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傅立叶变换这种对偶关系的本质,是把一块信息用彻底打乱的方式重新叙述一遍。正如前面所提到的那样,一个信号可能在空域上显得内容丰富,但是当它在频域上被重新表达出来的时候,往往就在大多数区域接近于零。反过来这个关系也是对称的:一个空域上大多数区域接近于零的信号,在频域上通常都会占据绝大多数频率。

有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢?有的,最简单的例子就是噪声信号。一段纯粹的白噪声,其傅立叶变换也仍然是噪声,所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。如果用信号处理的语言来说,这就说明「噪声本身是不可压缩的」。这并不违反直觉,因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述,而噪声,顾名思义,就是没有结构和规律的信号,自然也就无从得以压缩。

另一方面,有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢?换句话说,存不存在一个函数,它在空间上只分布在很少的几个区域内,并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢?(零函数当然满足这个条件,所以下面讨论的都是非零函数。)

答案是不存在。这就是所谓的 uncertainty principle(不确定性原理)。

这一事实有极为重要的内涵,但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直观:大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起,看起来并没有什么道理啊。

这个原理可以被尽量直观地解释如下:所谓的频率,本质上反应的是一种长期的全局的趋势,所以任何一个单一的频率,一定对应于一个在时空中大范围存在的信号。反过来,任何只在很少一块时空的局部里存在的信号,都存在很多种不同的长期发展的可能性,从而无法精确推断其频率。

让我们仍然用音乐来作例子。声音可以在时间上被限制在一个很小的区间内,譬如一个声音只延续了一刹那。声音也可以只具有极单一的频率,譬如一个音叉发出的声音(如果你拿起手边的固定电话,里面的拨号音就是一个 440Hz 的纯音加上一个 350Hz 的纯音,相当于音乐中的 A-F 和弦)。但是不确定性原理告诉我们,这两件事情不能同时成立,一段声音不可能既只占据极短的时间又具有极纯的音频。当声音区间短促到一定程度的时候,频率就变得不确定了,而频率纯粹的声音,在时间上延续的区间就不能太短。因此,说「某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音」是没有意义的。

这看起来像是一个技术性的困难,而它实际上反映出却是大自然的某种本质规律:任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。一种波动在频率上被我们辨认得越精确,在空间中的位置就显得越模糊,反之亦然。

这一规律对于任何熟悉现代多媒体技术的人来说都是熟知的,因为它为信号处理建立了牢不可破的边界,也在某种程度上指明了它发展的方向。既然时空分辨率和频率分辨率不能同时无限小,那人们总可以去研究那些在时空分布和频率分布都尽量集中的信号,它们在某种意义上构成了信号的「原子」,它们本身有不确定性原理所允许的最好的分辨率,而一切其他信号都可以在时空和频率上分解为这些原子的叠加。这一思路在四十年代被 D. Gabor (他后来因为发明全息摄影而获得了 1971 年的诺贝尔物理奖)所提出,成为整个现代数字信号处理的奠基性思想,一直影响到今天。

但是众所周知,不确定性原理本身并不是数学家的发明,而是来自于量子物理学家的洞察力。同样一条数学结论可以在两个截然不相干的学科分支中都产生历史性的影响,这大概是相当罕见的例子了。
(待续)

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44 Responses to “不确定性原理的前世今生 · 数学篇(二)”

  1. nobird说道:

    沙花?

  2. firstrose说道:

    没想到还能扯到不确定性原理……

  3. SuperLucky说道:

    醍醐灌顶

  4. Sheldon说道:

    一个光子的脉冲序列应该是有限的吧,那么严格的说不是单色光?

    • AngieJelly说道:

      严格来说没有完全的单色光,即便如激光,也是有一定的模,即频率范围的~

    • Rosetta说道:

      用数学的语言说,单色光要求频域上对应的频率的那点是个冲击函数,反过来说要求时域上是个正弦波。注意这里正弦波的定义域是从负无穷到正无穷的,而这是不可能实现的,因此单色光只能是近似的。

      • Achilles Wong说道:

        用laplace变换得到的便是一个定义在从0到正无穷的正弦函数

  5. 拼音佳佳说道:

    似乎和外星人通讯有关联啊...噪声是不可压缩的,而信息是有冗余的?

  6. 九千澜说道:

    噪声也是一种熵啊,生物能把无序变成有序,降低局部的熵。

  7. weekend说道:

    噪声不可被压缩是因为其无规律性和无意义性,既然无意义又哪来的冗余可言?
    而信息是否冗余和它可否被压缩也不具备可比性。

  8. 静雪无香说道:

    不确定性原理最让人困惑的地方是,到底是从可获取的信息中无法精确地计算,还是说根本就不存在一个唯一的结果呢,可计算性和确定性之间还是有区别的吧?

    • SF说道:

      我也有这个疑问,比如如果已知当前状态的所有参数,加上强大的计算是不是完全能够确定下一个时间点的状态? 当前的普遍认知是"未来的不可预测性",那么原因是其根本上就不可预测 还是 因为没有掌握足够的数据呢?

  9. mpc说道:

    看了半天还是没看明白,不太清楚不确定性原理是如何应用到频率-时间上的,又是如何应用到傅立叶变换上的,难道这个不需要数学论证吗?

    • SF说道:

      数学论证是有的,属于泛函分析与调和分析的内容,具体的参看L^p空间与傅里叶级数那部分内容

  10. Drosophila说道:

    猜测一下下一期的内容:量子力学的理论是怎么过渡到数学上的。哈哈!

  11. Bill Gates说道:

    精辟。如果以前学信号的时候看到这篇文章就好了。

  12. Rosetta说道:

    这个讲述方法不妥当吧,一个函数的时域分布和频域分布不能都集中在一起怎样推论出时间分辨率和频域分辨率不能同时提高呢?至少不是文中描述的那样显然成立的推论。

  13. im说道:

    大雾

  14. 陶陶说道:

    把傅里叶变换关系到不确定性还真是一个比较新鲜的想法。 但是我觉得有些地方有些不妥:
    - 以那个纯音的例子, 当一个波是连续正弦函数的话,它在频域内就是一个脉冲。 (连续意味着0~正无穷)
    -如果那个纯音的是一个正弦函数和矩形脉冲函数的叠加,即,在0~t1时刻,波形为零, t1~t2时刻,波形为350Hz,t2~无穷时刻为0.
    那么在频域内就是一个Sa函数和一个脉冲函数的叠加。 这个在频域的表达式是确定的。 即使Sa函数是跨越整个频域的;但是我觉得不能说,跨越整个频域就是不确定。

    我觉得把跨域整个频域,或跨域整个时域(原文是“时空”)就认为是不确定,好像和我们在量子物理里面的不确定性不太一样。

    • Achilles Wong说道:

      我也赞同你的看法 文中那个声音的例子有点波粒二象性的味道

    • Steven Rong说道:

      我赞同你的看法。这篇文章举的例子并不太恰当,得出结论也有突兀之感,中间缺少足够的推理和数学证明。文中的“很少一块时空”,“短促到一定程度的时候”都像是中医的语言而不是数学和物理的语言。结尾忽然上升到了哲学高度,更让人觉有些故弄玄虚。

  15. aa12说道:

    这个在我研究音频声谱图的时候就想明白了……
    想要精确地确定一个信号频率必须要有足够的采样点,采样点越多分辨率越高,但是采样点一多就无法精确确定时间,想要精确确定某个信号所处的时间就需要减少采样点……

  16. 羌摇说道:

    任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。一种波动在频率上被我们辨认得越精确,在空间中的位置就显得越模糊,反之亦然。

    大刘的三体中外星文明是怎样即通过叶文洁发出的信息得知地球的方位有能破译出人类的语言。科幻。。。

    • zzzevazzz说道:

      因为三体星离地球近啊。如果是仙女星系的外星人可能就不行啦。

  17. 绿咸鱼说道:

    问一下,那个J Gabor是说的Székely J. Gábor么?

  18. 绿咸鱼说道:

    想起来了...应该是Dennis Gabor吧,那东东就是小波的前身啊...怎么会和不确定性原则扯上关系了?提出这个的原因是因为傅里叶变换对平常的声音处理其实是很糟糕的,因为物理上的频率其实也是随时在变化的,比如说对乐器的乐曲进行分析,傅里叶变换无法区分频率变化是乐器固有的音色还是旋律造成的,所以Gabor提出来一种STFT。而且傅里叶变换里的时域分辨率和频域分辨率是正相关的吧...傅里叶变换的不确定性就是说的在时域或者频域上的定义域/值域,其中一个越集中另外一个就越分散,Pinsky在2002年的文章里给出过一个散布函数D_0,在这个散布函数作用下,可以得到类似测不准原理的关系式D_0(F)*D_0(f) >= 1/(16*pi^2)

  19. 无限阶梯说道:

    既然"任何一个单一的频率,一定对应于一个在时空中大范围存在的信号",为什么"一个空域上大多数区域接近于零的信号,在频域上通常都会占据绝大多数频率。
    "呢?这两个陈述是否冲突呢?

    • 望尽天涯路说道:

      傅里叶变换也是一种映射,比如函数y=1/x,y值越大,x值越小,反之亦然。

  20. Achilles Wong说道:

    期待下文

  21. Miu说道:

    一个特定符号的出现频率越高,其携带的信息量越小,反之越大……

  22. daseny说道:

    感觉文中声波的例子更适合用“测不准”这个词。

  23. SillyDaddy说道:

    看得我心潮澎湃,尤其是这个直观的解释:
    “这个原理可以被尽量直观地解释如下:所谓的频率,本质上反应的是一种长期的全局的趋势,所以任何一个单一的频率,一定对应于一个在时空中大范围存在的信号。反过来,任何只在很少一块时空的局部里存在的信号,都存在很多种不同的长期发展的可能性,从而无法精确推断其频率。”

  24. 袁和说道:

    好多部分都解释了长久以来的困惑啊!受教了!

  25. trustno1说道:

    其实量子力学上的不确定性原理也是来自于傅立叶变换,简单的说当年海森堡去测量氢原子光谱时就用傅立叶展开。按照傅立叶变换,光谱应该按照等间隔展开的,但是氢原子光谱则没有。这导致了海森堡去根据实验数据去修改傅立叶展开的振幅。
    傅立叶变换的一大特点是乘法可交换的,比如文中提到的JPG,一副图像可以看成2维的傅立叶变换,也就是两个维度变换的乘积。你先做那个后做那个,顺序颠倒都没有关系。但是海森堡修改后,傅立叶变换的乘积不再对易。也就出现了测不准原理,你从光谱上测量动量,你就无法测量出具体位置。

  26. [...] 在科学松鼠会上看到一篇精彩的文章《不确定性原理的前世今生》(1,2,3,4),联想到语义信息论上的一些问题。关于测不准,我以前也写过一段介绍。 [...]

  27. 3.14说道:

    高中毕业的我 表示完全看不懂

  28. bxu说道:

    傅里叶变换是分形数学的特例。作者无法理解空间与频率为什么会有这种强制性的约束。因为空间、频率是能量震动而形成的2个属性。他们必然以辩证方式相互存在,共存或消失。我说的能量并非狭义的能量,而是广义能量,万物之源。
    这个世界大道至简

  29. ZKL47说道:

    文中最后一段,应补充:马克思认为:任何科学只有用到数学,才能达到完美的程度。(大意,原文忘了)。对物理现象抽象表达,必需用数学模型。从伽利略到爱因斯坦。这案例的特殊性:一般是理论数学模型在前,应用在后。理论数学滞后困境牛顿也遇到过,不得不自已创建微积分。

  30. leo说道:

    "任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的"
    f=1/t?

  31. leo说道:

    "某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音"
    能给个数学方程吗?
    理解好困难~

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