科学松鼠会 http://songshuhui.net 剥开科学的坚果,让科学流行起来 Sun, 23 Sep 2018 23:13:58 +0000 zh-CN hourly 1 https://wordpress.org/?v=4.3.17 http://songshuhui.net/wp-content/uploads/cropped-songshuhui-32x32.jpg 科学松鼠会 http://songshuhui.net 32 32 水下火焰喷射器?不,那是鲁米诺在发光 http://songshuhui.net/archives/102416 http://songshuhui.net/archives/102416#comments Sun, 23 Sep 2018 23:13:58 +0000 http://songshuhui.net/?p=102416

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今天的主角又是深受大家喜爱的发光物质鲁米诺。这个版本看起像是水下的迷你火焰喷射器,但并不涉及燃烧,本质上依然是鲁米诺分子被氧化发出蓝色的光:

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这个图的原视频录制者是Kendra Frederick博士(推特:@kendrakf13)。有意思的是,这并不是专门设计的演示实验,而是处理实验废液时萌生的小创意。烧杯中的溶液是10%的次氯酸钠漂白剂(充当氧化剂),用针管注入的则是用剩下的含鲁米诺的化学发光试剂。当鲁米诺在碱性条件下被适当的氧化剂氧化时,可以产生一种“激发态”的中间产物,当其中的电子回到基态,就会发出蓝色的光。

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这里的鲁米诺试剂原本是用来检测蛋白质的。在蛋白印迹法(western blot)中,经常会用到连接了酶的抗体来结合待检测的蛋白质,而鲁米诺化学发光试剂与酶(过氧化物酶)配合使用可以让局部发光,把蛋白质的位置显示出来。图中的发光非常明亮,应该是因为试剂里加了化学发光增强剂。当然实际检测蛋白质的时候发光远没有这么亮。

这个实验在推特和reddit上都收到很多好评,效果这么像火焰也真是没想到啊。

信源:https://twitter.com/kendrakf13/status/1007088771500830721

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鸡蛋壳的颜色,能告诉我们什么 http://songshuhui.net/archives/102399 http://songshuhui.net/archives/102399#comments Sat, 22 Sep 2018 23:13:56 +0000 http://songshuhui.net/?p=102399 朋友圈里总要人讨论红壳鸡蛋好还是白壳鸡蛋好。这并不是中国消费者的特色,世界其他地方的消费者也往往会根据鸡蛋壳的颜色去选择。有意思的是,在不同的地方,人们的选择标准不同——有的地方喜欢红壳,有的地方喜欢白壳。

其实,白壳和红壳只是两种最大众化的颜色。除此之外,还有蓝壳、绿壳,以及介于它们之间的“过渡色”。

图片来自Wikipedia

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在中国有些地区,还会把“绿壳鸡蛋”作为一种特色产品。一方面是“物以稀为贵”商业逻辑,另一方面是“非常之物必有非常之效”的“民间智慧”,于是这些“特色鸡蛋”也就能卖出更好的价格来。

网上关于蛋壳颜色的成因往往是扯淡

经常有“冒充科普”的文章告诉大家“走地鸡的蛋壳颜色如何如何,饲料鸡的蛋壳颜色如何如何”,其实纯属臆想。

鸡蛋壳的主要成分是碳酸钙。直到下蛋前的3-4个小时,蛋壳都保持着碳酸钙的白色。“上色”,是最后一步。上不上色和上什么色由母鸡的基因决定,跟吃什么饲料没有关系。

如果没有色素沉积,那么就是白色蛋壳。如果是原卟啉色素沉积,那么就是棕色蛋壳,也就是通常所说的“红壳”。如果只有胆绿素沉积,那么就是蓝色蛋壳。如果既有原卟啉素又有胆绿素,二者混合就呈现为绿色。

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科学家们现在还不完全明白是什么基因控制着这些色素的沉积。根据统计数据,科学家们只能告诉我们:一只下白壳蛋的母鸡,无论如何喂养都不能让蛋壳有颜色;下有色壳蛋的母鸡,无论如何喂养也都无法下出白壳蛋来。

蛋壳颜色的深浅会受到其他因素的影响改变

遗传决定了鸡蛋壳是什么颜色,不过有一些因素会在一定程度上影响颜色的深浅,比如母鸡的年龄。

除了双黄蛋,鸡蛋的大小一般会随着鸡龄的增加而变大。然而,科学家们发现,一只母鸡沉积到蛋上的碳酸钙和色素却不会随着鸡蛋的大小相应改变。于是,到了产蛋后期,鸡蛋增大,而产生蛋壳的碳酸钙和上色的色素却没有相应增加,于是也就只好偷工减料——降低蛋壳厚度和色素密度来应付。所以,老龄母鸡下的蛋,壳就薄一些,而颜色也会淡一些。

此外,还有研究发现,同样的母鸡在散养条件下的蛋壳要比笼养的颜色浅,这跟许多人想象的“红壳鸡蛋是走地鸡”相反。而母鸡在给鸡蛋“上色”时候受到惊吓,也可能导致母鸡色素分泌不足而使得蛋壳颜色变浅。当然,如果疾病或者某些药物干扰到了激素分泌,也可能影响蛋壳颜色的深浅。

蛋壳颜色跟营养有关吗?

说了这么一堆,许多人还是会问:那你倒是告诉我该买什么颜色的鸡蛋呀?

即便是同一只母鸡下的蛋,不同的鸡蛋之间营养成分的组成也不完全一致。但通过蛋壳的颜色,不可能对鸡蛋的营养组成做出有价值的推测——实际上,不同的鸡蛋在“营养组成上”的那点差别,相对于鸡蛋的整体营养完全可以忽略。

从统计数据来看,蛋壳颜色能够告诉我们的信息,或许只有“蛋壳颜色深的鸡蛋,蛋壳可能会更厚,在运输过程中更不容易破裂”。

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北京地铁里的颗粒物,对人体危害有多大? http://songshuhui.net/archives/102395 http://songshuhui.net/archives/102395#comments Fri, 21 Sep 2018 23:10:55 +0000 http://songshuhui.net/?p=102395

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地铁已经成为了城市生活中最便捷的公共交通工具之一。进入一些老旧的地铁站搭乘地铁,闷热的感觉随之而来,有时还会伴随着异味。这不由地会让我们对其中的空气质量产生担心——位于地下的地铁,空气流通性有多好?地面上的PM2.5等颗粒物,又会不会钻进地铁里出不去?

先前的一些研究显示,日常生活环境里的空气污染会影响到人们的心血管健康。地铁车厢内的空气质量不佳,是不是也会带来同样的影响?

最近,北京大学公共卫生学院郭新彪教授与邓芙蓉教授主导了一项研究。结果表明,地铁车厢里的颗粒物可能对健康成人的心率变化产生短期影响。研究发表在了《环境研究》(Environmental Research)杂志上,于今年7月上线。

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在地铁车厢中开始这项研究吧

研究招募了40名大学志愿者。这些志愿者无吸烟史、心血管疾病病史和肺部疾病病史。2017年3月到5月期间,志愿者们利用周末时间乘坐位于三环路与四环路之间的一条环线地铁(10号线),并在地铁车厢内待满4个小时。

研究人员们分别记录了志愿者所在地铁车厢中的空气质量、温度和相对湿度等数据。他们测量了PM0.5(空气动力学直径小于0.5微米的颗粒物,下同)、PM2.5、以及PM10的浓度,记录下二氧化氮、一氧化氮、臭氧以及二氧化碳的数值,同时还监测了“黑碳”的浓度。“黑碳”主要来源于含碳能源(如石油和碳)的燃烧,是燃料未充分燃烧的指示,也是空气污染物中的主要颗粒物之一。

在乘坐地铁期间,研究人员监测了志愿者的动态心电图。获取数据后,研究人员们分析了地铁颗粒物与志愿者心血管情况之间的联系。

地铁中的颗粒物会影响乘客的心率

研究人员发现,颗粒物的直径越小,对心率的影响越明显。第一小时内PM0.5水平的上升与正常心跳间距标准差(SDNN)的降低呈相关关系,降低幅度为13.96%。SDNN是心率变异性的指标,SDNN降低时预示着不良心血管结局。

图片来自pixabay

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PM2.5-10对心率变化所造成的影响,则不如PM0.5或PM0.5-2.5。这是因为PM后接的数字代表了颗粒物的直径,数字越小,直径就越小,穿透能力也越强,对人体的潜在危害也越大。

有趣的是,这种影响看似对女性的作用更大。研究数据表明,PM0.5的上升,会引起女性高达34.87%的SDNN下降。在男性中,该数据仅为6.05%。

研究人员注意到,空气中的黑碳同样会对心率产生影响。黑碳浓度的升高与SDNN的降低同样呈相关关系。随着时间的推移,SDNN下降趋势愈加明显。志愿者在地铁车厢内待了5分钟后,相关数据只有0.84%。而待了1小时和2小时后,该数据分别为2.22%与4.44%。

吃瓜群众要注意些啥?

综合以上这些数据,研究人员们指出,地铁里的乘客可能也会受到空气质量的影响。直径较小的颗粒物与黑碳等燃烧排放的悬浮粒子,在短期之内就会影响乘客的心率。对于女性来说,影响更为明显。

对于我们这些吃瓜群众,要记住的关键一点就是,不要以为地铁内就不会受到空气质量的影响。空气质量爆表的日子里,能做好防护工作,就老老实实做好防护工作吧。(编辑:木易杨杨)

参考资料

  1. Jia, X., Yang, X., Hu, D., Dong, W., Yang, F., Liu, Q., ... & Wu, S. (2018). Short-term effects of particulate matter in metro cabin on heart rate variability in young healthy adults: Impacts of particle size and source. Environmental research, 167, 292-298.
  2. 世卫组织:空气污染每年致700多万人过早死亡. Retrieved September 4, 2018, from http://www.xinhuanet.com/science/2015-10/24/c_134743025.htm
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漫画 | 来自宇宙大蹦床里的“波浪” http://songshuhui.net/archives/102245 http://songshuhui.net/archives/102245#comments Thu, 20 Sep 2018 22:34:26 +0000 http://songshuhui.net/?p=102245 封面

标题头

在科幻小说《三体》中,为了联系宇宙中可能存在更高级的外星文明,作者设想了一种在宇宙广播信息的好办法。用这种办法发出的广播,能量几乎不会衰减,可以传播到很远很远的地方。这种办法叫作“引力波”。

引力波又是什么东西呢?简单地说,引力波是时间和空间本身掀起的“波浪”。你可以闭上眼睛想象这样的场景:在时间和空间就像一块平静的蹦床,本来完全没有任何波浪。但如果有谁突然使劲蹦一下,蹦床被脚踩到的地方就会剧烈弯曲,然后弯曲的部分又会引发其他没有被脚踩到的地方发生弯曲,并用“波”的形式将弯曲逐渐向四周传播。在爱因斯坦的广义相对论中,时空弯曲形成的波就是引力波。

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时间和空间也会像蹦床一样扭曲?这是不可能的吧?就算存在这种扭曲,跟万有引力又有什么关系?别着急,如果这样解释引力波,在三百多年前提出万有引力定律的牛顿,估计会跟你冒出同样的疑问。

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牛顿认为,空间是无限大的,时间均匀地流动,时间和空间就像一块由钢铁浇铸的舞台,无法扭曲。世间万物就在这块舞台上相互影响。其中一种影响方式能够让苹果下落,能够让月亮绕着地球转,它就是万有引力。

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其实,牛顿提出万有引力时,就已经发现自己的理论存在一个漏洞。在牛顿的理论中,万有引力是瞬时传播的。比方说,如果太阳突然消失,那么太阳作用在八大行星上的万有引力也会在一瞬间全部消失。这就等于说,引力传播的速度是无穷大!

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虽然传播速度无穷大听起来很不靠谱,但牛顿本人也承认,他没有办法做出解释,只能把这个问题留给未来的科学家。这个问题一放就放了很多年,直到 1915 年,爱因斯坦提出了广义相对论。

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总而言之,爱因斯坦发现,引力的传播速度并不是无穷大,而是等于光速。并且,时间和空间并不是刚性的,而是可以弯曲的。如果时空中存在一个质量不等于零的物体,时空就会像蹦床一样陷下去一个坑,也就是发生弯曲。

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为了验证这个发现,爱因斯坦进一步推论说,如果有一束光经过这片弯曲的时空,它们的传播路径也会跟着一起弯曲。表面上看,你可能会以为光的路线发生弯曲是因为受到了万有引力。但爱因斯坦说,万有引力的本质就是弯曲的时空影响了周围的物体

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这个大胆的推论到底有没有道理呢?1919 年,科学家在观测日全食时发现,恒星发出的光在经过太阳附近时,真的发生了弯曲。并且,弯曲的程度跟爱因斯坦推断的程度一模一样。于是,科学家不得不相信爱因斯坦的广义相对论是正确的,时空确实会发生弯曲,万有引力确实可以等价于时空弯曲。

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既然时空真的可以像蹦床一样弯曲,那么时空应该也可以像蹦床一样,通过波动的形式把弯曲向远处传播。这就是爱因斯坦在提出广义相对论后,预言的 “引力波”。根据他的计算,引力波的传播速度也就是引力本身的传播速度,恰恰等于光速。

引力波产生的时空弯曲,跟引力波的传播方向是垂直的。所以,引力波是一种横波。如果你垂直于引力波的传播轴,用一把刀切开它经过的空间,就会看到这样的景象:

引力波_10

中间两个圆圈代表两个天体在绕着对方转动。根据广义相对论,两个绕着彼此高速公转的大质量天体会向外发出引力波。

如果你想知道引力波是如何沿着传播轴传播的,你会看到这样的景象:

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用大白话说,引力波就是把一堆小点点挤扁、拉长、再挤扁、再拉长的波。这些小点点代表的是空间形状,所以说,在引力波经过的地方,空间会跟着引力波一起发生扭曲。如何才能测出空间有没有扭曲呢?

为了探测引力波,美国修建了激光干涉引力波天文台(LIGO)。它由两台大型激光干涉仪组成,这两台仪器相距几千公里,分别射出两组四千米长的激光束。如果一束威力足够大的引力波经过地球,LIGO 的实验臂,就会一会儿变长一会儿变短。虽然变化的幅度特别小,只有质子直径的万分之一,但科学家通过测量激光束的干涉结果,能够发现这样细微的变化。

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2015 年,LIGO 首次观测到引力波的存在。这是人类第一次直接探测到引力波。科学家通过测量的引力波发现,在 10 亿光年外,两个质量巨大的黑洞发生了碰撞,合并成了一个更大的黑洞!

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这次的引力波正是黑洞碰撞前的一刹那发出来的。

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由于发现了引力波,主持这项工作的雷纳·韦斯(Rainer Weiss)巴里·巴里什(Barry C. Barish)基普·S·索恩(Kip S. Thorne),获得了

2017年诺贝尔物理学奖

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不过,根据爱因斯坦的广义相对论,除了大型黑洞之外,宇宙中的中子星和中子星的碰撞,中子星和黑洞的碰撞都可以产生引力波。能探测引力波之后,科学家就有办法了解平时很难看到的黑洞和中子星。这就好比科学家凭空多长了一只眼睛,能够发现更多宇宙的奥秘!

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文章:松鼠老孙
编辑:红色皇后,Sheldon
脚本:Sheldon
对白、美指:牛猫
绘制:周源

二维码

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二维码科技馆

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保温杯泡茶有害健康?牵强附会的臆想而已 http://songshuhui.net/archives/102350 http://songshuhui.net/archives/102350#comments Wed, 19 Sep 2018 22:34:25 +0000 http://songshuhui.net/?p=102350 茶是中国最传统的饮料。所谓“茶为国饮”,绝对不会是日本茶道式的繁复,而是北京大碗茶成都麻将馆中的盖碗之类的存在。而对于整日奔波的人,那些“接地气”的喝茶方式也依然“奢侈”了一些。保温杯泡茶,居然成了“中年油腻男”的标志。

图片来自pixabay

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对于习惯了喝热茶的中国人,保温杯的确提供了一种便携的泡茶方式。不过,坊间又传出了“保温杯泡茶有害健康”的说法,甚至有人说“长期使用保温杯泡茶,可能致癌”。

李清晨说,人的生命是有限的,而怕死是无限的。但凡“可能致癌”的传说,都会汇入无限的“怕死可能”,在许多人的“有限生命”中占据一席之地。

保温杯泡茶,真的那么可怕么?

简单粗暴地说:“保温杯泡茶有害”的理由都是牵强附会的臆想

提到“保温杯泡茶有害”,人们提出了种种理由。下面来解析常见的两种:

高温破坏营养

有人说是保温杯中的高温破坏了茶中的茶多酚、维生素和咖啡因等“营养成分”,因而有害健康。首先说,“破坏营养”跟“危害健康”之间,隔着遥远的距离;其次,茶树鲜叶中有些维生素,不过制成干茶已经所剩无几。不信的人可以去查查营养数据库,里面有一些茶叶的营养成分含量。比如大家经常说的维生素C,每100克绿茶中只有十几毫克,而红茶中的含量甚至更低。一般人每天也就用几克到十几克茶叶,其中的维生素C少到可以忽略。其他的维生素情况也差不多。至于茶多酚,要发生的变化在制作过程中已经发生得差不多了,水温高低时间长短影响已经相当有限。

其实,茶多酚的“变化”是变成茶黄素和茶红素——从一种形式的抗氧化剂变成另一种而已。如果说这种氧化会“破坏营养”甚至“有害健康”,你让在加工过程中就已经彻底氧化的红茶和黑茶岂情何以堪?

图片来自pixabay

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至于高温破坏咖啡因就更是莫名其妙。且不说大家并不怎么把咖啡因当做“营养成分”,而且它很稳定,并不会被开水“破坏”。

实际上,茶只是一种“有风味的水”,所谓的“营养成分”微乎其微,根本不值得纠结。能对身体产生影响的成分,基本上只有咖啡因和茶多酚。它们在保温杯中存放的时间长点短点,对于健康其实也没啥明显影响。

茶垢腐蚀杯子,释放重金属

这种说法更是奇葩。“茶垢”是茶水中的成分沉积在茶杯壁上,并没有什么具有“腐蚀性”的成分。保温杯的内壁都是不锈钢等惰性材料,如果茶水中的成分能够“腐蚀”它,那喝到肚子里岂不是更加危险?

其实,保温杯泡茶,影响的主要是茶的风味

茶水的风味取决于茶叶的种类、茶叶与水的比例、水温与冲泡时间、水质等等。用保温杯泡茶,相当于保持了大大延长了冲泡时间并且保持了高温。这使得茶中可溶成分溶出得极为充分,咖啡因和茶多酚的充分溶出就使得苦涩味更为突出。

但这并非不能解决。不同的茶叶苦涩程度不同,比如白茶和普洱熟茶就不像绿茶和普洱生茶那么容易泡得苦涩。此外降低茶叶与水的比例,也能够降低苦涩而获得比较好的风味。

也就是说,用保温杯泡茶不要照搬通常泡茶的方式,要对茶叶种类和茶叶量进行适当调整, 也就可能避免长时间高温带来的风味欠缺。

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使用“保温”杯的其他方式

保温杯的作用是隔热,并不一定要保持开水。用保温杯泡茶,还可以用下面的变通方式:

泡好茶水再装进保温杯

按照正常的方式把冲泡出好喝的茶水,把茶水倒出来装进保温杯,也就相当于把茶水留在了“好喝”的状态。虽然此后茶水中的茶多酚还会发生氧化而对风味口感有一定影响,不过跟保温杯一直中有茶叶的方式相比,风味会好得多。

温水甚至冷水泡

如果不是非要喝高温的茶水,那么用温水和凉水都可以泡茶。虽然水温不高,但因为时间长,茶叶中的风味物质还是能够被充分浸取出来,获得好喝的茶水。

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麻烦的埃及人,以及他们的单位分数 http://songshuhui.net/archives/102361 http://songshuhui.net/archives/102361#comments Wed, 19 Sep 2018 08:30:14 +0000 http://songshuhui.net/?p=102361

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你还能想起小学时被分数加法支配的恐怖吗?对于整数,加法比乘法容易,到了分数却好像反过来了。两个分数相乘,分子分母各自乘一下就完事了。两个分数相加,却要先通个分,一共要做三次整数乘法,真是麻烦。

但世界上就偏偏有自找麻烦的人,连表达再简单的分数,都偏要写成几个分数的和,那就是古埃及人。他们创造了金字塔这样的世界奇观,由此见得他们的数学水平也相当不错。但在有理数的运算上,他们却另辟了一条麻烦的蹊径。

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埃及人发明了“n分之一”的写法,但却没有发明“n分之m”的写法。取而代之的是,他们将所有的分数都写成好几个不同的“n分之一”的和,3/4可以写成1/2+1/4,而2/5可以写成1/4+1/10+1/20。类似“n分之一”的分数是最简单的分数,它们又叫做单位分数,这种简单也许就是古埃及人选择用它们表达其他分数的原因,但只能说这种选择是捡了芝麻丢了西瓜……要算一下这些分数到底是多少,还得掰弄半天。

埃及分数表示法,下面的符号表示整数,上面的符号表示“……分之一”。图片编辑自Wikipedia

埃及分数表示法,下面的符号表示整数,上面的符号表示“……分之一”。图片编辑自Wikipedia

也许是出于对古埃及人谜样坚持的敬佩,数学家常常将单位分数称为埃及分数,尤其是涉及将有理数写成单位分数的问题中更是如此。

单位分数够用吗?

那么,一个自然的问题就是:是不是任何正有理数都可以写成有限个不同的单位分数的和呢?

你可能会说:单位分数会越变越小,如果有理数很大的话,难道不会出现单位分数不够用的情况吗?这个问题相当于在问:1+1/2+1/3+……一项一项加起来的话,能达到要多大有多大的值吗?

答案是肯定的!

对于任意的正整数n,我们来考虑从1/(2^n+1)到1/2^(n+1)的所有单位分数,它们一共有2^n个,而且都大于1/2^(n+1),所以它们的和至少是1/2。然后,如果我们考虑n的不同的值的话,n=0就是从1/2加到1/4,n=1就是从1/5加到1/8,n=2就是从1/9加到1/16。对于每一个的n,我们得到的和都至少是1/2。如果我们将n=0到n=k的所有情况加起来,也就是从1/2加到1/2^(k+1),那么得到的和就至少是(k+1)/2。因为k可以要多大有多大,所以这些单位分数的和也可以要多大有多大,不需要担心单位分数不够用的事情。

实际上,如果用上一点高等数学的话,我们可以证明,从1加到1/n,当n越来越大,这个和也会越来越接近ln(n)+γ,这里ln(n)是n的自然对数,而γ被称为欧拉-马歇罗尼常数。因为对数ln(n)会随着n增长而越变越大没有界限,所以自然可以要多大有多大。这个和在数学中又叫调和级数,有着广泛的应用。

怎么把有理数写成单位分数的和?

既然知道单位分数够用,我们就可以重新回到原来的问题了:用埃及人的做法,能表达所有正有理数吗?

这个问题并不简单。虽然古埃及人广泛使用埃及分数来表示各种有理数,但他们似乎没有一套完整的方法,可以将任意的有理数都转化为埃及分数的和。对于一些特殊的有理数,古埃及人通常会以某种固定的形式书写它们,比如说,对于正整数k,有理数2/(2k+1)就可以写成1/k+1/k(2k+1)。这样的公式还有很多,但是远远没有包含所有有理数。

这时我们可以换个角度:如果给你一个有理数m/n,非要你把它写成单位分数的和,你会怎么做呢?

我们先来考虑m/n小于1的情况。最自然的办法,可能就是先找最大的但不超过m/n的单位分数,把它写下来,然后看看剩下了多少,如果是单位分数的话,那就完事了;如果还不是的话,那就重复之前的操作。这种方法又叫贪心算法,因为每一步我们写下的都是最大的可能性。

举个例子,如果我们要将5/22写成单位分数的和,那应该怎么写呢?

首先,我们看看最大的不超过5/22的单位分数是多少。假设分母是k,那么我们就有以下的不等式:

1/k < 5/22 所以我们有k>22/5=4.4,而符合这个条件的最小的k,也就是使单位分数最大的k,就是k=5。所以,我们写出的第一项就是1/5,也就是

5/22 = 1/5 + 3/110

3/110还不是单位分数,所以我们要对3/110进行相同的操作。假设最大的不超过3/110的单位分数是1/k,那么它满足

1/k < 3/110 所以我们有k>110/3=36.666666……符合这个条件最小的k是37,所以接下来的一项就是1/37,也就是

5/22 = 1/5 + 1/37 + 1/4070

这回凑巧的是,剩下的恰好是个单位分数1/4070,所以我们就成功将5/22写成了单位分数的和。

那么,是不是所有小于1的正有理数都能用这种贪心算法写成有限个单位分数的和呢?这个问题似乎很难回答,如果每次都取最大的单位分数的话,怎么知道会不会每一次都会剩下一点点,而这一点点都不凑巧不是单位分数呢?幸好,我们可以证明这个算法必定会结束,对于任何小于1的正有理数,都必定会在某一步剩下一个单位分数。

怎么证明呢?我们来看每一步的操作具体是怎么样的。从m/n开始,我们假设最大的不超过m/n的单位分数是1/k,那么我们有以下的不等式:1/k < m/n,也就是k > n/m。因为k是整数,为了使1/k最大,k应该是大于n/m的最小整数,记作\( \lceil n/m \rceil \)。将1/k写出来之后,剩下的就是

m/n = 1/k + (mk-n)/kn

但我们注意到,因为k是大于n/m的最小整数,所以我们有n/m ≤ k < n/m + 1,也就是n ≤ mk < n+m,所以mk-n在0和m-1之间。如果是0的话,那就意味着m/n本身就是单位分数1/k了,我们的任务也就此完成;如果是1的话,剩下的是一个单位分数,我们的任务同样完成;否则,mk-n这个分子至多是m-1,严格小于原来的分子m。所以说,每写下一项新的单位分数,剩下部分的分子会比原来有理数的分子要小,约分之后就更加小了。因为分子不能无限减小,所以在某一步之后,剩下的数的分子必定会变成1,这时我们就将原来的数写成好几个单位分数的和了。 从这个证明,我们还能看出来,如果m/n小于1,那么最多只需要m步,贪心算法就会完结,而写出来的表达式也最多有m个单位分数。这是因为每一步剩下来的数的分子都至少会减少1,所以贪心算法最多只能执行m步。另外,我们可以证明这个贪心算法写出的所有单位分数都不一样(想一想为什么?),所以,这个算法实际上告诉我们,每个小于1的正有理数都可以写成有限个不同的单位分数的和,而且给出了具体怎么写的一种方法。在数学中,这又被称为构造性证明。

那么,对于大于1的有理数a又应该怎么办呢?我们之前提到,将正有理数写成不同的单位分数时,无论这个有理数有多大,单位分数都不会不够用。那么,我们只要将单位分数按照1+1/2+1/3……这样写出来,直到这个和延伸到小于a的最大值,然后再按照贪心算法来操作,就能将有理数a写成单位分数的和了。我们可以证明,这样写出来的单位分数各不相同,符合之前提到的要求。当然,如果a很大的话,需要的单位分数的个数也会很多,但毕竟总是有限个。

所以,埃及人的做法还是有一些道理的,既然所有有理数都可以写成不同的单位分数的和,那么用单位分数来表达有理数也没什么毛病,除了写起来可能复杂一点。

为什么贪心不是件好事情?

当然,贪心算法给出的结果不一定是最好的。如果我们要将有理数写成单位分数的和,我们自然希望这个和越简单越好。这个“简单”有两个条件:一是单位分数的分母越小越好,二是用到的单位分数越少越好。很遗憾的是,贪心算法对这两点都做不到。

首先是第一点,在之前的例子里,我们用贪心算法将5/22写成了这几个单位分数的和:

5/22 = 1/5 + 1/37 + 1/4070

但仔细观察中间步骤5/22 = 1/5 + 3/110的话,我们可以发现一个分母更小的写法:

5/22 = 1/5 + 1/55 + 1/110

分母一下子变成了原来的四十分之一!所以说,有时候太贪心也不是什么好事。

然后是第二点,虽然我们知道,如果将m/n用贪心算法写成单位分数的和,这个和最多用到m个单位分数,但有时候我们可以做得比贪心算法更好。举个例子,如果要将5/121写成单位分数的和,那么贪心算法给出的结果是

5/121 = 1/25 + 1/757 + 1/763309 + 1/873960180913 + 1/1527612795642093418846225

这里边包括了五个单位分数,外加大得吓人的分母。但其实如果思考一下的话,会发现5/121可以写成简单得多的形式:

5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363

如果举一个更加极端的例子,我们可以考虑31/311,它可以写成

31/311 = 1/12 + 1/63 + 1/2799 + 1/8708

这个写法的分母有点大,但不算特别吓人。大家可以试一下用贪心算法来处理31/311,体会一下为什么贪心是不好的。

最简单的写法,能有多简单?

那么,将有理数写成单位分数的和,这种写法可以有多简单呢?数学家为了这个问题煞费了苦心。他们证明了,对于任意在0和1之间的有理数m/n,都能写成分母不超过O(n ln n (ln ln n)^4 (ln ln ln n)^3)的单位分数的和,又或者是写成最多需要O((ln n)^(1/2))项单位分数的和。这些界限大概有多大呢?我们知道,对数函数ln的增长非常非常慢,十的对数ln(10)比2大一点点,一万的对数ln(10^4)也只比9大一点点,一百万亿的对数ln(10^15)也只是34.5多一点,即使到了10^100,它的对数也只是230。所以,n的对数在n面前基本上可以忽略。也就是说,任意在0和1之间的有理数,都能写成分母比原来大好几倍但远远小于原来分母平方的单位分数的和。它也有一种表达方法,最多需要对数开平方这个数量级那么多项,对于我们能想象的范围,大概就是个几十项的样子。数学家还猜想,其实项数不需要那么多,只需要O(ln ln n),也就是对数的对数这么多项就可以了,但到目前为止还没有人能证明这一点。

有些数学家甚至将“省事”推到了极致。大数学家埃尔德什和施特劳斯猜想,任意形如4/n的有理数,都能写成最多3个单位分数的和:

4/n = 1/a + 1/b + 1/c

埃尔德什(左)与陶哲轩(右),图片来自Wikipedia

埃尔德什(左)与陶哲轩(右),图片来自Wikipedia

对于所有小于10^14的数,这个猜想都成立,而且数学家也证明了这个猜想对几乎所有的n都成立。但是不是真的对所有n都成立呢?这还是个未解之谜。也许你可以试试找出一些公式,给出一部分n的解答。

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