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太平广记卷第二百一十五,名为“算术”(我觉得这个“术”字像是法术的意思),里面记载了这样一件事儿:

后唐袁弘御为云中从事,尤精算术。同府令算庭下桐树叶数。即自起量树,去地七尺,围之。取围径之数布算。良久曰:“若干叶。”众不能覆。命撼去二十二叶,复使算。曰: “已少向者二十一叶矣。”审视之,两叶差小,止当一叶耳。……(出《稽神录》)

说的是后唐有个叫袁弘御的人挺会算术。哥儿几个想考考他,于是把他带到院子里,问眼前的桐树上有多少片叶子。他就神神叨叨的开始又丈量桐树,又算直径的。过了许久,他说:“若干片树叶。”这个回答倒是有点周星驰的风格【注】。也该着他的哥们儿有主意,从树上弄掉了22片叶子,然后又把袁弘御叫来,让他算。袁弘御说:“树叶比刚才少了21片。”哥儿几个一听,心想:可不,刚才弄掉的叶子里面有两片很小的,八成人家袁老师把它俩当成一片儿算了,佩服佩服。

袁老师的算法太神秘了,一般人学不会。我倒是听说过一种估算树叶数目的方法,简单易学:

  1. 通过目测得知树冠的高度,半径,用球体表面积公式算出总面积A。
  2. 因为树叶是用来完成光合作用的,假设每一片叶子都可以得到光照,那么,所有的叶子铺开来组成的面积也是A。
  3. 取下一片叶子,目测估算一下叶片面积B,树叶数就是A/B。

估算的结果只要求数量级准确,因为对一棵树而言,10,000片树叶和10,021片树叶没什么不同,九牛五毛的差别。估算这个游戏,玩儿的是推导过程——学术点儿的说法叫“建模”。推导时要抓大放小,用白描的方法粗线条勾勒,让人一眼能分出来是美女还是张飞便可,没必要画出来美女胸部是什么罩杯,张飞菊花旁有几颗痔疮。估算对计算能力的要求最低(加减乘除四则运算足以应付),其次是知识储备,而对知识运用的能力要求最高——如何用简单的常识去解释看上去八杆子打不着的现象。这一点知识迁移就犹如文章里一则巧妙的比喻,颇值得玩味,比如在刚才那个估算树叶数目的例子里,光合作用的运用,给人眼前一亮的感觉。

估算领域,最有名人物的是物理学家费米。费米在理论物理和实验物理两个领域都建树颇丰,即使在物理学家群星灿烂的上世纪中期,这样的人才也没几个。费米最著名的一次估算是他在领导的曼哈顿计划中估算核爆当量的。1945年7月16日早上5点半左右,原子弹引爆成功时,费米呆在距离爆炸中心10英里处。爆炸40秒后,爆炸的气浪到达费米所在地,他将事先准备好的碎纸片从离地六英尺高的地方洒落,纸片被气浪卷走,他根据纸片飞行的距离(两米半)估算了核爆炸的“当量数”约为一万吨TNT炸药。后来证明这个结果和仪器测量值十分接近。(这里是费米对当时场景的自述原文)。

我也试着算了一下:

  1. 假设纸片做自由落体运动,初速度相当于气浪的速度,这个计算在初中物理习题中常见。
  2. 假设原子弹爆炸能量全部转化为空气的动能,爆炸之后,气浪形成球面向各个方向扩展,扩展到费米所在地时,球体内总的空气质量可以通过空气密度乘以球体体积算出来。
  3. 总能量等于气浪速度平方乘上空气质量。然后转换为TNT当量单位,完成。

当然,这不一定是费米原来的解法。

费米不仅自己估算,还喜欢出题给学生算,问题稀奇古怪,比如:芝加哥有多少钢琴调音师?后来,人们把这类问题称为“费米问题 (Fermi Question)”,我觉得这很像理科生的脑筋急转弯。这类锻炼并不只是娱乐和纸上谈兵,在实际科研中也是很重要的技巧。比如在实验进行之前,估算一下实验条件,选择合理的试验设备;在实验进行当中,发现新的现象之后,估算一下大概可以用哪几种理论进行解释,然后细致的设计下一步如何做,以期鉴别各种疑似解释的合理性。

只要留心,生活中充满了艺术,美,诗意,啤酒,免费的皮萨和费米问题,就看有没有缘分。前两天在新浪微博,看见陈晓卿发的饭局照片,我说了句:“告诉我快门用的是多少,我可以算出柴静右手切东西的速度!”后来有人回复说快门是1/13秒。于是我做了下面这张图。手的速度大概是0.5米/秒,如果你此刻以这个速度走过柴老师身边,会看到一把静止的刀子。

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有人看到图片以后问我为什么不去算土摩托的手速?冠冕堂皇的理由是土老师没带手链,不好判断边界。当然,除了柴老师手速,还可以算每场篮球比赛球弹出底线多少次,通过小便量算自己膀胱体积,算一下人的喷嚏对于蚊子而言相当于多少级大风之于人类,在飞机上通过地面物体的大小判断飞行高度,等等。更高级一点的,可以看看这两个例子:用微波炉和棉花糖估算光速用一张照片估算地球半径。(更多费米问题的资源请 google "Fermi question")

在物理学发展史上,努力提高估算的效率和精度是一个十分重要的研究方向,比如微扰论,密度泛函理论,等等。当然,处理这些较为前沿的“费米问题”时,脑筋急转一下弯可能就不太够用了,通常需要的是绞尽脑汁。

【注】

对这段古文的翻译两位读者提出批评,在此一并感谢。

Kidd说:“这里的译文有些失误。按照文章来看,袁回答的若干事实上是一个具体的数字,但是具体的数字在文字中没有意义,撰文的人就没有具体记下来。后面的“众不能覆”说明众人对这个数字是很不相信但又没有办法证明袁的错误,才想出了一个办法去掉几个叶子让袁再算一次。“

李岩说:“古文不好,若干叶的意思实际是他的确答上来了多少多少叶子,比如说一万四千七百白十五片。众不能覆=大家没法知道他算的对不对,所以不能回答。“

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61 Responses to “费米问题,理科生的脑筋急转弯”

  1. Ent说道:

    某人说:
    猴戏啊,你那篇文章如果标题改成
    “费米问题,和柴静的手”,诸如此类
    传播率会增加n倍……

  2. NEJMA说道:

    前排膜拜

  3. DNA说道:

    快点换标题!

  4. 豪斯大叔说道:

    赶紧的换标题!

  5. 贺西楼说道:

    长见识了!

  6. greendyj说道:

    “他根据纸片飞行的距离(两米半)估算了核爆炸的“当量数”约为十万吨TNT炸药。后来证明这个结果和仪器测量值十分接近。”
    原文中是“ten thousand tons of T.N.T. ”是一万吨,非文中的十万吨。

  7. 某某某说道:

    张飞菊花旁有几颗痔疮
    对这种“打趣”的话比较反感。
    也许是因为男生的原因,我认为活跃气氛写到“没必要画出来美女胸部是什么罩杯”就够了。

    • 无遥说道:

      ……
      能都换掉更好

      不过除了这点小遗憾,在下还是很喜欢这篇文章,对我这种小白普及数模,功德无量啊

    • blue说道:

      就只能拿女人开玩笑,男人的玩笑就开不得?这样更公平

  8. 某某某说道:

    关于幽默,我认为可以参见钱钟书先生的《说笑》
    全文如下:
    自从幽默文学提倡以来,卖笑变成了文人的职业。幽默当然用笑来发泄,但是笑未必就表示着幽默。刘继庄《广阳杂记》云:“驴鸣似哭,马嘶如笑。”而马并不以幽默名家,大约因为脸太长的缘故。老实说,一大部分人的笑,也只等于马鸣萧萧,充不得什么幽默。

    把幽默来分别人兽,好象亚里士多德是第一个。他在《动物学》里说:“人是唯一能笑的动物。”近代奇人白伦脱(W.S.Blunt)有《笑与死》的一首十四行诗,略谓自然界如飞禽走兽之类,喜怒爱惧,无不发为适当的声音,只缺乏表示幽默的笑声。不过,笑若为表现幽默而设,笑只能算是废物或奢侈品,因为人类并不都需要笑。禽兽的鸣叫,尽够来表达一般人的情感,怒则狮吼,悲则猿啼,争则蛙噪,遇冤家则如犬之吠影,见爱人则如鸠之呼妇(cooing)。请问多少人真有幽默,需要笑来表现呢?然而造物者已经把笑的能力公平地分给了整个人类,脸上能做出笑容,嗓子里能发出笑声;有了这种本领而不使用,未免可惜。所以,一般人并非因有幽默而笑,是会笑而借笑来掩饰他们的没有幽默。笑的本意,逐渐丧失;本来是幽默丰富的流露,慢慢地变成了幽默贫乏的遮盖。于是你看见傻子的呆笑,瞎子的趁淘笑——还有风行一时的幽默文学。

    笑是最流动、最迅速的表情,从眼睛里泛到口角边。东方朔《神异经·东荒经》载东王公投壶不中,“天为之笑”,张华注谓天笑即是闪电,真是绝顶聪明的想象。据荷兰夫人(LadyHolland)的《追忆录》,薛德尼.斯密史(SidneySmith)也曾说:“电光是天的诙谐(Wit)。”笑的确可以说是人面上的电光,眼睛忽然增添了明亮,唇吻间闪烁着牙齿的光芒。我们不能扣留住闪电来代替高悬普照的太阳和月亮,所以我们也不能把笑变为一个固定的、集体的表情。经提倡而产生的幽默,一定是矫揉造作的幽默。这种机械化的笑容,只像骷髅的露齿,算不得活人灵动的姿态。柏格森《笑论》(LeRire)说,一切可笑都起于灵活的事物变成呆板,生动的举止化作机械式(Lemcaniqueplaquesur Levivant)。所以,复出单调的言动,无不惹笑,像口吃,像口头习惯语,像小孩子的有意模仿大人。老头子常比少年人可笑,就因为老头子不如少年人灵变活动,只是一串僵化的习惯。幽默不能提倡,也是为此。一经提倡,自然流露的弄成模仿的,变化不拘的弄成刻板的。这种幽默本身就是幽默的资料,这种笑本身就可笑。一个真有幽默的人别有会心,欣然独笑,冷然微笑,替沉闷的人生透一口气。也许要在几百年后、几万里外,才有另一个人和他隔着时间空间的河岸,莫逆于心,相视而笑。假如一大批人,嘻开了嘴,放宽了嗓子,约齐了时刻,成群结党大笑,那只能算下等游艺场里的滑稽大会串。国货提倡尚且增添了冒牌,何况幽默是不能大批出产的东西。所以,幽默提倡以后,并不产生幽默家,只添了无数弄笔墨的小花脸。挂了幽默的招牌,小花脸当然身价大增,脱离戏场而混进文场;反过来说,为小花脸冒牌以後,幽默品格降低,一大半文艺只能算是“游艺”。小花脸也使我们笑,不错!但是他跟真有幽默者绝然不同。真有幽默的人能笑,我们跟着他笑;假充幽默的小花脸可笑,我们对着他笑。小花脸使我们笑,并非因为他有幽默,正因为我们自己有幽默。

    所以,幽默至多是一种脾气,决不能标为主张,更不能当作职业。我们不要忘掉幽默(Humour)的拉丁文原意是液体;换句话说,好象贾宝玉心目中的女性,幽默是水做的。把幽默当为一惯的主义或一生的衣食饭碗,那便是液体凝为固体,生物制成标本。就是真有幽默的人,若要卖笑为生,作品便不甚看得,例如马克·吐温(MarkTwain):自十八世纪末叶以来,德国人好讲幽默,然而愈讲愈不相干,就因为德国人是做香肠的民族,错认幽默也像肉末似的,可以包扎得停停当当,作为现成的精神食料。幽默减少人生的严重性,决不把自己看得严重。真正的幽默是能反躬自笑的,它不但对于人生是幽默的看法,它对于幽默本身也是幽默的看法。提倡幽默作一个口号,一种标准,正是缺乏幽默的举动;这不是幽默,这是一本正经的宣传幽默,板了面孔的劝笑。我们又联想到马鸣萧萧了!听来声音倒是笑,只是马脸全无笑容,还是拉得长长的,像追悼会上后死的朋友,又像讲学台上的先进的大师。

      大凡假充一桩事物,总有两个动机。或出于尊敬,例如俗物尊敬艺术,就收集骨董,附庸风雅。或出于利用,例如坏蛋有所企图,就利用宗教道德,假充正人君子。幽默被假借,想来不出这两个缘故。然而假货毕竟充不得真。西洋成语称笑声清扬者为“银笑”,假幽默像掺了铅的伪币,发出重浊呆木的声音,只能算铅笑。不过,“银笑”也许是卖笑得利,笑中有银之意,好比说“书中有黄金屋”;姑备一说,供给辞典学者的参考。

  9. 某某某说道:

    柴静大大

  10. 栖枫渡说道:

    膜拜一下~~

  11. 呵呵说道:

    用球面积来估算树叶,只适用于极少数树木。绝大部分树木,都不能这样算。例如松树,其枝叶是一层一层像金字塔一样叠起来的,并非只有树冠表面才有枝叶,也并非只有表面的叶子才进行光合作用。由于阳光的照射的角度不同,每层枝叶都有机会接受阳光。因此,用“光合作用面积=球面积”的方法,不但理论上行不通,而是实际情况也行不通。

    • nick说道:

      同意,引入光合作用纯属故弄玄虚啊,既没考虑阳光角度又没考虑很多叶子是层叠的。既然是估算,直接pi*r^2估算阴影面积更合理一些

    • yuccatoo说道:

      你说的有道理。但你的论据也不对,就是考虑光线从所有方向射来,才可以考虑为球面,但现实中太阳光线相对地面的角度是有限,但树叶的倾斜角度按你说又是可变的,两者相加是否可以认为总可以找到一片叶子上的部分太阳光的垂直入射的,而这片叶子后面的叶子起码是不会在这个方向得到垂直入射。那么叶子怎么长都可以,而阳光可以垂直入射的面却可能不多,只要可以证明这些入射全部可以投影到一个特定的球面上,那么这么估算还是可以的。

    • Paradox说道:

      没错,还应该参考一下叶面积指数。

  12. yanren zhang说道:

    费米的那个核爆炸当量翻译有误,应该是一万吨TNT

  13. 叮叮当当说道:

    求达人解释费米如何估算当量的

  14. Orland说道:

    柴老师还用塑料袋啊??

  15. 蓝正深说道:

    柴静,喜欢的女人。。。

  16. 路过说道:

    弱弱地问一下,文中前面提到的袁弘御后来算出叶子少了21片,根据什么??难道树冠的直径或高度有变化吗?那人也太神啦!

    • 候戏说道:

      袁老师的神算只是个夸大的传说而已,是我写的不够清楚么?

  17. Kidd说道:

    太平广记卷第二百一十五,名为“算术”(我觉得这个“术”字像是法术的意思),里面记载了这样一件事儿:

    后唐袁弘御为云中从事,尤精算术。同府令算庭下桐树叶数。即自起量树,去地七尺,围之。取围径之数布算。良久曰:“若干叶。”众不能覆。命撼去二十二叶,复使算。曰: “已少向者二十一叶矣。”审视之,两叶差小,止当一叶耳。……(出《稽神录》)

    说的是后唐有个叫袁弘御的人挺会算术。哥儿几个想考考他,于是把他带到院子里,问眼前的桐树上有多少片叶子。他就神神叨叨的开始又丈量桐树,又算直径的。过了许久,他说:“若干片树叶。”这个回答倒是有点周星驰的风格。也该着他的哥们儿有主意,从树上弄掉了22片叶子,然后又把袁弘御叫来,让他算。袁弘御说:“树叶比刚才少了21片。”哥儿几个一听,心想:可不,刚才弄掉的叶子里面有两片很小的,八成人家袁老师把它俩当成一片儿算了,佩服佩服。

    ++++++++++++++++++++++++++++++++++++

    这里的译文有些失误。
    按照文章来看,袁回答的若干事实上是一个具体的数字,但是具体的数字在文字中没有意义,撰文的人就没有具体记下来。后面的“众不能覆”说明众人对这个数字是很不相信但又没有办法证明袁的错误,才想出了一个办法去掉几个叶子让袁再算一次。方法的确是好方法,袁也再次证明了自己的神奇。

    所以后面文章说袁是星爷前世,实在是冤枉了神人了。

  18. 李岩说道:

    古文不好,若干叶的意思实际是他的确答上来了多少多少叶子,比如说一万四千七百白十五片。众不能覆=大家没法知道他算的对不对,所以不能回答。

  19. 王宗浩说道:

    光合作用实在是无稽之谈,不如用蒸腾作用,但是对于比较高的树误差还是很大,根吸水百分之九十多都蒸腾了,再取样计算平均每个叶片的蒸腾水分就行了

    • 候戏说道:

      你不如用蒸腾作用的方法算一下,看看结果差多少,这样比空谈有意思。

  20. 诺帕尼克说道:

    疑问:既然说估算是数量级层面的,21片树叶也就没办法算出咯?也就是袁老师的神算还是无解?啊,可是我真是好奇啊⋯⋯

    ps,文章总体很赞啊,长知识也拓宽思路,谢谢楼主~

    • 候戏说道:

      袁老师的神算只是个夸大的传说而已,没什么正经的道理在。

  21. 孤独的西瓜说道:

    Matrix67威武

  22. 詹姆斯说道:

    估量这种方法
    有一定的空间想象力的因素,
    所以小米的智商高于常人
    大约...
    正常人智商大约100左右,
    那么费费的智商估算的话是143,
    我的结论,
    哈哈,智商也可估算,
    ............................
    ..............................
    ..............................
    ..............................
    ................................
    ...................................
    大家也来算小米智商吧!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

  23. [...] 原文链接:https://songshuhui.net/archives/40461.html [...]

  24. 丘秀说道:

    另外,cctv-10中有个节目《半脑人》,亦与这个类似

  25. mingstacy说道:

    哇,太牛了!

  26. 迟言重行说道:

    我估计:袁弘御的二十一也是根据周围人捡树叶及藏到身后的手型估计出来的。另可能是桐树较小,根据,可摇掉叶子。

  27. gnaggnoyil说道:

    俺看到了M67大大……

  28. 草莓说道:

    “如果来回切过N次,则为以上数值的N倍”这个有问题,应该是切下手到最下面再回来的距离L除以时间,不过一般速度不会这么快的

  29. HDQ说道:

    这里有的太洋洋得意了:“手的速度大概是0.5米/秒,如果你此刻以这个速度走过柴老师身边,会看到一把静止的刀子。”貌似忘记了人眼不是快门,还有视觉残留,不然这个人看电视的时候肯定比较痛苦(看电影更惨)。人眼球跟踪运动物体的速度也跟不上这么快的。当然,除非某人恰巧“以这个速度**沿着刀运动径向**走过柴老师身边”,而且还要把注意力聚焦在那把刀上,不然还是看到一片动感十足的模糊。

  30. waterwing说道:

    球体表面积公式算出总面积A=所有的叶子铺开来组成的面积是A?
    这个假设建立在一根枝干上之长一片叶子而且底面也能接受阳光的情况下……

    问题是,树叶是从主干出发放射性生长的…请想像一个海胆或刺猬………同样体积的树冠,树叶的总数不同,叶的密度也不同,当然也不是每一片叶子都可以得到光照……

  31. 汉泉说道:

    我提一个小问题,在估算树上有多少片叶子的时候,是不是应该考虑到分形的效应,就像大脑的沟洄使得大脑的表面积成倍的增加一样,树冠的表面积会不会也因为一些微结构而成倍的增加?我认为这个问题值得讨论~

  32. Marianna说道:

    啊,通过小便量测算自己的膀胱大小。。这个,我的应该很大很大吧。。。难怪我这么胖~

  33. hoho说道:

    弱问,费米和费曼都参加了曼哈顿计划么

  34. 意乱琴迷说道:

    看来生活中的趣味还真多,发掘.........

  35. keith说道:

    1.费米(Fermi)? 是费曼吧(Feynman)?
    2.通过模糊的珠子“程度”算手移动的位置?我觉得切东西不用手臂和手掌一起动吧?运动在一个方向上?
    3.楼上那些 膜拜什么啊膜拜?你以为你在看mop啊?
    4.写文章请不要觉得大家都是白痴

  36. 陈俊佑说道:

    费米问题……第一次听到这个名词……长知识了……谢谢

    前天,我才帮朋友估算他吸一口气空气中所含有的他的偶像曾经吸过的空气分子数目……

    呵呵……的确好玩~~

  37. 陈俊佑说道:

    费米问题……第一次听到这个名词……长知识了……谢谢

    前天,我才帮朋友估算他吸一口气空气中所含有的他的偶像曾经吸过的空气分子数目…… 不过我做了一些不太实际的假设,以方便我的计算,像是我假设他偶像从没重复吸过同样的空气分子……很明显,这是不对的~~

    呵呵……的确好玩~~

  38. 打酱油说道:

    树叶总面积=树木球体球面面积?这是哪国的理论?

    一年四季树叶总面积不会变化?

  39. 算一算说道:

    算了一下,应该是算半球,结果为2万吨

  40. [...] 没错,这个“费米悖论”中的费米就是松鼠哈林在 计算柴静姑娘手速时说到的“费米问题”中的那个费米。费米是同一个费米,可“费米悖论”和“费米问题”却是两码事。话说这个费米有一天和几个科学家朋友吃午饭,闲聊起了最近新闻上的UFO。几个Geeks不像一般人那样简单的信或者不信,而是用自己的方法进行推理。估算是费米的强项,“费米问题”就是讲这个的嘛。费米在脑子里简单估算了一下,发现理论上外星人应该早就到过地球好几次了!而且从其他的角度,无论是宇宙的尺度还是年龄什么的都可以看做是地外文明存在的暗示。可是,他们在哪里?为什么我们独独没有找到或被找到呢?这便是“费米悖论”了。 [...]

  41. 风吹顽石说道:

    LZ 搞错了,费米是费米,费曼是费曼。估算核爆炸的当事人是费曼。

    - -!

  42. mir-2说道:

    希望在中学普及科普读本,不一定非要登纯科普文,这种发散思维的文章是很好的选择

  43. 望尽天涯路说道:

    用球体估算误差太大了吧,应该考虑到树冠南北是不同的

  44. aduyuandu说道:

    呵呵 猴戏大提供的这个方法适用于热带的树木吧。。。。用此方法解释不了21或者22片树叶减少的 。。。真不知这位袁先生用了啥方法来估算。。。或许的深究“即自起量树,去地七尺,围之。取围径之数布算” 这句

  45. hzphone说道:

    我觉得楼主对于估计核爆炸的TNT当量的推导有点问题
    碎纸片下落的过程怎么也不能算是自由落体运动吧
    对于纸片来说空气阻力还是挺大的
    我觉得应该是解微分方程的出来的结果

  46. ch铭记ge说道:

    非常“三颗油”!

  47. dlad说道:

    8级风对大象而言是几级风?

  48. 李纪元说道:

    mm?贵庚啊同学?人生路上要多小心啊,一张这么模糊的照片就能这么肯定~~

  49. 木木说道:

    见不得拿年龄刷优越感的人
    既然你没办法明确的指出别人推理的逻辑错误
    那就安安静静的看
    “人生路上多小心”这种话都说的出来(耸肩)
    既然逻辑没问题 为什么不能肯定? 难道说出1+1=2 还得怀疑一下吗?

  50. 李纪元说道:

    了解。

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