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作者:贾朝华教授

从哥德巴赫说开去(1)

政治风云

轻松的日子过得快,转眼就过去了一年多。比起他的数学才能来,哥德巴赫与人打交道的能力要更突出一些,因而, 在 1726 年,圣彼得堡科学院院长就向朝廷推荐哥德巴赫, 想让他担任彼得 • 阿列克谢耶维奇 • 罗曼诺夫(1715-1730) 的家庭教师。

小彼得是阿列克谢的独生子,也就是彼得大帝的孙子。他此 时 11 岁,是罗曼诺夫王朝唯一的男性继承人,因此对于他的影响是一件很重要的事情。当时把持朝政的缅希科夫自然 不会放过这样的机会,他指派他的亲信担任小彼得的家庭教师,因而科学院的推荐没有成功。

提到缅希科夫(1673-1729),可以说是一位奇才。他少年时在莫斯科街头以卖馅饼为生,偶遇彼得一世,他的机灵乖 巧很讨彼得的喜欢,因而被彼得收作了勤务兵。缅希科夫随彼得大帝东征西战,由于他的忠诚而深得彼得的信任,因此得以步步高升。虽然缅希科夫没受过多少教育,但却具有罕见的军事能力和行政才干。他曾在多次著名战役中指挥军队,取得辉煌胜利,后来成为第一位俄国大元帅。缅希科夫负责过圣彼得堡的工程建设,他还创办了砖瓦厂、木材加工 厂、盐场、渔场和酿酒厂等诸多企业。

1727 年 5 月,叶卡捷琳娜一世去世,12 岁的小彼得继位, 称彼得二世(1727-1730 在位)。此时的朝政大权仍由缅希科夫把持,但他对于金钱和权力的过分贪婪,招致了很多贵族的极度不满。贵族们策动近卫军,逮捕了缅希科夫, 将他全家流放到西伯利亚的偏僻小镇别留佐夫。两年后, 缅希科夫在那里郁闷地死去。苏里科夫的历史画“缅希科夫在别留佐夫镇”,描绘了在西伯利亚的小木屋里,落寞 的政治家在烛光下,和儿女们一起读圣经的场面。苏里科夫的“近卫军临刑的早晨”、“缅希科夫在别留佐夫镇” 和“女贵族莫洛卓娃”,被称为他的历史画三部曲,都是 令人震撼的杰作。

[《缅希科夫在别留佐夫镇》,苏里科夫,1883年]

缅希科夫一倒台,他指派的家庭教师只得走人。1727 年底, 哥德巴赫再次被推荐,当上了彼得二世的家庭教师。这样, 哥德巴赫的宁静日子就已成过去,他也要经常关心俄国的政治风云了。

就在叶卡捷琳娜一世去世的那一天,欧拉来到了圣彼得堡。 此时的欧拉是一位 20 岁的青年,他是约翰 • 伯努利的学生,也是约翰的儿子丹尼尔的好朋友。丹尼尔得知圣彼得堡科学 院医学部可能还有职位,就马上写信告诉了欧拉。于是,欧 拉一面与科学院联系,一面突击学习生理学,并在巴塞尔大 学旁听了医学讲座。接到了去圣彼得堡的邀请后,欧拉马上 动身,谁知正赶上女沙皇去世,情况有变,医学部的职位没了着落。欧拉感到很绝望,束手无策,幸亏有丹尼尔等人的 帮助,欧拉才进了数学部,给丹尼尔当助手。这样,欧拉有了固定的职位和稳定的收入,就能安下心来做数学研究了。

欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)是瑞士巴塞尔人,他的 父亲是基督教加尔文教派的牧师,曾经听过雅各布 • 伯努利 的课。当时教会势力很大,牧师的社会地位普遍要比科学家高,这和现代的情况很不相同。因此,欧拉的父亲希望欧拉将来作一名牧师,也是顺理成章的事情。

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欧拉 (1707-1783),最伟大的数学家之一

欧拉遵从父亲的意见,进了巴塞尔大学,学习神学和希伯 来语等。然而他在数学课上的卓越表现引起了约翰 • 伯努利 的注意,于是约翰慷慨地每周给欧拉单独辅导一次,在此过 程中欧拉也和丹尼尔有了交往,彼此成了要好的朋友。欧拉17 岁取得硕士学位后,约翰和丹尼尔说服欧拉的父亲,没有让欧拉去作牧师,这实在是数学界的一件幸事。在数学的历史上,人们常常将欧拉与阿基米德、牛顿、高斯并列为最伟大的数学家。

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三大科学巨匠:欧拉、牛顿、爱因斯坦

在欧拉到达圣彼得堡之前的两个月,牛顿在伦敦逝世。按照法国启蒙运动思想家伏尔泰所说, 英国的大人物们争相扛抬牛顿的灵柩,英国人悼念牛顿就像 悼念一位造福于民的国王。诗人亚历山大 • 波普在牛顿的墓志铭上这样写道:“自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜之中。 上帝说:‘让牛顿出世!’于是一切都豁然明朗。”牛顿时代一过去,欧拉时代马上来临。伟大的无产阶级革命导师马克思在“1848 年至 1850 年的法兰西阶级斗争”一文中,援引 18 世纪法国唯物主义哲学家爱尔维修的话说,“每一个社会时代都需要有自己的伟大人物,如果没有这样的人物, 它就要创造出这样的人物来。”按照唯物主义历史观,欧拉的出现具有某种历史的必然性。

由于丹尼尔的关系,哥德巴赫和欧拉很快就熟悉起来了, 涅瓦河畔散步又多了一个伙伴。哥德巴赫比欧拉年长 17 岁, 在那个时代几乎是一代人的差距,哥德巴赫欣赏欧拉的聪 明和勤奋,欧拉钦佩哥德巴赫的见多识广,他们之间是一种忘年之交。

彼得二世上台后不久,缅希科夫就被流放到了西伯利亚, 朝政由一些保守派势力把持。1728 年 2 月初,彼得二世将朝廷从圣彼得堡迁回莫斯科,这是保守派卷土重来的一个标志。2 月底,彼得二世在克里姆林宫举行加冕大典。此时 的圣彼得堡只是名义上的首都,科学院仍在运行,但多少有些冷清。

哥德巴赫作为彼得二世的家庭教师,也跟着来到了莫斯科。 加冕后的彼得二世,还只是个 13 岁的少年,十分贪玩,不 爱学习,也没有能力管理朝政。彼得二世经常带着比他大6 岁的姑姑伊丽莎白和一些青年贵族外出郊游和打猎,读书只是一个点缀。莫斯科郊外有大片的白桦林,在湛蓝的天空下骑马飞驰,是他们十分开心的事情。

据记载,哥德巴赫还教过彼得二世的一个姑姑,应该就 是伊丽莎白,因为彼得二世 的姑姑安娜一直在她自己的 属地,别的姑姑都远嫁到了 国外。哥德巴赫的教学任务 不重,所以他有时间思考数学,并且与丹尼尔和欧拉通信讨论问题。哥德巴赫与欧 拉的通信从 1729 年开始, 一直持续到 1763 年,就是 哥德巴赫去世的前一年。

由于彼得二世年纪小,又无得力的大臣辅佐,朝政比较 混乱。这种情况持续了两年 多,1730 年 初, 彼 得二世得了天花,这在当时是不治 之症,因而他很快就病逝了。 彼得二世没有后代,这样罗曼诺夫家族的男性继承人就断绝了。

最高秘密委员会随即举行 会议,经过种种考虑,最后选定彼得大帝的侄女安娜 • 伊凡诺夫娜(1693-1740) 作为新沙皇。此时安娜正在库尔兰做公爵,她统治的库尔兰公国位于现在拉 脱维亚的西部,面积很小, 但其战略位置却相当重要。 当年彼得大帝将安娜嫁给 了库尔兰的威廉公爵,婚后不久威廉病逝。安娜继任公爵后,一直住在库尔兰,对于俄罗斯发生的重大事情,安娜很少知道。

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瑞士的巴塞尔也是欧拉的出生地

安娜突然接到让她当沙皇的通知后,顿感喜从天降。最高秘密委员会还让特使带去一份协议书,里面对沙皇的权利作了种种限制,使得沙皇形同虚设,但安娜照签不误。然而,安娜到了莫斯科登上皇位后,立即联络一些贵族大臣,策动近卫军,逼迫最高秘密委员会放 弃了已签订的协议,从此安娜 女皇(1730-1740 在位)大权 独揽。

随后,安娜对莫斯科的贵族们 进行了大清洗,因为担心有人报 复,1732 年, 安娜又将朝廷迁回到圣彼得堡。安娜主要依靠她的情夫比龙来管理朝政,比龙是生长在库尔兰的德国人。

由于哥德巴赫的为人处世深得皇家的信任,在彼得二世病逝后,哥德巴赫被挽留在宫中,继续为安娜女皇做事。 当朝廷迁到圣彼得堡之后, 哥德巴赫非常怀念科学院宁 静的生活,于是他又回到了圣彼得堡科学院,并被任命为通信秘书。这种秘书不是做抄抄写写的工作,而是有管理职权的。1737 年, 哥德巴赫升任,负责科学院的管理工作。

在这期间,哥德巴赫的朋友圈里有些变化。丹尼尔由于不太适应圣彼得堡的严寒气 候等原因,于 1733 年回到了温暖的家乡巴塞尔,欧拉接替了丹尼尔的位置。在巴 塞尔,丹尼尔先是担任解剖 学和植物学教授,之后成为 生理学教授,后来又成为物理学教授,他的兴趣更集中在数学的应用方面。丹尼尔回 到巴塞尔后,和欧拉进行了长达 40 多年的学术通信。在通 信中,丹尼尔向欧拉提供重要的科学信息,而欧拉则用杰 出的分析才能和推理能力,给予迅速的帮助。而哥德巴赫 与丹尼尔之间则没有进行类似的学术通信,其原因是哥德巴赫把主要精力用在了管理工作和社会活动上,余下的时间思考一些比较纯粹的数学理论问题,和丹尼尔的兴趣相去较远。

大师风采

当时接替丹尼尔的欧拉只有 26 岁,却已初显大师风采,他 在数学的理论和应用两方面都做出了很大贡献。在大学微积分教程中,我们常会看到欧拉变换、欧拉公式和欧拉方程等。 欧拉引进的一些记号,如用 f ( x) 表示函数, Ó 表示求和i 表示虚数 clip_image002[4]等,现在一直沿用。欧拉证明了,极限

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存在,并将它记作 e ,这个数在分析及其应用中都是很重要的。以 e 为底的对数称为自然对数,在理论研究中经常用到。欧拉还将 e 的复数次幂与三角函数联系起来,建立了欧拉公式

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其中QQ截图未命名x 是实数。这个公式是棣莫弗定理的一个发展,由它可得

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以及

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比较两式的实数部分和虚数部分,得到

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这就是三角学中的和差化积公式。

早在欧拉 19 岁的时候,他就以一篇研究船桅最佳布置问题 的论文,参加巴黎科学院的有奖征文活动,获得了荣誉提名。从 1730 年代中期开始,欧拉以很大的精力来研究航海和船 舶建造问题,这些问题对于俄国的海军建设是有现实意义的。后来,欧拉还根据这些积累的经验,写成两卷本的《航 海学》出版,书中讲述了浮体平衡的一般理论以及如何将流 体力学用于船舶建造。

由于航海学的需要,欧拉研究了太阳、月亮和地球在相互间 的万有引力作用之下所产生的运动,特别是月亮的运动规 律。欧拉提出了关于月亮运动的一种新理论,根据这种理论, 天文学家制成了一张月亮运行表,它对于舰船导航很有价 值。欧拉还写过许多关于彗星和行星运动的论著,在他临去世之前,仍在考虑天王星的轨道计算。此外,他常常为解决物理学、地理学、弹道学、保险业和人口统计学中的问题提 供数学方法。总而言之,应用问题始终是欧拉研究数学理论的源泉和动力。

在接替了丹尼尔的位置之后,欧拉就打算在俄罗斯安家了,1733 年冬天,他和一位瑞士画师的女儿结了婚。欧拉很享 受婚后安逸的生活,灵感泉水般涌现,下笔如有神助,就像 法国物理学家弗朗索瓦 • 阿拉戈所说,“欧拉计算时毫不费 力,就像人在呼吸,或鹰在翱翔一样轻松。”从婚后第二年起,欧拉的 13 位子女陆续降生,可惜只活下来 5 位,其余都在 幼年时夭折。欧拉很喜欢孩子, 他常常是抱着一个婴儿写作他 的论文,而大一点的孩子们在 他周围玩耍嬉戏,欧拉在工作 的同时尽享天伦之乐。

虽然俄罗斯的政治风云时常变幻,但科学院里并没有科学家受到政治上的迫害。这主要是 因为,俄国的统治阶层迫切需要科学家们来提高俄国的综合国力,而当时欧洲各国对于科学人才是处于一种开放和竞争 的状态。欧拉得到的薪水和奖金,足够保障一大家子人过上 富足的生活,另外还可以雇人来完成家务劳动,否则这么多家务做下来,别说像鹰一样翱翔,能赶上乌龟就很欣慰了。欧拉后来也说过:“我和所有其他有幸在俄罗斯帝国科学院工作过一段时间的人都不能不承认,我们应把所获得的一切和所掌握的一切归功于我们在那儿拥有的有利条件。”他说 的条件既包括学术氛围,也包括生活条件。

[世界各国发行的纪念欧拉的邮票与钱币]

1740 年 10 月,安娜女皇去世。她生前指定她外甥女的儿子伊凡继承皇位,称伊凡六世(1740-1741 在位),由比龙摄政。 这时的伊凡六世只是两个月大的婴儿,他的父亲是不伦瑞克 公爵,不伦瑞克是德意志的一个小邦国。伊凡六世上台后,不伦瑞克的贵族们纷纷涌向俄罗斯,争先恐后地占据了朝廷中的重要位置。本来一个比龙已经够让俄国人烦的了,现在 又来了一帮不伦瑞克人,俄国人的心情可想而知。此时,俄罗斯的贵族们强烈希望一个人能出来收拾局面,这个人就是伊丽莎白。

伊丽莎白 • 彼得罗芙娜(1709-1762)是彼得大帝和叶卡捷琳娜一世的小女儿,血统非常高贵,只可惜叶卡捷琳娜生她时还只是彼得大帝的情妇,因此,伊丽莎白是个私生女,名分不正,这对她的前程产生了很大的影响。伊丽莎白自幼就长得花容月貌,被彼得大帝夫妇视为掌上明珠,叶卡捷琳娜一世曾想把她嫁给法国国王路 易十五,因为名分不正遭到法国人的婉拒。由于没有合适的对象,伊丽莎白一直待字闺中,经常随彼得二世 出外骑马打猎,也曾受教于哥德巴赫。彼得二世去世后, 伊丽莎白还是因为名分不正,没做成沙皇。但 1741 年的政治形势大不相同,此时俄罗斯贵族急于驱除德国 势力,也就顾不上再考虑伊丽莎白的名分问题了。

1741 年年底的一天,伊丽莎白乘一架雪橇来到近卫军的营房前,她用富有感召力的声音召来了300 多名士兵,跟她一 起来到皇宫,轻松地将小沙皇请下皇位。就这样完成了皇位的更迭,整个过程一滴血没流, 不愧是彼得大帝的女儿,玩政变如烹小鲜。

1740 年 5 月,28 岁的普鲁士新国王腓特烈二世(1740-1786 在位)登基。他一上台,就 锐意进行法律、经济、教育和军事等方面的改革,致力于建 立廉洁高效的政府机构,自称是“国家的第一仆人”,同时 积极强化军队建设。在腓特烈二世的统治下,普鲁士的领土 充分扩张,经济迅速发展,国力日益昌盛,为德意志的最终 统一打下了坚实基础,因此后世称他为腓特烈大帝。

柏林科学院成立于 1700 年,到了 1740 年已经有一些衰落的 趋势。为了重振柏林科学院,腓特烈大帝热情地邀请欧拉去 柏林工作。1741 年 7 月,欧拉来到柏林,他一直在柏林呆了25 年。欧拉并不是只会在书斋里写文章,他是一个有抱负、 有管理才干的人,为了寻求更大的施展空间来到了柏林,而 当时的俄国正处在乱糟糟的状态,让人对未来无法预料。

欧拉担任了柏林科学院的数学部主任,他还参与了其它许 多行政事务,如提出人事安排,监督财务,管理天文台、 图书馆和植物园,以及出版历书和地图等。欧拉鼎力协 助科学院院长莫佩蒂,在恢复和发展柏林科学院的过程中 发挥了重大作用。在莫佩蒂外出期间,由欧拉代理院长。1759 年莫佩蒂逝世后,欧拉虽然未被正式任命为院长,但 他一直是科学院的实际领导者。

欧拉还担任过普鲁士政府关于安全保险、退休金和抚恤金 问题的顾问,并为腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果, 设计改造运河,也曾主管过普鲁士皇家别墅水利系统的一 些设计工作。

在柏林期间,欧拉的研究工作依然非常活跃。他提出了理 想流体模型,建立了流体运动的基本方程,从而奠定了流 体动力学的基础。他和克莱罗(A. Clairaut)、达朗贝尔(J. R. D’Alembert)一起推进了月球和行星运动理论的研究。他 与丹尼尔 • 伯努利和达朗贝尔之间关于弦振动问题的研讨, 推动了数学物理方法的发展。他还出版过《光和色彩的新理论》一书,解释了一些光学现象。

欧拉所处的时代被称作是数学上的分析时代,他在其中做出 了最杰出的贡献。约翰 • 伯努利在给欧拉的信中写道:“在 我介绍高等分析的时候,它还是一个孩子,而你正在将它带大成人。”欧拉的《无穷小分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》是分析学的伟大著作,同时代的人称他是“分 析的化身”,后来的一些分析学教程都是他著作的翻版和再 翻版。

由于受 18 世纪启蒙运动思想的影响,腓特烈大帝实行一种叫做“开明专制”的统治。“开明专制”的核心思想是,自 上而下地改革或取消已经过时的封建制度,君主应当公平公正,提倡宗教宽容、鼓励科学文化、保护艺术,并且为全民 族造福。1750-1754 年期间,腓特烈大帝邀请法国启蒙运动 的旗手伏尔泰,到普鲁士来做宫廷教师,传播先进思想。

在腓特烈大帝的宫殿里,经常是灯火通明,高朋满座,大家兴致勃勃地讨论各种问题。作为有雄才大略的帝王,腓特烈的思维常常是天马行空,穿梭古今,他还称自己“论秉性就 是个哲学家”,因而特别喜欢谈论一些哲学问题。

哲学一直是欧拉的弱项,对于那些天赋人权、自由平等、君主立宪、信仰自由等等新鲜说法,一时间还找不到感觉。虽 然欧拉没有当牧师,但他一生中从未放弃过对于基督教加尔 文教派的信仰。正是由于这种信仰,使得欧拉在困难的时候, 内心会比较平静,但另一方面,对于新的社会思想也会产生一些抵触。

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达朗贝尔 (1717-1783), 法国数学家

欧拉与腓特烈的那个圈子渐渐有些话不投机,加上欧拉和腓特烈在科学院的管理上又产生了意见分歧,所以欧拉开始萌 生去意。后来,欧拉听说腓特烈想把科学院院长的位置授予达朗贝尔,而在圣彼得堡那边,叶卡捷琳娜二世女皇一直在 向欧拉招手,于是欧拉就下定了走的决心。

达朗贝尔是著名的法国数学家、物理学家和天文学家,虽然 他的科学成就无法与欧拉相比,但他担任过法国第一部《百 科全书》的科学副主编,这部全书对于宣传启蒙运动思想起 到了很重要的作用,因而达朗贝尔更对腓特烈大帝的心思。1764 年,腓特烈大帝邀请达朗贝尔到柏林王宫住了 3 个月, 想请他担任柏林科学院院长。达朗贝尔不想移居柏林,并且 认为欧拉更适合院长之职。腓特烈出于他自己的一些考虑, 始终没有任命欧拉为院长。

1766 年,欧拉一家回到圣彼得堡,叶卡捷琳娜二世以皇室 的规格接待了他们。女皇不但为他们提供一栋配有高档家具 的房子,而且还派了一位御厨专门负责他们的膳食。每到欧 拉家的晚餐时间,枝形吊灯散发着温暖的光芒,橡木长条桌 上摆上纯银的餐具,餐盘里盛着黄油煎大马哈鱼、烤小牛排、 龙虾色拉、奶油烤杂拌等各种食物,鱼子酱抹大列巴(俄式大面包),红菜汤飘着香气,凡是女皇能够吃到的,欧拉家 都能吃得到。

欧拉对于圣彼得堡科学院的工作是驾轻就熟的,因为他在柏 林期间,俄国政府还一直付给他年薪,欧拉也将他的部分论 文寄到俄国发表,并且给予圣彼得堡科学院很多帮助和指点。回到俄国之后,由于白内障的缘故,欧拉的左眼不久就失明 了。而欧拉的右眼早在 30 多岁时就已经失明,这主要是工 作劳累过度所致。在生命的最后十几年里,欧拉凭着非凡的 记忆力和心算能力,在助手们的帮助下,依然完成了许多高 质量的数学研究。在欧拉的身 后,留下了极其丰富的科学遗 产,法国数学家拉普拉斯说过: “读读欧拉,读读欧拉,他是 我们大家的老师!”

香飘俄罗斯

让我们再回到 1741 年的俄国。伊丽莎白女皇(1741-1761 在位)上台之后,彻底驱除了宫廷中的德国势力,并且恢复了 彼得大帝的所有改革措施,以及被安娜女皇解散的枢密院, 用法律的形式确定了贵族特权,建立起一个能够吸收各阶层 精英的文官制度。伊丽莎白女皇可以说是俄国开明专制的始 创者,自她以后,俄国的各项国家制度才真正地成熟起来。

国事初定,伊丽莎白女皇心情愉悦,打算好好享受一下生活。在彼得大帝时代,作为公主的伊丽莎白就很喜欢西欧的生活 方式,尤其钟爱法兰西的时尚。当上女皇之后,伊丽莎白仍 然喜欢跳舞,每周至少要在宫中举行两次假面舞会,她还大 量购买法国的新潮时装、香水和化妆品,从而带动了俄罗斯 贵族崇尚奢华精致的风气。

当时的法国,正流行一种称为“洛可可”的艺术风格,它 的特点是纤巧、精美、幽雅、华丽。洛可可风格始于 18 世 纪初,经国王路易十五的情妇蓬帕杜夫人大力倡导,在法 国广为流行。后来的法国王后玛丽 • 安托瓦内特,也非常热 衷于洛可可服装,这在 2006 年上映的影片《绝代艳后》中有充分的展现。洛可可服装有夸张的裙撑、打褶的花边、繁复的缀饰等,十分注重整体线条和修腰的效果,印花布 料上多为草绿、粉红、鹅黄等亮丽的颜色,让人感受到春 夏季节的阳光明媚。

法国画家弗朗索瓦 • 布歇是洛可可绘画大师,他的作品多取 材于神话和贵族生活,代表作有“沐浴后的月神戴安娜”、 “维纳斯的凯旋”和“蓬帕杜夫人肖像”等,表现了优雅的 性感和奢华的贵族生活,反映了那个时代人们的审美趣味。

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少女与玫瑰(布歇,法国)

1730 年,法国第一家香精香料公司诞生于南方小城格拉斯。 这里生长着各种花卉,有金黄色的黄绒花,紫色的熏衣草, 白色的茉莉花和缤纷的玫瑰,为香水生产提供了优质原料, 不断出现的香水新产品为人们的生活带来了浪漫和激情。法 国的香水与时装、葡萄酒并称为三大精品产业,是法国人的骄傲。

在伊丽莎白女皇的影响下,法 兰西的时尚也在俄国流行,空 气里似乎弥漫着优雅的芳香, 到处都有和平与繁荣的气息。 在圣彼得堡科学院过了多年平 静生活的哥德巴赫,此时有点 坐不住,又想要去政界了。人 有时候很矛盾,热闹多了就想平静,而平静时间久了又想要热闹了。就性格而言,哥德巴赫是一个喜欢热闹的人。

1742 年,凭借宽广的人脉和良好的工作业绩,哥德巴赫被 调到俄国外交部工作,外交部设在莫斯科,哥德巴赫也就 移居到了莫斯科。虽说此时德国人不受欢迎,但哥德巴赫 是个例外。他在俄国工作多年,已经深深扎根在这片土地, 况且还做过伊丽莎白的老师,俄国人早把他看成是自己人 了,和那些来投机做官的德国人不是一类。

珍贵的通信

哥德巴赫与远在柏林的欧拉一直保持通信,讨论各种数学问 题,其中关于数论问题的讨论影响最大。

数论是研究整数性质的数学分支,它的形成和发展经历了漫长的岁月。早先住在洞穴里的原始人就有自然数(或正整数) 的概念,后来由于生活和生产的需要,在世界各地逐渐形 成了一些独特的数字,例如,古巴比伦的楔形数字,古埃 及的象形数字,中国的甲骨文数字,希腊的阿提卡数字等 等。我们今天使用的阿拉伯数字实际上是由印度人发明的,12 世纪时由阿拉伯人传入欧洲。而关于自然数的理论,至 少可以追溯到古希腊时代,欧几里得在他的名著《几何原本》 中就讲到了数论。

左图:意大利人利玛窦( 左) 和徐光启( 右) 合译了《几何原本》, 这是中文版中的插图。
中图:摘自徐光启手书篆刻《几何原本》序。
右图:《几何原本》北京印刷书,藏于罗马中央国立图书馆。 古希腊数学家欧几里得的这本巨著在西方是仅次于《圣经》流传最广的书籍。

关于欧几里得(Euclid)生平的记录很少,只知道他在公元前 300 年左右,生活在埃及的亚历山大城,在那里教书授徒。 他所著的《几何原本》一书,凝结了古希腊数学的许多精华, 是数学历史上最著名的、流传最广的教科书。在这本书里, 欧几里得从点、线、面的定义出发,用几条最基本的公理以 及形式逻辑方法,建立起了欧几里得几何学这个严密的体系。

《几何原本》由13 篇组成,基本上是讲几何学的,也有3 篇(第7、8、9 篇)是讲数论的,其中的一些数论结果今天仍然常用。 比如“算术基本定理”,它是说,每个大于 1 的自然数 n 都 可以分解为素数的乘积

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其中QQ截图未命名是素数(即只能够被 1 和它自身整除的数,例如 2,3,5,7,…),而且不管怎样分解,所得到的QQ截图未命名都是一样的,顶多只有次序上的不同。

我们有了算术基本定理,就可以用素数这些基本材料,通过乘法搭建起正整数这座大厦,很多关于正整数的问题就可以转化成关于素数的问题。例如,要求两个数 24 和 108 的最大公因子,可先将他们分解成素数的乘积。

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在比较素数方幂的最大公因子之后,我们可以清楚地看到,24和 108的最大公因子应该是QQ截图未命名

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费尔马 (1601-1665) 猜想的雕塑


在《几何原本》中,欧几里得提出了一个快速计算最大公因子的方法,称为“欧几里得辗转相除法”。此外他还证明 了,素数有无穷多个。首先,他假设只有 n 个不同的素数 image

因为正整数image不能被素数image中的任意一个整除,所以a必有一个不同于所有image的素数因子,也就是说,我们至少有了 n+1 个素数,这就与前面的假设发生了矛盾,因此,素数一定有无穷多个。欧几里得的这个证明,是反证法一个最经典 的范例。

在数论的历史上,法国数学家费尔马(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位里程碑式的人物。费尔马对于数论有直观的天才,他所提出的很多数论命题,极大地吸引了后来数学家们的研究兴趣。

费尔马一生基本上生活和工作在法国南部城市图卢兹,他从30 岁起成为政府的文职官员,担任过晋见接待官和地方议 会的议员,主要处理法律事务。费尔马是一个诚实、正直和 谨慎的人,对于本职工作兢兢业业,使得各项政策能够顺利 地贯彻实施。他的乐趣主要来自业余生活,他对于欧洲的主要语言和欧洲大陆的文学有很深的修养,还会熟练地用拉丁 文、法文和西班牙文写诗,数学只是他的业余爱好之一,他 研究数学多半是由于对数学美感的热爱。

x, y 分别是直角三角形两条直角边的长度, z是斜边的 长度,那么有

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这是毕达哥拉斯(Pythagoras)定理,在中国称为勾股定理。 有时碰巧 x, y, z 都是正整数,比如,

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另外, (5, 12, 13) 也满足上面的方程,类似的数组还可以找到很多。费尔马给出了一般性的命题:如果 z 是形如 4m+1(m 是正整数)的素数的话,那么,z 一定是某个边长均 为正整数的直角三角形的斜边长度,而且这种直角三角形 只 有 一 个。 当 m=1 时,z= 5, 直 角 边 x=3,y=4; 而 当 m=3 时,z=13,直角边 x=5,y=12。这个命题也可以这样说: 形如 4m+1 的素数的平方可以表示成两个正整数的平方之和,如果不考虑两个平方数的次序的话,那么表示方式是欧拉在 1754-1755 年间的一篇论文里证明了:形如 4m+1 的 素数可以唯一地表示成两个正整数的平方之和,这里不考虑 两个平方数的次序。设 p 是形如 4m+1 的素数,由欧拉的定 理知,

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其中 x, y 都是正整数,而且 x > y 。于是,就有

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可见 p2可以表示成两个正整数的平方之和。由一个初等的讨论易知,表示方式是唯一的。因此,费尔马的命题成立。很自然地,费尔马也考虑了高次方程

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这里 n(≥ 3), x, y, z 均为正整数。他断言,这种高次方程是没有解的。他说可以证明,但没写下来,后世就称为“费尔 马猜想”。费尔马自己只解决了 n=4 的情形,他给出的证 明相当粗略。后来,欧拉解决了 n=3 的情形。很多优秀的数学家都对这一问题做出过重要贡献,在研究过程中,也产生出了不少新的数学概念和方法。直到 1994 年,才由英国数学家怀尔斯(Andrew Wiles)彻底解决了费尔马猜想,这 是 20 世纪数学最重大的成就。从猜想的提出到解决,整整 跨越了 350 多年。

费尔马研究数学,只是为了享受得到新发现的乐趣,并不 期望别人的承认。费尔马的很多工作散见于他给朋友们的信件,以及他阅读过的书籍的空白处,他生前也发表过几 篇论文,但都是匿名的。费尔马去世之后,才由他的儿子克莱蒙特 • 塞缪尔等人,将他的研究成果整理成两卷本著 作出版。后世的数学家和数学史家,积极搜集他的数学 工作,挖掘其中的深刻内涵, 并赞誉费尔马是“业余数学家之王”。

哥德巴赫对于费尔马研究过的一些问题很感兴趣,例如,形如image (这里n为正整数)的素数问题。容易证明,如果image是素数,则image这 里 m 为非负整数)。令

image

后人称 Fm为费尔马数。最初的 5 个费尔马数

image

都是素数,因此费尔马相信,所有的费尔马数都是素数。然 而哥德巴赫没有那么深的功力来做这个问题,因此他就写信请欧拉试试。

欧拉回信说, F5 就不是一个素数,这通过一个初等的证明 就可以看出。令

a = 27 ,b = 5,

则有image

image

所以,

image

可见并非所有的费尔马数都是素数。

clip_image002[3]

英国数学家怀尔斯最终解决了有 350 年历史的费尔马猜想,这是他 获得 2005 年邵逸夫奖时在香港的留影。

clip_image002

哥德巴赫和欧拉于 1742 年的一封重要的通信

于是,我们可以进一步问,是否存在无穷多个费尔马素数,这与几何学的作图问题很有关系。1801 年,高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)证明了,对于一个正多边形, 如果它的边数是一个费尔马素数,或者是几个不同费尔马 素数的乘积的话,那么,这个正多边形就可以用圆规和没 有刻度的直尺做出。时至今日,关于费尔马素数问题也少 有进展,看来它的确是非常困难的。

下面两封信被归于数学史上最珍贵的通信之列,一封是1742 年 6 月 7 日在莫斯科的哥德巴赫给在柏林的欧拉的信, 另一封是 1742 年 6 月 30 日欧拉给哥德巴赫的回信。哥德巴赫在信中说:“对于那些虽未切实论证但很可能是正确的命题,我不认为关注它们是一件没有意义的事情。即使 以后万一证明它们是错误的,也会对于发现新的真理有帮助。 正如你已经证明的那样,费尔马关于 Fm给出一列素数的想法是不正确的,但如果能够证明 Fm可以用唯一的方式表成两个平方数之和的话,那也是一个很了不起的结果。”

m ≥ 1 时, Fm 是形如 4n+1 的正整数。由上述费尔马的一 个命题,如果 Fm 是素数的话,那么 Fm 自然就可以用唯一的方式表成两个平方数之和。哥德巴赫的意思是,在无法保证 Fm 是素数的情况下,看看能否证明弱一点的结果“ Fm 可以用唯一的方式表成两个平方数之和”。欧拉在回信中否定了哥德巴赫的想法,在经过一番推理之后,他指出

image

F5 可以用至少两种方式表成两个平方数之和。

哥德巴赫在信中又说:“类似地,我也斗胆提出一个猜想: 任何由两个素数所组成的数都是任意多个数之和,这些数 的多少随我们的意愿而定,直到所有的数都是 1 为止。例如,

image

……。”哥德巴赫又在页边的空白处补充道:“重新读过 上面的内容后,我发现,如果猜想对于 n 成立,而且 n+1 可以表成两个素数之和的话,那么,可以严格地证明猜想 对于 n+1 也成立。证明是容易的。无论如何,看来每个大 于二的数都是三个素数之和。”这里哥德巴赫把 1 看成了 素数,下面欧拉也采用这种看法。欧拉在回信中说:“关于‘每个可以分成两个素数之和的 数又可分拆为任意多个素数 之和’这一论断,可由你以前写信告诉我的一个观察(即‘每个偶数是两个素数之和’) 来说明和证实。如果所考虑 的数 n 是偶数的话,那么它 是两个素数之和。又因为 n-2 也 是 两 个 素 数 之 和, 所 以 n 是三个素数之和,同理它也 是四个素数之和,如此等等。

如果 n 是奇数的话,因为 n-1 是两个素数之和,所以 n 是三个素数之和,因此它可以分拆为任意多个素数之和。无论如何,我认为‘每个偶数是两个素数之和’是一条相当真实的定理,虽然我不能证明它。”因为这是私人间的通信,所以其中的说法相当随意,在数学上是不严格的。但里面的要点,如“每个偶数是两个素数之和”以及“每个大于二的数都是三个素数之和”是很明确的,后人在数学上将它们严格化,并称之为“哥德巴赫猜想”。

敬请期待本系列完结篇:《从哥德巴赫说开去(3)》

作者介绍:

贾朝华,北京大学数 学博士,中国科学院 数学研究所研究员。 研究领域为解析数论, 主要研究素数理论中 的一些课题。

 

本文由《数学文化》授权转载,欲再转载者请获得《数学文化》许可

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35 Responses to “从哥德巴赫说开去(2)”

  1. ajax说道:

    haha

  2. moonsun说道:

    难得一见的精彩文章 生动有趣 希望此文能鼓励更多的年轻人从事数学和其他基础科学的研究!

  3. moonsun说道:

    也许是因为媒体宣传的偏向性,我对中科院从无好感,直到阅读此文后。我想我对中科院的认识有了根本性的改观。

  4. 我心依旧说道:

    感觉像是写数学史~~

  5. gildor说道:

    欧拉家的晚饭读得我垂涎三尺.....(重点错了吧.......
    原来总搞不清各位大家的年代先后,看了这篇文章,豁然开朗!

  6. 悲剧的高三骚年说道:

    似乎.....用虚数推演和差化积的三张图片有bug.....

  7. 夜风过耳说道:

    不只是数学史,还讲了俄国的政治变幻和普鲁士的崛起。话说当时康熙也在学数学,他要真的开个中国科学院该有多好

  8. maxsch说道:

    玩政变如烹小鲜……
    烹小鲜又不是轻松加愉快的意思

    • colder说道:

      我也觉得"烹小鲜"的用法怪怪的, 老子说"治大国若烹小鲜", "烹小鲜"可不是件容易的事情.

  9. 沉默的愚者说道:

    是我看错了吗?为什么欧拉公式推广里的三组三角公式看起来一样的?

  10. 平方说道:

    现在的数学家,人文素养真和以前不一样了。写得好。

  11. likinpeng说道:

    很有意思 我继续看哥德巴赫猜想(三)

  12. 野线说道:

    那个三角我也觉得漏了东西……

  13. 童信平说道:

    “9+9”→“1+2”是“1+1”研究中的断头路、死胡同
    何以见得?且看数学家异口同声。
    王元承认:“哥德巴赫猜想仅指1+1。”(1997年。)——这是王元在全国电视观众面前肯定“9+9”→“1+2”不能称为哥德巴赫猜想。这里的问题是王元和数学家们从什么时候认识到这一点和下面的这些看法的?
    潘氏兄弟说:“利用陈景润的加权筛法不可能证明命题{1,1}。”(1981年。)——通向“1+1”的路没有了。
    杨乐说:“陈景润的证明是不可能到达1+1的。” ——通向“1+1”的路没有了。
    刘建亚说:“再用筛法去证明{1+1}几乎是不可能的,只有发展革命性的新方法,才有可能证明{1+1}。”(2003年。) ——通向“1+1”的路没有了。必须开辟新路。
    王元承认:“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”——通向“1+1”的路没有了。而且,原来的思想方法都没有什么意义了。而且,原来的思想方法都没有什么意义了。
    王元承认:“因此我们深信对于进一步研究猜想(A)必须有一个全新的思想。” ——通向“1+1”的路没有了。而且,原来的思想方法都没有什么意义了。才意识到必须有一个全新的思想。
    王元承认:“看来,圆法、筛法均已山穷水尽。用它们几乎是不可能证明猜想(A)的,数学家殷切地期望新思想与新方法的产生。” ——通向“1+1”的路没有了。而且,原来的思想方法都没有什么意义了。虽然意识到必须有一个全新的思想,却没有勇气了,只好作壁上观。

  14. 童信平说道:

    逻辑的力量——谈谈“1+5”因为逻辑不当而南辕北辙
    ①“1+5”的逻辑是这样的:N=素数+(N-素数),只要把(N-素数)中的合数都剔除干净而只剩下素数就大功告成。于是开始了愚公移山般的“1+b”工程:“1+5”→“1+4”→“1+3”→“1+2”。终于议论纷纷:“利用陈景润的加权筛法不可能证明命题{1,1}。” “陈景润的证明是不可能到达1+1的。” “再用筛法去证明{1+1}几乎是不可能的,只有发展革命性的新方法,才有可能证明{1+1}。” “用目前的方法的改进不可能证明(1,1)。”说白了,“1+5”→“1+2”对证明“1+1”没有什么用处,大家都不愿意再干下去了,换句话说,这是逻辑不当而造成的事与愿违,留下了“1+1”研究的烂尾工程或烂尾楼。
    ②定义告诉我们,正整数由数1、素数、合数组成,正确的逻辑是首先根据定义中的数1、素数、合数得到需要证明的下面4个并列的命题:
    a) N=数1+素数(或合数)——数1不是素数,这不是“1+1”需要证明的命题。
    b) N=素数+素数——如果这里的素数与c)中的素数不一样,这就是“1+1”的独一无二的需要证明的命题。
    c) N=素数+合数——可以从数学上证明,这里的素数与b)中的素数不一样。(如果素数p<√N,素数P能满足√N<P<N-√N,则有P≡N(mod p)。这就是说,这里的P应该是以N为末项、以p为公差的等差数列中的素数,——其数量在理论上是可知的。所以,淘汰P的数量后,就可以知道b)中素数的数量,——“1+1”的答案数量。)
    d) N=合数+合数——都不是素数,这不是“1+1”需要证明的命题。
    由此可见,①和②的不同的逻辑得到不同的结果,这就是逻辑的力量。

  15. 童信平说道:

    逻辑的力量——谈谈国际上“殆素数”定义的意义
    简单地说,国际上殆素数的定义是把正整数分为1-殆素数(素数)、2-殆素数(2个素数乘积)、3-殆素数(3个素数乘积)、……。
    上一次指出,到了N=素数+(N-素数)之后,因为逻辑不当,滑入了“1+5”→“1+4”→“1+3”→“1+2”的技术泥潭。
    因为(N-素数)是正整数,我们可以根据国际上的殆素数定义得到需要证明的下面5个并列的命题:
    命题1:大于4的偶数N=1-殆素数+1-殆素数。答案数量记作π(1)。
    命题2:大于10的偶数N=1-殆素数+2-殆素数。答案数量记作π(1×1)。
    命题3:大于28的偶数N=1-殆素数+3-殆素数。答案数量记作π(1×1×1)。
    命题4:大于82的偶数N=1-殆素数+4-殆素数。答案数量记作π(1×1×1×1)。
    命题5:大于244的偶数N=1-殆素数+5-殆素数。答案数量记作π(1×1×1×1×1)。
    以上是五个概念完全不一样的独立命题,下面是它们之间的具体差别:
    ① 五个命题的起始点各不相同;
    ② 五个命题中等号右边的第二项的素因数个数(k值)分别是不能混淆的1、2、3、4、5。;
    ③ 因为②,在数学上可以证明,五个命题中等号右边第一项的1-殆素数是不一样的。这就是说,它们之间的数量关系可以用公式(1)表示。
    (1) π(1)+ π(1×1)+ π(1×1×1)+ π(1×1×1×1)+ π(1×1×1×1×1)+……=π(N)-u
    公式中,N-1=素数时,u=2。N-1≠素数时,u=1。(指的是偶的素数2。)
    由此可见,一个殆素数的定义胜过46年中“9+9”~“1+2”的瞎子摸象。这就是逻辑的力量。
    比较一下“1+5”的逻辑,由正整数三元素数1、素数、合数得到的逻辑a)~d),由殆素数定义得到的逻辑命题1~5。优良的逻辑能做到以下几点:
    A,推理步骤总数少。
    B,推理的路径要短。
    C,推理过程的“宽度”要小。

  16. 童信平说道:

    谁在造假?
    2008,12,24,北京日报记者孙文晔介绍的陈景润中,专门写了这样一节:放弃“猜想”。
    内容有:
    陈景润以“哥德巴赫猜想(1+2)”1)著名,普通公众大概以为陈景润一直在向(1+1)发起冲锋。其实,陈景润清楚地知道,以现有的数学工具并不能破解(1+1),1974年以后,他便放弃这颗“数学皇冠上的明珠”。
    “我不能骑着自行车上月球。”陈景润如是说。
    作为一个实事求是的科学家,在自己的专业上,他没有因为公众的期望改变自己,尽管这可能有损他的形象。
    注1):王元承认:“哥德巴赫猜想仅指1+1。”这就是说,哥德巴赫猜想不包括“2+3”、“1+5”、“1+2”。这陈景润的“1+2”不能称为“哥德巴赫猜想(1+2)”。

    与孙文晔说法截然不同的是下面这些。
    ①2009,02,03,科学时报记者王丹红写道:
    在证明了“1+2”之,陈景润就开始做“1+1”的证明。由昆记得,他病了这么多年,从来没有停下来过,晚上也工作到很晚,后来我说,先生,你在搞什么呀?不要再搞了,休息休息好不好?你怎么不会算账呢?你把身体养好后会有更多年的时间,现在拼命的话会减少很多年。陈景润回答:“还在做哥德巴赫猜想,还在搭样子。”
    1996年3月19日中午,北京医院,弥留之际的陈景润不能瞑目,由昆知道他心中有两个巨大的遗憾:一是放心不下14岁的儿子;二是没有亲手证明“1+1”。
    ②陈景润去世后的第一个清明节,1996年4月4日,解放日报记者郑宪以《哥德巴赫的悲壮》为题写道:陈景润在他离去前是痛苦的,王元慨然道:“你就放弃吧。”
    很明显,二种截然不同的说法中有一种是造假,个人认为孙文晔在造假,理由有四:
    第一, 我们应该相信陈景润的最亲近的夫人由昆及郑宪的记忆犹新的纪念性的报道。
    第二, 集中了国内优秀人物的数学所的“数论研究小组”的目标是研究哥德巴赫猜想,陈景润能够用生命中的三十年一诺千金、矢志不渝地研究哥德巴赫猜想是优秀品质2)的表现。华罗庚也是一诺千金、矢志不渝,他用生命的最后十年写出了《A Direct Attempt to Goldbach Problem》。陈景润不愧是华罗庚挑选来的人,虽然他还是没有超过华罗庚。——华罗庚敢直呼《Goldbach Problem》,陈景润对自己的作品不敢这样称呼。说“哥德巴赫猜想(1+2)”是别人在偷梁换柱、移花接木。
    注2):大约公元前200年,Eratosthenes创造了筛法制作了素数表,为了解决在未制作素数表前就能知道素数个数的计算方法,数学家们摸索了二千年,直到19世纪末,(实际上是1800年,因为在数学家发现这个公式之前的200年,这个公式已经在民间流传。)才得到了称为容斥公式的计算公式,大家算一算,二千年中,为了这个公式因为矢志不渝而牺牲的数学家有多少个?如果都说“我不能骑着自行车上月球”。会有今天这个公式吗?科学研究中总是失败者比成功者多,不必为陈景润在研究“1+1”中的失败涂脂抹粉。
    第三,“他们第一次见面是在1977年的一个秋日。......。
    徐迟问:‘哥德巴赫猜想’进展如何?
    陈景润回答:到了最后关头。……。”
    这个问答当然不是指“1+2”,而是指“1+1”。按照孙文晔的介绍,陈景润应该回答早在1974年就不搞了。
    第四,新闻人造假孙文晔不是第一人,造假而获得全球认同的也出在新闻界,那就是“世纪之吻”。——新闻报道说,大家在广场上庆祝第二次世界大战胜利,素不相识的年轻男女用接吻来庆祝胜利并附了照片,一时传遍全球。细心人发现衣着与季节不对号,终于搞清楚:拍照的那一天并不是庆祝胜利的那一天,那对年轻人确实是素不相识,但绝对不是乐不可支的自发动作,而是在记者的刻意安排下拍下的照片。即使在真相大白的时候,由于他没有伤害到任何人而仍然得到认同。
    孙文晔的造假伤害了这样一些人:
    由昆是在陈景润研究“1+1”的时候嫁给陈景润的,孙文晔的造假颠覆了由昆的恋爱、结婚、生子、阴阳两隔的全过程。
    孙文晔根本不知道,令科学研究人员感动的是陈景润三十年咬定青山不放松的研究精神,这三十年的精神与董存瑞、黄继光、王进喜的一瞬间不相上下。所以,不到40天,王丹红写文章反驳了。

  17. Cielo说道:

    “Ó 表示求和”,如果如文中所说“现在沿用”的话应该是 Σ 吧?

    另外,有关三角函数公式的图片是否有误?我看到的三张都是一样的。

  18. 童信平说道:

    命题“1+b”止步于陈景润定理的原因及其出路
    0 引言。
    偶数N。素数p、P。它们之间的关系是:p<√N<P<(N-√N)。可以取P+m=(N-√N),(N-P)=√N+m>√N>p,所以,(N-P)是素数或者合数。N用p表示时,N=d+ep。a和p可以组成等差数列d+pn。
    1962年,潘承洞看出命题“a+b”沿着“9+9”→“7+7”→“6+6”→“5+7”→“4+9”→“3+15”→“2+366”→“5+5”→“4+4”→“3+4”→“3+3”→“2+3”而止步于“2+2”时。他选择了命题“1+b”并证明了“1+5”。后来出现了“1+4”→“1+3”→“1+2”。
    也就是从1962年开始,关于“1+5”→“1+2”的二种解读争论了近半个世纪。
    第一种解读:根据国际上殆素数的定义,“1+5”→“1+2”中的“5”→“2”指的是“5个奇素数的乘积”→“2个奇素数的乘积”。它们都是“奇合数”,素数与合数不是一回事,所以它们与“奇素数+奇素数”(偶数哥德巴赫猜想——大于4的偶数可以写成二个奇素数相加。)没有关系,止步于“1+2”理所当然。
    国外的文章也是这样写的:“陈证明了(大)偶数都是一个素数及二个素数乘积之和。例如,18等于3加3×5。也就是N等于p1加p2×p3。” [ 1 ]
    第二种解读:(以“1+2”为例。)“1+2”中的“2”包括奇素数和2个奇素数的乘积。只要进一步剔除2个奇素数的乘积,就可以得到“1+1”。王元说“1+2”较之“1+1”仅一步之差。
    数学家又说:“利用陈景润的加权筛法不可能证明命题{1,1}。”[ 2 ] (潘承洞、潘承彪。)“陈景润的证明是不可能到达1+1的。”[ 3 ] (杨乐。)“再用筛法去证明{1+1}几乎是不可能的,只有发展革命性的新方法,才有可能证明{1+1}。”[ 4 ] (刘建亚。)王元则总结性地说:“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)。”[ 5 ]
    可惜这些数学家没有能开诚布公地说出其中的原因。笔者来说一说其中原因。
    首先,用二个实验说明因为无法证明“2+2”造成无法剔除2个素因数的奇合数而止步于“1+2”。
    其次,指出N=P+(N-P)中,若取N=d+ep 和P=d+pn,则(N-P)是合数,逐步淘汰这些合数的数量,(也就是d+pn中的素数数量。)得到(N-P)中的素数数量,即“1+1”的答案数量。[ 6 ] (除了N=P+(N-P),还存在 N=p+(N-p),实验证明,许多N的(N-p)都是合数,这不构成“1+1”的讨论对象。)
    1 用实验说明剔除小于N的2个奇素数乘积时所出现的困难。
    实验1:在N=130中,小于N的2个奇素数的乘积“2”是:3×3=9、3×5=15、3×7=21、3×11=33、3×13=39、3×17=51、3×19=57、3×23=69、3×29=87、3×31=91、3×37=111、3×41=123、5×5=25、5×7=35、5×11=55、5×13=65、5×17=85、5×19=95、5×23=115、7×7=49、7×11=77、7×13=91、7×17=119、11×11=121。——u=24。
    其中,①130=109+21=“1+2”、130=97+33=“1+2”、130=79+51=“1+2”、130=73+57=“1+2”、130=61+69=“1+2”、130=43+87=“1+2”、130=29+111=“1+2”、130=7+123=“1+2”、130=53+77=“1+2”、130=11+119=“1+2”。——v=10。根据第二种解读,它们是证明“1+1”时应该剔除的2个素因数的奇合数。
    ②130=121+9=“2+2”、130=115+15=“2+2”、130=91+39=“2+2”、130=39+91=“2+2”、130=105+25=“3+2”、130=95+35=“2+2”、130=75+55=“2+2”、130=65+65=“2+2”、130=45+85=“3+2”、130=35+95=“2+2”、130=15+115=“2+2”、130=81+49=“4+2”、130=39+91=“2+2”、130=9+121=“2+2”。——w=14。除了个别“3+2”,大多数属于“2+2”中的奇合数,根据第二种解读,它们不是证明“1+1”时应该剔除的2个素因数的奇合数。但是,它们混合在u之中,在剔除v=u-w时变得困难。
    实验2:合数91=3×31=“2”,128=37+91=“1+2”,130=39+91=“2+2”,132=41+91=“1+2”,134=43+91=“1+2”,136=45+91=“3+2”,138=47+91=“1+2”,140=49+91=“2+2”,142=51+91=“2+2”,……。
    实验2指出,因N之变化,91或者是剔除的对象,或者不是剔除的对象。所以,由“1+2”到“1+1”的证明过程中,无法判断哪些是“1+2”中的合数?哪些是“2+2”中的合数?而且,“2+2”还不能用目前的方法来证明,这就决定了“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”。
    这就是说,数学家因为无法证明的“2+2”而止步于“2+3”,于是想改变路线绕道“1+b”而去证明“1+1”,想不到还是碰到了无法证明的“2+2”而止步于“1+2”。
    2 在N=P+(N-P)中,若P是以N为末项、p为公差的等差数列中的素数,则(N-P)是合数。
    定理1 若P=d+pn,则(N-P)是含有素因数p的合数。
    证明 P=d+pn,N=d+ep,(N-P)=(d-e)p。(N-P)可以被p整除,又因为(N-P)>√N>p,(N-P)是含有素因数p的合数。定理1证毕。
    根据定理1,可以在(N-P)的数量(=π(N-√N))-π(√N))中逐步淘汰素数P=d+pn的数量,(也就是(N-P)中合数的数量。)从而得到(N-P)中的素数的数量。——“1+1”的答案数量计算公式(一般称为容斥公式)。[ 6 ]
    3 讨论。
    d+pn就是以N为末项、p为公差的等差数列,这就可以用图解法得到P中的偶数哥德巴赫猜想的答案,具体做法是:①在长度为N的数轴上标出素数P;②取出与N互素的每一个p;③从N开始,反方向划去间隔为p的数,从而划去了P=d+pn的那些素数;④取完②中所得到的p后,留下的P就是“1+1”的答案。
    根据这个作图过程和容斥原理,可以建立“1+1”的答案数量的容斥公式。[ 6 ] 简化这个容斥公式可以证明哈代-李特伍德出现(A)。(另文讨论。)
    参考文献
    [1] Anjana Ahuja,A million-dollar maths question,The Times,2000,03,16。
    [2] 潘承洞、潘承彪,哥德巴赫猜想,科学出版社,1981。第13页。
    [3] 又一位数学迷致信本报,钱江晚报,2001,11,20,11版。
    [4] 刘建亚,哥德巴赫猜想与潘承洞,中华读书报,2003,01,15。
    [5] 李文林主编,王元论哥德巴赫猜想,山东教育出版社,1999。第35页。
    [6] 童信平,偶数Goldbach问题解数的计算公式,右江民族师专学报(自然科学版),1997,3,10-12。

  19. 童信平说道:

    十问为什么我国出现了二个殆素数定义

    大家知道,数学的名词术语在国际上是高度统一的,我国在承认国际上殆素数定义后,又出现了王元提出的一个“殆素数”定义,下面就这二个殆素数定义之间的矛盾提出十个问题。
    国际上的殆素数定义的简单解释:一个正整数只有一个标准分解式,用这个标准分解式中相同和不相同的素因数的数量之和来表示正整数时,国际上称为殆素数。例如,3和5都只有一个素数而统称为1-殆素数;9=3×3和10=2×5都有二个素数而统称为2-殆素数;其余以此类推。——由此可见,“9+9”→“2+3”只不过是“9-殆素数+9-殆素数”→“2-殆素数+3-殆素数”的简称。“1+5”→“1+2”只不过是“1-殆素数+5-殆素数”→“1-殆素数+2-殆素数”的简称。它们与“1+1”=“1-殆素数+1-殆素数”没有任何关系。而且,1996年7月17日,王元也向全国电视观众澄清了概念,他说:“哥德巴赫猜想仅指‘1+1’。”他这是在客观上肯定了所研究的“9+9”→“1+2”不能称为哥德巴赫猜想的研究,也否定了下面的说法:
    ①陈景润攻克了哥德巴赫猜想。(科学,2001,2,64页。)
    ②陈景润如果没有解开“1+1”之谜。(解放日报,2001,04,07,A6版。)
    ③陈景润的哥德巴赫猜想。(新华社北京2月20日电。)
    ④哥德巴赫猜想(1+2)。(袁小明等,中华数学之光,湖南教育出版社,325页。)
    ⑤《哥德巴赫猜想与潘承洞》(刘建亚,中华读书报,2003,01,15。)——潘承洞证明了“1+5”。
    ⑥前赴后继把哥德巴赫猜想从9+9推进到1+2。(科学时报,1999,08,10,1版。)
    王元还说了:“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)。”足见“9+9”→“1+2”所用的方法(包括它们的改进)对研究“1+1”没有任何帮助。“9+9”→“1+2”实质上是一条研究“1+1”的死胡同而已。
    但是,王元却给出了另外一种“殆素数”定义,简单解释如下:
    “1-殆素数”是2、3、5、7、11、……;
    “2-殆素数”是2、3、5、7、11、……;4、6、9、10、14、……;
    “3-殆素数”是2、3、5、7、11、……;4、6、9、10、14、……;8、12、18、20、27、30、……。
    这就是说,这种“殆素数”是累计式的,后面一种殆素数中必定包括前面已经有的所有的殆素数。
    此说告诉大家“9”→“2”中都有“1”(素数)。——由此可见,这种“殆素数”与国际上的殆素数适得其反,无非是想在“理论”上说明“9+9”→“1+2”中都有“1+1”,都可以称为哥德巴赫猜想,而且,可以堂而皇之地说:“(1,2)较之(1,1)仅一步之差”、“前赴后继把哥德巴赫猜想从9+9推进到1+2”、“‘1+2’中有也可能出现‘1+1’”。为此,提出下面的十个问题:
    1, 请国际数学会鉴定:王元篡改的殆素数定义合法吗?,
    2,请问王元,你被委派修改国际上的殆素数定义了吗?
    3,请问数学所,篡改国际上的殆素数定义是不是翻译水平差?
    4,请问中国数学会,王元的“殆素数”向国际数学会备案了吗?
    5,请问科学院,国际上的殆素数与国内的殆素数能通用吗?
    6,请问科学院,陈氏定理可以用二种殆素数定义解释吗?
    7,篡改国际上的殆素数是不是在“9+9”→“1+2”中指鹿为马?
    8,篡改国际上的殆素数定义是不是科学道德的缺失?
    9,篡改国际上的殆素数定义一旦属实,是不是严重的学术造假?
    10,面对被篡改的殆素数定义,是不是在考验每个人的科学良知?

  20. 童信平说道:

    用反证法证明偶数哥德巴赫猜想
    0 引言。
    “偶数中的复合数都可以表示为二个素数相加。”――这就是常说的哥德巴赫猜想(A)或偶数哥德巴赫猜想。简称“1+1”。
    偶数N。素数pi、P。2≤pi≤pr<√N,r=π(√N)。pr+1<P<N-pr-1。
    N=pi+(N-pi)=P+(N-P)。实验证明,许多N的(N-pi)都是合数,不构成“1+1”的讨论对象。若P是以N为末项、以pi为公差的等差数列中的素数,则(N-P)是可被pi整除的合数。本文用反证法证明,(N-P)不可能都是合数,(N-P)中必有素数,N=P+(N-P)=“1+1”成立。
    1 符号、引理、定理。
    pi——素数。pi<√N,i=1,2,…,r。pi= p1,p2,p3,…,pr =2,3,5,…,pr。r=π(√N )。
    P——素数。pr+1<P<N-pr-1。
    P(pi)——P除以pi后所得的余数。P(pi)=1,2,3,…,(pi-1)。(见引理3。)
    N(pi)——偶数N除以pi后所得的余数。N=N(pi)+bpi。因为N(p1)=0,更有12(pi)=18(pi)= 24(pi)=0,0。30(pi)=0,0,0。取N≥50时,必有N(pi)≠0。(见引理1。)210(pi)=0,0,0,0,1,2。N(pi)中会相同的元素值:64(pi)=0,1,4,1。N(pi)与P(pi)之间是完全不一样的。
    引理1 若r≥4。则p1p2…pr>N。(即N≥50时,必有N(pi)≠0。)
    引理2(等差数列中的素数定理) N→∞时,末项不大于N的等差数列P(pi)+pin中的素数数量π(pi,P(pi),N)~N/Φ(pi)ln N。(Φ(pi)是欧拉函数。Φ(pi)= pi-1。)
    引理3 素数P皆散布在以pi为公差的等差数列P(pi)+pin之中。常数项P(pi)=1、2、…、(pi-1)是其充分和必要的条件。
    证明 素数皆散布在正整数之中,正整数无遗漏地散布在0+pin、1+pin、2+pin、3+pin、…、(pi-1)+pin这些以pi为公差的等差数列之中。当然,素数P也充分地散布在这些等差数列之中。
    P(pi)中元素一个也不能少,若缺少其中的某一个元素,所缺少的素数数量都会是π(pi,P(pi),N)。故P(pi)=1、2、…、(pi-1)是P存在的充分的条件,也是必要的条件。证毕。
    定理1 若在N(pi)与P(pi)之间出现N(pi)= P(pi)。则(N-P)是含有素因数pi的合数。
    证明 N=N(pi)+bpi。P=P(pi)+pin。则(N-P)=(b-n)pi。(N-P)可以被pi整除。又因为(N-pr-1)>P,移项后,(N-P)>pr+1>pi,可知(b-n)>1,(N-P)是含有素因数pi的合数。证毕。
    定理2 (N, p1p2…pr)=2时,(N-P)中不可能都是合数,(N-P)中必定存在素数。
    证明 假设(N-所有P)都是合数,即(N-所有P)=(N(pi)+bpi-所有P)= pin,移项后,所有P=N(pi)+bpi-pin= N(pi)+(b-n)pi,前面指出,P(pi)与N(pi)之间是完全不一样的,所以,(N-所有P)都是合数的假设不能成立。(N-P)中必定存在素数。证毕。
    2 结论。
    N<50时,偶数中的复合数4~48,可以用实验证明“1+1”成立。
    N≥50时,定理2证明了(N-P)中必定有素数,N=P+(N-P)=“1+1”成立。
    2012-01-01
    注:
    ①1543年,哥白尼完成了《天体运行》,确立了“日心系”的计算和推理后,他建议数学家接受他的见解,理由是他的体系比托勒密认为天体与地球运行所遵循的本轮和均轮简单得多。
    ②在美国、法国呆了将近20年的数学家张寿武教授说:“有些数学家喜欢将事情弄得越玄乎越好,阳春白雪,这不是我的风格。我觉得数学最妙的地方是:正确是基于简单的理由,而不是复杂的理由。实际上数学与科学和文学一样,能够留下来的东西都是最简单的东西。”
    ③简单是真的印记。——拉丁格言。
    有朝一日,水落石出,上面的证明也得到认可,那么,它一定是最简单的证明。

  21. 童信平说道:

    哲学和逻辑的力量——解释9+9→1+2为何到不了1+1
    0 引言。
    命题“a+b”原来设想降到“1+1”而证明偶数哥德巴赫猜想;命题“1+b”原来设想降到“1+1”而证明偶数哥德巴赫猜想。其中“a”、“b”、“1”被国际上称为殆素数。但是,“a+b”经历“9+9”→“7+7”→“6+6”→“5+7”→……→“5+5”→“4+4”→“3+4”→“3+3”→“2+3”而止步;命题“1+b”经历“1+5”→“1+4”→“1+3”→“1+2”而止步。终于议论纷纷:“利用陈景润的加权筛法不可能证明命题{1,1}。”“陈景润的证明是不可能到达1+1的。”“再用筛法去证明{1+1}几乎是不可能的,只有发展革命性的新方法,才有可能证明{1+1}。”“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)。”说白了,“9+9”→“1+2”对证明“1+1”来说是隔靴搔痒、事与愿违而不想再干下去了,可惜的是数学家说不出或不想说出其中原因。
    下面用国际上的殆素数定义说明“9”→“2”中没有“1”;用哲学和逻辑学说明“9+9”→“1+2”为何到不了“1+1”;用数学说明“1+1”以外的素数的特点,从而可用容斥原理计算“1+1”中素数的数量。
    1 国际上的殆素数定义否定了“2”中有“1”(素数)。把素数变换成为殆素数不是等价变换。
    大家知道,一个正整数只有一个标准分解式,用这个标准分解式中相同和不相同的素因数的数量之和来表示正整数时,国际上称为殆素数。例如,3和5都只有一个素数而统称为1-殆素数;9=3×3和10=2×5都有二个素数而统称为2-殆素数;其余以此类推。——由此可见,殆素数是素数和合数的统称。
    王元的特殊的“殆素数”定义认为:1-殆素数是3、5、…;2-殆素数是3、5、…、9、10、…;3-殆素数是3、5、…、9、10、…、27、30、…。后面的殆素数囊括前面的殆素数,此说旨在说服大家“9”→“2”中都有“1”(素数)。但是,具体到“1+2”时,王元又变得谦虚了,他说“‘1+2’中有也可能出现‘1+1’”。
    总而言之,素数与殆素数、“殆素数”之间不是等价关系,把素数变换成为殆素数进行讨论,也就是把“1+1”变换成为不是等价关系的“a+b”或“1+b”进行证明时,就进入了死胡同,最终证明不了“1+1”。
    2 从哲学上讲,“9”→“2”是量变,“2”→“1”是质变,量变方法不能解决质变问题。
    根据国际上殆素数的定义,“9+9”→“1+2”中的“9”→“2”说的是合数中的素因数个数从9个减少到2个,它们的合数性质并没有变化,在哲学上称为量变,其数学证明方法哲学上称为量变的方法。从“2”→“1”是合数变化到素数,从概念上来说这是性质的变化。——若取素数p<√N,这种性质的变化就是:从可以被某个p整除的合数,变化到不能被任何一个p整除的素数!——这在哲学上称为质变,其数学证明方法哲学上称为质变的方法。数学家的议论纷纷用哲学来概括就是:证明“9+9”→“1+2”所用的量变的方法是不能解决“1+2”→“1+1”的质变问题的。——这一个哲学规律的力量抵得上数学家半个世纪的劳动。
    3 似是而非的逻辑只是驱使大家在似是而非的“9+9”→“1+2”这条道路上走了半个世纪。
    如果正整数称为上位概念,则正整数的下位概念就是数1、素数、合数。从矛盾论的角度讲,下位概念中的数1、素数、合数非此即彼、互相排斥、互相对立。这三个概念可以共处于上位概念正整数中。任意二个下位概念之间的数相加或同一个下位概念内任意两个数相加可以共处于偶数N中,如下面4个潜在的命题。
    (1) N=数1+素数或合数。——它与偶数哥德巴赫猜想“1+1”没有直接关系,不值得作为一个命题来证明。
    (2) N=素数A+素数A。——简称“1+1”。实验显示,素数A只能是小于N的素数中的一部分。
    (3) N=素数B+合数f。——何需研究合数f中的素因数数量?要研究素数B中的哪些特点才会产生合数f。
    (4) N=合数t+合数t。——二个都是合数,不应该作为“1+1”的研究课题。
    根据逻辑和国际上的殆素数定义,素数≠合数,如果N=素数A+素数A=素数B+合数f时,由于后项的素数A≠合数f,故有前项的素数A≠素数B。这就是说,N确定后,谁能想到把小于N的素数数量(~N/ln N)分为素数A的数量和素数B的数量这样二部分,追求二者知其一,他就跨出了证明“1+1”的第一步。
    实验1:17=“1”。130=17+113=“1+1”,132=17+115=“1+2”,134=17+117=“1+3”,136=17+119=“1+2”,…,144=17+127=“1+1”,…。——这些现象说明,因N而异,17可以是素数A,也可以是素数B。这个实验显示,用简单的方法直接分离出素数A或素数B这条路行不通。
    命题(3)显示,缺少前项或后项就不是偶数,前项和后项必须同时存在,故存在素数B的数量=合数f的数量这样一种等量关系,所以,应该在计算合数f的数量上取得突破。这种突破可以由后面的数学来解决。
    这些逻辑告诉我们:①殆素数或“殆素数”的概念对证明“1+1”是多此一举、没有什么意义;②有一种不充分的逻辑是把命题(2)和命题(3)混为一谈,认为N=素数+(N-素数),只要一批一批地剔除(N-素数)中的合数,直到(N-素数)中只留下素数就可以大功告成。——逻辑不充分表现在开始的时候是只能得到价值不大的、似是而非的“下界估计”,最终在剔除2个素因数的合数时才会让你铩羽而归。(见实验2。)
    实验2:91=7×13=“2”,128=37+91=“1+2”,130=39+91=“2+2”,132=41+91=“1+2”,134=43+91=“1+2”,136=45+91=“3+2”,138=47+91=“1+2”,140=49+91=“2+2”,142=51+91=“2+2”,……。
    根据王元的“殆素数”的逻辑,到了“1+2”后,只要再剔除2个素因数的合数就可以让(N-素数)中只剩下素数而最终证明“1+1”了。所以,王元宣称:“(1,2)较之(1,1)仅一步之差。”这样的盲目乐观弥漫全国。(也许,急性子的人还买好了鞭炮!)实验2指出,91属于“1+2”时应该剔除,91属于“2+2”时不应该剔除。(不能计入应剔除的2个素因数的合数。)大家知道,“2+2”是“a+b”研究中数学家是无法证明的,(王元在1995年西安会议上说,他二次试图证明“2+2”,有一次是想在去台湾之前证明它,都没有成功。)“2+2”使得“a+b”研究偃旗息鼓。有人想用“1+b”另起炉灶,又碰到“2+2”这个拦路虎,数学家向左走、向右走都碰到“2+2”。原来科学研究中也有“鬼打墙”?王元只好说:“看来,圆法、筛法均已山穷水尽。用它们几乎是不可能证明猜想(A)的,数学家殷切地期望新思想与新方法的产生。”心甘情愿地作壁上观。
    这就是说,似是而非的逻辑只是驱使大家在似是而非的“9+9”→“1+2”这条死胡同里走了半个世纪。
    4 曲径通幽,在数学上先了解“1+1”以外的素数的特点,“1+1”中的素数就不言而喻了。
    偶数N。素数p、P。它们之间的关系是:p<√N<P<(N-√N)。因为(N-√N)>P,(N-P)>√N>p,所以,(N-P)不是素数就是合数。N用p表示时,N=d+ep。d和p可以组成等差数列d+pn。——它们是一些以N为末项目、p为公差的等差数列。N=p+(N-p)=P+(N-P),实验证明,许多N的(N-p)都是合数,这不构成“1+1”的讨论对象。“1+1”需要证明的是(N-P)中必定有素数或给出这些素数的数量计算公式。
    定理1 若P=d+pn,则(N-P)是含有素因数p的合数。
    证明 P=d+pn,N=d+ep,(N-P)=(e-n)p。(N-P)可以被p整除,又因为(N-P)>√N>p,(N-P)是含有素因数p的合数。定理1证毕。
    d+pn就是以N为末项、p为公差的等差数列,这就可以用图解法找到P中的偶数哥德巴赫猜想的答案,具体做法是:①在长度为N的数轴上标出素数P;②取出与N互素的每一个p;③从N开始,反方向划去间隔为p的数,从而划去了P=d+pn的那些素数;④取完②中所得到的p后,留下的P就是“1+1”的答案。
    根据这个作图过程和容斥原理,可以建立“1+1”的答案数量的筛法公式(容斥公式)。[ 1 ] 简化这个容斥公式可以证明哈代-李特伍德出现(A)。(另文讨论。)
    另外,在N=P+(N-P)中,若能证明(N-P)中必定有素数,也可以证明偶数哥德巴赫猜想,参看《用反证法证明偶数哥德巴赫猜想》。
    5 讨论。
    [加] R.K.Guy对于“1+1”说过这样的话:“…,从另一方面来说,‘未解决’的问题未必就是根本不可解的,或许可能比我们一开始所想的要容易得多。”第4章显示出这种容易得多确实存在。数学贵在简洁。参看《触类旁通地用素数问题的证明方法证明哥德巴赫问题》。(1,在数轴上用二千多年前的Eratosthenes筛法制作素数表和哥德巴赫猜想的答案;2,根据同余的的定义,由p<√N<P<(N-√N)可知:若P≡N(mod p),则P不是N的哥德巴赫猜想的答案;换句话说,理论上,合数(N-P)的数量是可知的;3,根据容斥原理,可以逐步淘汰(N-P)中合数数量的方法得到(N-P)中素数的数量。结合王元提出的素数个数容斥公式建立偶数哥德巴赫猜想答案数量的容斥公式;4,根据二千多年前孙子定理的例题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”“答曰二十三。”——在这里,3、5、7、23都是素数。稍微整理一下,就可以运用一系列同余式组计算素数P或者素数P中的哥德巴赫猜想的答案。)
    在美国、法国呆了将近20年的数学家张寿武教授说:“很多中国数学家的算功是最好的,但不知道算什么。……。”从上面的分析可以看出,数学家不是输在数学知识上,而是输在哲学和逻辑学知识上。
    参考文献
    [1] 童信平,偶数Goldbach问题解数的计算公式,右江民族师专学报(自然科学版),1997,3,10-12。
    2012-01-18

  22. 童信平说道:

    我对“科学智慧火花”的意料之中与意料之外

    十年前,周光召说:“一些人被权威束缚住了,不敢打破过去的陈见去创新。”他还说:“学术不争论,怎么能创新?”
    与周光召相呼应是,科技部部长也曾经在全国科技工作会议上提倡开展平等的学术争论,不以资历、名望作为学术是非标准,保障不同学术观点的公开发表和充分讨论。
    最近,白春礼说得更是一针见血:“获得院士荣誉称号仅仅意味着既往的学术成绩和贡献得到认可,但科学探索和创新之路永无止境,最高学术称号并不能与最高学术水平直接画等号。我们对此要保持清醒的头脑,要深刻认识到院士是科技界一员,千万不要自我陶醉,更不能以权威自居。”
    看到这些讲话,深深感觉到国家领导人为了发展科学而发出的对学术争论的殷切呼唤,表现出不拘一格降人才的决心和信心,中科院的“科学智慧火花”网站的出现可以认为是一些具体措施中的一种。
    回想哥德巴赫猜想从小道消息到家喻户晓的前前后后,我几乎看遍了能找到的“古德巴赫猜想”、“歌德巴赫猜想”、“哥德巴赫猜想”之类的文章。直到看到《科学实验》上潘承彪的文章时,突然产生了把自己吓了一大跳而离开阅览室到走廊上徘徊的想法:①对证明哥德巴赫猜想而言,“9+9”→“1+2”不过是隔靴搔痒;②“(1,2)较之(1,1)仅一步之差”不过是画饼充饥。(用现在话说是虚假广告。)……。在害怕和好奇交织下,又回到阅览室看了三遍。思想斗争了半个月,终于在徐迟的那一篇报告文学《哥德巴赫猜想》发表之前,决定采用保守的守株待兔的办法。——坐等数学家说出类似的话,……。我终于等到:①王元说着“哥德巴赫猜想仅指1+1”走来。——这与我认为的隔靴搔痒是一致的;②王元说着“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”走来。——这与我认为的画饼充饥是一致的。由此可见,关于如何证明哥德巴赫猜想的观点已经成为过眼云烟或周光召所说的“过去的陈见”。所以,我要对“科学智慧火花”说说对“1+1”方面的“过去的陈见”的看法:
    1,2011-10-20,我寄给“科学智慧火花”的是《想用a+b、1+b证明1+1是论证前概念梳理不当》,说的是:①根据正整数=正整数+正整数这样一个公设,对于偶数N(正整数)也可以成立:N=正整数a+正整数b=“a+b”。又N=素数+(N-素数)=素数+正整数b=“1+b”,两相比较,“1+b”比“a+b”更接近“1+1”,我们首先要选择“1+b”进行研究。历史上却因为梳理不当而先研究“a+b”,直到无法进行的时候,才想到“1+b”。②在N=素数+(N-素数)=素数+正整数b=“1+b”中,应该进一步梳理成N=素数+素数和N=素数+合数,并分析前面一个等式中的“素数”与后面一个等式中的“素数”之间的差别后,才能有目的地讨论“1+1”。历史上却因为梳理不当而急着剔除“N-素数”中的合数,直到无法进行的时候,才说“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”。(至今仍在处理中。)
    2,2011-11-14,我寄给“科学智慧火花”的是《逻辑的力量——谈谈“1+5”因为逻辑不当而南辕北辙》,说的是正整数由数1、素数、合数组成,由它们相加组成偶数N时,必定出现:①N=数1+素数或合数;②N=素数+素数;③N=素数+合数;④N=合数+合数;——少一个等式或多一个等式都是逻辑上的失误。历史上却逻辑到N=素数+(N-素数)就急吼吼地去剔除“N-素数”中的合数,直到“1+5”→“1+2”而无法进行时,才知道这条路是断头路,这个楼是烂尾楼。
    3,2011-11-14,我寄给“科学智慧火花”的是《逻辑的力量——谈谈国际上“殆素数”定义的意义》,说的是可以根据国际上的殆素数定义得到需要证明的下面5个并列的命题:
    命题1:大于4的偶数N=“1+1”。答案数量记作π(1)。
    命题2:大于10的偶数N=“1+2”。答案数量记作π(1×1)。
    命题3:大于28的偶数N=“1+3”。答案数量记作π(1×1×1)。
    命题4:大于82的偶数N=“1+4”。答案数量记作π(1×1×1×1)。
    命题5:大于244的偶数N=“1+5”。答案数量记作π(1×1×1×1×1)。
    以上是五个概念完全不一样的、不能混淆的独立命题,下面是它们之间的具体差别:
    ① 五个命题的起始点各不相同;
    ② 五个命题中等号右边的第二项的素因数个数(殆素数的k值)分别是不能混淆的1、2、3、4、5;
    ③ 因为②,在数学上可以证明,五个命题中等号右边第一项的1-殆素数是完全不一样的。这就是说,它们之间的数量关系可以用公式(1)表示。
    (1) π(1)+ π(1×1)+ π(1×1×1)+ π(1×1×1×1)+ π(1×1×1×1×1)+……=π(N)-1或者2。
    我估计到“科学智慧火花”的编辑或专家都是浸润在王元等人的“1+1”理论中长大的一代,一定对我的说法不屑一顾,我之所以寄去只是希望能留下一个印记、留下一种声音。
    但是,在我意料之外的事情发生了,不到30天,2011-12-13,收到了“科学智慧火花”下面二封内容相同的“退改”信:
    ××× 先生/女士:您好!
    首先,感谢您对本栏目的关注!
    请问作者,能把两篇“逻辑的力量”合并成一篇吗?建议您对来稿进行修改。然后,请将修改稿再投往栏目。
    注意:请在“我的投稿列表”中对应退改的稿件处进行修改稿的提交,否则系统将视为新稿处理。
    谢谢!
    此致
    敬礼!
    《科学智慧火花》编辑组
    2011年12月13日
    其中,“注意:请在“我的投稿列表”中对应退改的稿件处进行修改稿的提交,否则系统将视为新稿处理。”是用了红色,说明修改稿的评阅将会短于30天。
    这样的“退改”信让我想起了一位科学家的话:“一个新的科学真理的确立,并不是通过说服反对者声明自己搞通了,倒是因为它的反对者逐渐死了,而新的一代从一开始就熟悉了这个真理。”(普朗克。)——这里说的是接受新事物。如何扬弃“过去的陈见”,哲学家波普尔有一段类似的描写:“对于一位经过一定方法训练的科学家(例如,搞‘a+b’、‘1+b’的数学家)来说,要打破原来的老框框(例如,用殆素数来解决问题。)而采用一种全新的方法是困难的,人们可以举某些成绩卓著的科学家启用某种方法和技术手段在其领域中获得惊人成功,(例如,‘9+9’→‘2+3’,‘1+5’→‘1+2’。)但是,一旦发现所采用的方法、手段不起作用时,(例如,王元说了“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”后。)他们从来(请注意这里用的是“从来”二个字,估计周光召他看到了这二个字,所以他说“一些人被权威束缚住了,不敢打破过去的陈见去创新”。寄希望于新的一代。)没有勇气抛弃老的,寻求一种新的技术手段,......,他们不能跟上来,也没有勇气跟上来。(依靠吃老本过日子。)”
    “......,再就是我们科学家的致命弱点——缺乏虚心。”
    二封“退改”信可以说明王元后面的新生代能根据领导的讲话精神而接受了对“1+1”方面的“过去的陈见”进行再讨论。
    2011-12-19,根据“退改”的要求,我把二篇合成一篇,寄给“科学智慧火花”的是《哲学和逻辑的力量——解释9+9→1+2为何到不了1+1》。
    同一天,我收到了下面的回信:(这一现象可以说明“科学智慧火花”编辑部至少有一位值班编辑,足见这次在周光召——科技部长——白春礼的不断指示下,编辑部在重视民间智慧上有了具体的措施。)
    ×××作者,你的题为逻辑的力量的稿件已送专家评阅。另一篇内容相同的稿件就删除了,特告知。
    科学智慧火花编辑组
    现在,修改稿的评阅时间已经超过了30天,看来“科学智慧火花”编辑部那几个红字不起作用了。王元后面的新生代的做法还是受到了制约,制约他们的人肯定不是主张“学术不争论,怎么能创新”的领导人。个人认为,制约他们的人是能够坚持“过去的陈见”、还可以不理会“科学智慧火花”编辑部的学霸、学阀。但是,要看到,领导的春雷已动,坚冰已破,只是进一步的百花齐放、百家争鸣还需要时间。“哥迷”们,努力吧!

  23. 童信平说道:

    四个数学错误使哥德巴赫猜想研究深陷在断头路9+9→1+2
    童 信 平

    “公平正义比太阳还要有光辉。”谨以此文向数论界求真、问实。

    摘要 本文指出,“9+9”→“1+2”是一条到不了“1+1”的断头路,其数学错误有:①将命题“1+1”换成“a+b”或“1+b”不是等价变换,它们证明不了“1+1”。②(N-素数)中的素数与合数之间是非此即彼的关系,不能调和矛盾,混淆了素数、合数之别而称为殆素数。③(N-素数)中“1”与“1×1”、“1×1×1”、...等在数量上是此消彼长,说明这些命题的参变量不一样,“1+b”的系数值抹煞了许多参变量。④对于(N-素数)=合数,要研究这里的素数与“1+1”中素数的区别,不应该逐步地去剔除合数。

    0 引言。
    十年前,周光召在批评科技界存在的不良风气时说:科技界要弘扬科学精神,求真问实。求真,就是追求真理;问实,就要实事求是,求真唯是。笔者认为,这里面应该包括对“9+9”→“1+2”的求真、问实。
    1996年7月17日,中央电视台“东方时空”节目中,王元向全国电视观众面前斩钉截铁地承认:“哥德巴赫猜想仅指1+1。 [1] ”——说白了,“9+9”→“1+2”不是、也不可能属于哥德巴赫猜想。所谓“陈景润的哥德巴赫猜想 [2] ”、“哥德巴赫猜想(1+2) [3] ”、“前赴后继把哥德巴赫猜想从9+9推进到1+2 [4] ”、“‘1+2’是迄今为止世界上有关哥德巴赫猜想证明的最好成果 [5] ”等都是为了与“1+1”套近乎的无稽之谈或混淆是非。
    王元承认:“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)。 [6] ”——说白了,“9+9”→“1+2”所用的原理和方法(包括对它们的改进)在“1+1”的证明中将起不了什么作用而变得毫无意义。由此我们可以断定,“9+9”→“1+2”是一条到不了“1+1”的断头路(或死胡同)。所谓“(1,2)较之(1,1)仅一步之差 [6] ”是子虚乌有。
    王元承认:“看来,圆法、筛法均已山穷水尽。用它们几乎是不可能证明猜想(A)的,数学家殷切地期望新思想与新方法的产生。 [6] ”——无功而返的数学家并不想分析走进断头路“9+9”→“1+2”的原因。
    笔者要用《四个数学错误使哥德巴赫猜想研究深陷在断头路9+9→1+2》和《不善于举一反三使哥德巴赫猜想研究跳不出断头路9+9→1+2》二篇文章分析为什么走进了断头路和为什么跳不出断头路。
    哲学家波普尔说过:“没有逻辑就没有创造。 [7] ”所以,笔者首先写了《哲学和逻辑的力量——解释9+9→1+2为何到不了1+1》指出,首先是因为逻辑上的混乱误导大家走进了“9+9”→“1+2”这条断头路。
    本文指出“9+9”→“1+2”是一条到不了“1+1”的断头路,其中,至少有四个数学错误:①将命题“1+1”换成“a+b”或“1+b”不是等价变换,它们证明不了“1+1”。②(N-素数)中的素数与合数之间是非此即彼的关系,不能调和矛盾,混淆了素数、合数之别而称为殆素数。③(N-素数)中“1”与“1×1”、“1×1×1”、...等在数量上是此消彼长,说明这些命题的参变量不一样,“1+b”的系数值抹煞了许多参变量。④对于(N-素数)=合数,要研究这里的素数与“1+1”中素数的区别,不应该逐步地去剔除合数。
    1 错误之一:将命题“1+1”换成“a+b”或“1+b”不是等价变换,它们证明不了“1+1”。
    等价变换就是把一个命题α转化为一个与之等价的新命题β的一种变换。所谓等价是指变换后必须能保证:证明命题β也就是证明了命题α。所以,若想早日成功,命题β应该是可以用现有的知识能够证明的。如果命题β的证明最终并没有证明命题α而徒劳无功,那么这个变换一定不是等价变换。
    王元说:“只要将困难问题中的素数换成殆素数,例如将命题(A)换成(F)、(G),就可以用筛法进行处理了。 [6]
    因为素数(=“1”)与殆素数(=a或b。a、b≥1。)不构成等价关系,所以,素数换成殆素数不是等价变换。同理,将命题(A)(N=“素数+素数”=“1+1”)换成命题(F)(N=“殆素数+殆素数”=“a+b”)、(G)(N=“1+殆素数”=“1+b”)也不是等价变换。这二个不等价变换“可以用筛法进行处理”,却不可能证明“1+1”。
    王元的“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”承认了证明命题(F)、(G)的方法不可能证明命题(A)。换句话说,王元在这里承认了“将命题(A)换成(F)、(G)”不是等价变换。当然,不遵守等价变换原则的始作俑者是1920年Brun证明的“9+9”,其实,早在1921年,哈代已指出:“哥德巴赫猜想似乎不能用Brun的方法来证明。 [8] ”为什么却成为数学史上的一种时尚而长盛不衰?有人说过,自从Brun证明“9+9”并被吹捧之后,加上“7+7”、“6+6”的推波助澜,无形中在数学史上开了一些恭请光临并可青史留名的空白天窗,名利驱使他们顾不得是不是断头路而采用实用主义方法先在“a+b”、“1+b”中谋得一席之地再说。于是你追我赶地出现了“9+9”→“1+2”,到了“1+2”之后,在熙熙攘攘之中,民间智慧发现盛名之下、其实难副,三箭齐发地问:“1+2”究竟是不是哥德巴赫猜想?或者,“1+2”是哥德巴赫猜想的一部分?“1+2”与“1+1”有无本质联系?使得王元不得不在中央电视台向全国电视观众澄清:“哥德巴赫猜想仅指1+1。”
    另外,王元还说过:“…终于证明了‘1+2’。换句话说,命题(F)(即‘a+b’)与命题(G)(即‘1+b’)的研究已告结束,因此关于哥德巴赫猜想问题,现在剩下需要研究的只有命题(A)(‘1+1’)与(D)(哈代-李特伍德猜想)了。 [6] ”——这就充分地披露出王元等一些数学家早就知道“a+b”的终点是“2+2”。“1+b”的终点是“1+2”。研究“9+9”→“1+2”不过是逢场作戏、为名利而占领Brun开创的那些空白天窗而已。同时,可以解释为什么数学家不敢分析“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”的原因,以利再战。
    2 错误之二:(N-素数)中的素数与合数之间是非此即彼的关系,不能调和矛盾,混淆了素数、合数之别而称为殆素数。
    《哲学和逻辑的力量——解释9+9→1+2为何到不了1+1》指出,正整数的下位概念是数1、素数、合数。逻辑告诉我们用这三个下位概念相加组成偶数N时,必定可以罗列出4个不应该混淆的、彼此独立的命题:
    (1) N=数1+奇素数或奇合数。
    (2) N=素数A+素数A。(简称“1+1”。)
    (3) N=素数B+合数f。(简称“1+f”。f≥2。)可以证明,N确定后,素数B与素数A在数值上不一样。
    (4) N=合数t+合数t。(简称“t+t”。t≥2。) 可以证明,N确定后,合数t与合数f在数值上不一样。
    数学家根据偶数N=素数+(N-素数)=“1+b”而建立命题“1+b”并采用剔除“b”中合数最后只剩下素数的做法有二方面的错误:①从逻辑上讲,既然正整数有它的下位概念素数、合数,对于正整数(N-素数),当然应该根据逻辑分为(N-素数)=素数和(N-素数)=合数这样二种下位概念分别研究之;②从数学上讲,pi< ,当(N-素数)>1时,所谓(N-素数)=素数,说的是这些(N-素数)不可能被每一个pi整除。所谓(N-素数)=合数,说的是这些(N-素数)至少可以被其中某一个pi整除。这是泾渭分明的二类不同性质的正整数。换句话说,(N-素数)中的素数、合数之间具有排他性,从而形成非此即彼的关系。在数值上,后面的(“=素数”)≠(“=合数”),所以,可以肯定,它们的“=”前面的那二类“-素数”也必定是不一样的数值。由此可见,应该把“素数”分为“素数A”和“素数B”。如公式(2)、(3)所示。这是逻辑上的进步,不能混淆或推翻这些界限,倒退回去,含糊不清地把(N-素数)称为殆素数。历史已经证明,殆素数解决不了哥德巴赫猜想。
    忽略某些细节,不大于N的素数个数π(N)~素数A的数量+素数B的数量。变换后,素数A的数量~π(N)-素数B的数量。由此可见,N确定后,素数A与素数B在数值上不一样,它们数量是此消彼长。(N=素数+素数=“1+1”与N=素数+素数×素数=“1+1×1”之间的此消彼长现象参看实验2和表2。)
    在N=素数+(N-素数)=“1+b”中,到了“1+2”之后,能不能再剔除“二个素因数的合数”而得到“1+1”呢?我们用实验1说明数学家遇到了什么困难而止步。
    实验1:91=7×13=“2”,128=37+91=“1+2”,130=39+91=“2+2”,132=41+91=“1+2”,134=43+91=
    “1+2”,136=45+91=“3+2”,138=47+91=“1+2”,140=49+91=“2+2”,142=51+91=“2+2”,……。
    实验1告诉我们,在剔除“二个素因数的合数”的时候,至少要根据N之值来分清楚“二个素因数的合数”中哪些是“1+2”中的合数?哪些是“2+2”中的合数?在这里我们遇到了还不能证明的“2+2”而无法进行下去。这就是我们前面指出的“命题β应该可以用现有的知识进行证明”。
    简单地说,这个问题早就存在,例如:证明“1+5”时要区分“1+6”与“6+6”的合数的差别,证明“1+4”时要区分“1+5”与“5+5”的合数的差别,……。只是得过且过没有引起足够重视,到了证明“1+1”,面对无法区分“1+2”与“2+2”中的合数。才说一声“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”停下来了。
    3 错误之三:(N-素数)中“1”与“1×1”、“1×1×1”、...等在数量上是此消彼长,说明这些命题的参变量不一样,“1+b”的系数值抹煞了许多参变量。
    以“1+5”~“1+2”为例,得到的都是下界估计,它们的参变量都是一模一样的,只是系数值有一些变化,到了“1+2”,系数值提高进程是:0.62、0.67、0.689、0.754、0.81、0.828、0.836、0.867、0.899。既然“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”,显而易见,这些系数值的改进对证明“1+1”毫无意义。那么,对“1+2”本身有没有实际意义呢?让我们用实验2说明这个问题。
    实验之前需要说明二个情况:
    ①国际上k-殆素数定义与王元k-殆素数定义的差别如表1。
    表1 k=1~4时,国际上k-殆素数定义与王元k-殆素数定义的差别。
    .…k-殆素数….. …..国际上的k-殆素数…... ………………………..王元的k-殆素数…………………….
    1-殆素数(素数) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
    2-殆素数…….. 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, … 2,3,4,5,6,7,9,10,11,13,14,15,17,19,21,22,23,…
    3-殆素数…….. 8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, … 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,…
    4-殆素数…….. 16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, … 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,…
    表1说明,国际上的“1+2”=“1+1×1”与“1+1”是二个概念不一样的独立的命题。(其独立性表现在公式(7)与(5)之间的参变量有差别。)王元等人的“1+2”=“1+1×1”+“1+1” (见公式(6)。)与“1+1”之间不是等价变换,特别是,想用所谓的下界估计系数值把公式(7)、(5)合并成公式(6)是非分之想,见实验2。
    ②假设在证明“1+5”~“1+2”的时候,应该筛去的一个不留下,应该留下的一个不丢失。换句话说,“1+1”与“1+1×1”始终没有任何丢失。这样才能用实验得到系数值与证明中得到的系数值进行比较。
    实验2:先把N分为典型的二类:一类是N中只有一个素因数2。(其它条件不变时,这是“1+1”表法个数最少的时候。见表2中2038~60058。)另一类是N中有数值最小、数量最多的素因数。(其它条件不变时,这是“1+1”表法个数最多的时候。见表2中2310~60060。)如表2所示,表中:
    “1+1×1”(系数值)——实验得到的“素数+素数×素数”的表法个数及其系数值。系数值是根据公式(5)中的c(N)π(N)π(N)/N折算出来。(这个系数值也是国际上认可的“1+2”=“1+1×1”的实验系数值。)
    “1+1”(系数值)——用公式(5)计算出来的“1+1”的表法个数及其系数值。
    “1+2”(系数值)——实验得到的“1+2”表法个数及其系数值。如②所述,表中取前面的“1+1”与“1+1×1”的系数值之和。(这个系数值也是王元定义的“1+2”=“1+1×1”+“1+1”的实验的系数值。)
    公式(7)(精确度)——笔者得到的“1+1×1”的表法个数计算公式及其精确度。(另文发表。)
    (5) N(1,1)~2c(N)π(N)π(N)/N。(根据哈代-李特伍德猜想(A)结合素数定理π(N)~N/ln N而成。)
    (6) N(1,2)>0.67c(N)π(N)π(N)/N。(根据陈氏定理结合素数定理π(N)~N/ln N而成。)
    (7) N(1,1×1)~2 (∑(p-1)/p(p-2)) c(N)π(N)π(N)/N。其中,素数p<√N。(p,N)=1。(笔者提供。)

    表2,“1+1×1”、“1+1”、“1+2”的解数及其系数值或精确度。
    N…………p∣N…………“1+1×1”()…“1+1”()……“1+2”()…………公式(7)(精确度)……
    2308…………2……………119(3.54)……67.2(2)……186.2(5.54)……108.928(0.9152)
    4622…………2……………202(3.62)……111.5(2)……313.5(5.62)……188.451(0.9329)
    9242…………2……………346(3.68)……188.0(2)……534.0(5.68)……329.750(0.9530)
    18482…………2……………627(3.91)……320.6(2)……947.6(5.91)……585.868(0.9344)
    30032…………2……………959(4.13)……462.2(2)……1421.2(6.13)……872.754(0.91010)
    60058…………2……………1617(3.99)……811.0(2)……2428.0(5.99)……1575.54(0.9743)
    2310……2、3、5、7、11…110(0.92)……240.0(2)……350.0(2.92)……99.726(0.9066)
    4620……2、3、5、7、11…167(0.84)……395.5(2)……562.5(2.84)……179.458(1.0746)
    9240……2、3、5、7、11…333(0.99)……667.4(2)……1000.4(2.99)……365.944(1.0989)
    18480……2、3、5、7、11…681(1.19)…1138.9(2)……1819.9(3.19)……708.147(1.0398)
    30030…2、3、5、7、11、13…1038(1.15)…1800.7(2)……2838.7(3.15)……1063.050(1.0241)
    60060…2、3、5、7、11、13…2089(1.33)…3145.7(2)……5234.7(3.33)……2053.83(0.9831)
    从表2可以看出:
    ①N=2038~60058时,“1+1×1”比“1+1”多。N=2310~60050时,“1+1×1”比“1+1”少。由此可见,“1+1×1”与“1+1”的表法个数是此消彼长的。
    ②N=2038~60058,“1+1×1”的系数值会很快大于2。N=2310~60050,“1+1×1”的系数值不大于2,由此可见,是“1+1×1”中还没有发现的参变量促使系数值发生变化,系数值从0.62提高到0.899不能反映出它们的真实的参变量,所以没有什么意义。找到其中的参变量才是当务之急。(见③。)
    ③公式(7)的实验精确度告诉我们,公式(7)基本上把影响“1+1×1”表法个数的参变量找到了,还把“1+1×1”与“1+1”之间的此消彼长的关系也反映出来了。现在的问题是需要进一步证明它。
    ④公式(6)中的系数值0.67被认为“…系数值,可能要大于2才会有价值。 [9] ”从表2中“1+2”的实验系数值看,潘氏兄弟的这句话虽然没有错。但是,他们的概念错了,公式(5)、(7)是二个具有不同参变量的公式,绝对不能用一个大于2的系数值而把公式(5)、(7)拼凑成公式(6)。
    4 错误之四:对于(N-素数)=合数,要研究这里的素数与“1+1”中素数的区别,不应该逐步地去剔除合数。
    pi<√N<pr+1<P<(N- pr-1)。i=1、2、...、r。r=π(√N)。
    因为(N-P)>N-(N- pr-1)>pr+1>pi,所以,(N-P)不是素数就是合数。
    N用pi表示时,N=d+e pi。d和pi可以组成等差数列d+ pi n。
    N= pi +(N- pi)=P+(N-P),实验证明,许多N的(N-pi)都是合数,这不能构成N的“1+1”的有效的讨论对象。“1+1”需要证明的是(N-P)中必定有(N-P)=素数,或者,给出这些素数(N-P)的数量计算公式。
    定理1 若P=d+pi n,则(N-P)是含有素因数pi的合数。
    证明 P=d+ pi n,N=d+e pi,(N-P)=(e-n) pi。(N-P)可以被pi整除,又因为(N-P)>pi,所以,(e-n)>1,(N-P)是含有素因数p的合数。定理1证毕。
    定理1告诉我们在等式(N-素数)=合数之中的素数P都是以N为末项目、pi为公差的等差数列。其余的P才是关于N的“1+1”的答案。由此可见,剔除符合定理1的素数后,剩下的素数都是“1+1”的答案。[10]
    以前的所谓在“1+b”中剔除合数使之最终剩下素数的想法既繁琐又做不到,这已经通过实验1证实了。
    5 结束语。
    从以上分析可以看出,由于四个数学错误使得数学家从1920~1966年,在断头路上不到黄河心不死地足足走了46年。到了“1+2”才想明白“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)”。而且,从这些分析可以看出,在前46年中,只要发现四个数学错误中的任何一个,我们就可以及早从头断路(或死胡同)中退出来。在后46年中,数学家不想承认、更不想分析走进断头路“9+9”→“1+2”的原因。
    从另一方面来说,解决数学问题的关键是所用的数学原理,原理通了,可以举一反三地解决一些类似的问题,笔者准备写《不善于举一反三使哥德巴赫猜想研究跳不出断头路9+9→1+2》。
    一位科普工作者、数学教授给我的来信中有这样一段:“长期以来,我们的新闻传媒及教育、数学界都有一个误导,认为从1+2到1+1只有一步之差了,潘氏兄弟及先生指出,1+2根本达不到1+1,从而使二百年来的、误入歧途的研究回到了原点,但一般人是根本不知道这种事情的,所以必须像禅宗的祖师那样,给他们来一个当头棒喝。我想阁下如为有心人,可以把这种理路写成通俗文章不要像潘氏兄弟那样艰深难解,这是一件功德无量的大好事,徐迟先生及其后继者一系列误导是应该及早结束了。”(来信中还在“当头棒喝”下加了黑点,可见盼之切。)这反映了某些数学工作者的心愿,希望本文完成了他们的心愿。
    参考文献。
    [1] 王晓明,哥德巴赫猜想传奇,中华传奇,1999,3,7页。
    [2] 新华社北京2月20日电。
    [3] 袁小明等,中华数学之光,湖南教育出版社,325页。
    [4] 科学时报,1999,08,10,1版。
    [5] 王元,漫谈哥德巴赫猜想,科学时报,2009,07,02。A3版。
    [6] 李文林主编,王元论哥德巴赫猜想,山东教育出版社,1999。
    [7] 科学方法分析及科学发现的逻辑——波普尔、莫诺等讨论发言摘要,科学与哲学,1984,6。
    [8] 张建亚,哥德巴赫猜想与潘承洞,中华读书报,2003,01,15。
    [9] 潘承洞、潘承彪,哥德巴赫猜想,科学出版社,1981,237页。
    [10] 童信平,偶数Goldbach问题解数的计算公式,右江民族师专学报(自然科学版),1997,3,10-12。
    2012-03-24修改

  24. 童信平说道:

    不善于举一反三使哥德巴赫猜想研究跳不出断头路9+9→1+2
    童 信 平

    摘要 本文指出,如果从下列素数问题的研究中触类旁通:①用Eratosthenes筛法举一反三地用图解方法得到不大于N的素数、偶数哥德巴赫猜想的答案、双生素数。②用“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰二十三”举一反三地运用同余式组计算不大于N的素数、偶数哥德巴赫猜想的答案、双生素数的答案。③根据容斥原理建立素数个数、偶数哥德巴赫猜想答案的表法个数、双生素数的表法个数等容斥公式。就会及早跳出“9+9”→“1+2”这条断头路。

    0 引言。
    德国哲学家康德说过:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往往能够指引我们前进。”
    本文通过类比,①用Eratosthenes筛法举一反三地用图解方法得到不大于N的素数、偶数哥德巴赫猜想的答案、双生素数。②用“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰二十三”举一反三地运用同余式组计算不大于N的素数、偶数哥德巴赫猜想的答案、双生素数的答案。③根据容斥原理建立素数个数、偶数哥德巴赫猜想答案的表法个数、双生素数的表法个数等容斥公式。就不会进入或及早跳出“9+9”→“1+2”这条断头路。
    1 用Eratosthenes筛法举一反三地用图解方法得到不大于N的素数、偶数哥德巴赫猜想的答案、双生素数。
    1.1 Eratosthenes筛法。
    我们把不大于m(奇数或偶数,以下取偶数N)的自然数(1除外)按次序排列:2、3、4、5、…,N。
    第一个数2是素数,把2留下,依次地划去2以后的所有2的倍数2x。
    2后面没有被划去的是3,它也是素数,把3留下,依次地划去3以后的所有3的倍数3x。
    3后面没有被划去的是5,可见5不是2或3的倍数,(不然的话就被划去了。)所以5也是素数,把5留下,依次地划去5以后的所有5的倍数5x。
    继续做下去,直到把所有不大于√N的素数的倍数都划去,留下的就是不大于N的所有素数了。
    1.2 在数轴上用图解方法得到不大于N的素数。
    引理1 如果a是一个大于1的整数,而所有≤√a的素数都除不尽a,则a是素数。
    建立长度为N的数轴并标出不大于√N的素数2、3、5、…。大于√N而小于N的自然数。
    从2开始,(保留2。)一个接一个地划去数轴上间距为2的自然数。
    从3开始,(保留3。)一个接一个地划去数轴上间距为3的自然数。
    从5开始,(保留5。)一个接一个地划去数轴上间距为5的自然数。
    如此这般,依次找到每一个不大于√N的素数,再以这个素数为间距接二连三地划去相关的自然数,留下的就是不大于N的所有素数了。(因为留下的每一个整数都能满足引理1,所以它们是素数。)
    1.3 在数轴上用图解方法得到N的哥德巴赫猜想的答案。(N=“素数+素数”=“1+1”。)
    pi、pr、P——素数。2≤pi≤pr<√N,i=1、2、...、r。r=π(√N)。pr+1<P<(N- pr-1)。
    因为(N-P)>N-(N- pr-1)>pr+1>pi,所以,(N-P)不是素数就是合数。
    N用pi表示时,N= N(1)+e1p1= N(2)+e2p2=…=N(i)+eipi=…= N(r)+erpr。
    N(i)与pi组成以N为末项、以pi为公差的等差数列N(i)+ pi n 。其中的素数符合pr+1<P<(N- pr-1)。
    N= pi +(N- pi)=P+(N-P),许多N的(N-pi)都是合数,所以,下面用图解方法找到(N-P)中的素数。
    定理1 若P= N(i)+ pi n,则(N-P)是含有素因数pi的合数。
    证明 P= N(i)+ pi n,N= N(i)+eipi,(N-P)=( ei-n) pi。(N-P)可以被pi整除,又因为(N-P)>pi,可见(ei-n)>1,(N-P)是含有素因数pi的合数。定理1证毕。
    如果从数轴的N处开始,反方向接二连三地划去间距为pi的整数,就是划去以N为末项、pi为公差的等差数列。(包括不是偶数哥德巴赫猜想的答案的素数P= N(i)+pi n。)下面就是找到N=“1+1”中P的具体方法:
    建立长度为N的数轴,计算出pi和标出P,pr+1<P<(N- pr-1)。
    取p1=2,从N处开始,反方向接二连三地划去间距为p1=2的整数。(无P可划,称为空划。)
    取p2=3,从N处开始,反方向接二连三地划去间距为p2=3的整数。(3∣N时,无P可划,则称为空划。)
    取p3=5,从N处开始,反方向接二连三地划去间距为p3=5的整数。(5∣N时,无P可划,则称为空划。)
    直到取pr,从N处开始,反方向接二连三地划去间距为pr的整数。(pr∣N时,无P可划,则称为空划。)
    留下的P就是偶数哥德巴赫猜想的答案。(有时候,我们不了解N中的素因数,宁可空划,不可漏划。)
    1.4 在数轴上用图解方法得到双生素数(P-k, P)中的素数P。(k=“素数-素数”=“1-1”。)
    pi<√N。i=1、2、...、r。r=π(√N)。pr+k<P<N (k是偶数。pi、pr、P是素数。)
    根据有关定理,采用k和pi可以组成含有无限多个素数的等差数列k+ pi n。
    定理2 若P=k+pi n,(n≥2。)则(P-k, P)不是双生素数。
    证明 P=k+ pi n,P-k=pi n,n≥2,(P-k)是合数,所以,(P-k, P)不是双生素数。证毕。
    如果从数轴的k处开始,正方向接二连三地划去间距为pi的整数,就划去以k为常数项、pi为公差的等差数列。(包括非双生素数(P-k, P)中的素数P=k+pi n。)下面就是找到k=“1-1”中P的具体方法:
    建立长度为N的数轴,计算出pi和标出P,pr+k<P<N。
    取p1=2,从k处开始,正方向接二连三地划去间距为p1=2的整数。(无P可划,称为空划。)
    取p2=3,从k处开始,正方向接二连三地划去间距为p2=3的整数。(3∣k时,无P可划,则称为空划。)
    取p3=5,从k处开始,正方向接二连三地划去间距为p3=5的整数。(5∣k时,无P可划,则称为空划。)
    直到取pr,从k处开始,正方向接二连三地划去间距为pr的整数。(pr∣k时,无P可划,则称为空划。)
    留下的P就是双生素数(P-k, P)中的P。(有时候,我们不了解k中的素因数,宁可空划,不可漏划。)
    1.5 小结。
    综上所述,Eratosthenes筛法是二千多年寻找具体素数的一个里程碑。由此派生的1.3~1.4也不失为二百多年来寻找具体的偶数哥德巴赫猜想的答案和双生素数(p,p+k)的答案的一个里程碑。
    根据定理1、2,用反证法证明(N-P)、(P-k)中必有素数也不失为证明“1+1”、“1-1”的简单方法。
    2 用“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰二十三”举一反三地运用同余式组计算不大于N的素数、偶数哥德巴赫猜想的答案、双生素数的答案。
    2.1 用同余式组通过某些素数计算出另外一个素数的一个例子。
    我国古代的《孙子算经》(纪元前后)里有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”“答曰二十三。”——加上“二二数之剩一”,用同余式组表示见例1。
    例1:x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 2 (mod 3),x ≡ 3 (mod 5),x ≡ 2 (mod 7)。答案x =23。
    这里的2、3、5、7都是素数,23也是素数,这就告诉我们,可以用某些素数通过一组同余式组,计算得到另外一个素数。下面讨论这个同余式组的举一反三的应用。
    2.2 用同余式组计算不大于N的素数。
    例1中有哪些特点呢?首先,根据引理1,计算不大于N的素数时,其除数应该是p1、p2、p3、…、pi、…、pr。其次,既然pr<P<N,素数P不能被pi整除,余数P(i)应该是P(i)=1、2、3、…、(pi-1)。
    根据这些特点,就可以建立计算素数P的同余式组(1)。x<N时,x =P。
    (1) x ≡P(1) (mod p1),x ≡P(2) (mod p2),x ≡P(3) (mod p3),…,x ≡P(i) (mod pi),…,x ≡P(r) (mod pr)。
    式中,
    P(1) (mod p1)包括:1 (mod 2)。
    P(2) (mod p2)包括:1(mod 3)、2 (mod 3)。
    P(3) (mod p3)包括:1 (mod 5)、2 (mod 5)、3(mod 5)、4 (mod 5)。
    P(i) (mod pi)包括:1 (mod pi)、2(mod pi)、3(mod pi)、…、(pi-1) (mod pi)。
    P(r) (mod pr)包括:1 (mod pr)、2(mod pr)、3(mod pr)、…、(pr-1) (mod pr)。
    2.3 用同余式组计算N的哥德巴赫猜想的答案。
    P(i) N——N(i) ≠0时,在数列P(i) =1、2、3、…、(pi-1)中剔除那个与N(i) 相同的元素后留下的数列。
    根据定理1,剔除的是P= N(i)+ pi n,这些P不是“1+1”的答案,所以,留下的余数P(i) N可以建立同余式组(2)。其解pr+1< x <(N- pr-1)时,x =P是“1+1”的答案。
    (2) x ≡P(1) (mod p1),x ≡P(2) N (mod p2),x ≡P(3) N (mod p3),…,x ≡P(i) N (mod pi),…,x ≡P(r) N (mod pr)。
    2.4 用同余式组计算双生素数(P-k, P)中的素数P。
    P(i) k——k(i) ≠0时,在数列P(i) =1、2、3、…、(pi-1)中剔除那个与k(i) 相同的元素后留下的数列。
    根据定理2,剔除的是P= k+ pi n,(n≥2。)这些P不是“1-1”的答案,所以,留下的余数P(i) k可以建立同余式组(3)。其解pr+1< x <N时,x =P是“1-1”的答案。
    (3) x ≡P(1) (mod p1),x ≡P(2) k (mod p2),x ≡P(3) k (mod p3),…,x ≡P(i) k (mod pi),…,x ≡P(r) k (mod pr)。
    2.5 小结。
    综上所述,素数、哥德巴赫猜想的答案、双生素数(p,p+k)是可以通过同余式组(1)、(2)、(3)的计算结果得到,但是,N越大,得到P的成功率越低。换句话说,这种计算方法理论上可以成立,实用意义不大。
    3 根据容斥原理建立素数个数、“1+1”答案数量、双生素数(P-k,P)数量的容斥公式。
    3.1 筛法公式(又称容斥公式)。
    二千多年前,希腊学者Eratosthenes(公元前276年~公元前195年)首创了Eratosthenes筛法制作了第一个不大于N的素数表。也得到了不大于N的素数数量。——能不能用计算公式直接计算出不大于N的素数数量呢?经过数学家近二千年的前赴后继、无怨无悔的努力,终于在19世纪末,由da Silva和Sylvester二人用容斥原理建立了第一个筛法公式,又称容斥公式。容斥原理作为一个原理是可以推广应用的,从而建立以下素数个数π(N)、“1+1”答案数量N(p,p)r、双生素数(P-k,P)数量N(p,k)r的容斥公式。
    3.2 素数个数π(N)的容斥公式。
    (4) π(N)=( r-1) +{N- ∑ [N/ pi]+ ∑ [N/ pipj]- ∑ [N/ pipjpk]+…+(-1)r[N/ p2p3…pr]} [1]
    2≤i≤r 2≤i<j≤r 2≤i<j<k≤r
    3.3 “1+1”答案数量N(p,p)r的容斥公式。
    (5) N(p,p)r =π(N)r- ∑ π(pi)r+ ∑ π(pipj)r- ∑ π(pipjpk)r+…+(-1)r-1π(p2p3…pr)r [2]
    ¬ 2≤i≤r 2≤i<j≤r 2≤i<j<k≤r
    3.4 双生素数(P-k,P)数量N(p,k)r的容斥公式。
    (6) N(p,k)r =π(N)k- ∑ π(pi)k+ ∑ π(pipj)k- ∑ π(pipjpk)k+…+(-1)r-1π(p2p3…pr)k [3]
    ¬ 2≤i≤r 2≤i<j≤r 2≤i<j<k≤r
    3.5 小结。
    用公式(4)、(5)、(6)进行计算是很繁琐的甚至是不可能的。公式(4)的渐近公式是π(N)~N/lnN。公式(5)可以导出哈代-李特伍德猜想(A);公式(6)可以导出哈代-李特伍德的双生素数(p,p+k)数量的猜想。另文讨论。
    4 讨论。
    [加] R.K.Guy说:“专家告诉我们,这些问题到下一代也不太可能获得解决。……从另一方面来说,‘未解决’的问题未必就是根本不可解的,或许可能比我们一开始所想的要容易得多。”(张明尧译,数论中未解决的问题,第一版前言。)本文得到了一些“比我们一开始所想的要容易得多”的方法,不知大家以为然否?
    高斯说过:“去寻求一种最美和最简捷的证明,乃是吸引我去研究它的主要动力。”数学家张寿武更说:“正确是基于简单的理由,而不是复杂的理由。实际上数学与科学和文学一样,能够留下来的东西都是最简单的。”你看,公元前200年上下,欧几里得的关于素数有无限多个的证明、Eratosthenes的筛法都开创了先河,更因其简单方面无人超越而在数论教科书上传诵至今。
    参考文献
    [1] 王元,谈谈素数,上海教育出版社,1978年,32页。
    [2] 童信平,偶数Goldbach问题解数的计算公式,右江民族师专学报(自然科学版),1997,3,10-12。
    [3] 黄勇、童信平,双生素数(p,p+k)的数量的计算公式,广西民族学院学报(自然科学版),2000,1,9-11。
    [4] 易蓉蓉,“中国数学需要简洁”,科学时报,2007,11,29。 2012-03-15

  25. txp1937说道:

    从《科学智慧火花》编辑组的大实话看王元有造假的嫌疑
    2012-04-14,我收到中国科学院官方筹建的《科学智慧火花》编辑组的电子邮件中有这样一句大实话:“数学家在研究Goldbach猜想时,从未企图由a+b去逐步证明1+1。只是因为无法证明1+1而选择了相关且较容易的课题去研究。”
    首先,我们来看一看王元是不是属于上面所说的数学家。
    ①1992年2月13日,王元在记者招待会上向全国媒体的代表面前承认:“陈景润从未去证明1+1,甚至都没想过自己能证明1+1。”这里的“从未”与上面电子邮件中的“从未”何其一致,可以说是“心有灵犀一点通”。所以,“从未企图”的应该包括“1+2”。
    ②1996年7月17日,王元在“东方时空”节目中向全国电视观众承认:“哥德巴赫猜想仅指1+1。”肯定了“9+9”→“1+2”不是“1+1”,不能把研究“9+9”→“1+2”称为哥德巴赫猜想研究。
    由此可见,王元属于“从未企图”的数学家之一。
    既然连王元也说“1+2”“从未...”,所以,可以把《科学智慧火花》编辑组的这句大实话说得更全面一些:“数学家在研究Goldbach猜想时,从未企图由‘9+9’→‘1+2’去逐步证明1+1。只是因为无法证明1+1而选择了相关且较容易的课题去研究。”(《科学智慧火花》编辑组只是说“a+b”,没有把“1+b”罗列在内,说明他们还是有所企图。)
    企图——①《汉语小词典》的解释是“打算”。②《新华字典》的解释是“图谋”。
    从未企图——每一个数学家自从进入数论这一行以来,一直不存在想用“9+9”→“1+2”去证明“1+1”的“打算”或“图谋”。说白了,根本就没有往这方面想。正所谓“此间(“9+9”→“1+2”)乐,不思蜀(“1+1”)。”
    既然王元属于“从未企图”的数学家之一,王元的下面的讲话就不符合“从未企图”的精神而是另有“图谋”了,说白了,王元的一些讲话有造假的嫌疑。例如:
    例1,王元说:“(1,2)较之(1,1)仅一步之差。”——“一步之差”是一百步路已经走了九十九步,有抬腿就到、成功在望的意思。这是与“从未企图”相矛盾的,何况王元还说过:“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)。”一个“不可能证明(1,1)”的方法怎么一下子变成了有用的方法并与“(1,1)仅一步之差”?王元的“仅一步之差”有造假的嫌疑,说得轻一些是“报喜不报忧”、自欺欺人。无奈的是,全国人民都被这种报喜不报忧忽悠了。并在不断的忽悠中以讹传讹、积重难返,乃至到了“陈景润终于攻克了‘哥德巴赫猜想’这一世界数学之谜,这一世界数学‘悬案’终于被陈景润所破译,皇冠上的明珠终于被陈景润所摘取”这样的地步。成为历史上的笑柄。拨乱反正,成为历届中国科学院院长的一个包袱。
    例2,1999年,王元对北京青少年说:“前赴后继把哥德巴赫猜想从9+9推进到1+2。[26]”——说白了,王元在忽悠不知道“从未企图”的青少年。王元忽略了科学严肃性,“图谋”的是青少年的掌声。王元有造假的嫌疑。
    例3,2009年,王元对一般公众说:“1966年,陈景润证明了‘1+2’是迄今为止世界上有关哥德巴赫猜想证明的最好成果。[19]” ——说白了,王元在忽悠不知道“从未企图”的公众。王元忽略了科学的严肃性,“图谋”的是这些公众的掌声。王元有造假的嫌疑。

  26. 童信平说道:

    中科院知道错了却还是死要面子
    大家知道,王元这样介绍了所谓的哥德巴赫猜想研究:
    王元说:“哥德巴赫猜想第一次重大突破是在20年代。”
    王元说:“只要将困难问题中的素数换成殆素数,例如将命题(A)换成(F)、(G),就可以用筛法进行处理了。”——命题(A)是指“1+1”。命题换成(F)、(G)”是指“a+b”、“1+b”。
    王元说:“前赴后继把哥德巴赫猜想从9+9推进到1+2。”
    王元说:“(1,2)较之(1,1)仅一步之差。”
    王元说:“‘1+2’中有也可能出现‘1+1’。”
    这些讲话清清楚楚地说出数学家想从“a+b”或者“1+b”最终证明“1+1”。
    这些话让一些见到风就是雨的人得出以下结论:“陈景润终于攻克了‘哥德巴赫猜想’这一世界数学之谜,这一世界数学‘悬案’终于被陈景润所破译,皇冠上的明珠终于被陈景润所摘取。”
    世事难料,代表中科院的《科学智慧火花》的回复中对王元的说法来了一个大逆转:
    A,2012年4月14日,中科院回复:“数学家在研究Goldbach猜想时,从未企图由a+b去逐步证明1+1。”
    B,2012年3月12日,中科院回复:“数学家在研究哥德巴赫猜想问题时,从未企图由证明(1+2)去证明(1+1)。”
    从用字来看,这是二位专家所写,其中,“从未企图”则成为那些专家一致对外的关键词,从而可以概括为“数学家在研究Goldbach猜想时,从未企图由a+b、1+b去逐步证明1+1。”
    朱维铮先生说过:“我朱维铮成不了大师,凡是大师都有胡说的勇气,我没有,只承认自己是个小师。”现在,可以根据中科院的回复判定王元上面所说的是一些胡说。
    有人说了,王元上面所说不正是“从未企图”的反例吗?这“从未”不也是胡说吗?
    要知道《科学智慧火花》的专家里面有大师,“大师都有胡说的勇气”。确切地说,大师胡说的勇气来自公众对他的言听计从,有识之士认为这是“滥用社会信任”。这是饮鸩止渴。
    “测定智力技能的唯一最佳标准可能是检测并摒弃谬误的速度。”(巴特利特。)——“检测并摒弃谬误的速度”对中科院出成果至关重要,为什么中科院对“a+b”、“1+b”不从“检测并摒弃谬误”着手?这是因为民间指出,想从“a+b”、“1+b”到达“1+1”是因为数学家在哲学、逻辑学、数学上接二连三地犯了一些低级错误造成的,公诸于世太没有面子,干脆再“滥用社会信任”用“从未企图”来一个死不认账。

  27. 饶笨说道:

    %>_<%,基本看不懂,数学好难。 [生病]

  28. 童信平说道:

    假作真时真亦假,华罗庚的1+1何时能活在人民心中
    童 信 平
    因为:①“(1,2)较之(1,1)仅一步之差。”②“…前赴后继把哥德巴赫猜想从9+9推进到1+2。”③“1966年,陈景润证明了‘1+2’是迄今为止世界上有关哥德巴赫猜想证明的最好成果。”1982年,数学所把王元的“2+3”、潘承洞的“1+5”、陈景润的“1+2”合称为“哥德巴赫猜想研究”而申报奖项并获奖。
    【本来嘛,以“陈氏定理”的名义申报并获奖本顺理成章、无可非议,人们也想不到去细究这①、②、③的说法是不是具有科学性。但是,搭上这“2+3”、“1+5”时,奖项的名称就不好办了,草草地以“哥德巴赫猜想研究”名义获奖,事后又不注意分寸、忘乎所以地宣传,于是科学精神就要开始咬文嚼字了。】
    1969年,民间提出了①、②、③中的三个要害问题:“1+2”究竟是不是哥德巴赫猜想?或者,“1+2”是哥德巴赫猜想的一部分?“1+2”与“1+1”有无本质联系?
    2011年,民间提出三篇分析文章:《逻辑的力量——谈谈“1+5”因为逻辑不当而南辕北辙》、《逻辑的力量——谈谈国际上“殆素数”定义的意义》、《哲学和逻辑的力量——解释9+9→1+2为何到不了1+1》。
    在“哥德巴赫猜想研究”获奖三十年后的2012年,中科院官方组织“科学智慧火花”发出二个回复:
    2012-03-12回复:“(1+2)的确不是哥德巴赫猜想!”并说“数学家在研究哥德巴赫猜想问题时,从未企图由证明(1+2)去证明(1+1)”。
    2012-04-14回复:“数学家在研究Goldbach猜想时,从未企图由a+b去逐步证明1+1。只是因为无法证明1+1而选择了……。”
    【从用词看,至少是二人所写,由“从未企图由…”的一致性看,至少是集体讨论过的关键性意见。】
    从中科院这二个回复中,可以看到以下几点:
    第一,既然“(1+2)的确不是哥德巴赫猜想”,“9+9”→“1+3”当然也不是哥德巴赫猜想,称“2+3”、“1+5”、“1+2”是“哥德巴赫猜想研究”,这是典型的挂羊头(“1+1”)卖狗肉(“2+3”、“1+5”、“1+2”)。科学精神要求弄清楚:是认识“9+9”→“1+2”“的确不是哥德巴赫猜想”在前?还是标榜①、②、③在前?
    第二,如果标榜①、②、③在前,那是认识上的无知而哗众取宠,事后应该检讨。如果“9+9”→“(1+2)的确不是哥德巴赫猜想”在前,故意再说出①、②、③就是刻意炒作,是造假。
    第三,a+b是从1920年证明“9+9”时正式开始的,“从未企图由a+b去逐步证明1+1”也应该从1920年开始。说①、②、③者都是1920年以后出生的。所以,说①、②、③者是在炒作、是造假。
    假作真时真亦假,当以讹传讹的①、②、③为真理时,华罗庚的“1+1”的证明反而显得是“假”的了。
    奥运会的游戏规则是“更快、更高、更强”。科学研究的游戏规则是“更早、更精、更简”。下面分析华罗庚的1985年发表直到1989年才公布的《A Direct Attempt to Goldbach Problem》中的“更早、更精、更简”。
    更早——大家知道,哈代-李特伍德猜想(A)是偶数哥德巴赫猜想的分析语言,证明它就是得到了偶数哥德巴赫猜想的答案数量的非常精确的计算公式。华罗庚初步证明了哈代-李特伍德猜想(A),在此之前,找不到更早的第二人。换句话说,华罗庚是用分析语言证明偶数哥德巴赫猜想的第一人。
    更精——偶数哥德巴赫猜想答案数量计算公式是不是成功,要看它的精确度(=计算值/实际值)是不是随着偶数N的增大而趋近于1。N→∞时,华罗庚的计算公式的精确度是逐步提高并趋近于1,例如:N=10^30,精确度=1.2895。N=10^60,精确度=1.2382。N=10^90,精确度=1.2105。这在当时是成功的。同时,可以作为一个标杆,期待有人超过它,但是,至少目前还没有。
    更简——华罗庚在《A Direct Attempt to Goldbach Problem》中用Direct和Attempt表达对“9+9”→“1+2”的不屑并单刀直入地研究“1+1”,有人委婉地译成《哥德巴赫问题的初等证明》,足见论文的初等和简单。
    有了历经四年横挑鼻子竖挑眼才得以公开的《A Direct Attempt to Goldbach Problem》之后,有人在事实面前还喋喋不休地说:“现有数学工具在它(‘1+1’)面前根本用不上。”“用目前的方法的改进不可能证明(1,1)。”“有人要蹬着自行车上月球。”这是对华罗庚的研究成果的轻蔑,其中的道理很简单,一旦全国人民知道了华罗庚在1938年和1985年两次对哥德巴赫猜想研究所做出的重要贡献,那些吹牛、造假的人原形毕露,除了国际上认可的“陈氏定理”,其他人因吹牛所得的荣耀就走到头了,怎么肯轻易退出历史舞台?
    尊重华罗庚证明的“1+1”,就是尊重国家的荣誉,就是尊重真理需要逐步完善,就是尊重华罗庚的劳动。
    华罗庚的“1+1”活在人民心中之日,就是人民盼望“1+1”研究蓬勃发展之时。大家努力吧!

  29. 童信平说道:

    无冕之王指鹿为马变造陈景润已证明哥德巴赫猜想是耻辱不是荣耀
    童 信 平
    在二院院士会议期间,《中国科学报》有二则不是无知、就是造假的报道:
    第一则,《院士:树起中国科技丰碑》中写道:1973年,陈景润用6麻袋草稿纸换来了对“哥德巴赫猜想”的详细证明,成果一经发表便立即轰动世界,他的“陈氏定理”被誉为筛法“光辉的顶点”。
    第二则,《挺起共和国的脊梁——中国院士群像扫描》中写道:1973年,陈景润发表了对“哥德巴赫猜想”的详细证明。国际上公认这“是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献,是筛法理论的光辉顶点”。
    大家知道陈景润(1933-1996年)证明的只是、也仅仅是“1+2”(即“陈氏定理”),而不是“1+1”(哥德巴赫猜想的简称)。报道中无冕之王把“1+2”说成是“哥德巴赫猜想的详细证明”,“就好比说鲁迅临终之作是《武林外传》?巴金的扛鼎之作是《还珠格格》?”(见例2。)出现这种愚昧和迷信,不外乎两种可能性:
    第一种可能性:反映出写稿人、审稿人、校对者的一系列的集体无知。
    这些人根本不知道“陈氏定理”(“1+2”)与“哥德巴赫猜想”(“1+1”)的本质差别,却担负起宣传、解释已经视为国宝的“陈氏定理”的重任,要知道过犹不及,如此这般地把“1+2”说过了头并说成是“哥德巴赫猜想”,不但让江东父老汗颜,如果流传到国际上,则成为国际笑话,他们在需要时,就会羞辱你。
    一个人的知识有限、需求有限,笔者并不认为每一个中国人都必须知道哥德巴赫猜想、陈氏定理以及它们之间的差别。但是,你担当了介绍陈景润的责任后,就不能“以其昏昏、使人昭昭”。这样做,是对陈景润的成果不负责任,是对国宝“1+2”的价值不负责任,是对全国人民的求知欲不负责任。由愚昧和迷信引发的耻辱应该由这个无知的集体负责。【例如,我国的媒体将国内几个“主流数学家”的论文炒作为“庞加莱猜想完全证明的封顶之作”。得奖的却是视名利为粪土的那一位佩雷尔曼,对荣誉截然相反的态度使得作家娜萨写了《流形的命运:一个传奇的问题和谁解决它之争》,让中国人读后很不是滋味。】
    第二种可能性:以无冕之王的身份指鹿(1+2)为马(1+1),假称陈景润已证明哥德巴赫猜想以攫取荣耀。
    :历史上也确实发生过一些指鹿为马的事例:
    例1:细心的人发现“世纪之吻”这张照片因为拍摄时间不符而追究出真相:那不是确有其事的接吻场面的抢拍,而是找到二个看得入眼的男女后的精心安排。更有甚者,这张照片本来另有用途,作者没有赶上,心血来潮而移作此用,却发生了意想不到的效果。所以,从它的产生过程看,其实是一个典型的造假过程,是典型的指鹿为马。大家被这善意的谎言欺骗了,只是大家无法、也不想把被欺骗出来的高兴再收回去,只好默认。这张照片一本万利地满足了这个需求。从此有许多新闻工作者都盼望用这样的方式流芳百世。
    例2:徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》。如果大家知道了中科院的回复:“数学家在研究Goldbach猜想时,从未企图由a+b去逐步证明1+1。”“数学家在研究哥德巴赫猜想问题时,从未企图由证明(1+2)去证明(1+1)。”“从未企图”意却没有这方面的打算。徐迟指鹿为马地称“9+9”→“2+3”和“1+6”→“1+2”是二个包围圈。更有甚者,他让陈景润在高中时(大约是49-52年)听到老师对自称证明了“1+1”的一群高中生说:“你们算啦!好啦好啦,我是说,你们算了吧,白费这个力气做什么?你们的这些卷子我是看也不会看的。那么容易吗?你们是想骑自行车到月球上去。”【61年飞离地球,69年登月,徐迟搞穿越世界领先!】
    例3:孙文晔进一步造假说:1974年以后,陈景润不再研究“1+1”。已经被陈景润的夫人由昆揭穿。
    例4:在国庆60周年之际无冕之王宣称:“陈景润终于攻克了‘哥德巴赫猜想’这一世界数学之谜,这一世界数学‘悬案’终于被陈景润所破译,皇冠上的明珠终于被陈景润所摘取。”【所向披靡地指鹿为马!】
    当然,也有一些媒体在这个问题上保持着清醒头脑:
    ①人民日报海外版在上世纪80年代曾说,“1+2”是顶峰,但“1+1”是隔着悬崖峭壁的另一个山峰。
    ②陈景润夫人将“1+2”手稿捐赠给中国××博物馆时,只有北京日报没有像其他报纸那样提到“1+1”。
    ③《哥德巴赫的悲壮》中说:“…筛法的光辉顶点,顶点,是一条道路的终结,一个方法的寿终正寝。”
    ④《党史博览》中说:论文初步证明了“任何一个充分大的偶数都是一个素数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个素数的乘积,即1+2”。【陈向徐迟说只是初步到达1+2。——实验证明,陈忽略了一些参变量。】
    ⑤例4是新华社发出的,笔者像浏览了一些报纸要看一看如何报道②中的捐赠那样,又浏览了一些报纸,大约有五分之一的报纸中,把上面例4中的字句删除了。这些报纸克服了愚昧和迷信,真是可喜可贺。
    “一个普及科学的民族,才能真正摆脱愚昧和迷信;一个崇尚科学、具有科学精神的民族,才能真正有生机和希望。”——这也是国家领导人对无冕之王的提醒。振兴中国的科学精神!匹夫有责!

  30. eno说道:

    那个和差化积的公式图片有问题吧?
    三个是一模一样的。

    sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]   
    sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]   
    cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]   
    cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

    这四个才是和差化积啊

  31. 童信平说道:

    王元的殆素数定义中的错误及其所造成的恶果
    童 信 平
    在我国,存在国际上的和王元的殆素数定义。本文讨论王元的殆素数定义中的错误及其所造成的恶果。
    国际上的殆素数定义:“数论中,当且仅当一个自然数n正确地表示出多样的k个素数的乘积时,这个自然数可以称为k-殆素数。”——简单地说:k-殆素数=k个素因数的自然数。
    这个定义明确告诉我们,自然数可以根据它的标准分解式中的素因数的数量分为数1和殆素数。例如:
    1-殆素数。——这一类自然数中,只有1个素因数。例如,2、3、5、7、……
    2-殆素数。——这一类自然数中,有、而且只能有2个素因数。例如,4、6、9、10、……
    3-殆素数。——这一类自然数中,有、而且只能有3个素因数。例如,8、12、18、……
    4-殆素数等以此类推。
    多么条理分明!可以对号入座,容不得丝毫含糊!这也是定义必须完成的任务。
    王元的殆素数定义;“殆素数是素因数(包括相同的与相异的)的个数不超过某一固定常数的自然数。”(因为,①王元没有出示修改国际上殆素数定义的任务书;②国际上没有认可王元的殆素数定义的书面材料;③国内没有二种殆素数定义可以混合使用的通知。本文把这个定义称为“非法定的定义”或“野鸡定义”。)——简单地说:王元的k-殆素数=(国际上的)1-殆素数+2-殆素数+3-殆素数+…+k-殆素数。例如:
    2、3、5、7、11等可以属于(王元的)1-殆素数、2-殆素数、3-殆素数、…、k-殆素数。——明明白白的1个素因数的自然数,居然可以有说不完的殆素数的名称,这不乱了套?定义的作用何在?
    4、6、9、10等可以属于(王元的)2-殆素数、3-殆素数、4-殆素数、…、k-殆素数。——明明白白的2个素因数的自然数,居然可以有说不完的殆素数的名称,这不乱了套?定义的作用何在?
    由此可见,王元对定义一窍不通,说它是“野鸡定义”恰如其分。
    王元说:“只要将困难问题中的素数换成殆素数,例如将命题(A)(=“1+1”)换成(F)(=“a+b”)、(G)(=“1+b”),就可以用筛法进行处理了。”(意思是说研究“a+b”、“1+b”可以达到“1+1”。)
    大家知道,数学变换必须是“等价变换”才能使命题不走样。例如,“大于1的正整数”换成“大于1的自然数”后不走样。或者,把“大于1的正整数”换成国际上的“殆素数”后不走样。又如,根据国际上的殆素数定义,把“素数”换成“1-殆素数”后不走样。
    王元在自己的“野鸡定义”中也说:“殆素数是…自然数。”可是他又说“将…素数换成殆素数”。说白了,就是“将…素数换成自然数”。这不是等价变换,也是逻辑上的混乱和倒退。
    由此可见,王元对等价变换、逻辑也是一窍不通。
    解释具体的“1+2”时,“野鸡定义”的低劣就显示出来了。
    根据国际上的殆素数定义:“1+2”=“1-殆素数+2-殆素数”=“1+1×1”。——不存在歧义。(见下面④。)
    根据“野鸡定义”,“1+2”的解释千奇百怪。(也反映出这些人对这个定义的不理解。)请看:
    ①广东乐茂华说:“当偶数n足够大时,n必可表成一个素数和一个奇素数或者两个奇素数乘积之和。”
    ②陈景润、邵品踪说:“陈氏定理的‘1+2’结果,通俗地讲是指:‘1+1’、‘1+1×1’中至少有一式成立,当然并不排除‘1+1’、‘1+1×1’同时成立。”
    ③王元有二种说法:A),根据他的定义,“1+2”包括“1+1”和“1+1×1”。B),他又说:“大众的理解是不科学的,所以我现在要给大家严格地讲一讲。明白无疑的告诉大家,‘1+2’中有也可能出现‘1+1’。”
    ④河南《党史博览》在《中科院整顿中的胡耀邦和陈景润》一文中说:“任何一个充分大的偶数都是一个素数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个素数的乘积,即1+2。”(符合国际上的殆素数定义。)
    一个“1+2”定理,只能有一个独一无二的解释,国内外的解释有别,已经是非常的说不过去的了,再出现了像①~④因地域差别造成的封建割据,连老百姓都感觉到难为情,中国数论专家各说各的不会汗颜?
    “1+2”定理是十月怀胎、一朝(1966年)分娩,算来已经是快50岁的人了,有人已经是儿孙满堂,这“1+2”却是决定不了应该娶媳妇、还是嫁婆家。你看:如果把“1+1”视为男性,把“1+1×1”视为女性,按②中陈、邵的说法是:“1+2”是男性、女性至少有一个说法成立,当然并不排除男性、女性同时成立的两性人。
    万变不离其宗,“野鸡定义”和①~③无非是想把“1+1”拉扯到“1+2”中而吹捧“1+2较之1+1仅一步之差”。2012-03-12中科院给闫照林先生的回复是:“(1+2)的确不是哥德巴赫猜想!”“数学家在研究哥德巴赫猜想问题时,从未企图由证明(1+2)去证明(1+1)。”——“野鸡定义”和①~③可以休焉!

  32. 童信平说道:

    哥德巴赫问题上的民间智慧对数论专家的三次学术监督
    童信平
    本文披露民间智慧对数论专家进行的学术监督,可以分为水来土掩、抽薪止沸、水到渠成三个回合。
    1 第一次学术监督的效果:让王元在中央电视台向全国观众承认:“哥德巴赫猜想仅指1+1!”
    1996年,在陈景润的追悼会上,数学所的挽联从天花板及地,上写:“景星有意顽强拼搏移动数学群山摘取明珠光寰宇;润物无声奋力奉献攀登科技高峰掬捧丹心照汗青。”根据宣传,老百姓都知道:“移动数学群山”是指陈景润证明了“1+2”。“摘取明珠”是按俄国数学家辛钦说法、是指攻克哥德巴赫猜想“1+1”。
    于是,老百姓纷纷议论:国际上承认陈景润证明的“1+2”,什么时候承认陈景润证明了“1+1”?难道“1+2”也算是“王冠上的明珠”?国际上是在什么时候认可的?其实,这样的议论早就发生,请看:
    1996年初,中国数学会收到一封民间王晓明先生的来信,信中问道:“1+2”究竟是不是哥德巴赫猜想?或者,“1+2”是哥德巴赫猜想的一部分?“1+2”与“1+1”有无本质联系?民间智慧开始进行学术监督了。
    中国数学会意识到问题的严重性。水来土掩,他们请出了老土地王元,在1996年7月17日中央电视台“东方时空-东方之子”节目中,让王元面对全国电视观众承认:“哥德巴赫猜想仅指‘1+1’。”这就是说,对“1+2”等发奖本无可非议,以哥德巴赫猜想研究的名义发奖却是牵强附会、名不副实、背离科学精神。
    由此可见,民间智慧的学术监督的第一个回合取得胜利,只是有些专家口是心非、卷土重来,请看:
    其实,王元回避了“1+2”与“1+1”有无本质联系。到了2009年,王元说:“1+2中有也可能出现1+1。”这是王元把1996年王晓明提出的“‘1+2’是哥德巴赫猜想的一部分?”颠倒过来,变成了“哥德巴赫猜想是‘9+9’~‘1+2’中的一部分。”还说,“1966年...‘1+2’是迄今为止世界上有关哥德巴赫猜想证明的最好成果。”这是王元卷土重来,把自己说过的“哥德巴赫猜想仅指‘1+1’”抛到九霄云外。从此以讹传讹,进一步把“1+2”视同“1+1”。无冕之王顺水推舟得出了这样的结论:“陈景润终于攻克了‘哥德巴赫猜想’这一世界数学之谜,这一世界数学‘悬案’终于被陈景润所破译,皇冠上的明珠终于被陈景润所摘取。”
    【我国的无冕之王大概忘记了:(1) 9年前的2000年3月中旬,出版商费伯为了推销《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》一书,别出心裁地办好了有关公证,愿意付给证明哥德巴赫猜想的人100万美元。(2) 2006年,丘成桐在回答北京科技报和中国新闻周刊记者提问时都说:陈景润没有完成哥德巴赫猜想的证明。】
    2 第二次学术监督的效果:让中科院狡辩说数学家从未企图由9+9~1+2去逐步证明1+1。
    2011年,中科院建立了官方组织《科学智慧火花》平台,12月19日,我按要求寄去把二篇合并为一篇后的《哲学和逻辑的力量——解释9+9→1+2为何到不了1+1》。【同时在其他网上发表:①四个数学错误使哥德巴赫猜想研究深陷在断头路9+9→1+2。②不善于举一反三使哥德巴赫猜想研究跳不出断头路9+9→1+2。】
    2012-04-14,我收到了《科学智慧火花》的回复:“数学家在研究Goldbach猜想时,从未企图由a+b去逐步证明1+1。只是因为无法证明1+1而选择了……。”
    还在网上看到,2012年3月12日《科学智慧火花》给闫照林先生的回复:“(1+2)的确不是哥德巴赫猜想!”、【重复了第一个回合的胜利。】“在研究哥德巴赫猜想问题时,从未企图由证明(1+2)去证明(1+1)。”
    中科院想用“从未企图”抽薪止沸,想把由“9+9”~“1+2”去证明“1+1”的所作所为转移到媒体、科普工作者头上,摆脱数论专家将被火煮沸的困境。“从未企图”与历史事实不符,第二次学术监督全胜。
    3 第三次学术监督的效果预期:1+1可以用初等数论解决!来一场群众性实践就能水到渠成。
    对于哥德巴赫猜想,[加] R.K.Guy说过:“……或许可能比我们一开始所想的要容易得多。”
    从二个“从未企图”可以看出,1920年至今,除了华罗庚的《A Direct Attempt to Goldbach Problem》比较接近哈代-李特伍德猜想(A)外,那些从未在“1+1”上下功夫,一头钻进“9+9”~“1+2”中忙忙碌碌的数论专家,不解决《陈景润既没有证明1+1也没有成功地证明1+1×1》的燃眉之急,却卖乖说能到月球的人才能研究“1+1”,真是以其昏昏、使人昭昭。有识之士称之为“滥用社会信任”。数论专家惯用“我沉默,你奈我何”?笔者把Guy的想法付诸行动,如果成千上万的人认同了附录A~D,“1+1”证明便是水到渠成。
    附录A,在数轴上用图解法求偶数哥德巴赫猜想的答案。【会画出数轴的人都可以学会!】
    附录B,用逐步淘汰法建立偶数哥德巴赫猜想的答案数量的容斥公式。【学会了容斥原理的人可以做到!】
    附录C,用孙子定理计算偶数哥德巴赫猜想的答案。【学会控制余数,用孙子定理计算“1+1”的答案!】
    附录D,因式分解使1+1容斥公式变成哈代-李特伍德猜想(A)。【擅长因式分解的人看后会过目不忘!】
    附录A,在数轴上用图解法求偶数哥德巴赫猜想的答案
    偶数N。素数pi、p、P。pi<√N,i=1、2、3、…、r。r=π(√N)。pi<(pr+1)<p<(N-pr-1)<P<N。N=pi+(N-pi)=p+(N-p)= P+(N-P)。实验证明,许多(N-pi)和(N-P)都是合数。由此可见,我们应该、也必须证明N=p+(N-p)=“素数+素数”=“1+1”成立。本文用图解法找到(N-p)中的每一个素数。
    ai——N除以pi后留下的余数。即可以写成N=ai +n0pi。ai≥0。
    p=ai+npi。——p就是以N为末项、以pi为公差的等差数列中的素数。
    引理1 若ai>0,p=ai+npi,则(N-p)是合数,p不是N的哥德巴赫猜想的答案。
    证明 N=ai+n0pi,p=ai+npi,N-p=(ai+n0pi)-(ai+npi)=(n0-n)pi。(n0-n)>1,(N-p)是合数。证毕。
    从N开始,反方向划去间隔为pi的自然数,就是划去等差数列ai+npi中的自然数,包括其中的一般情况下并不知道具体数值的素数。——这就可以用下面的图解法得到偶数哥德巴赫猜想的答案:
    (1)在长度为N的数轴上标出每一个素数p。
    (2)找到pi<√N时的每一个pi。
    (3)从N开始,取一个pi,反方向依次划去间隔为pi的自然数。
    (4)取完了每一个pi之后,留下的素数,就是满足N=p+(N-p)=“1+1”的全部答案。
    图解法有这样一些优点:①可以一个不多、一个不少地找到N=p+(N-p)中的“1+1”的答案。②可以不必知道具体的数值而直接把p=Ni+npi简单地划去。③图解的结果与所取的pi的次序无关。④可以不必知道N中有没有素因数。(N中出现素因数时,除了划去这一个素因数外,不可能划去其他素数,称为空划。)⑤从理论上讲,数轴可以横穿宇宙甚至几个宇宙。从理论上讲,数轴上的任意大的pi可以用Eratosthenes筛法找到。所以,从理论上讲,图解法可以不受限制地找到无限大的偶数N=p+(N-p)中的哥德巴赫猜想的全部答案。
    附录B,用逐步淘汰法建立偶数哥德巴赫猜想的答案数量的容斥公式
    在图解法中(见附录A)划去素数p时,同一个p可能会划去多次。本文采用容斥原理(逐步淘汰法)可以保证p只是划去一次,从而计算出图解法中得到的“1+1”的全体素数的数量。
    偶数N。素数pi、p、P。pi<√N,i=1、2、3、…、r。r=π(√N)。pi<(pr+1)<p<(N-pr-1)<P<N。
    p=ai+npi,p=aij+npipj,p=aijk+npipjpk,……——以N为末项,以pi、pipj、pipjpk、…为公差的等差数列中的素数p。(其中,1≤i≤r。1≤i<j≤r。1≤i<j<k≤r。)
    π(pi),π(pipj),π(pipjpk),……——上述等差数列中p的数量。(pi|N时,π(pi)=π(pipj)=π(pipjpk)=0。)
    h——pi不能整除N时,pi的数量。
    π(p)——素数p的数量。π(p)=π(N-pr-1)-π(pr+1)=π(N-pr-1)-r~π(N-pr-1)~π(N)。(当N→∞时。)
    N(p,p)——N=p+(N-p)时,“1+1”的答案数量。
    引理1 若p=ai+npi,则(N-p)是合数,p不是N的哥德巴赫猜想的答案。(见附录A。)
    引理2 aij+npipj中的p重复的是ai+npi与aj+npj中的共有的素数。
    aijk+npipjpk,aijkl +npipjpkpl,…中的p可以按上述方法类推。
    证明 aij可以用pi或pj表示:aij=ai+epi=aj+dpj。(e≥0,d≥0。)
    p=aij+npipj=(ai+epi)+npipj=ai+(e+pj)pi,它是ai+npi中的素数。
    p=aij+npipj=(aj+epj)+npipj=aj+(d+pi)pj,它是aj+npj中的素数。
    由此可见,aij+npipj中的p重复的是ai+npi与aj+npj中的共有的素数。
    aijk+npipjpk,aijkl +npipjpkpl,…中的p可以按上述方法类推。证毕。
    定理1 N=p+(N-p)中,偶数哥德巴赫猜想的答案数量的容斥公式如下。
    (1) N(p,p)= π(p)-Σπ(pi)+Σπ(pipj)-Σπ(pipjp k)+…+(-1)hπ(p2p3…pr)
    证明 由引理1可知,p=ai+npi不是“1+1”的答案,应该从π(p)中减去π(pi),合计是Σπ(pi)。由引理2可知,在减去π(pi)和π(pj)时,因出现重复减去而要补加π(pipj),合计是Σπ(pipj)。同理,对π(pipjpk)应该是补减,合计是Σπ(pipjpk)。……,以此类推,得到了公式(1)。证毕。【参考附录D文[1]。】
    公式(1)与素数数量的容斥公式一样,都是理论上唯一精确无误的计算公式。正因为它的精确无误,才能通过因式分解而得到非常精确地计算“1+1”数量的哈代-李特伍德猜想(A)。
    附录C,用孙子定理计算偶数哥德巴赫猜想的答案
    公元前后的《孙子算经》有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”“答曰二十三。”如果增加“二二数之剩一”,今天,这道题目可以用同余式组(1)表示。
    (1) x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 2 (mod 3),x ≡ 3 (mod 5),x ≡ 2 (mod 7)。——x =23+210m。
    因为23是素数,这个题目启发我们,N=50~120时,pi=2、3、5、7。可以用pi计算不大于N的素数:
    (2) x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 2 (mod 3),x ≡ 4 (mod 5),x ≡ 1 (mod 7)。——x =29+210m。
    (3) x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 1 (mod 3),x ≡ 1 (mod 5),x ≡ 3 (mod 7)。——x =31+210m。
    (4) x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 1(mod 3),x ≡ 2 (mod 5),x ≡ 2 (mod 7)。——x =37+210m。
    (5) x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 2 (mod 3),x ≡ 1 (mod 5),x ≡ 6 (mod 7)。——x =41+210m。
    (6) x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 1 (mod 3),x ≡ 3 (mod 5),x ≡ 1 (mod 7)。——x =43+210m。
    (7) x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 2 (mod 3),x ≡ 2 (mod 5),x ≡ 5 (mod 7)。——x =47+210m。
    (8) x ≡ 1 (mod 2),x ≡ 2 (mod 3),x ≡ 3 (mod 5),x ≡ 4 (mod 7)。——x =53+210m。
    引理1 若p=ai+npi,则(N-p)是合数,p不是N的哥德巴赫猜想的答案。(见附录A。)
    当N=60时,pi=2、3、5、7。N被pi除后的余数ai=0、0、0、4。公式(8)中出现x ≡ 4 (mod 7),根据引理1,60-53=7,7不属于N=p+(N-p)的答案。公式(1)~(7)得到的素数都是60的“1+1”的答案。
    当N=90时,pi=2、3、5、7。N被pi除后的余数ai=0、0、0、6。公式(5)中出现x ≡ 6 (mod 7),根据引理1,90-41=49是合数,41不是答案。公式(1)~(4)、(6)~(8)得到的素数都是90的“1+1”的答案。
    当N=64时,pi=2、3、5、7。N被pi除后的余数ai=0、1、4、1。公式(3)、(4)、(6)中出现x ≡ 1 (mod 3)。公式(2)中出现x ≡ 4 (mod 5)。公式(2)、(6)中出现x ≡ 1 (mod 7)。这就是说,只有公式(1)、(5)、(7)、(8)得到的素数才是64的“1+1”的答案。
    pi<√N,pi =2、3、5、7、pr。通过以上分析,可以看到:
    ①可以建立(2-1)(3-1)(5-1)…(pr-1)组的同余式组,而且,同余式x≡ t mod (pi)中的余数t不大于(pi-1),则计算出来的x是不能被每一个pi整除的素数或合数,当x<N时,x都是素数。——这就提供了一个计算不大于N的素数的方法。虽然这个方法的效率很低。
    ②如果控制每一个同余式的余数t,使得这个余数不会是N除以pi后的余数ai。——这就提供了一个计算N的哥德巴赫猜想的答案的方法。虽然这个方法的效率很低,但是,舍此还有更好的方法吗?毕竟在理论上有了一个计算“1+1”的答案的方法嘛。
    附录D,因式分解使1+1容斥公式变成哈代-李特伍德猜想(A)
    本文取哥德巴赫猜想(A)(简称“1+1”)的答案数量的容斥公式[1],用因式分解导出哈代-李特伍德猜想(A)。

  33. 童信平说道:

    王元、潘承洞1+4、1+5出错连累到陈景润1+2系数值只有0.67
    童 信 平

    1962年,王元认可了潘承洞的“1+5”并发表之后,接踵而至的是“1+4”、“1+3”、“1+2”,其中,潘氏兄弟唯独对“1+2”提出了批评:“(陈氏定理的)系数值,可能要大于2才会有价值。”“利用陈景润的加权筛法不可能证明命题{1,1}。”——下面用实验指出,这是“1+5”~“1+2”从一开始以来就有的通病,只是积累起来,在“1+2”显得更突出而已,把本来应该大于2的系数值降低到0.67。
    下面用实验指出,这是“1+5”~“1+2”从一开始以来就有的通病,只是积累起来,在“1+2”显得更突出而已,把本来应该大于2的系数值降低到0.67。
    按照潘、王的理论,到了“1+2”,只需要剔除2个素因数的合数数量后,就可以得到“1+1”的答案数量了。让我们在具体的N=64中,看一看这2个素因数的合数的分布和应该如何剔除。
    例1,64=11+53=31+3×11=15+7×7。——在这里,我们称素数11、53等是“奇素数A”,称素数31等是“奇素数B”,称合数3×11等是“奇合数C”,称合数7×7等是“奇合数D”,其中,“奇素数B”与“奇合数C”在数量上是对等的,所以,剔除“奇合数C”的数量相当于剔除“奇素数B”的数量而只留下“奇素数A”的数量(=“1+1”的答案数量)。“奇合数D”=7×7是不能被剔除的,若被剔除,必定是原理上的错误,最终会使得留下的“1+1”的答案数量的减少,失去应该有的精确度。——实验结果是“(陈氏定理的)系数值,可能要大于2才会有价值。”这就说明,陈景润把“奇合数D”的数量当作“奇合数C”的数量剔除了,才会把应该大于2的系数值降低到0.67。
    为了看得更明白,再看一看N=66。
    例2,66=13+53=17+7×7=33+3×11。——在这里,应该删除的是7×7,不应该删除的是3×11。情况刚好与例1相反。
    从这二个例子可以看出,谁能在同一个N中,把“奇合数C”与“奇合数D”区分得清清楚楚,一举完成这个质的飞跃,才能删除全部“奇合数C”的数量而得到“1+1”的数量。结果是,谁也没有这个金刚钻,不敢来揽这个瓷器活,最终,中科院不得不示弱:“数学家在研究哥德巴赫猜想问题时,从未企图由证明(1+2)去证明(1+1)。”——葡萄是酸的,所以不能吃。
    应该看到,陈景润是在“1+3”的基础上进行的,下面就是陈景润面临的“1+3”的一部分:
    例3,134=67+67=107+3×3×3=9+5×5×5。——
    由此可见,这里也有区分合数3×3×3等是“奇合数C”,合数5×5×5等是“奇合数D”的问题。实验证明,“1+3”的估计公式的系数值比实验结果低。换句话说,“1+3”也把“奇合数D”当作“奇合数C”剔除了。如此这般,我们可以追溯到“1+5”。更确切的说,从“1+5”→“1+4”→“1+3”→“1+2”,每一次剔除“奇合数C”时,都是或多或少地删除了一些“奇合数D”,这些错误一脉相承、积少成多,于是,到了“1+2”只剩下可怜巴巴的0.67了。
    说白了,对陈景润的“1+2”的批评,可以到处应用,例如:“‘1+5’的系数值,可能要大于x才会有价值。”“利用潘承洞的加权筛法不可能证明命题{1,1}。”“潘承洞从未去证明1+1,甚至都没想过自己能证明1+1。”
    换句话说,潘氏兄弟只会批评陈景润而推卸责任,不作自我批评。
    2012-12-29

  34. Wintersweet说道:

    三角和差化积公式中三组完全一样,有错误

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