原文，译者：五月香樟；校对：CS；特殊感谢Shea提出宝贵意见。

我们处理三维问题十分自如，必要时对付四维问题也凑合。我们不费吹灰之力就能接受有实体和无限空间的三维世界。加上第四维时间后情况就有点复杂了。但当我们开始研究包括再多或再少维数的世界时，情况才变得真正复杂起来。

虽然这些奇妙的世界让人有点头疼，可它们的确很重要。比如，弦理论作为我们最有希望的万有理论候选者，在低于10维的时空中根本没有意义。再比如，固体的一些奇异但有用的特性，如超导性，需要利用二维、一维、甚至零维的理论才可以解释。好，请准备好，现在我们就从最艰深的部分开始解释维度：维度是什么？为什么如此定义？它有什么应用？在此过程中，你可别抓狂，也别走神。

维度是什么？

如此基本的问题，你可能认为我们早有一个简单的答案，可惜并非如此。事实证明，仅仅对维度下个定义就是一个很棘手的问题。

对维数最直观、也是最古老的描述是：一个系统所拥有的维数是物体能够移动的独立方向的数目。上和下仅当作一个维度是因为上和下是一个硬币的两面，向上走就是远离下方。左和右，前和后也是这样，但上和右、下和后等之间就没有这种关系。所以古希腊几何学家说：我们生活在三维世界中。

现在一切还很简单，但马上事情就要开始失控了。我们同时需要空间和时间来定义我们在宇宙中的位置。早在18世纪末，法国人达朗贝尔和拉格朗日就发现用于描述时间的数学语言和用于描述空间的非常相似。所以，当时的数学家很快得出结论：时间就是第四维度。

这样就打开了思想的闸门，将时间看作为第四维度，这种新的理解远超出其原始定义，大大地扩充了维的概念。从那时候开始，维不再仅仅是描述物理的空间坐标，它被当作通用术语来描述决定任何物体状态的独立坐标或变量数。

这一手实在高明，从此数学家可以运用几何分析这一利器去处理他们想研究的几乎任何事情。例如，现在一个经济学家可能将整个经济活动看作一个巨大的多维度客体。馒头或大酱的价格升降可以被描述为价格坐标在多维空间中的运动，与我们在前后或上下方向上的运动完全类似，当然，这仅是描述经济状态的数百万维度中的两个

理解维度

请您先把此句末尾的句号涂成实心的，然后盯着它看。恭喜，你已经目睹了零维空间。现在用你的手指沿着纸边移动，然后把本页当成一面纸看。这就分别是一维和二维空间，也挺容易吧？ 但现在，尝试想象超过三维的空间。

头疼吧？别担心，很多人跟你一样。“我个人无法想像超过三维的空间”，伦敦帝国学院的弦论学者Michael Duff说道，他的工作时常需要处理十维或十一维的对象。被这坦诚的答案雷到了吧，那么，理论物理学家们为何还能对他们的理论充满信心呢？

17世纪的法国数学家笛卡儿替他们解了围，他把真实的几何空间转换成抽象的代数方程。例如，给定一条长度一定的线段，一端固定，另一端在二维空间里旋转，那么你可以写一个方程，描述线段旋转时x坐标和y坐标满足的关系，这就是一个圆的代数表达。

这种想法实在强大，从此仅通过引入更多的坐标就能够“维所欲维”地增加维数。比如，通过引入新坐标z，我们可以采用刚才用x、y坐标满足方程来描述二维圆的方法，来描述三维的球。

那么，为什么不从此就开始写下四维、五维或六维“超球体”的方程呢？终于，在1854年，德国数学家黎曼成了第一个吃螃蟹的人，将三维几何推广到任意维数上。这多维的方程式也没什么大不了的。普林斯顿高级研究学院的弦论学家威顿说：“结果处理起来不算困难。”

从数学上看的确如此，但我们总不免好奇，那些高维数的物体实际上看起来是什么样的？纽约大学物理学家Gia Dvali认为这个实际上无关紧要，只要你脑子里能够想出一些管用的图像就行了。他说：“方程的本质通过图像和动画可以非常容易地记在脑子里。”对他而言，牛顿引力定律的图像是：一个有质量的物体产生的引力场的力线沿所有方向延伸到无限远处。不管你想象的空间有多少维，这幅图像同样有效。Dvali承认：“这种物理图像虽然与实际的额外维空间无关，但是它让我们可以很容易地把定律推广到高维空间。”

零维 － 在点上

零维的东西，呃，比如皇帝的那件新衣存在吗？实际上，这种说法就很自相矛盾。因为没有维就没有容纳任何东西的空间，因此零维一定意味着没有任何东西。一定吗？

不一定。物理学中一些最热门的对象是被称为量子点的零维半导体结构。它可以是从纳米到微米级别的任何物体，虽然其物理尺度不为零，但电子在其内部填充得如此致密，以至于它们没有自由的维度。

荷兰Delft大学的Leo Kouwenhoven说：“对于电荷而言它是零维陷阱。”被这样束缚住的电子的运行方式非常特殊，由此带来一些极为有用的特性。

首先，因为被束缚在量子点中的电子寸步难移，所以输入到量子点的任何能量都不能用来扰动其中的电子，而只能以光的形式释放，这就使量子点有望被制造成高效低功率的光源。因为它们如此之小，所以这些量子点同时也可以作为荧光标志来标识抗体之类的生物分子，用来追踪它们在活的生物体中的生化过程。

Kouwenhoven承认量子点的应用仍然遥远。他说，首先我们得用无毒材料来制作量子点。他自己的研究集中在另一个潜在的应用热点领域。因为每个套牢在量子点上的受激电子精确地产生一个光子，因而信息能够在光子和电子之间可靠地来回传递，这使得量子点成为能够用在第一代量子计算机上控制和储存数据的合适介质。量子计算机的功能惊人地强大，如果我们能建造一台足够大的量子计算机，这肯定会改变我们处理信息的方式。

Kouwenhoven说：“可能几年后我们会有采用量子点工作原理的样机，至于商业应用可能在十年左右。”是不是有点欢欣鼓舞了？看来，“无”中生“有”也并非完全不可能啊。

一维 - 沿着直线走

一维的物理学开始看起来有点熟悉了。一维仅仅是一条直线，是牛顿运动定律这样的经典物理规律起作用的理想环境。

然而却是在量子物理中，古老的一维世界才开始焕发生机。瑞士日内瓦大学的一维材料专家Thierry Giamarchi说：“在一维世界，你能得到在其它任何维数中都没有的新奇效应。”

比如电子的行为，正常情况下它们竭尽全力避开同类，但当困在只能来回移动的一维通道时，它们开始相互作用，整体像一个电子般移动。在适当条件下电子的特性有所改变：一个困住的电子能够表现得像两个粒子，一个具有它的电荷，另一个具有它的自旋。Giamarchi说：“这类现象在一维世界中屡见不鲜。”

电子的这些特性不止具有理论上的意义。当电子元件越来越小，一维物理学效应就越来越重要。我们可以按照需要将一维的碳纳米管制造成导体或者半导体，这将是未来数代计算机芯片制造工业的热门领域。

1½维 – 分形景观

我们生活在三维世界中，其边界是二维表面，而二维面的边界是一维的线。这是一个舒适的、容易理解的、整数维的世界。

果真如此吗？数学家芒德布罗在他1982年出版的《自然的分形几何》中指出：云不是球状的，山峰也不是圆锥状的，海岸线也不是圆的。真实世界的维数实际上并非干净整齐的整数维。

假如你想你想把雪花美轮美奂的外周线描下来，你越放大，就越会发现自己面对着一个复杂的形状，而描绘得越接近，画的线就越长。你画的仍然是一条线，但它比直线多了很多皱褶。一条线，不管它弯曲得多厉害，都还是个一维的物体，难道不是吗？

呃，并非如此。欢迎来到分形维度：介于我们熟悉的一维、二维和三维世界之间的不规则维度。分形维与我们平时熟悉的左右、前后和上下这些维度不同，它们之间有着紧密的联系：当你以更微小的尺度观察和测量一个复杂物体的细节时，它们描述了这个物体额外占据了多少空间。（见图表）

不仅雪花，很多自然物体的形状都是分形的：河网、分支闪电、云团、花椰菜。你甚至可以声称自己生活在分形景观中，这多少取决于你在世界上所处的地点。例如，依据测量时采用的是精确度是码尺还是卡尺级别的，英国那崎岖不平的海岸线的长度呈现剧烈的变化，据计算其分形维数是1.25左右。而光滑的南非仅仅比直线粗糙一点，其分形维数为1.02。

二维 – 平面国的景观

英国曼彻斯特大学的Andre Geim说：“二维大大地好。”一维太简单，难以令人满足，而三维则太复杂和杂乱。二维的“平面国”则刚刚好，它的空间刚好能让有趣和有用的东西出现。Geim说：“作为物理学家，你会希望生活在这个维度。”

他当然会这么说了。Geim的团队在2004年制造出第一个二维材料石墨烯，这种厚度仅为一个碳原子的二维碳片可以让电子几乎无阻碍地透射，该材料也因此有巨大的应用前景。如果未来计算机的导线用一维纳米管制造，那么石墨烯将是制造电路板的理想材料。

二维世界的好处还不仅如此。再比如说高温超导体，我们早就知道在130K左右存在超导体，但是对其物理机制一直不甚了解，经过20年艰苦的研究后，现在只知道超导现象可能源于电荷相互作用所形成的二维[u3] “条纹”。对深藏于超导现象之后的二维世界的了解，将有助于我们开展常温超导体方面的研究。

二维平面既是现实的，又是深奥的。当电子被强磁场约束在温度低于0.33K的二维层状半导体材料中时，长期被认为基本不可分的电子似乎分裂成了具有分数电荷的粒子，这个现象叫做分数量子霍尔效应，产生的粒子叫做任意子。

任意子不但促使我们重新思考电子的本质，跟零维的量子点一样，它给了我们建造一种超级量子计算机的希望。这种机器能够忠实地模拟量子系统的行为，如果能大规模投入使用，信息处理过程势必又迎来一次革命。总而言之，在“二维”平原之上，铺展着条条通向从新药研发到并行宇宙的几乎一切事物的未来之路。

三维 - 我在故我在？

二维平原和多维超空间已成为想象力神游的美好娱乐场，而我们的身体却似只能滞留于三维空间之中。我们为什么不是生活在在二维、四维、五维或者更多空间里呢？最近，当物理学家尝试融合万有引力和量子理论来解释时空的本质的时候，这一古老问题也将被重新提起。

作为通往量子引力的一种路径，弦理论却给出了一个不令人满意的模糊答案：从0维到10维的空间都是可能的。这促使理论物理学家诉求于人择原理：各种维度的宇宙都是可能存在的，至于我们看到的世界是三维的原因，则是因为假如它不是，那么人类就不可能存在其中并得到这一观测结果。[u4] （注：『人择原理』被观测的宇宙的环境，必须允许观测者的存在。）

2005年西雅图华盛顿大学的Andreas Karch和哈佛大学的Lisa Randall为了阐明这一问题而提出了一个更依靠于物理原理的解释。他们建立了一个理论模型，该模型的时空是弦论中最普遍接受的十维时空，在这个随着时间膨胀的超空间中漂浮着各种不同维数的宇宙，它们在碰撞时湮灭。计算表明，三维和七维的宇宙最有可能从这种碰撞中幸存下来。

如果你接受了这个模型，那么就几乎回答了我们为何对三维空间情有独钟这一问题。除了最后一个疑问，为什么不是更宽敞的七维而非得是拥挤的三维呢？

这个问题也许可以从一个欧洲研究小组最近完成的工作得到解释。他们认为，时空并非是一个均匀的整体，而是由许多极小的片段构成的微元。为此他们把时空分割成一些简单的单形，这些单形以不同的方式粘和在一起，构成整个完全时空。单形[U5] （也称单纯形）是空间中最简单的多面体，是平面几何中三角形这一概念在高维中的自然推广。量子理论告诉我们宇宙的真实形状应该是所有这些不同的粘和方式的概率叠加，通过要求在这个宇宙模型中因果关系要得到严格满足，该研究组计算出宇宙的时间是一维的，而空间是精确的三维。

根据这项研究，可以推论对于时空的维度而言，存在这样一个尺度转折点：在极小的尺度下，空间的维度将发生改变，三维中的一维消失而仅留下二维（注：文中时空在极低的尺度下将变成2维，这是4维时空变成2维，而并非作者所理解的三维消失变成2维，原文见《NewScientist》, 2009-8-29, pp.34）。也许，如果你观察得足够精细，能看到极小的尺度，那么你将发现我们仍生活在2维世界中。

四维 – 时间，大骗子

空间是由三维组成的，而时间也是一个维度，那么它为什么如此与众不同？

答案：它没有不同。物理学家彭罗斯在他的书《引力》中写道：“空间和时间不是相互独立的概念。”在爱因斯坦的狭义相对论中，时间和空间融合成一个整体。对一个观察者来说仅仅空间坐标不同的两个物体，在另一个观察者看来，其时间坐标和空间坐标可能都是不同的；同样地，在一个观察者看来在同一地点上先后发生的两个事件，在另一个观察者看来可能其时间坐标和空间坐标都不同。

这与我们日常的经验大相径庭，原因在于我们不够快。两名观察者观察结果的差异只有当他们的相对速度接近光速——这个宇宙的速度上限——时，才会变得明显。

爱因斯坦的物理理论揭示了一个深刻的真相：时间和空间是紧密交织联系在一起、不可分割的，如同组成一件织物的经纬线。但两者之间也有明显的区别：原则上我们能够沿着三维空间的任意方向旅行，但沿着时间我们只能有单向的苦旅：从过去到未来。如何理解这一差异性呢？

纽约Clarkson大学的物理学家Lawrence Schulman解释说：这同样是由于宇宙速度有上限。考虑这样一个假想实验：在一个充满阳光的早晨，7点钟，拉开窗帘。假设太阳已经在6点55分爆炸了，但是我们感受不到这一点，在我们的周围仍然充满阳光，因为光从太阳传到地球，需要八分半钟。

见下图（为简化起见只画出了一维时间和二维空间），在这个例子中，宇宙中任何事件，比如正在爆炸的太阳，站在窗边的我们，等等都可以表示为时间―空间图中的一个点。由该点发出两条光线构成的光锥，其中一个代表光从事件点出发原理事件点在时空中运动，另一个表示光朝着事件点运动。如果我们在窗边就能在太阳爆炸时看到其爆炸行为，则需要信息的传播要超过我们所处的光锥，移动速度大于光速，而宇宙不允许这样。

Schulman说道：“正是宇宙的速度上限使得宇宙的部分时空是不可及的。”它打破了时间和空间的对称性，从而使我们所获取的信息只能是从过去流向未来的，这就是时间的单向性。

五维 — 进入不可见区域

宇宙究竟有多少维数？这个问题可能没有唯一答案。

将时间看作成第四维，这是爱因斯坦理论的精髓。德国数学家卡卢察做了更宏伟的设计。在1919年，他发给爱因斯坦一篇文章，在文中他主张，通过给时空加入第五维，可以将电磁力和万有引力统一描述为一种力的两个不同方面。

几年后，瑞典数学家克莱因在卡卢察的想法上更进了一步。显然日常生活中我们只看到四维时空，对此克莱因的解释是：第五维的空间尺度很小，可能高度卷曲地存在于四维时空的每一点。由此他开辟了物理学在超空间的隐藏额外维中寻找力的统一性这一思路，这一思想一直延续到在今天的弦理论中。

然而也许第五维并不像克莱因想象的那么微小。1999年哈佛大学物理学家Lisa Randall和位于马里兰巴尔的摩的约翰·霍普金斯大学的Raman Sundrum利用弦理论分析了高维空间的性质，他们发现，通过引入巨大的第五个维度，可能可以解决一个一直困扰物理界的难题：为什么万有引力比其它的力都要弱？他们的模型认为，我们所熟悉的四维时空漂浮在一个无穷大的负曲率五维时空之中。电磁力和核力被限制在四维空间内部，而万有引力却可以渗透到第五维，因此在我们看来，引力比电磁力和核力要弱得多。

与此同时，加拿大安大略湖滑铁卢大学的Paul Wesson则认为，五维时空是存在的，其中四维是我们生活于斯的时空，而第五维对这个四维时空的作用是产生许多有质量的额外维粒子。这一方案可能解释了长期困扰粒子物理学界的一个难题：质量是如何产生的，它认为粒子的质量有一个几何起源。同时，该理论也解决了大爆炸的奇点问题：大爆炸开始时，宇宙处于无限高的温度和密度状态（注：这一论断并非公认结果），在这里基本物理学定律都失效了。而从5维宇宙的观点来看，大爆炸只是一个幻觉，所以也就根本没有这个问题。

五维空间的存在带来了一些更为精妙的结果。1997年理论物理学家Juan Maldacena提出一个猜想，某些有五个展开维而且包含引力的弦理论等价于四维无引力量子场论，后者可以看成是前者的全息投影，这使得我们的日常世界如同来自宇宙的边界的投影一般缥缈。

听起来神秘吧，但在很多领域，这种高-低维理论的等价性已经成功地应用到对困难问题的计算上，比如在高温超导物理。在Maldacena的图像中，四维理论并不比五维理论更真实地描述世界。这样说来，“宇宙究竟有多少维数”这个问题根本没有唯一的答案。

六维 – 两个时间

当物理学家提出涉及更多维数的宇宙理论时，他们通常只是指空间是高维的，并不涉及多维时间。

这也很好理解：如果时间是多维的，那么物体就满可以在高维时间坐标中沿环路运动，就是说，高维时间使得物体可以随意穿梭于我们所处的一维时间上的任意两点，这样就违背了光速上限，并且使我们可以进行时间旅行，而这与我们目前对宇宙观测是不相符的。

然而，到了1995年，洛杉矶的南加州大学的Itzhak Bars通过M理论巧妙地构造出了一种存在高维时间的理论框架，该理论允许第二时间维存在，且不违反光速不变且不存在时间旅行，这种模型能够解决粒子物理学标准模型所无法解决的一些问题。（注：M理论是弦理论的推广。该理论的目标是成为万有理论，一个能解释所有的相互作用的物理理论。它试图把四种基本相互作用——电磁力、引力、强力和弱力——统一起来。它还试图结合当前所有五种超弦理论和11维的超引力理论。为了充分了解它，爱德华•威滕认为需要发明新的数学工具。M理论的“M”包含有许多意思，例如魔术（magic）、神秘（mystery）、膜（membrane）或矩阵（matrix）等等）

但这里有个陷阱：这个高维时间理论若要成立，必须同时存在一个额外维度的空间，因此在Bars构造的模型中，宇宙共有6个维度（4＋2），这个宇宙中的事物和我们熟悉的4维宇宙中的事物非常相像，唯一的区别是：在6维世界中，描述物质的构成和相互作用的理论是6维标准模型，而当这个高维模型投射到四维时，将产生很多不同的4维版本，而其中的每一种都描述一个不同的四维宇宙。

八维 – 冲浪者的天堂

八维是八元数能够自然存在的空间。八元数是一种非常奇怪的数学结构，正如加利福利亚大学Riverside分校的数学家John Baze所说：“它是那个人们永远要锁在阁楼上的疯叔叔。”

八元数是仅有的可以进行除法运算的四种数制（注：实数、复数、4元数、8元数）之一，能够允许所有的代数运算，但八元数的运算方式复杂异常，不像我们熟悉的传统数制中的任何一个，见下图：

为什么物理学中要引入八元数呢？这是因为在某些物理学问题中它是极为有用的工具。由八元数组成的矩阵可以构成一种叫做E8特殊李群的复杂的数学结构，这种数学结构是某些弦理论的核心内容。

2007年时，E8群成为热门话题，物理学家Garrett Lisi没有采用弦理论就构造出了统一引力和其它三种相互作用力的统一理论，他的理论正是基于E8群结构的。Lisi本人没有大学职位，他花了相当多的时间在夏威夷冲浪。对他工作的报道触怒了一些人，比如伦敦帝国大学的Miachael Duff。他说道：“弦理论家自从上个世纪七十年代末就开始研究E8，我们不需要冲浪好手来告诉我们这是有趣的。”（注：Lisi本人的数序基础不错，但是物理学很差，其理论在物理上完全占不住脚，只是一个计算得比较正确的数学练习而已。）

Duff本人对八元数的价值持不可知的态度，他指出所有由此提出的理论都还未经过实验的检验。他说道：“任何人都还不知道到底八元数是否与真实世界有关。”

十维 – 弦论的世界

“也许物理学家从更高维数带回的最石破天惊的想法就是所有可能的宇宙都存在”

十维，我们最后到踏上了弦理论的神话国土。罔顾所有针对弦理论的刻薄话，弦理论仍是目前尝试统一量子力学和广义相对论的最热门理论，也是“万有理论”的最热门候选人。该理论认为构成物质的粒子和传递相互作用力的粒子都是由弦构成的，弦的不同振动模式对应于不同的粒子。弦是1维的，它却在由1维时间9维空间构成的10维时空中振动。

为什么是10维呢？一句话，因为该理论在较少维数时行不通。如同物理学家Michael Green和John Schwarz于1984年指出的那样，在更少的维度中，在小到10^-35米的普朗克尺度上，数学上的反常会导致时空存在剧烈的量子涨落，这种量子效应会破坏理论的对称性，从而使理论不再自洽。

这些并不意味着10是就是个魔力数字。实际上弦理论的一种过时的早期形式具有26维。目前存在5种完备自洽的10维弦理论，它们都能解释我们宇宙的存在，没有哪一种理论比其它理论更正确，这些不同的理论可以被统一成一个更宏大的理论――11维的M理论，这5种弦理论只是M理论在某些情况下的特例。

M理论认为：这些额外维度是很小并且高度卷曲的，它的尺度如此之小，以至以现有的手段无法观测到。而这些高维空间卷曲存在的形式是特定的。关键是，它们可能的存在形式有无限种，如何找出产生我们宇宙的那种高维空间的存在形式，仍是一个问题。伦敦帝国学院的Michael Duff说道：“这将理论物理学家分成了两派。”那些认为我们最后将解决这个问题的人面临着逐渐增多的支持“多宇宙论”的反对派。因为，既然M理论允许存在无限多种可能的宇宙，又没有一个物理学原理来解释到底为什么我们生存在我们的宇宙中，那么，我们是否要接受人择原理，承认我们之所以观察到今天的宇宙，只是因为我们正好生活在这样一个宇宙中呢？ 也许，所有的可能的存在的宇宙，实际上都是存在的，这才是物理学家对高维空间进行探索之后，所得到的最令人震惊的结论。

写完那个《四维盒子的展开图》 ，很多人都跟我说没有看懂。我头皮抓了很久，还是想不出什么样的文字叙述能传递出维度旅行的奇特感觉。灰心中，不小心在网上找到一个免费的电影，居然就叫《维度》（点进来看啊）。结果看high了，眼珠子都没舍得转两下。原来是近日才刚刚放到网上“公映”的，两个数学家和一个电脑工程师的惊人之作。他们的简介是，“包你尝到眩晕的数学滋味”。果然，不需要多强的数学背景，我这个半吊子爱好者也晕得直呼过瘾。

 全片两小时左右，分成九个章节。（可在此观看 http://www.youku.com/playlist_show/id_4526471.html）我很开心地在这里做个肆无忌惮的剧透，因为我知道不管说了什么，都丝毫不会影响你看电影时张开下巴的心情。也许最好的准备活动，就是先问自己一个问题：维度是什么？然后看完数一数，答案出乎了你几个意料。

关于维度，我们大多数人也就是拿“线、面、体”来联系一维、二维、和三维。对笛卡尔坐标系有印象的铜子们，就会说维数乃是用来描述物体位置的坐标轴的个数。影片就从这个大众的视角拉开了序幕。不过章节的讲述者并不急于回答这个问题，而是做了个有点奇怪的举动：把地球的表面投影到一个无限大的平面上。在这个平面上，经线都成了向外发散的射线，纬线仍然是一个个圆圈，七大洲的比例变得一塌糊涂，形状却仍然可辨。这是在玩什么呢？呵呵，让我们的眼睛习惯习惯，这是把高维物体向低维空间投影的好办法。

你很快会在第二章中发现立体投影（stereoprojection）的妙处。把一个正多面体从里面吹气“充”成一个圆球，它的各个顶点“贴”在了球的表面，各条边都成了球面上的一段弧线，各个面也都成了球面的一部分。这个“球形多面体”只是样子变得奇怪了点，它的点、线、面之间的关系都没有变化。那么，就可以照着第一章的投影方法，把球面投影到一个平面上。阿哈！住在那个二维平面上的生物们，就可以通过投影所展现的几何关系，来判断这个三维物体是什么啦。比如正四面体有4个顶点6条边，正方体有8个顶点12条边，正八面体有6个顶点12条边。。。都可以在投影平面中数得清清楚楚。一个正方体横穿二维世界可以留下各种各样的截面，让二维的小居民难以判断；但如果有一张球面投影照片，就很快辨认出来啦。

好了，小热身结束，准备观看三、四章，四维多面体们在我们的世界中的投影吧。注意哦，将会有一个只能存在于四维空间的物体出现哦~ 欧几里德老先生早在几千年前就证明了，三维空间里只能存在5种正多面体。睁大眼睛，看看这个四维的“第六者”会不会给你带来一点第六感。

接下来的两章，我觉得有点松散。网上一个数学专业人士在博客评论说，引入复数变换还不如介绍一下莫比乌斯变换，后者才是立体投影的顶峰。而曼德布罗特集和空间维度的关系更显得牵强了，这玩意儿单独拉出来都能做个两小时的片儿。呵呵，他说得挺对，如果你有点云里雾里了，别对自己的理解力产生怀疑。不过第六章末尾那个漂亮的旅途可别错过了：把一个图案不停地放大、放大，你是不是觉得最后看到的细节，应该是一堆无聊的直线或者一块纯色呢？一起来看看分形图案那美妙的无穷的细节吧。

接下来两章我们遇到了四维空间中的球形。球形是没有顶点和边界的，把它投影到平面上和没投一样，先前的办法不管用了。天才的霍普夫想出了一个办法：切开它！三维球面切开来，边缘是个圆圈；那四维球面用一个二维平面去截，出来的边缘是什么呢？看上去满有食欲的一个形状，hoho。

第九章忽然从眼花缭乱的拓扑图形中跳出来，一板一眼的做起了数学证明。初觉有些突兀，一想，不禁暗赞作者的良苦用心。数学这座大厦的根基，是深深埋在这华丽的表象之下的逻辑。我们所看到的任何一个小细节，都是用逻辑推理牢固地支撑起来，其中层层叠叠的繁复，最终又化为简洁或美艳的直观几何图。这些图形也许让人觉得神秘，也许唤起人的美感，也许勾起无限遐想。但只有那些不近人情的铁板证明，才能分辨直觉与幻觉，打消模糊不清的争论，铺起一条超越我们生活的维度之路。踩着人类智慧的坚硬路石，我们可以充满信心地迈向感官局限以外的新世界。影片中的讲述方式很有爱，让人感觉到向这个世界迈进的机会就在自己脚下，只要有一颗开放的渴求知识的大脑。

那个世界有多奇妙？本部片子似乎只是个开始。九章结束紧跟着一小段预告，作者们还将推出《维度II》，里面连那个洛伦兹吸引子都有（我为什么也写过，惊了 ），用来说明拓扑学和物理学的紧密关系。啥时候出来呢？不晓得，我们一起“沙发，等”吧。——向这些免费为公众传播智慧的学人们致敬。

尾注一下：片子有多种语言，可惜没有中文。目前的英文版语速不快，只是有些数学词汇大家可能不熟悉，影响理解。他们的网站上有每一章节的注释，和影片内容是一致的，可以帮助理解。

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