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发表于 2010-06-30 08:00 | Tags 标签:, , ,

作者:jdxyw

无穷,这是一个比较抽象的概念,如果我们说无穷,可能第一印象是那些很大很大的数,所以我们先从比较直观的大数开始。

大数与无穷大

在汉语中,如果我们要具体表示数量大小的话,我们可以用十,百,千,万,或是它们的组合一百万,一千亿,一万万亿等等去表示。如果是英语的话,我们就用hundred,thousand,million等去表示。当一个中国人对你说出一万亿亿,或是一个美国人民用着正宗的伦敦音跟你说ten billion的时候,你是不是觉的这些数字已经有点震撼到你了?其实这还只是热身。大家都用过Google吧,如果你对IT界的八卦比较熟悉的话,那么你应该知道,Google这个名字来源与西方世界的一个单词Googol,这是西方世界中能够用独立名词说出来的最大数,它为10的100次方。但这还不是最大的,在除了“浩瀚无边”,“恒河之沙”之类的虚幻性的描述和当当用数字表示以外,具有独立名称最大数是佛教的asankhyeya,它等于10的140次方。这些数已经很大了,对于我们大多数人来说,我们一生都不见的会遇见或是用到这么大的数。可是在无穷前面,无穷大与Googol的距离和无穷与1的距离是一样的。因此无穷大不是一个数,而是一个概念。

在数学和物理学上,有着许多不同的常数,可是如果你稍微留心一下,你就会发现它们之间有个很有趣的差别:数学上的常数都很小,而物理学上的常数要不很大,要不很小。在数学上,pi e算是两大明星,可是它们的值一个大约是3.14,一个大约是2.72,跟物理学上的常数比起来,真是有点那不出手。物理学上一出手就是10的10次方以上,你要是弄个8次方,你都不好意思见人。例如电子质量是1.6*10^{-27}Kg ,普朗克常数是6.62*10^{-34} JS

以上举了这些大数的例子,视乎与无穷没有太大的联系。如果你这样想的话,就对了。因为它们都是陪衬。就像我在第一段讲的,无穷是一个概念,它是无法用数去表达出来的。无论你写出了多大的数,它与无穷大的距离与1还是一样的。哪怕你把宇宙中的所有原子排成一排,第一个当1,后面都当0,这个数依然离无穷大很遥远。无穷大是一个无法企及的距离。在现代数学中,我们用infty 表述无穷大,这是英国数学家在1655年首次使用这个符号。

级数与无穷

我们先来看一个非常著名的级数-“调和级数”

1+frac{1}{2} +frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}......

如果问你一个问题,这个级数是发散的还是收敛的?如果你对数学不是很了解的话,乍一看,这就是一个收敛的级数。然而你错了,这是一个实实在在发散的级数。只不过它的发散速度实在是令人发指。调和级数的前1000项的和约为7.485,前100万项的和约为14.357,前10亿项的和约为21,前一万亿项和约为28,当它的和超过100时,如果每一项在纸带上只占1毫米,我们必须使用10^43毫米长的纸带,这大约是10^25光年,而宇宙估计尺寸只有10^12光年。当宇宙都已经被贯穿了,而调和级数才不过100.如果想让其趋向无穷,我觉的这件事情还是交给无穷去做吧,人类就不要插手了。

另外一个无穷级数的例子,跟一个著名的悖论有关系,那就是芝诺悖论:

“AB两点,一个人从A点走向B点,他必然要经过AB的中点,我们称为C点。同样他也要经过C和B的中点,我们称为D,依次反复,他要经过无穷个中点,因此,他永远也到不了B点”

这种说法乍一看,视乎是正确的。但是我们可以看看下面的一些计算,首先假设AB之间的距离为1米,这个人走的速度是每秒1米。根据这个人要经过无数个中点,我们可以得到下面这个式子:

S=(frac{1}{2}+ frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}....)=sum_{n=1}^{infty }{frac{1}{2^{n} } }

S为他通过的距离。大家一看这个无穷级数,立马可以得出S的值为1.而人行走的速度为每秒1米,我们可以用同样的式子计算出行走的时间为1秒。

Euler一生中最喜欢研究的一个方面就是无穷级数了。在他的那本被称为数学界的七大奇书之一的《无穷分析引论》中,可以看到他用大段大段的篇幅介绍着各种各样的无穷级数:

frac{1}{1^{2} } +frac{1}{2^{2} }+frac{1}{3^{2} } +frac{1}{4^{2} }+frac{1}{5^{2} }+....=frac{pi ^{2} }{6}

这些级数如果没有了无穷这个条件,是无法写出这样优美的式子,你可以这样说是无穷赋予了它们生命,没有了无穷的这个条件,这些式子就失去了意义。

康托尔眼中的无穷

康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家,集合论的创立者。是数学史上最富有想象力,最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统,从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造。

以上是一段康托尔的介绍,还是要告诫同学们,没有很强大的精神力量,为了身心健康,要谨慎的去思考宇宙从何而来,将往哪去?“苍穹深深深几许”之类的问题。

康托尔认为,不是只存在一个无穷大,而是有很多类型的无穷大;这些种类在本质上互不相同,但在很大程度上也像寻常数一样可进行互相比较。这种观点与当时流行的观点不同。换句话说,无穷大与无穷大是不一样的,还是有高低大小之分的。

我们先来看一个例子。大家先考虑一个问题,是自然数集合大还是偶数集合大?也许很多人会脱口而出,当然是自然数集合大。要是我告诉你,它们一样大,你是不是觉的有点不可思议,有种我在散布伪科学的想法?

2    4    6    8    10    12    14    16.....

1    2    3    4    5      6      7     8......

我们可以看到,自然数集中的任何一个数都能在偶数集中找到唯一相对应的数,相反,偶数集中的任何一个数也能在自然数集中找到唯一的一个相对应的数。也就是说自然数集与偶数集一一对应,它们两个集合的元素数目一样多!这与我们平常的生活经验相悖-“整体大于部分”,一个集合的子集等于集合本身!这是多么让人难以相信的事情。有这样想法的人是很正常的,因为我们的经验局限于有限世界中,它们并没有扩大到无穷大。而在无穷集合的世界里面,有限集合的规律都被打破了,有种到了新的山头,有新的规矩的样子。

康托尔的理论是很博大的,感兴趣的同学可以自己找相关的熟悉看看。这里只不过是沧海一粟。

几何与无穷

我们说数学是美的,并不仅仅说它有着非常巧妙的证明,优美的公式。数学也能在感官上给予我们美的震撼,就像绘画,雕塑一般,有种不朽的感觉。

首先,先介绍一个人:埃舍尔。

埃舍尔把自己称为一个"图形艺术家",他专门从事于木版画和平版画。1898年他出生在荷兰的 Leeuwarden,全名叫 Maurits Cornelis Escher. 说到埃舍尔,首先让人联想到的就是“迷惑的图画”。明明是向二楼上去的楼梯不知为什么却返回到了一楼,鸟儿在不断的变化中不知什么时候却突然变成了鱼儿,这些图画就是埃舍尔所描绘的幻想的异次元空间,它具有不可思议的魔力,征服着人们的心灵。他那特别稀有的画风在很长时间以来被美术界视为异端,后来数学家们开始关注埃舍尔的画面的高难度构成,接下来他的画又在年轻人中间大受欢迎,并在世界范围内确立了其不可动摇的地位。

有的时候,一张图片比上千字的说明都来的有效。周而复始的瀑布,走不完的楼梯,把我们带入到一个无穷无尽,没有开始,没有尽头,周而复始的世界当中。

无穷的话题是一个贯穿几千年数学历史的一个重要话题,从阿基米德推算出球体体积,到Euler的无穷级数的研究,从牛顿-莱布尼茨创建微积分,到康托尔的集合论,无穷这个概念在逐渐的得到完善和发展。不仅仅在数学上得到了充分的发展,在多年来的发展中,也让许多人重新思考了许多有关神学与哲学的问题。这里只是尽我所能,列出一些喜闻乐见的内容,希望大家对这个比较抽象的概念有个其它方面的认识。

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66 Responses to “无穷的世界”

  1. Siriudie说道:

    不错不错,∞+1

  2. eliuzd说道:

    呵呵,∞+1=∞

    是不是这样理解?

  3. emanon说道:

    康托尔的杰出造成了他的悲剧,但何止是他呢

  4. Wanda说道:

    我们可以看到,自然数集中的任何一个数都能在偶数集中找到唯一相对应的数,相反,偶数集中的任何一个数也能在自然数集中找到唯一的一个相对应的数。

    “自然数集中的任何一个数都能在偶数集中找到唯一相对应的数”应改为“自然数集中的任何一个偶数都能在偶数集中找到唯一相对应的数”(1.3.5.7……在偶数集找不到对应的数)

    Ps:这样改的话 这个例子似乎不太合适了···

    • lam1说道:

      原文没错,自然数集中的任何一个数确实都能在偶数集中找到唯一相对应的数。具体办法是:(1) 对于自然数集中的任何一个数,将它乘以2,就是偶数集里对应的数,而且是唯一对应的数(例如自然数集里的4对应偶数集的8);(2) 对于偶数集里的任何一个数,将它除以2,就是自然数集里唯一对应的数(例如偶数集的6对应自然数集的3)。(3) 需要注意的是,这里的“对应”不是“相等”,所以自然数集的4并不与偶数集的4相对应。

      • 高级诈骗师说道:

        no,原文显然是不妥的。但上面那位同学的理解也有些问题。

        原文应该这么说,“在某个一一映射的规则下,自然数集中的任何一个数都能在偶数集中找到唯一相对应的数。”
        “偶数和自然数哪个更多”大概是离散数学最开始会提到的问题,回答这个问题必须要牢牢把握“一一映射”,如果不是一对一地找,那就没法比较谁更多了。

        所以,强烈建议作者将一一映射做一个介绍,否则原文的表述是相当不严谨的。

        • javajz说道:

          应该是“存在一个一一映射,使得奇数集合中的每一个元素可以与偶数集合中的每一个元素一一对应”。但是我们不能说作者说的错了,因为作者要表达的就是这一个意义,我们不能把所有的话都说的透了,这是文章,不是数学定义。

    • cat14991说道:

      不用改的,对应和相等不是一个意思。
      自然数集:1 2 3 4 5 ……
      偶数集: 2 4 6 8 10 ……

  5. Emilia说道:

    好像回到大学上课的时候噢 啊哈哈.

  6. Wanda说道:

    补充说明

    也许可以这么说

    偶数集中的元素数是无穷大的
    自然数集中的元素数也是无穷大的

    而因为无穷大是一个概念,并非一个具体的数。
    无穷大>无穷大。 显然不成立

    所以····

    • lam1说道:

      “无穷大”不仅仅是一个概念,“无穷大>无穷大”,“无穷大=无穷大”都是存在的。比方说,偶数有“无穷多”个,有理数也有“无穷多”个,并且这两个“无穷多”相等。就是说,偶数和有理数一样多。反之,实数也有“无穷多”个,但实数的“无穷多”大于偶数的“无穷多”,因此实数比有理数多得多。

      • chiron说道:

        有理数的无穷多要大于于自然数的无穷多,自然大于偶数的无穷多了

    • 高级诈骗师说道:

      可能不能这么说。
      比如:n/(n!),当n趋近于∞的时候,n!当然也趋近于∞。但n!可要比n大得多得多。

      无穷的概念既简单又复杂,实际上数学上很少单独使用“无穷”这个词,多半是“无穷大(多)”、“无穷小”。

      在“无穷”的世界里,很多“常识”都被打破了。比如很多个(有限的)无穷小之和,还是无穷小,这在直观上是很好理解的。但无穷多个无穷小之和,就不一定是无穷小了,可能是无穷小,可能无限趋近于一个确切的数,甚至可能是无穷大。

      在学习微积分的初期,最令人惊异的,大概是“无穷多个无穷小之积,未必是无穷小”了。

      • Ted说道:

        当n趋向于无穷大时, n! 当然趋近于无穷大, 而且 n = n! .
        因为无穷大是如此的大,以至于找不到任何一个积或者幂比它大.

        • snooby说道:

          无穷不是一个定值。
          n!与n的逼近速度不同,n!比n快得多。

      • 九87说道:

        sorry能解释一下为什么吗

  7. 丁丁虫说道:

    还有那个著名的 1-1+1-1+1-1+1……

  8. 孤竹牧狼人说道:

    e。。。。。很有趣。。。。。

    BTW:为什么发展两个字是黄色的而且会跳转到其他的网站?这算匹配广告么还是免费网页程序的bug?

  9. asion说道:

    最后那个埃舍尔的画...没看明白和数学有什么关系,不是单纯的视觉误差么?

    • Ted说道:

      跟无穷大有直觉上的联系 : 你不断地往上走,永远也没有尽头

    • Metaverse说道:

      那个是彭罗斯三杆,切取任何一个局部都是成立的,但整体却不能存在于三维空间中。

  10. mail2li说道:

    跟物理学上的常数比起来,真是有点那不出手。物理学上一出手就是10的10次方以上,你要是弄个8次方,你都不好意思见人。例如电子质量是1.6*10^{-27}Kg ,普朗克常数是6.62*10^{-34} JS。
    这两个参数不是爆小乜?

  11. walkerxk说道:

    具有独立名称最大数是佛教的asankhyeya,它等于10的140次方
    googolplex呢?是10的googol次方,比asankhyeya大多了,既然知道googol,怎么会不知道googolplex?

    • 晨风说道:

      googolplex
      -plex是后缀,这样的词叫复合词,不是单独的词
      按你这样说我还有asankhyeyaplex..................

      • walkerxk说道:

        问题是词典里面没有asankhyeyaplex这个词,但是词典里面有googolplex,21世纪英汉汉英双向词典、新世纪英汉科技大词典、 XDICT英汉辞典、dictd_www.dict.org_wn、KDic11万英汉词典、dict.cn都是这样。

  12. cooleyes说道:

    换句话说,无穷大与无穷大是不一样的,还是有高低大小之分的。

    我们先来看一个例子。大家先考虑一个问题,是自然数集合大还是偶数集合大?也许很多人会脱口而出,当然是自然数集合大。要是我告诉你,它们一样大……
    ======================================================

    举例错误,这个例子没有说明无穷大与无穷大的不一样啊!因为它们是一样大!

    说明了吗?没有说明!说明了!没有说明!说明了!没有说明!说明了!没有说明!说明了!……到底说明了没有嘛?

    • walkerxk说道:

      比如在n趋向于无穷大的时候,3n、2n和n^2都是趋向于无穷大的,但是明显n^2>3n>2n,n^2比3n的阶高,3n和2n是同阶无穷大,n和3n/3是等阶无穷大(懒得找另一个等阶无穷大了,就这么写吧)

      • 尖尖的鹿角说道:

        n^2, 3n和2n是一样大的,都和自然数的总数一样大。但无理数的总数比它们都要大,因为它们之间无法建立一一对应关系。类似地,一个空间内的点的总数和无理数的总数一样大。

  13. random说道:

    这篇文章参考了《无穷之旅:关于无穷大的文化史》这本书么?从结构到内容都觉得很像…

  14. 末法时代说道:

    还是要告诫同学们,没有很强大的精神力量,为了身心健康,要谨慎的去思考宇宙从何而来,将往哪去?“苍穹深深深几许”之类的问题。

    释迦牟尼就很聪明,直接就列出了一个十四无记的名单,把这类问题排除在外,不予讨论,那些妄想通过研究佛教得到如上问题答案的同学,还是洗洗睡吧

  15. wind说道:

    伽莫夫的《从一到无穷大》,里面讲的很好。

    • 西坡说道:

      看了前两段我就想起《从一到无穷大》了,然后就没往下看

  16. lzlhero说道:

    埃舍尔的画有问题,房子的形状被故意画了梯形,而实际上从构图上来说,每层应该是菱形的。

  17. conwood说道:

    感觉讲的略浅。

    • Cielo说道:

      是啊~

      推荐木遥遥在松鼠会的系列:https://songshuhui.net/archives/13480.html

  18. 一双绣花鞋说道:

    只有埃舍尔的画能让我百看不厌,我很想知道他的画里的情景能不能在现实世界里成立。

    • walkerxk说道:

      其实可以,不过永动机是不能实现的,只是楼梯并不是越走越高,而是一直是平地,那个水也是流不上去的,因为那四个水道,也不是处于水平的一个平面上,这是你的眼睛欺骗了你。

      • 覚醒说道:

        永动机就要依靠外力吧,如电梯和跑步机。即使是瀑布也要依靠自然界的循环力量。再说,在原地转圈圈也是无限大。

  19. 茉雨妍淑说道:

    数学,神秘的可爱~~

  20. 半死不活的猫说道:

    n/n! 应该和高低阶无穷大(小)有关... 高中生爬过

  21. lyem说道:

    这个很好,很科普。

    感觉前面好多人还是有误解啊。应该找些书看看,这个太简略了。

    cooleyes说的是一个行文上的瑕疵,建议改改。

  22. 冲孔板网说道:

    我们学设计的时候 构成课里有个矛盾空间 就有这类图片 看着在升降 实际无穷无尽

  23. PPC说道:

    “宇宙估计尺寸只有10^12光年。当宇宙都已经被贯穿了,而调和级数才不过100.”
    嗯。。。又让人想起了那个问题,宇宙有极限么?有的话那外面又是什么?或者没有极限?没有极限又是什么。。。

  24. 单翼羽说道:

    原来调和级数是发散的……受教了……

  25. 茵陈说道:

    数学白痴,但是学过美术史,八卦一下啊,埃舍尔其实不会画画的,他只会写生,他的所有绘画里面出现的景物都是写生得来的,也算是个怪才了。

  26. 茵陈说道:

    还有,这些图画上的画面在真实的世界不会出现,因为绘画的透视法是在二维空间模拟三维空间,说白了,是一种魔术,一种障眼法!

  27. 未来就在过去说道:

    宇宙当中可能并不存在所谓无穷。
    无穷的概念也许只是我们人类杜撰出来的,甚至数学也是如此。
    人类在远古完全凭借自身的感知系统产生了数学概念,但实际宇宙却并非如

    此。比如1+1=2的概念,远古人是用来表示1头羊+1头羊=2头羊,但这只是模

    糊的描述,因为显然羊是由很多粒子构成的,它们表现为挤在一起的一团粒

    子集合,究竟有多少很难数过来,最后我们人眼大概还原成了“1”的个体

    ,所以只能称为模糊的“1”团。一团羊粒子和另一团羊粒子靠在一起可以

    成为“2”团,也可以称为“1”大团,还可以看作为“3”团“4”团,所以

    “1”个和“1”个在一起的宇宙本质结果并不是“2”。
    直到今天还我们不能断定宇宙最小的粒子到底是什么形态的,很可能是重叠

    状态的或具有不确定的多重状态,果真如此那就表示我们数学上的“0-9”

    的概念,实际宇宙中从来就不曾有过,也就预示着这些数学概念并不能揭示

    出宇宙的本来面目,它只能使人类误入歧途,沦为只能服务于我们现实世界

    的工具,超过某个界限便会失效,于是就会发明出“无穷”和“不能穷尽”

    等概念,使用了临时障眼法,让我们的数学家们得以解脱。
    如果有一天我们找到了真正的宇宙最小基本单位,不可能再分割,近乎0的

    尺度,而且也很可能是种异常鬼魅的形态。用不同于现在计算的方法,那末

    像比如圆周率甚至宇宙边缘不能穷尽的问题也许就能很轻易解决。

  28. 小c说道:

    大家一看这个无穷级数,立马可以得出S的值为1. 我就不觉得这样的话有什么意义。如果真的就这么一眼就看出来了,那就跟本就不用写了。貌似学校们也都该解散了。。。。

  29. 小c说道:

    这些级数如果没有了无穷这个条件,是无法写出这样优美的式子,你可以这样说是无穷赋予了它们生命,没有了无穷的这个条件,这些式子就失去了意义。 看到这句话我觉得也很无趣。 怎么就无法写出这样有美的式子?怎么还就赋予了它们生命了呢? 从字面还看,那个所谓的式子不是写在那里了吗?貌似还可以用 LaTex 什么的制造优美么。优美在哪儿呢?又生命在哪儿呢?让偶瞎猜一下大概是说这个所谓的式子是无穷长的。不管写了多少个项,其实都是有穷的,作为读者来说,应该在心里想象他是无穷的。这无非就是那个省略号的作用么。也许我猜的还不一定对,那么文科专业的同学们该怎么猜呢? 反正我是看不懂这个地方给我们普及了“无穷”的什么魅力。我所看到的只是些“放在这里了,你记住就行了,不要问为什么。”

    • 石头说道:

      同感。如果一个无穷级数能收敛到某个实数,我总可以用一个符号来标识这个数。pi无非就是这个命名符号。相当于:pi是一个用于字符串替换的快捷符号,见到pi这个符号的时候,脑子里应该可以等价地替换为一个无穷级数。也可以说,符号pi可以等价的定义为某个无穷级数。优美之处只能是:有一些不同的级数具有某种等价性(都等于pi的简单运算结果)。例如,我们对pi最早的概念是圆周率,但从计算圆周率这个角度看,pi就是一个无穷级数。

  30. IamWhoIam说道:

    调和级数H(n)
    logn + 1/n < H(n) < logn + 1

  31. avalon说道:

    埃舍尔的画是利用了透视欺骗人眼。

    感觉这句话“一个集合的子集等于集合本身”说得不太合适,确切的说是集合的势相等,http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%8A%BF

  32. pengzhan_a说道:

    一想起宇宙是无穷的就让人发狂。

  33. 潇潇暮雨说道:

    纠正一下,
    当一个中国人对你说出一万亿亿,或是一个美国人民用着正宗的伦敦音跟你说ten billion的时候,你是不是觉的这些数字已经有点震撼到你了?
    多打了一个亿,是一万亿。

  34. mathsli说道:

    看完以后,感觉真是有无穷的模糊。

  35. chenze说道:

    最爱数学的艺术美。。。

  36. 足球改单说道:

    数学问题真的很深奥噢。

  37. 大笨猫同学说道:

    推荐一本书,《从一到无穷大》,里面涉及了从数学到生物学等多门学科,其中讲解到了无穷数,我感觉挺不错的。

  38. wintersweet说道:

    应对不同层次的人,讲不通层面的无穷,在他们能理解的基础上稍微提高。

  39. 异教徒说道:

    好多图片挂掉了

  40. [...] 数的创生 希尔伯特之梦,以及梦的破灭 无穷的世界 最后,自然不能缺了m67神牛在果壳网的主题站:死理性派 [...]

  41. 冷冷的风说道:

    很喜欢埃舍尔的画!

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