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前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑,如果大伙儿还不知道这些是啥,请复习拙著:)。其实,拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学,而不仅限于拓扑学研究本身。

很多文献会提到,拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题,以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉,给出了第一个拓扑不变量,多面体表面的欧拉数(点数-边数+面数)。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人(虽然莱布尼兹曾经臆想过)。

传说中高斯当年是德国国土局的领导,负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到(所谓曲面的内蕴几何),他还定义了度量曲率大小的量(高斯曲率),并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来(高斯-博内定理),所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。当然,高斯的主业其实是政府工作、开创现代数论、以及电磁学。业余时间研究一下各种误差的分布啊,欧几里德的几何原本有什么错误啊之类的小问题作为消遣。

第二尊菩萨,黎曼同学,除了开创流形的几何学、发展了傅立叶分析和积分理论、研究了一下素数分布提出世界第一难题黎曼猜想之外,他不到40岁的短暂一生的其余时间基本上都在思考复变函数的问题。为什么有的复变函数是多值的?比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数?人们的思维定势是,既然函数是多值的,就像一条横着的抛物线,一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊,砍掉抛物线的一半就行了。黎曼不这么看。他觉得,如果把函数图像本身作为定义域,每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了,而且没有丢掉任何信息。如果是复变函数,其图像就是一个二维曲面,这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象,这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念,以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说,黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。

牛顿莱布尼兹发明了微积分之后,大家对无穷小无穷大这两个概念很不放心。为了让我们用得更安心,柯西和威尔斯特拉斯等人后来把无穷小解释得非常透彻,基本上就是说两个东西越来越近。“离得近”这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础——“点集拓扑”的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关,即,通过分析“收敛性”体现在应用数学中。所以,最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人(有好事者不以为然,一定要扯到古希腊的阿基米德,这就见仁见智了。)

总而言之,拓扑学有着高贵的血统。当然,好汉不提当年勇,拓扑学的现在和将来如何?20世纪中叶,代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展,两位名不见经传的数学工作者(艾伦伯格-麦克雷恩)突发奇想,从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上,他们重载了先贤亚里士多德的概念——范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。范畴论诞生了。20世纪数学的上帝——格罗登迪克,用7000页的数学圣经将拓扑学和范畴论全面而深遂地渗透到代数几何和数论研究中,改变了整个数学的风貌。与此呼应,世纪之交的物理学也在经历变革,量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的耶稣(上帝被爱因斯坦附身了)爱德华.威顿,身负绝世的拓扑神功,一经施展,整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体,必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的势力范围。所以,在这个系列的结尾,让我骄傲地替拓扑学宣称:21世纪是拓扑的世纪!!

I am just kidding.

拓扑学简介(一)

拓扑学简介(二)

拓扑学简介(三)

拓扑学简介(四)

拓扑学简介(五)

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25 Responses to “拓扑学简介(六)——结语”

  1. Cielo说道:

    这个系列的最后一篇了啊,期待下个系列:)

  2. 眉毛说道:

    说实话 这个系列是在松鼠会看的最难理解的内容了.....看完整个系列 只记得那个杯子变圆环的图片了......唉 可能本人数学功底太差了...

  3. est说道:

    category theory最有意思了。计算机科学必看。

  4. chiron说道:

    一口气看完了六篇,受益,也受罪,不知有无时间细细琢磨。

  5. chiron说道:

    游戏里有《异次元空间——立方体》

  6. 郭軼飞说道:

    您好,我和同学正在研究视频传输的网络布局,但是不是很了解计算机网络如何和拓扑学结合一下,您有啥能让我们深入研究下的资料?不胜感激

    • 季候风说道:

      拓扑虽然部分起源于图的问题,但图论的主要方法并不是拓扑。所以我不太了解。还是找图论专家问问吧。

  7. mouse崽说道:

    这么快就结束了哦 这个简介确实很“简”

  8. 白左说道:

    哦哦~果然是简介呢

  9. freetiger18说道:

    寫得真好。我想拜你為師。。。

  10. Tony说道:

    真的很好玩,当年学了点拓扑的皮毛就成就了我的经济学论文,看来活学活用才是我的专长。。

  11. 真实的螃蟹说道:

    看了你的文章,我对数学兴趣大增,可惜我天赋不够。

  12. 铁米说道:

    大师,写的太精彩了,愚辈找了半年拓扑学资料
    这是我看过最易懂好读的入门级文章了,醍醐灌顶
    对于一个不搞数学的人来说,从各种定义入手实在是来的不爽
    倒是大师的笔法让人痛快啊!
    感谢赐教!期待后续

  13. Lemon说道:

    看了你的文章,感觉写的简明扼要,从整体上介绍了拓扑的概念,我也是学数学的,目前研究方向也与拓扑有关,希望能与季候风多多交流

  14. wanlichuan说道:

    写的太好了,深入浅出,引入入胜。
    有些内容还不懂,但坚信作者的写作功底和数学功底都很了得。

  15. verygood说道:

    very good

  16. 等待赐教说道:

    写得太好了!现请教一个问题,望不吝赐教:
    集合Z含n(n∈N)个元素,即:Z={zi (1≤i≤n)},Z的幂集记为: Z2,Z、空集与Z2构成Z的离散拓扑空间Z。
    Yy,Yx,Xy,Xx为集合Z的四个真子集,这四个子集两两的交集为空,且Yy∪Yx∪Xy∪Xx=Z,同时,Yy,Yx,Xy,Xx也形成各自的离散拓扑空间,分别记为:Yy,Yx,Xy,Xx。
    在Yy向Xx变化的过程中,Yy是Yx、Xy、Xx存在的前提条件,Xy是Xx存在的前提条件,也就是说,由Yy到Xx的演变路经有两条:Yy→Yx→Xy→Xx,Yy→Xy→Xx;这两条路径含六种状态:{Yy},{Yy,Yx},{Yy,Yx,Xy},{Yy,Yx,Xy,Xx},{Yy,Xy},{Yy,Xy,Xx}。这六种状态构成集合{Yy,Yx,Xy,Xx}的一个拓扑XY。
    这六种状态的表现形式是离散拓扑空间Yy、Yx、Xy、Xx形成的积空间,如:状态{Yy,Yx}的表现形式为:离散拓扑空间Yy与Yx的积空间。
    离散拓扑空间Z、拓扑XY、六种状态及其表现形式,相互间的关系,如何用精确的数学语言表达?
    多谢了!

  17. 神经拓扑说道:

    写得挺好。我一直想应用拓扑到生物学领域,尤其是脑科学研究,让两学科双剑合璧。可是就是没想出来怎么应用

  18. 傲览千古说道:

    20世纪曾经红极一时的拓扑学,其实早就已经由盛转衰,火爆不再,无不显示出20世纪的现代数学的兴趣变化很大。 现代数学的主流是代数,因而重心自然就是所谓的各种数学模型和其结构了。至于几何学,包括拓扑几何在内,全都不是大学数学系重点的研究科目。

  19. 学一点数学感觉好说道:

    "黎曼不这么看。他觉得,如果把函数图像本身作为定义域,每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了,而且没有丢掉任何信息。"

    以前怎么没有看到过这种好话呢?

  20. 匿名说道:

    nnd 拓扑学一定笑傲21世纪!

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