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投机也要讲策略Comments>>

发表于 2008-10-25 17:13 | Tags 标签:, ,

goat-door

感谢留言指出文中错误的同学,大谢!读者群太强大鸟,赶快老老实实更正。还有什么错误,大家继续上老虎凳辣椒水吧,俺全改!

一提到赌徒人们都皱起眉头,仿佛他们都是一副输到裤头还两眼放光的穷光蛋。其实,这样抑制不住投机的冲动,不停往老虎机里扔钱的家伙只能是最低级的赌徒。啥都讲究个术业有专攻不是么,赌博界当然也不例外。今年暑期档一个挺好看的电影,21点,就是根据MIT一群数学系学生在拉斯维加斯捞钱的故事改编的。认真说来,他们赢庄家本质上还是靠出老千。不过,若没有数学做后盾,男主角是根本赚不出哈佛医学院的学费的。电影中,“维加斯小分队”的头儿,统计学教授罗萨在他的课堂上物色学生,出了一道题:

有三扇关着的门,其中一扇后面有金子,另两扇后面是山羊。游戏的主持人知道哪扇门后面有金子,请你先挑一扇。然后他打开另两扇门之中有山羊的那个,问你要不要改变主意押另一扇门。这时,你换还是不换?

全班沉默中,我们的男主角轻描淡写地说,当然要换。开始时三选一,金子出现在你的门后概率是1/3,在另两扇门后的概率是2/3。当知道两扇中的一扇是山羊以后,那2/3的概率全落到了另一扇上。那么当然要改变策略,选择2/3那扇门啦。

初听起来有点违反直觉是不是?两扇门中一扇有金子,为什么机会不是1/2对1/2?抛开数学天才的直觉和常人不同这一点,让我们利用常识和逻辑来看看怎么回事吧。

事情的关键在于主持人不是随机地开门,他只能打开有山羊的门。如果主持人可以打开任意的门,下面左边列出了所有可能的情况:

1)
主持人    你          
  羊       羊        金子

2)
  你     主持人    
  羊       羊        金子

3)
主持人              你
  羊       羊        金子

4)
          主持人    你
  羊       羊        金子

5)
你                   主持人                  你        主持人
羊         羊        金子         ----〉   羊        羊        金子

6)
           你        主持人                  主持人   你    
羊         羊        金子         ----〉   羊        羊       金子

在1)和2)中,换到另一扇门就赢了,在3)中换门就输了。 在1)、2)两种情况下,你换门就赢了,其他四种情况换门都是输。那么,在主持人随机开门时,如果你选择改变,三次中就有两次赢 六次中只有两次赢,胜率是1/3。这和你从三扇门中猜中有金子那扇的概率是一样的,也就是说主持人开不开门根本没影响

现在,好玩的地方来了。因为主持人被限制只能打开有羊的门,那么在5)和6)的情况下,他只好被迫放弃金子选择羊(如虚线箭头所指)。那么,本来你输的两种情况,主持人拱手把金子让给你了。这下,输赢成了2比4,胜率变成了2/3。

我们还可以换一种角度来想。或者这样想,不管怎么样都换。如果你先选中山羊,百分之百赢;如果先选中金子,百分之百输。而选中山羊的概率是2/3,选中金子的概率是1/3。所以不管怎样都换的话,2/3的机会得手。

这个思路可以解释我们的直觉不准在哪里。我们的第一感觉认为我先挑和主持人先挑是一样的,而实际上先后次序很重要。试想改变一下游戏规则,主持人先打开有羊的门,再让我们挑。这时还剩下一只羊和一堆金子,从羊换到金子还是从金子换到羊的概率都是1/2。因为在主持人“拿掉”一只羊以后,我们选中羊的概率就不再是2/3,而减小成1/2了。

我们多数人都没有天才的直觉,但我们可以学习有条理地分析问题,来弥补“先天不足”。上面的例子中,思路分成了两步:首先考虑先选中羊是什么结果(百分之百赢),先选中金子是什么结果(百分之百输);然后再考虑选中羊的概率是多少,选中金子的概率是多少。这样推理的逻辑就变得清晰顺畅了。

lots

在涉及到稍微复杂一点的概率问题时,上面的“分步分析法”经常能拨云见日。把它养成一种习惯,在日常生活中也派得上用场的哦。比如,它可以帮助你判断抓阄的时候是先抓好还是后抓好。就假设有三个阄,由甲、乙、丙三个人依次来抓,其中之一有奖。那么三个人抓中的机会是不是一样的呢?还是甲的机会更大?看上去丙最倒霉,剩下什么就是什么,没得一点选择的余地。嗯,这是我们的直觉,下面该理性来发挥作用了。

甲面对三个阄,一个有奖两个没奖,抓中的机会是1/3,抓空的机会是2/3。这个很容易。接下来,乙的情况就不那么一目了然了。我们来分情况讨论:首先,如果甲抓中了,那乙百分之百没戏;如果甲抓了个空的,乙在剩下的两个里二选一,抓到奖的机会是1/2。第二步,甲抓中的机会是1/3,这1/3里乙百分之百没戏;甲抓空的机会是2/3,这2/3的情况中乙有一半的机会获奖。2/3的一半就是1/3,所以乙1/3的机会获奖,1/3的机会抓空。最后,因为在丙抓之前谁也不知道甲到底中没中,所以两种情况都有可能。那么,乙抓中的机会就是1/3,抓空的机会是1/3 + 1/3 = 2/3。哈,看来先选并不能给甲带来什么优势。如果你验证一下丙,会得到同样的概率。

这样看来,即使是猜金子和抓阄儿这种碰运气的事情,也是要先经过大脑的。有时改变主意可以增大胜率,有时却不必在乎先后次序。到底采取什么策略,还得看看数学规律是咋说的哈。

看到这里,不喜欢术语或者公式的同学们,可以离开这个页面啦。下面是本文用数学语言翻译过后的版本:

这篇文章其实说的就是所谓“条件概率”。如果我们想知道两件事A和B同时发生的概率,就要分别找出已知A发生的前提下B发生的概率和A发生的概率,然后把两者相乘。写成公式,即

P(A,B) = P(B|A)*P(A) 

在猜金子的例子里,我们计算“选中羊”的获胜概率,那么A就对应于“选中羊”这个事件,B对应于“获胜”这个事件。选中羊且获胜的概率 = 选中羊的前提下有多大可能获胜 x 选中羊的概率 = 100% x 2/3 = 2/3。 哈,答案也是吻合的。

好了,休息时间到,我们去看“21”吧。

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72 Responses to “投机也要讲策略”

  1. 小菊说道:

    恩,很有名的一道题,主持人给出了提示,参与了决策过程

  2. musemouse说道:

    门和羊的例子是有问题的,无论换或者不换在揭示完第一只羊的存在后换或者不换的中奖几率都是1/2
    你忽略了最后一种情况:
    主持人 你
    羊 羊 金子

    • fizzy说道:

      有个问题,如果主持人不是随机打开门的话,5)和6)发生的情况根本不存在,为什么还要列入考虑呢?还有,从非逻辑推理的角度看,人的行为有很多因素影响,正如mousemouse所说的,要考虑A和B的空间排位及人的心理影响,纯算数简单的逻辑推理是有问题的。

      • anpopo说道:

        列入考虑是为了说明那部分概率到哪里去了,而人的心理对概率没有影响。

  3. musemouse说道:

    貌似回复会自动取消行前的空格,我的意思是其实羊A和羊B的排列差异是必须考虑的,当主持人点开A或者点开B的门,则是两种都必须考虑在样本空间里的不同情况

  4. apple说道:

    计算概率 不难哦
    那就难在怎么把生活中的问题看成是概率问题。。。

  5. swanix说道:

    这是个博弈问题吧……

  6. fishtimes说道:

    概率论有个很抽象的概念:
    抽签结果和先后顺序是无关
    所以
    不放回抓阄 每个人的目标概率是不是应该相同呢?

  7. clathrin说道:

    这部电影里我看懂得部分只有三门问题
    其余关于玩21点怎样算牌的部分显得太玄乎了,很想知道电影背后那个真实的故事呢。

    总的来说,老牌影帝Kevin Spacey 的表演还是很精彩的。

  8. hotfreeze说道:

    应该有四种情况吧?
    1)
    主持人 你
    羊 羊 金子

    2)
    你 主持人
    羊 羊 金子

    3)
    主持人 你
    羊 羊 金子

    4)
    主持人 你
    羊 羊 金子

  9. 李明致说道:

    我觉得这个分析考虑少了一种情况:
    如果第一 和 第二 种情况成立,
    怎么第三种情况后面就没了呢
    1)
    主持人 你
    羊1 羊2 金子

    2)
    你 主持人
    羊1 羊2 金子

    3)
    主持人 你
    羊1 羊2 金子

    4) 主持人 你
    羊1 羊2 金子

    其实,由于羊有两个,对于参与者 选的每一个结果,
    主持人都必然能打开一个 山羊 的门。看起来好像是
    主持人给你提供了额外的信息,但是这个信息对于参与
    者来说却是冗余的,因为,主持人是事先知道答案的人,
    只有在主持人也是随机的选择的时候,才对你的抉择有
    意义

  10. hotfreeze说道:

    抱歉,不知道留言开头不能留空格。

    羊的问题,应该还有第四种情况。
    就是主持人选中间那头羊!

  11. nothing说道:

    那个三门问题我们数学课上做过的

  12. yunwuwin说道:

    那个换门问题曾经在某个论坛有十几页的跟贴,没有一个把问题说清楚的。
    对安婆婆同学佩服中。。。

    • anpopo说道:

      写错了,好囧啊,云兄把佩服撤回吧~~

      之前确实犹豫了一下的,觉得这个问题被好多人拿出来讨论过。不过google了一遍,又觉得还是可以写一写,结果。。。

      • yunwuxin说道:

        “事情的关键在于主持人不是随机地开门,他只能打开有山羊的门”——这是分析这个问题的关键,指出这个关键才是最重要的。
        “我们还可以换一种角度来想”————很多人做了这个分析,但是无法指出为什么基于“随机选择”的结果在这里不对。

        我记得有个搞IT的说去面试遇到了这个题,他就写了一个程序作随机模拟。运行了N次之后统计结果接近这个结果。

  13. thelinli说道:

    科学世界有一期对这个问题有介绍

  14. cppapp说道:

    恩恩,我这里有另一个版本的问题,楼主看看:
    某女甲,富豪美女,假设就是安婆婆吧,有三个帅哥A,B,C在同时追她
    安婆婆想得到真爱,但是又觉得三个帅哥都差不多,不知道谁才是真心的,于是随机选了A做她的男友,接受A的表白,并把A介绍给松鼠会众人
    没想到松鼠会众异口同声跳出来对她说:还好你没选C啊,C是公认最不适合你的!他只是贪慕你的钱财!
    于是安婆婆根据概率原理,这时候应该和A分手,然后接受B做她的男友,这样才能有更大的希望得到真爱?

    =_,=

    • 小园子说道:

      从理论上来说..概率是要大一点的..我想.

      • cppapp说道:

        但是现实中应该没人会因为这个换男(女)友吧。。

        • anpopo说道:

          哈哈哈哈,松鼠会众的眼睛永远都是雪亮的,可惜现实和帅哥都是残酷的。。。

          现实中也没人是随机选择男朋友的吧。。谈恋爱都成随机事件了么 -_-||

          • gxsheng说道:

            不一样的哦。。。
            少了一个前提啊:三个帅哥只有一个是真心爱你的,其他两个要么是贪财,要么是贪色。

  15. 黑色南极洲说道:

    不管怎么说,不管换不换,选中金子的概率一样大。

    • 黑色南极洲说道:

      我坚持那样认为。

      • 小园子说道:

        ....必然不一样的....高中数学就有很详细的介绍...考试出的题要复杂的得...不过不记得文科是否会学..

    • c2blog说道:

      这位仁兄提醒滴及时,看来应该是jshisan的资深粉丝。偶都忘了《Numb3rs》讲过这个,集数都多到混淆鸟。

      另外,作者把正文改得如此低频,淡好像仍然煤油Charlie讲得那么清楚喔。

  16. onecountry说道:

    看了半天,不过还是没搞清楚到底哪个概率大...

  17. ouroboros说道:

    嗯。直觉是靠不住的。初中数学老师出过题:一个大呼啦圈沿赤道贴在地球(假设是完美球体)上,然后,把这呼啦圈周长延长1米,问呼啦圈和地面的空隙能不能钻过一只耗子?

  18. moomin说道:

    第4种情况不应发生,那是主观上的误导。如果主持人对羊的选择是按序的,优先选一号羊的话,就不会有问题了。

  19. moomin说道:

    小醉,又想了一下.假设主持人为电脑程序,如何才可使第四种情况发生.有两种:
    1)程序设置为在你未选择之前先在两只羊中选一.这样事件发生在你选择之前,等同于先给羊排序.此选择不会影响下面所发生的事件,等同于没有第四种情况.

    2)程序在你选择之后,此时就有了三个if,你如果选羊,程序的选择都是唯一的.你如果选车,程序需要在羊一,羊二中二选一,此时程序引入了一个二分之一的概率.但此概率是独立的,不会对你的之前和接下来的选择产生影响,此事件的存在是与你无关的.并不会干扰最终概率的计算.因此在你第一次选择之后,程序只会给出3个结果,不会出现选择1或2的情况.等同于没有第四种情况.

    ......

  20. 博士上校贝勒四说道:

    当主持打开山羊的门,并非只有没被选中的概率发生改变,而是你已经选择的和另外一个没被选的,机会均上升,具体说是从33%都到50%,主持打开的那个,1/3的概率被平均分配.
    简单点说,是已发生事件的概率平均分配给尚未发生事件的样本里了.
    所以变不变都一样.

                                                                                                                                                                                                                             

  21. ant说道:

    赞同上面有人的观点,5,6两个情况实际是没有的,而3,4实际是一种情况。共有三种情况,即“你”分别选羊1,羊2,金子的情况,由于选中羊的概率是2/3,所以交换后选金的概率也是2/3。
    在已经知道一个门为羊情况下,交换成功概率感觉像1/2,但由于开始“你”选中羊的概率是2/3,所以换金的概率的确是2/3。
    可能还不好理解,似乎可以把这个例子极限化,假设有10个门,后有一个金子和九只羊,你选择后主持人打开八只羊的门,则你换还是不换呢。因为开始选到羊的几率大,所以要换。

  22. musemouse说道:

    虽然改过了......但是还有问题。所谓5 /6两种情况在主持人不能选金子的情况下取消因而增加1/3胜率的说法是错误的,当只能选羊的情况下只会有前四种情况出现,而且是等概率出现,在题设的门羊举例中确实无论换不换胜率都是1/2

    所谓的1/2和2/3大概是说条件概率的所设条件不同而已。1/2是指在主持人点完羊之后换不换门中标几率都是50%;2/3指的是什么条件我没搞太清楚反正肯定不是题设中的这种情况,总而言之这里边只是一个很拗口的语言表述的差异问题罢了,但是最后有一点必须说明的是:

    换或者不换的策略都不能为这次猜奖带来任何概率上的收益。

    我并不是一定要拆安老师的台,但是......还请更正。

    • anpopo说道:

      这一次我不能同意你了哦。我们的根本分歧在于四种情况是不是等概率出现,在这一点上目前不能互相说服对方。所以最好的解决方式就是做实验,找一个搭档来当主持人,玩上200次(10秒/次的话只要花半个多小时),统计一下结果便知~

      当然偷懒一点的办法是写个程序,hoho

      • musemouse说道:

        这四种情况分别独立完成一次作业,这个等概率很难确定么-_-!......就是个p21乘上个p21罢了,我相信任何一位学过任何一本个版本《概率论与数理统计》前三章的筒子都应该在这个伪概率面前做出正确判断。

        这次的谬误很明显,无论如何,还望慎重刊正

      • musemouse说道:

        好吧,我错了,确实不是等概率出现。其实我们的分歧是这样的:就是换与不换的选择具体出现在什么时候。如果是事前承诺,即我与主持人参选之前承诺,那么是2/3;如果是主持人点羊之后选择换与不换,那么是1/2,好吧,就是这样。

      • musemouse说道:

        好吧,我又错了,所谓2/3出现在:玩家做出选择,然后主持人承诺把下边两个选择里的羊挑出来给他看,然后再问他要换还是不要换,天杀的,不会有任何一个庄家这么跟人玩游戏的。前面的讨论已经把我自己都绕囧了.
        最后的结论是主持人点门前问你换不换中奖概率势必是1/3,主持人点门后问你换不换中奖概率势必是1/2

  23. musemouse说道:

    不要想的太复杂,这个问题完全可以通过枚举所有情况完成推断:

    我们首先确定规则,规则一:我们面对三门,随机点开一扇门,则可能出现羊君A或者羊君B抑或金子君,三选其一,而且他们出现的概率等同;规则二:主持人只能点开有羊的门.以上无疑议的话我们进行下一步开选

    点开的门后为羊君A,主持人只有点羊B,换门胜利;
    点开的门后为羊君B,主持人只有点羊A;换门胜利;
    点到金子君,主持人点羊A,换门则失败;
    点到金子君,主持人点羊B,换门亦失败;

    如果再承认以下两点事实:首先以上四种情况分别独立完成一次猜奖,所以具有同样的出现概率;然后已经不可能有其它更多事件情况出现,以上四种排列涵盖了所有事件发生的可能性.

    那么我们可以得到结论:换门不换门和制胜的窍门无关,
    这个故事告诉我们,赌博图的是个爽快,俄罗斯轮盘的概率永远是你投入(非哑弹)子弹的数目除以你所用佐轮(排出质量问题)的载弹量,除非为了体验脸红心跳的快感,否则当你无奈扣下扳机的那一刻还不如啥都不想的好,反正所有的可能性都已经交付概率,你就是急到心肌梗塞,对于事态的发展也不可能有什么好处.

    最后,这个问题还可以这样考虑:
    1主持人必选羊;2主持人必然有羊可选.3主持人和我选门的次序不构成事件概率的公正性问题
    所以让主持人选先
    主持人选羊君A,我点羊B和点金子之间的概率皆为1/2;主持人选羊君B概率亦然.
    所以改不改选确实非常之无意义.

  24. 赵谊科说道:

    我看了一遍 21 ,里面的主人公很容易就计算出概率是2/3,其实他的计算方法很简单:
    1 羊 2 羊 3 金子 。
    一步:他开始选择,得到金子的概率是1/3 .得到羊的概率是2/3.
    二步:主持来干扰,问他换不换(我觉得傻瓜都会换),但是赢的概率到底是多少?有人说1/2,说最后剩下的只是就是一头羊和金子,二选一。也有人说是2/3.
    个人意见:我觉得赢得概率应该是2/3,为什么? 21 里面有答案啊,条件不一样了嘛,如果是一个羊和金子,让你选择,当然是1/2。但是这里的问题是变量。所以不是单纯的1/2,2/3的概率其实很简单,因为傻瓜都会换,这是前提,所以前面你选择羊的概率是2/3, 所以你赢的概率就是2/3. so easy.

    • musemouse说道:

      什么叫问题变量......无论主持人怎么选剩下的都是一羊一金啊,这不明摆着1/2么...... easy......

  25. 赵谊科说道:

    本人一介平民,喜欢拜读各位的文章,觉得以上给的答案中的变量解释得不是很充分。这里的变量就是选择赢的概率。中间环境的变化只是让赢的概率的发生了变化,

  26. ant说道:

    可以这样想,任一次选择,选中羊1,羊2,金的概率分别1/3,也就是选到羊的概率为2/3。如果没问题继续。假设选择了1000次,那么大约有333次选了羊1,333次选了羊2,333次选了金。
    选了羊1,则交换赢;选了羊2,则交换也赢;选金,有又两种情况,主持选羊1,和主持选羊2,不过这两种情况都是基于“你”选了金这一概率下发生的,两者各占一半(1/6)。按上面假设,在333次中,各约有176或177次发生,这些情况都输。
    所以交换赢的概率即1/3+1/3+0=2/3.

    也可以这样看,假设选羊。你选择后,主持打开一个有羊的门,问要交换吗,记住现“你”要选羊,由于开始选到的几率就是2/3,所以不要换。

    这个题目应是基于三扇门作出的,而有人提到的1/2,是在已知一扇门为羊情况,在后两扇门之间选得出的,即二选一,是不一样的条件。

    所以赌博也要有学问,只是能赚钱的终归是少数了。

  27. musemouse说道:

    好吧,在历经了诸多的混乱之后我总结一下:

    所谓2/3的制胜概率出现在以下游戏规则:玩家在主持人点选门之前事先承诺换或者不换,当然他能换门的选择只有两个,而非三个,因为智障主持人会在他买定离手之后义无反顾地在剩下两扇门中替帮玩家挑出一只苦大仇深的羊来,并且死活不让玩家选它。玩家最终的选择就在事先敲定的那扇门与主持人挑剩下的门之间进行。所以如果事先点到羊就是直接是一场换换换的胜利,换的制胜率恐怖的达到了必杀死等级的2/3。于是蚁兄得出了1*1/3+1*1/3+0*(1/6+1/6)这样圈圈绕而且无可质疑的推断结果。是的,在最初的时候,我也被绕糊涂了。

    其实我最想说的是,这个规则,太太太太离谱了,太太太太太离谱了...............(回声)

    正确的而且合乎常理的结论如下:

    当换与不换的承诺发生任何一扇门打开之前时,智商〉90的主持人不可能为了你期待的2/3胜率还千辛万苦帮你踢出一只羊来,因而你的制胜几率无论换与不换实际应为1/3。

    当换与不换的承诺发生在主持人点开一只羊之后,1/2,谁说不是1/2的话我绝对不辨驳,我情愿去教GT-6687星云的洋葱星人打麻将。

    最后的最后,我必须承认我在条件概率的判断上出现过一次失误,我之前罗列的四种情况并非等概率发生,感谢各位的指正,以上,谢谢,再会,我坚决不在继续这次的讨论了,话说为了这么简单的概率问题打那么多字,让我很有挫败感-_-!

  28. 赵谊科说道:

    musemouse,你支持赢的概率是1/2,也就是说,换与不换都是同样的胜算,那么你到底是换还是不换?这是问题一。

    既然你说到条件概率问题,那么我问你你后来的概率计算有没有考虑到你之前的选择?如果你选择不换,那么我告诉你,你在整个事件中你赢的概率就是原来的1/3.因为后来的变化都没有影响到你的选择。

    我们要从整个事件来看,后面我们只有两种选择,就是换还是不换,如果选择换,因为之前你选中羊的概率是2/3(就是说你输的机会是不是大些?),所以,你选择换就是选择赢,所以赢的概率就是原来输的概率。

    前世今生,原来都是一线牵着的。如果你不信,你可以用程序去验证。我们要相信科学啊。

  29. 赵谊科说道:

    不记得是哪个说的了:思路决定出路。

    很有道理的。:)

  30. ant说道:

    再写点,确切的说这一问题的区别在“你”的选择在主持打开门之前还是之后,如果在之后,则此时变成二选一,赢率五五分;如果在之前,是基于三个门的,则主持打开门,你面对的剩下两个门不再是一个随机事件,因为你已经选的门有更大可能是羊。按上面假设,你已选的门大约有666次是羊,333次是金,自然要交换。
    也可以无视主持的存在,你选择后,问是否愿意和剩下两个门交换,如有羊不算,有金则归你。那当然要换,因两个门的几率当然比一个门要大。
    这问题告诉我们许多东西并不像表面上看去那么简单,许多人一起讨论才会让人更清楚,更有收获,怎会有失落呢。

  31. zhutao说道:

    这是个排列问题。
    主持人一开始就拥有两扇门,则其拥有羊的几率是100%,拥有金的几率是1/3 + 1/3(因此让不让你看见羊都是一样的,但其后人为打开羊门,避免你选到已确认的羊门才是关键)。现在主持人排除掉羊门,则主持人手中未开的那个门为金的几率为2/3,而你手中未开的那个门为金的几率才为1/3。当然该换。
    上帝有3个只装了1/3葡萄酒的酒桶,让你任选一桶,然后当着你的面将剩下的两桶葡萄酒合在一起,让你看空桶,问你是否愿意和他换装了2/3葡萄酒的那只酒桶。你愿意否?

  32. chiwenzheng说道:

    要知道主持人在开门的时候是排除了你选的那个门中选的,我就说到这,1/2党们好好想想吧

  33. cqb说道:

    条件概率、全概率、贝叶斯公式解
    游戏开始,设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率,则P(A)=P(B)=P(C)=1/3
    假定:游戏者任选了一道门A,而主持人(HOST)打开一道后面是羊的门,事实上有两种情况

    1、主持人了解所有门后面的东西,他一定要打开一扇“羊”门
    如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门(“羊”门)的概率为
    P(Host opens C|A) = 1/2
    如果车在B门后面,主持人没有选择,只能打开C门
    P(Host opens C|B) = 1
    如果车在C门后面,主持人一样没得选择,绝对不能开C门
    P(Host opens C|C) = 0
    所以,主持人打开C门的概率为
    P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)
    = 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2

    根据贝叶斯公式,在主持人打开C门的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为
    P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)
    = (1/6) / (1/2)
    = 1/3
    P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)
    = (1/3) / (1/2)
    = 2/3
    这就是为什么要换二号门的原因。

    2.主持人和游戏者一样蒙在鼓里,他是碰巧打开一扇“羊”门,那么
    如果车在A门后面,主持人有B、C两种选择,打开C门的概率为
    P(Host opens C|A) = 1/2
    如果车在B门后面,主持人一样有B、C两种选择,打开C门的概率还是
    P(Host opens C|B) = 1/2
    如果车在C门后面,主持人还是有B、C两种选择,只是打开C门不可能看到羊
    P(Host opens C|C) = 0
    所以,主持人打开C门见到羊的概率为
    P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)
    = 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3

    根据贝叶斯公式,在主持人打开C门见到羊的条件下,A、B两门后面是车的概率分别为
    P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)
    = (1/6) / (1/3)
    = 1/2
    P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)
    = (1/6) / (1/3)
    = 1/2
    在这种情况下,用一个简单的条件概率式P(A|C.sheep)一样可以得出1/2的结果。这就是“不换”的原因。遗憾的是,从游戏的设置来看,主持人不知情的可能性很小。

    支持2/3

  34. Windy说道:

    实际上只有3种情况:

    你金,主持人羊羊,
    你羊,主持人金羊,
    你羊,主持人羊金

    然后后面两种情况下,主持人都会把羊主动亮出来
    这3种情况的概率都是三分之一

    ok 2/3出炉

  35. 鹰狼星说道:

    21点是好片子啊~~~三门问题确实很经典。

  36. pretender说道:

    我觉得反过来想

    如果是3个人每人选了一扇门 然后主持人打开一扇羊的门 淘汰掉一个人

    剩下2个人 岂不是说都要换成对方的选择 成功率会高1倍?

    原来是1/3跟1/3 互换下就变成2/3跟2/3了?

    概率这东西 加起来可以超过1的吗?

    谁能解释呀 我QQ19918337

    3Q

  37. 林之乎说道:

    这个问题没那么复杂啦,情况一:第一次选到车(1/3),变则拿不到(0),不变则拿到(1);情况二:第一次选到羊(2/3),变则肯定拿到(1),因为另外一只羊被主持人排除了),不变则拿不到(0)。综上变拿到的概率为1/3X0(情况一)+2/3X1(情况二)=2/3,不变拿到的概率为1/3.

  38. 张海说道:

    甲面对三个阄,一个有奖两个没奖,抓中的机会是1/3,抓空的机会是2/3。这个很容易。接下来,乙的情况就不那么一目了然了。我们来分情况讨论:首先,如果甲抓中了,那乙百分之百没戏;如果甲抓了个空的,乙在剩下的两个里二选一,抓到奖的机会是1/2。第二步,甲抓中的机会是1/3,这1/3里乙百分之百没戏;甲抓空的机会是2/3,这2/3的情况中乙有一半的机会获奖。2/3的一半就是1/3,所以乙1/3的机会获奖,1/3的机会抓空。

    上面最后一句应该是2/3的机会抓空,要么中,要么空。两个加起来一定是1。基于前面的内容,应该是2/3空。

  39. auguwind说道:

    我认为结果应该,打开一个羊后,换与不换的概率都是1/2,因为如果选择换(重新作了选择,选择了另外一个),作者已经分析了,概率是1/2,如果不换(其实也是重新作了选择,就是选择了前面选择的一个,而作者认为这里没有没有作重新选择,认为概率1/3保持不变,其实这是不对的),概率当然也是1/2了。

  40. auguwind说道:

    我认为结果应该,打开一个羊后,换与不换的概率都是1/2,因为如果选择换(重新作了选择,选择了另外一个),作者已经分析了,概率是1/2,如果不换(其实也是重新作了选择,就是选择了前面选择的一个,而作者认为这里没有没有作重新选择,认为概率1/3保持不变,其实这是不对的),概率当然也是1/2了。

  41. 游客说道:

    如果一开始就选对的话,那么改变选择就是错的
    如果一开始就选错的话,那么改变选择就是对的

    你觉得一开始你选的对吗?

  42. 酱油党说道:

    这样理解有点问题,因为主持人是不能打开你已经选了的那个门的,而你这样的理解里总是有一个人选择的门会被主持人打开。就算是两个人也不行,存在两个人都选到羊而让主持人没法开门的可能。

  43. 123454321说道:

    http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08monty.html?_r=0

    这个可以让你自己玩,还有很详细的解释,可以参考一下。
    多试几次,每次交替着换和不换就会发现换门赢的几率真的大过不换。

  44. HiFiU说道:

    我也是1/2党。

    这个数学家把两次不相干的投机混做一次来思考了,前面pretender 也提出有效的质疑了。

    第一次投机是3选1,是一次没有揭开谜底就终止了的游戏;
    第二次投机是2选1,是另一场新的游戏。

    这个问题本该有时间轴,因为第一次没开谜底,被善辩者故意隐瞒抹去了。
    就像抛硬币,下一次出公字的概率永远是50%,跟上一次无关。

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