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"非欧几何" 的发现是19世纪最大的数学进展之一. 主要的先驱人物是俄国的罗巴切夫斯基, 匈牙利的鲍耶, 和德国的高斯. 非欧几何的故事已经流传很广了, 它与欧氏几何的不同就在于所谓欧氏平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 如果把这条公理改成 "过直线外一点有两条以上的直线与已知直线平行", 而保持其它公理不变, 就得到一种新的几何, 称为非欧几何. 关于非欧几何的文章发表于 1830 年左右. 有迹象表明高斯在早些年就得到了一些结果. 然而非欧几何这个名称在 1854 年黎曼的就职演讲发表以后含义就不够精确了(因为黎曼提供了无穷多种“非欧”的几何形态), 现在大部分数学家把上述这种公理化几何称为"双曲几何".

19世纪还出现了一种几何叫射影几何. 研究这种几何的动机是非常贴近生活的 ------ 它主要研究 "中心投影" 现象。通俗一点说, 如果有一盏灯, 它照射在纸面上, 那么纸面上的图形在地面上的投影是怎么样的? 最明显的就是, 纸面上的圆周在灯光下的影子一般不再是圆周, 可能是个椭圆周; 然后注意到, 如果纸面不平行于地面, 纸面上两条平行的直线在灯光下的投影可能不再平行; 更奇异的现象是, 如果纸面足够大,它上面的一个圆周也足够大, 使得圆周上有些点比电灯所处位置更高, 那么这个圆周在地面上的投影就会是双曲线. (记得高中的解析几何课本封面上绘有一个圆锥面, 用不同的平面去截就得到不同的圆锥曲线. 如果把锥的顶点视为一盏灯, 就容易看到所有这些圆锥曲线都可以互为中心投影.)

还有一种几何是研究平行投影下图形怎么变化的, 叫做 "仿射几何". 如果把上面的灯换成太阳, 由于距离太远, 在小范围内是非常精确的平行投影 ------ 纸面上两条平行直线总是投射为地面上的平行直线. 圆周会投射为椭圆周, 但决不会是双曲线。

在 1872 年, 所有这些几何把数学家搞懵了 ------ 到底什么是几何? 这时候 23 岁的德国人克莱因在爱尔朗根大学为其教授就职演讲准备了一篇讲稿 ------ 这篇稿子后来被称为爱尔朗根纲领 ------虽然他后来的演讲并没有讲这个讲稿上的内容. 这篇讲稿提出, 每一种几何对应一个变换群, 这种几何研究的对象是各种形体在相应变换群下不变的性质.

"群" 是描述对称性的数学结构. 变换群被伽罗瓦发明出来研究代数方程的可解性. 而克莱因的合作者挪威人李(Lie)到 1872 年已经研究了某些连续的变换群, 现在称为 Lie 群. 以上所说的这几种几何都对应到不同的 Lie 群.

现在我们从克莱因的爱尔朗根纲领来看待以上提到的这些几何:

欧氏几何是 "最小" 的几何, 研究的就是长度啊, 全等啊这些性质. 对应的群就是所谓 "欧氏变换群", 它里面的元素包括平移, 旋转, 反射以及它们的累次作用. 这些变换保持长度不变; 我们说两个图形是 "全等" 的当且仅当有一个欧氏变换把一个图形变为另一个.

我们初中高中的时候还研究相似三角形. 这种包含“相似性”的几何对应到什么变换群?我们可以把 "欧氏变换群" 扩大, 即, 加入 "伸缩" 这个变换, 这样就得到更大的 "相似变换群". 我们能用相似变换把不同长度的对象 "等同" 起来, 比如不同半径的圆周, 在相似几何中就被视为同样的图形. 三角形的 "相似" 就是相似几何中的 "全等". 这个相似变换群包含欧氏变换群, 所以在这个群下不变的性质自然在欧氏变换群下不变, 也就是说, "相似几何" 的概念都是欧氏几何的概念. 反过来就不对, 举个例子, 长度是欧氏几何的概念, 但不是相似几何的概念. 这句话说得直白一点就是,几何体的长度在欧氏变换群下不变,但在相似变换群下有可能改变。

仿射几何是更大的几何. 对应的群叫 "仿射变换群", 包括平移, 线性变换以及它们的累次作用. 线性变换的意思基本上就是那些把直线还变到直线的变换。由于旋转, 反射, 伸缩都是特殊的线性变换, 所以仿射变换群包含相似变换群. 在仿射几何里, 圆和椭圆是同一种图形; 所有的平行四边形都 "全等"; ... 在这个几何里, 长度, 角度都失去意义, 能谈论的只能是平行性质, 或者共线三点的分比(单比), 等等这些很 "粗略" 的性质.

射影几何是以上提到的几何中 "最大" 的几何. 从仿射几何到射影几何的扩张, 比之前的几次扩张要复杂得多. 特别地, 我们需要给平面添上 "无穷远直线" 来使得射影变换是一对一变换. 这其实很容易理解,如果纸面不平行于地面,那么从光源水平射出的光线就只与纸面相交而不与地面相交,这样它与纸面的交点在射影变换下就没有像。如果我们假设地面的无穷远处存在所谓“无穷远点”,那么就可以把这些无穷远点作为水平光线与地面的交点。平面的所有无穷远点构成无穷远直线。在射影几何中, 所有圆锥曲线 ------ 椭圆, 双曲线, 抛物线, 都是 "全等" 的图形. 所以射影几何研究的性质是最 "粗略" 的性质, 比如曲线的 "次数": 直线是由一次方程定义的曲线, 圆锥曲线是由二次方程定义的曲线; 再比如共线四点的交比. 射影几何是非常有趣的几何, 有很多 "巧合", 部分原因就是这个几何的变换群非常大, 对称性高. 同志们如果实在闲得无聊, 可以找本书看看, 书名一般叫做 "Projective geometry".

对于熟悉计算机的同志, 可以看出在每种几何里我们都 "重载" 了 "全等" 这个概念 ------这正是关键所在 ------ 凡是能用一个变换互相转换的对象, 我们都看成同样的对象. 自爱尔朗根纲领提出以来, 对称性(群论)日益收到重视, 到了今天, 已经成为根深蒂固的观念. 物理学中, 自相对论、量子力学以来, 对称性也被作为基本原理, 到了 1970 年代, 物理学家发现自然界四种基本相互作用的根源都是对称性. 由此可见伽罗瓦, 李, 克莱因这些前辈的深刻洞察力.

最近俄罗斯数学家佩雷尔曼解决了百万美元问题 "庞加莱猜想" 及更广泛的 "瑟斯顿几何化猜想". 后面这个猜想就是天才的瑟斯顿继承爱尔朗根纲领的精神给出的解决三维流形分类问题的蓝图. 具体内容如何, 且待下回分解.

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54 Responses to “Erlangen纲领——几何学”

  1. willowindy说道:

    haha,沙发了

  2. Ted说道:

    好文章啊~

  3. sheldon说道:

    看懂了一些!怪不得射影几何能和庞加莱群联系起来

  4. zzzevazzz说道:

    有点深了,虽然我还看得懂。

  5. ThreadDeath说道:

    看成Erlang的纲领了...呵呵
    程序猿表示只能当科普看~(重载啊重载,这个我知道~)

  6. ellison说道:

    分形几何算不算?

    • 季候风说道:

      分形几何是另一个范畴,跟这里所谓“几何” 的概念有所不同

  7. 火木XMA说道:

    Lie是挪威人

  8. 窗敲雨说道:

    说起纲领就想到残酷天使的行动纲领XD

    • 季候风说道:

      呵呵,纲领这个词在数学中是很牛气的。
      除了爱尔朗根纲领,还有瑟斯顿纲领、朗兰兹纲领,
      好多费尔兹奖都是从这些纲领里头出来的

  9. Metaverse说道:

    伽罗华死得太早太莫名其妙,多活几十年数学史就要改写了……不过历史没有如果。。。

  10. hnc说道:

    lie应该是挪威数学家,http://en.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie,另外变换群越小,可研究的几何性质越多,相应几何越“大”。

    • 季候风说道:

      嗯,“大”、“小” 这样的说法不够精确。我的意思是包含的对象多寡

  11. cs说道:

    非常期待这样的文章。

    是繁星客栈的季候风么

  12. 任子爵士说道:

    数学是上帝用来书写宇宙的文字~~~

  13. KunLi说道:

    Lie不是法国人。Marius Sophus Lie (17 December 1842 – 18 February 1899) was a Norwegian mathematician. http://en.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie

  14. anewpie说道:

    写得真棒

  15. sign说道:

    自认数学不错却从未接触过此类东东完全看不懂的人表示压力巨大…

  16. kevin说道:

    看上去好深奥。

  17. emanon说道:

    无力啊,数学这个东东很棒,但完全不对我的路啊!!

  18. 这帖子坚定了我“顺便"死砸数学的信念。.....

  19. luoyangqiao说道:

    不错的文章,数学天地令人向往

  20. 李清晨说道:

    敏感词!

  21. 异教徒说道:

    讲的太快了。。。只看懂了原来懂的部分。。。

  22. 异教徒说道:

    讲的太快了。。。只看懂了原来懂的部分。。。

  23. wanlichuan说道:

    您对数学中各种概念和理论的来龙去脉都如此明了,又能用通俗幽默的语言讲出来,实在难得。期待您的下文。
    真心希望您能像黎东方细说中国历史那样,把世界数学史细说一遍,中间穿插上对数学理论的简明阐释、数学家的曲折研究故事、数学与现实生活的密切联系,这将是一个功德无量的大手笔呢。

  24. william说道:

    看来环保不仅是为了将来,有些人也是鼠目寸光。

  25. sunny说道:

    挺好看的。

  26. death_boy说道:

    Lie群是指上面有微分结构的群,并不是连续的群。

  27. 张乐瑶说道:

    好长啊!

  28. ZKL47说道:

    数学有个特点:你先假设一个公理,就可推理出一个数学体系。所以质疑、否定一个公理,可能创造出新分支。爱因斯坦假设一个公理:光速不变,推理出时空可变的相对论。

  29. 不懂数学说道:

    这个相似变换群包含欧氏变换群, 所以在这个群下不变的性质自然在欧氏变换群下不变
    确定没写反吗?看不懂呢

  30. evolvemunger说道:

    想像一下当年二十岁的伽罗瓦,太不可思议了!本人想看懂一篇前人的文章
    都要费老大的劲啊,还不一定。
    喜欢!谢谢!

  31. 傲览千古说道:

    楼主说:“非欧几何这个名称在 1854 年黎曼的就职演讲发表以后含义就不够精确了(因为黎曼提供了无穷多种“非欧”的几何形态)”。这种说法出自哪里?黎曼本人是首创用“三角形的总曲率”来作为划分不同的几何学的标准的人,他自以为是地错误认为全部平面几何学的总数只有三种:

    1.“三角形的总曲率大于零”:即黎曼几何学(古希腊人的欧多克斯球面几何学)
    2.“三角形的总曲率等于零”:即欧几里德平面几何学
    3.“三角形的总曲率小于零”:即罗巴切夫斯基几何学(即双曲平面几何学)

    换言之,在黎曼的眼中,非欧几何学只有其中以上的两种:1和2。从来都不是你所说的“黎曼提供了无穷多种“非欧”的几何形态”!

    高斯去世后,克莱因就接过来了重任。他在19世纪指出黎曼的这种分类标准不对,非常下狭隘,无法容纳更多的非欧平面几何学,他本人就新发现了4种,使得平面几何学的总数变为7种,彻底颠覆了黎曼所谓的“最多只有3种”的错误说法。

    为了统一地研究和表述它们,克莱因在埃尔朗根(Erlangen)大学执教期间,提出了有别于黎曼的那种以曲率来划分几何学的做法,在凯雷连续变换群论的直接作用下,第一个以“连续变换群”取代“曲率”作为划分各种不同几何学的新标准。于是,它被后世称之为“Erlangen纲领”。而且将克莱因用连续变换群统一起来的这7种平面几何学系统,常常称作“凯雷-克莱因平面几何学系统”。

    到了1910年英国的数学家沙默威尔又将该几何系统增至为9种。到此,20世纪所有的几何学家都误以为这个体系完成了,至多就有9种。即它们分别是:

    一、过平面上一条直线外的一点,不存在任何一条平行线,或者三角形内角和大于π的几何学有3种:

    1.黎曼平面几何学
    2.伴欧几里德平面几何学
    3.伴罗巴切夫斯基平面几何学

    二、过平面上一条直线外的一点,只存在唯一的一条平行线,或者三角形内角和等于π的几何学有3种:

    4.欧几里德平面几何学
    5.伽利略平面几何学
    6.闵科夫斯基平面几何学

    三、过平面上一条直线外的一点,存在无穷多条平行线,或者三角形内角和小于π的几何学有3种:

    7.罗巴切夫斯基平面几何学
    8.伴闵科夫斯基平面几何学
    9.二重双曲平面几何学

    至于更高维数的,比如,“凯雷-克莱因立体几何学系统”他们误认为是27种,“凯雷-克莱因超体几何学系统”他们误认为总共有81种,……,依此类推等等。

    经过我们对“凯雷-克莱因大统一平面几何学系统”的深入而广泛的研究之后,发现它并不是最多总共只有9种,而是具有12种:

    一、椭圆测度统一子几何学系列:过平面上一条直线外的一点,不存在任何一条平行线,或者三角形内角和大于π的几何学有4种:

    1.黎曼平面点几何学
    2.黎曼平面直线包络几何学
    3.欧几里德平面直线包络几何学
    4.罗巴切夫斯基平面直线包络几何学

    二、抛物测度阿波罗尼统一子几何学系列:过平面上一条直线外的一点,只存在唯一的一条平行线,或者三角形内角和等于π的几何学有3种:

    5.欧几里德平面点几何学
    6.伽利略平面点几何学
    7.伽利略平面直线包络几何学
    8.闵科夫斯基平面点几何学

    三、双曲测度统一几何学系列:过平面上一条直线外的一点,存在无穷多条平行线,或者三角形内角和小于π的几何学有3种:

    9.罗巴切夫斯基平面点几何学
    10.闵科夫斯基平面直线包络几何学
    11.二重双曲平面点几何学
    12.二重双曲平面直线包络

    顺便说一下,繁星不过就是纠集了中美一小撮无能又无德,自视甚高,毫无任何创新力的虚傲小人!其中良士罕见。碰巧楼主是其中的一位。另外一位算是流形了。其余都是不得不鄙视的垃圾,注定一生无所作为!这个世界维度不缺的就是这种垃圾!他们有天死掉了,这个世界的知库无损一丝一毫。相反,会变得更加干净一些。呵呵

    几何学

  32. 傲览千古说道:

    抱歉,纠正笔误如下:

    他自以为是地错误认为全部平面几何学的总数只有三种:

    1.“三角形的总曲率大于180度”:即黎曼几何学(古希腊人的欧多克斯球面几何学)
    2.“三角形的总曲率等于180度”:即欧几里德平面几何学
    3.“三角形的总曲率小于180度”:即罗巴切夫斯基几何学(即双曲平面几何学)

  33. 傲览千古说道:

    抱歉,纠正笔误如下:

    换言之,在黎曼的眼中,非欧几何学只有其中以上的两种:1和3。从来都不是你所说的“黎曼提供了无穷多种“非欧”的几何形态”!

  34. 傲览千古说道:

    12种““凯雷-克莱因大统一平面几何学系统”统一的雅格龙双侧度的标准命名:

    一、椭圆测度统一子几何学系列:过平面上一条直线外的一点,不存在任何一条平行线,或者三角形内角和大于π的几何学有4种:

    1.二重椭圆平面点几何学
    2.二重椭圆平面直线几何学
    3.椭圆-抛物平面直线几何学
    4.椭圆-双曲直线几何学

    二、抛物测度阿波罗尼统一子几何学系列:过平面上一条直线外的一点,只存在唯一的一条平行线,或者三角形内角和等于π的几何学有4种:

    5.抛物-椭圆平面点几何学
    6.二重抛物平面点几何学
    7.二重抛物平面直线几何学
    8.抛物-双曲平面点几何学

    三、双曲测度统一几何学系列:过平面上一条直线外的一点,存在无穷多条平行线,或者三角形内角和小于π的几何学有3种:

    9.双曲-椭圆平面点几何学
    10.双曲-抛物平面直线几何学
    11.二重双曲平面点几何学
    12.二重双曲平面直线几何学

    这是凯雷-克莱因射影几何学的统一命名。

  35. 傲览千古说道:

    从以上“凯雷-克莱因大统一几何学系统”和物理学的对应关系,不难发现只有最古老的“阿波罗尼统一子几何学系列”:

    5.欧几里德点几何学
    6.伽利略点几何学
    7.伽利略直线几何学
    8.闵科夫斯基点几何学

    在物理学中应用最广了,这因为这4种几何学相对其余8种几何学而言,显得最简单了。尤其是“伽利略点几何学”这种非欧几何学,是12种几何学中最为简单的。它是伽利略颠覆古代希腊亚里士多德物理学而出炉的。

  36. 实变十遍说道:

    引用:
    >" 如果纸面足够大,它上面的一个圆周也足够大, 使得圆周上有些点比电灯所处位置更高, 那么这个圆周在地面上的投影就会是双曲线."

    请问这是不是因为"圆周上那些比电灯所处位置更高的点"已经变换到地面的 "无穷远直线"上了, 所以此时圆周上其它点在地面上的投影就成了双曲线?

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