知道了。”然后转对我们说:“其实刚出门没多远,我就突然明白了,就回来了。”

“啊?那孔老师要你走的任意六边形呢?”这些质问的同学,可能是要为我和子路两个可怜的“土人”打抱不平吧?

“对啊,孔老师只说要走六边形,又没说走多大,我想走一个很小很小的六边形,难道不行吗?甚至走一个小到只有一个点的六边形,难道不行吗?这时看看图就明白外角和的规律了。”宰予的口才那可是一流的。

“啊!这不是成周角了吗?”同学们惊叹着。

“对,而且不管是几边形,小成一个点的时候,外角和都是一个周角,在图上看起来只不过多几条射线而已。其实和子卢的一样,也是转圈圈,只不过这个圈比较小而已。”宰予冲着我挤挤眼睛,我心悦诚服。

“很好,子路、子卢和宰予三个人的思路和做法,在解决问题的时候各有巧妙之处,都很管用。放假期间就好好琢磨吧,当然,这不算作业。假期的作业是——没有作业。”

“嘢!”孔老师的话让这个假期变得特别美好了,但我想,我真的要用这个假期好好琢磨琢磨。

数学点睛:子路用特殊来证明一般,虽然不够严密,但是可以启发思路。当子卢从整体来观察数据时,他就发现了多边形外角和的真正规律——无论多少边形,求外角和都是转一个圈,是360度。最棒的是宰予从极端的情况来思考,使得数学变得既有趣,又似乎很容易哦。

 

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16 Responses to “[少儿科普]孔子和弟子们的数学课——转个圈圈”

  1. tumuyan说道:

    ”不是有一脚踹在我们屁股上吗?那就是传说中的临门一脚嘛“

    好H好暴力哟!

  2. 厦门摄影说道:

    同意楼上说的,不错

  3. 官场笔记说道:

    哈 ~~~~~~~~~~~~~~~~~·

  4. 100说道:

    哈哈,有意思~~~~

  5. 王一说道:

    赞~ 不过外角和那个,严格说得加个“凸”字吧

  6. 卡卡西莫多说道:

    内角和的极限那么就是转一个圈,每个角都是180.,n边形内角和就是180n?n取无穷
    N边形可以切成n-2三角形 内角和是(n-2)180 n取大于等于3
    求给力分析 求教育

    • aaa说道:

      无穷大不是一个具体的数字,所以你比较无穷大和无穷大减去2是没有意义的。

  7. X工厂说道:

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  8. zuiazuia说道:

    “三角形的内角和是……”孔老师话音刚落,我们就异口同声地接着说:“180度!”

    “把一个三角形切成两个小三角形,每个三角形的内角和是……”孔老师连忙换了一道带“迷彩”的题,哼哼,想骗我们上当?

  9. 可米西儿说道:

    内容真巧妙,图也可爱!喜欢。
    为了回复,终于想起了登陆的密码,耶~耶~

  10. 拓步ERP软件说道:

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  11. hanry2009说道:

    佩服luscky老师的数学素养!

    • luscky说道:

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  12. luscky说道:

    谢谢,此系列已经结集成《论数:孔子与弟子们的趣味数学课》一书。羞涩预售中:卓越网:http://t.cn/zWMSlta;京东网:http://t.cn/zWMSltS

  13. 7月飞雪说道:

    《论数:孔子和弟子们的趣味数学课》出版杂记

    一个较偶然的机会,在网上看到了卢声怡老师的几篇趣味数学课的文章,当时贴出的还仅仅十来篇,一口气读完,不禁拍手叫好!
    出于职业的敏感,我马上断定文章作者必定是一位教龄至少十几年的数学老师,并可能是一位小学数学学科的优秀教研员。(此前,湖南科学技术出版社组织编写了一套小学科学的义务教育课程标准教科书,于2004、2005年获得国家教育部审查通过。笔者有幸参与了教材的编写乃至部分执行主编的工作,该教材的教研、培训以及最近开始的修订等工作一直是本人主要负责,直接间接参与课堂的教学、设计,听课、评课、讲座也着实不少)
    学生是学习的主体,教师则在学习过程中起着极其重要的主导作用。新课改伊始,有人过分强调学生的主体探究作用,提出了“要过程不要结果”的极端说法,一度在小学教育教学界比较盛行,导致不少教师不知所措,几乎放弃了主导作用。殊不知,牢牢把握住孩子的认知思维,保持和提高学生学习的兴趣动力,才是至关重要的!教师(孩子回家后面对的家长)最重要的作用就体现在如何精心设置好学习情境,引导孩子参与学习过程。通过这个过程,孩子可以达到很好的学习效果!

    还是用本书中的一个案例说话吧。“举起脚来”一篇(见https://songshuhui.net/archives/5989),孔子带弟子们在乡村的情景中,提出一个问题“鸡和狗一共25只,共有脚56只,问鸡狗各几只?”作者通过孔老师,用生动直观、容易理解又让极富趣味的“另类思路”带领孩子很好的解决了这个问题——通过想像,命令所有的鸡和狗都举起一只脚来,再次用头脑的想象,让它们又再举起一只脚。发现至此鸡和狗一共举起了25×2=50只脚,而仍站着的脚共有56 – 50 =6只,并且都是狗剩下的两只脚站立状态,则得到狗有6÷2=3只,鸡有25 – 3 =22只──相信读了这一章节的孩子,在极大的兴趣之下,永远都不会忘记这个解题的方法,以及数学方法的开拓!并且在老师的引导下,对于以后初中学习二元一次方程组的消元法,能唤醒回忆,并理解贯通。

    还算顺利地联系上了有着20年一线小学数学学科教龄的卢声怡老师,一开始他似乎有点惊讶我何以能断定他一定是一位数学学科的教研员(事实上也的确是)。其实并不奇怪,一个优秀的教师,就是“精心设置和利用好一个学习的过程,让学生通过这个过程达到很好的学习效果”。而作为教研员,最主要的工作就是教学研究,也就是帮助和指导老师提高设计和实现这个由教师主导教学、由学生主体的学习过程的能力。从当时网上还不多的十来篇文章,我已经完全感受到卢声怡老师的独到匠心和在教学研究方面的深深造诣。
    出于对小学阶段教学研究的相当趋同的理念,甚至可以说是一拍即合吧,很快与卢声怡老师达成了此系列趣味数学课的整理、丰富,结集出版的合作意向。

    不想,在出版社方面的选题申报和讨论中,却遇到了一些障碍,而这些不同意见与目前网络上一些网友的类似。
    书中用的是孔子,而孔子似乎比较“师道尊严”,作为小孩子恐怕比较距离远了点,接受程度难以预料。不如换成目前儿童趣味读物中的马小跳、孙悟空、x探长、柯南……
    孔子的那帮学生,子路、子卢、冉有、颜回……,孩子们就更不熟悉了。不如换成童话故事中的小兔、小猴、小龟……
    古人教学对话的语言和场景,与今天的时代大大不同。
    书中的某些章节,与历史不符。如“无米之炊”还是出自宋•陆游《老学庵笔记》,“指数为马”则是出自齐国孙膑策划的田忌赛马,这些都移植到了孔子身上不妥。
    ……
    对此,我和作者卢声怡老师的看法是完全一致的:

    本书的定位,不仅是童话故事,也不仅仅是趣味数学,更是与学生的课堂学生紧密结合的——趣味学习辅导读物。亦可作为学生自学、家长辅导、教师教学的工具。那些出于数学教育业外人士之手的趣味数学、童话故事,《马小跳玩数学》、《数学西游记》等等,不能作为完全意义上的本书同类书,大概仅仅在排版插图文字方面的有参考意义。
    目前少儿趣味读物的现状:
    家长的烦恼:孩子的数学成绩不好,没兴趣。书店里面孩子的漫画童话不少,也有一些孩子的数学漫画童话书。买了不少给孩子,对学习的帮助效果却不大。
    教师的烦恼:学生的学习兴趣不高,教学手段单调乏味,对自已的课堂教学缺乏想像力。
    学生的烦恼:看了家长和自己挑选的不少数学漫画书,只记住了漫画人物和童话故事,其他的没印象。
    而本书完全出自于孩子相应阶段的数学学习内容,符合《基础教育数学课程标准》,可以说在国内第一次体现了三贴近原则:贴近学生学习,贴近教师教学,贴近家长辅导,此三贴近是市场上其他少儿数学书所无法比拟的。在童话故事充斥市场的情况下,完全不同于马小跳、孙悟空、X探长、柯南,以及小兔、小猴、小龟等形像的一群从古代“穿越”而来的师生,相信更能以其特色,吸引孩子们的眼球。

    本书用孔子和他的弟子们为人物,用现代的校园故事为形式,讲解数学难题和趣题,更着力在故事中呈现数学思想方法和数学之美,做到妙趣横生,让孩子亲近数学、喜爱数学,从而轻轻松松学数学。
    孩子们认识孔子和他的那些名字似乎有点古怪的学生,完全不是问题──他们与当今的小学生并没有很远的距离。作者与本人都是多年浸淫小学教育的人,本人还主持或参与了七八个大型的全国小学科学教研QQ群,经调查了解到目前全国小学中开展的“经典诵读”活动,小学阶段的语文教材、教辅等对孔子、《论语》也都有相关的介绍内容。
    其实,即使是历史上的孔子,也完全不是一些人想象的呆板酸腐的人!孔子讲究有教无类、因材施教,其教学更包括“礼、乐、射、御、书、数”,所传承的内容蕴含丰富,教学思想与我们今天强调的探究性学习、教与学方式的改革是完全相通的。
    在作者笔下,孔子成了现代的老师,弟子们也成了现代的学生们,作者行文风格和语言文字贴近儿童校园生活、风趣幽默,书中的师生交流场景甚至就是来自于孩子们所熟悉的现代课堂,一些章节的原型更出自于作者本人妙趣横生的实际教学。而书中的子路、子卢、颜回、冉有等弟子,他们有的聪明,有的好学,有的骄傲,有的憨直,有的天真,有的勤奋,有的懒惰……孩子们完全能在书中找到自己和同学小伙伴的影子!
    另外,我们还特别邀请了王烯担纲本书的美术设计。王烯曾承接了我社的国版小学科学教材的美术插图和版式设计,受到了广泛的好评。本书的美术设计,人物造型性格鲜明,活波有趣,很好地体现了原作的思想。通过与编辑和作者共同频繁地精心交流、打磨,美术设计甚至在某种程度上对本书是一种补充和升华。图书推出后,获得了广泛的赞誉。
    作者凭借一个优秀的一线名师、教研员的经验和身份,精心设计和撰写书稿,实在是匠心独运的。笔者曾在本书出版前亲自做过一个测试:把打印的30篇书稿交给一个小学4年级的孩子,她竟然爱不释手地在一个下午一口气读完了,并且还不时爆发出一阵阵开心的笑声,而随后的出题测试表明她非常轻松地理解和掌握了相关的数学问题和方法。

    至于书中有些地方借鉴和移植了部分历史和典故,实则是“剧情和教学场景”的需要,实在没有必要太较真了。
    当今社会,打开电视,粗制滥造的新编历史剧、戏说这个戏说戏说那个,比比皆是。而这种戏说则确实是较多有害的。
    但是图书中合理地借鉴乃至重构的成功案例也的确不少。例如《水煮三国》,为了把经管问题通俗幽默化,就颠覆了我们心目中正统的三国人物的形象。但是这种颠覆重构,对于这本主题为经管励志类的图书,却是相当成功的。
    例如本书中的“指数为马”,把历史上田忌赛马移植到了孔老师这里,实现的目标:一则是数学的数字化模型思想的渗透,二则是数学的统筹学的初步学习,三则是把生活于数学紧密相联系。这个篇章实际上很好地达成了上述目标。
    学生通过阅读学习这一节,他们所记住的不是到底哪国赢了败了,他们学到并记忆深刻的将是师生交流中渗透着的数学思想和数学方法,甚至也包括文中通过数学所揭示的人生哲理!至于将来他们长大再读到有关田忌赛马的历史故事的时候,相信也能发出会心的一笑。相信在“穿越”“幻想”乃至“魔幻”“玄幻”图书盛行的现在社会,阅读并成长起来的孩子们对文章中的故事情节有足够的接受能力,何况全书开头就已经通过“作者访谈”“出场人物介绍”等对此做了提示。
    本书不是严肃的历史书,全部的主旨和目的就在于帮助孩子“轻轻松松学数学”。为了很好地达到这个目标,也勉强算是“水煮”了一把孔子吧。几千年之前,在杏坛中谈笑风生的师生,难道不是同样营造着一个趣味睿智的课堂么?

    《论数:孔子和弟子们的数学课》 作者:卢声怡
    责任编辑:湖南科学技术出版社 赵龙 2012/10/15

  14. 翁系统说道:

    宰予的算法,首先必须证明任意六边形的外角和均相同这个假设。不过,有了这个假设,怎么算都可以。

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