1905年是值得物理学界记住的一年。这一年爱因斯坦发表了五篇学术论文，每一篇都起码是一个里程碑式的工作。除了著名的狭义相对论、光电效应之外，有一篇题为《关于热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章[1]，主要研究了布朗运动的规律。布朗运动得名于英国的植物学家劳伯.布朗（Robert Brown），他在1827年发现悬浮于水中的花粉颗粒会做连续快速的不规则移动。后来物理学家将这种运动形式称为随机行走（random walk）。进行这种运动，就象打醉拳一样，每一步的方向都飘忽不定，完全随机（见下图）。统计物理的实验和理论都告诉我们，起始于同一点的随机行走在一段时间之后位于任何方向的可能性都是一样的，而且平均远离起始点的距离正比于时间的平方根。随机行走这个物理问题和醉汉、赌徒都有关系，和网络搜索引擎（比如Google）也有关系，在很多领域都有着重要的应用。

随机行走轨迹图

在讲述随机行走的理论的时候，物理学家们常用醉汉作为例子。平直的说，这里的醉汉是指喝到不知东南西北又尚可以行动的“理想醉汉”。在书呆子看来，这样的比喻易于想象又富有趣味。这样的一个理想醉汉的行走轨迹就是完全的随机行走。前面提到的统计物理实验和理论的结果可以这样理解：醉汉走了25步之后，很有可能只移动了相当于清醒状态下5步的距离，并且移动的方向也是“一切皆有可能”。因此，我们应该可以理解在日常生活中，醉汉自己能够从酒馆成功回到家的可能性是很低的，而且离家越远几率越低,即使能回到家,花的时间也会远超过正常所需：屡见不鲜的醉汉栖息于花圃、出租车等地的报道也就不足为怪了。

再来看看赌徒的问题。

如果赌场和赌徒之间的博弈是一个公平的游戏，那么赌徒获胜的可能性有多大？可能每一个成功或者不成功的赌徒对这个问题都有他们各自不同的看法。也可能更多的人出于实际的考虑对这个问题的合理性有着质疑。但是，作为起始于赌徒和赌场间激动人心小游戏的一门学科，统计物理利用随机行走的结果对这个问题有着科学的回答。

让我们把这个游戏描述的再清楚一点：如果有两个赌徒，甲赌徒有A块钱，乙赌徒有B块钱，他们之间进行一个公平的游戏，每次各有50%的几率赢，每次输家给赢家一块钱，不到一方输光所有的钱不停手，那么各自获胜的几率是多少？这个问题可以等效为一个一维的随机行走问题，就像下图表现的那样：行走在一条笔直街道上的醉汉，甲赢一次则代表醉汉向右走一步，乙赢一次则向左走一步，从左边或者右边离开的几率各是多少？计算的过程比较复杂，但是结果很简单，甲和乙各自获胜的几率比是A：B。因此，如果一个赌徒拿着100块钱去和有着900块钱的赌场进行这种公平的游戏，那么赌徒有10%的可能性获胜。那么实际的情况呢？赌场和赌徒的钱数差别比这大得多，赌徒获胜的希望微乎其微。理性的赌徒或许会给自己设定一个合理的目标，比如自己有100块的话，赢50块就收手。那么，赌徒和赌场的输赢几率比就是2：1，将会是一个不亏不赚的结果。但是，考虑到赌场一般会从赌徒赢的钱里面抽头，赌徒总是会亏的。更别提赌场可以通过规则的设定，以及辅助于各种原始的或者高科技的小技巧改变游戏的公平性。幻想从赌场赚钱的人可以回家反省了。

赌徒问题和一维随机行走

听说过一个八卦，说是有一年的美国物理年会是在拉斯维加斯召开的。拉斯维加斯提供了非常好的服务--毕竟是专业的服务场所么。然后晚上的时候物理学家们就去赌场了。出乎赌场意料的是，物理学家们只观战不下场，结果年会期间拉斯维加斯的赌场损失了一大笔钱，很不高兴。然后美国物理年会就再也没能在那里举行过。讲这个故事的，是一个做统计物理的教授。为什么统计物理的教授不去赌钱呢？因为他们怕输，而且知道自己必输无疑！

随机行走在很多领域里都有重要的应用，我们简单举几个例子：在生态学中,它被用来模拟生物个体的移动和种群的数量变化；化学家用它的结果来研究聚合物的性质；计算机学家用它来估计因特网的大小。另外一个有名的例子就是Google的网页排名：Google备份了整个因特网,在上面随机地放了很多很多由电脑控制的小程序，称为虚拟访问者（random surfer）， 这些访问者随机的选择所在网页的某一个链接，跳到另外的网页上去，同时，电脑程序记录下来每个网页被访问者“访问”的次数。如果把每个网页看成一个点，网页之间的链接用连接两个点的线表示，那么虚拟访问者就在这个网络里做着随机行走。一个网页被其他的网页链接得次数越多，就有越高的可能性被访问，在网络里 也越重要。这样，被访问的次数越多就说明了网络对这个页面的关注越大，因此网页的排名就可以通过虚拟访问者的随机访问而计算出来了（参考阅读：flyheller的《google炸弹，你玩过了么？》 ）。

[1]. Einstein, Albert; R. Fürth, transl. by A. D. Cowper (1926, reprinted in 1956). "On the Movement of Small Particles Suspended in a Stationary Liquid Demanded by the Molecular-Kinetic Theory of Heat".

感谢水龙吟、四月、圆儿、Fujia、拇姬、候戏、Albert_JIAO 、Ent、小庄和游识猷对本文的帮助。

小游戏也有大陷阱

在赌场里还可以见到其他各种各样的游戏。在一个赌桌上，桌子中间有几个手掌大的巨型骰子，被透明的球形玻璃罩盖住，巨型骰子下面的那一部分桌面是可以振动的，巨型骰子在透明罩子里上下振来振去。桌子上坐了一圈的玩家，每个人面前有一个显示屏，显示屏上显示着一些麻将牌。不过后来知道，他们并不是真的在打麻将，而是每次抽几张麻将牌，看抽到的麻将牌是否符合特定的组合，直接决定输赢。

当然，在赌场的两侧，还摆着每个赌场里都必不可少的老虎机，一台台老虎机屏幕上的游戏画面五颜六色，各不相同，闪着耀眼的灯光。比起那些赌桌，老虎机算是赌场里“投资额”最小的游戏了，机器上面有一个缝，可以投入硬币，据说老虎机得名原因是它起先或多或少会让玩家赢几次，感到很刺激，但最终会把玩家的筹码全部吃掉。老虎不但吃掉猎物，甚至连骨头都不吐出来的。

不同老虎机大体的玩法都是投入硬币，然后拉一下手柄，老虎机屏幕上的几行几列的图形就会不断变化。如果出现了特定形式的图形，老虎机就会吐出奖励硬币；否则，硬币就会全部被老虎机吃掉。在老虎机上，每投入一枚硬币，就相当于买了一张彩票，只不过这一张彩票开奖时间比普通彩票快很多，中奖率一般也高过普通彩票，不过不会高到让赌场亏本的程度。

除了上面提到的花样以外，扑克牌游戏占据了整个赌场的半壁江山。有一种最简单的扑克牌赌法叫“龙虎斗”。在赌桌上画着三个分别写有“龙”、“虎”、“和”的大圈，每次玩家可以把筹码押到这三个圆圈里。然后，荷官会派给龙和虎各一张扑克牌，比牌的点数，K 为最大牌，A 为最小，如果相同就是和。按照规则，押龙或者押虎赔率都是 1:1，押和的赔率则是 1:8。和的概率究竟是多大呢？由于”龙虎斗“使用的是去掉大小王的 8 副牌，于是龙虎是同一张牌的可能性大约等于 1/13。龙赢和虎赢的概率则各是 6/13，都小于 50%。如大家所料，在这项游戏里，无论怎么押，赌场还是永远的赢方。

赌场里还有一种扑克牌赌法称为百家乐，龙虎斗里的龙和虎双方在百家乐里相当于庄家和闲家，发牌员会派出“庄家”和“闲家”各两张牌，总数得 9 点或最接近 9 点的一家胜出。参赌者可以押庄家赢、闲家赢、和局。百家乐规则更复杂一些，但是如果不考虑算牌（下一篇会提到），赢家在各种情况下的平均胜率也和龙虎斗差不多。

既然这些游戏都与概率有关，那么叫帕斯卡、伯努利等那些发明概率的数学家们来赌场玩一把会怎么样呢？听说爱因斯坦不是着迷于“量子物理”，对“上帝是在掷骰子吗”挺有兴趣的吗？把他也拉来玩骰子吧。

如果他们真的来了赌场，恐怕他们只会在黑板上写起一连串数学公式，最终在黑板底下从容地写上结论：一，以上游戏每一局的结果都是随机的，输赢无法预测；二，如果长期玩下去，最后一定是赌场获利，玩家两手空空。

决胜21点

如果想在赌场里赢钱，数学就真的帮不上任何忙了吗？也不全是。赌场里还有一些规则比较复杂的“高级”游戏，数学知识是可以有一些作为的。扑克牌类的游戏中还有一个名为 21 点的，在赌场里玩 21 点的玩家大多西装革履，出手的筹码金额也动辄上千上万。

美国电影《决胜 21 点》里，麻省理工学院的一位数学教授就带领着几个学生来到拉斯维加斯的赌城里，依靠快速计算牌点的能力，结合自创暗号互通信息的方式，在未被发现时，大赢了一笔钱。利用数学知识真能决胜 21 点吗？

21点的规则是这样的：站在圆弧桌子后面的荷官会一轮一轮向各位玩家手里发牌，每个人需要计算手里的几张牌点数加到一起是多少（J，Q，K 的点数是 10 分；A 有两种算法，1 或者 11，如果 A 算为 11 时总和大于 21，则 A 算为 1），如果点数超过了 21 就算爆牌，谁先爆牌谁就输了。荷官会作为庄家参与到游戏中，其他玩家的点数与庄家的点数比大小，大于庄家就可以赢，小于庄家就会输。在得到两张牌之后，玩家有权决定是否继续要牌。玩家的目标就是让自己手里的牌的点数和尽量接近 21 点，但是又不超过 21 点。

21 点还有很多附加规则，比如一开始的两张牌正好是一张 A 和一张 10 点的牌（加起来刚好 21），这就称为 Blackjack；如果别人也达到了 21 点，Blackjack 还可以更胜一筹。如果前两张牌点数相同，玩家还可以把牌分开，相当于一个玩家在充当两个玩家的角色，这种玩法就叫做“分牌”。

在 21 点游戏的赌桌前，并没有看到电影里那种把扑克牌拉得像弹簧一样的洗牌绝技。现在的扑克牌赌博游戏中，洗牌都是在洗牌机中完成的，不过并不是每局洗一次，往往一套牌（由四到六副组成）在用掉一半左右之后，才会换一副洗过的新牌。这一规则使得 21 点游戏中有了“算牌”的机会，玩家可以记住前面几局中哪些牌已经打出，哪些牌还留在剩下的牌里。

在 21 点游戏中，玩家并不只是听天由命，还需要主动做出很多决定。比如，手里有一张10，一张 5，是否继续要牌呢？最后获胜的概率各是多少呢？这要受很多变数影响。除了刚刚提到的算牌（正在使用的这一套扑克牌打出哪些牌，还剩哪些牌）以外，还要考虑到目前其他玩家手里都有什么牌，做出这个选择后其他玩家怎样回应……这个概率的计算很复杂，不像骰子、轮盘那样直接容易。我们可以在电脑上使用一种名为“蒙特卡洛模拟”的方法来帮助我们。蒙特卡洛模拟方法的名称就是来源于蒙特卡洛赌场，不过这种方法可不只是为了赌场而发明，物理、工程、金融、军事上都有应用。进行蒙特卡洛模拟就是，首先要编写一个 21 点扑克牌的电脑程序（就像电脑游戏一样），然后让几个电脑玩家不停地互相玩。在玩了几万局、几十万局甚至更多局数的时候，就可以统计出某一个特定牌局（例如手里有一张 10，一张 5）的所有可能情况，便能算出要牌和不要牌赢的可能性哪个大。

如果不进行数学计算、计算机模拟，玩家完全在随意地玩牌的话，21 点游戏和赌场里的其他游戏一样，赌场一方占 51%，52% 的优势，玩家只有 48%，49% 的优势。传说中驰骋世界各大赌场的“数学家赌神”就是期望在算牌、玩牌时，每一步都采取最佳的策略，让自己的获胜可能性提高 1% 到 2%，和赌场相比能有微弱的优势，在“久赌必输”的赌场里有赢钱的机会。

不过在现实世界里，“数学家赌神”一定没那么风光。赌场里不会允许玩家带着计算机帮助自己做决定，因此在算牌、玩牌时这些职业赌手大脑里要在短时间内记住一大堆数字、策略，不容有差错，还要在不同的赌桌上选择合适的时机出手。出手时，每一次也只能押较小的筹码，因为这些“职业赌手”相比于“普通玩家”只是平均获胜率略高一筹，具体到每一局仍然有很大可能性全部输掉。到最后经过几天几夜，艰难地战斗成千上万次之后，手里的钱或许只是翻了一番两番，或许仍然不幸地全部输掉。赌场如果发现了“精于算计”的赌客，也会把他列到不欢迎入内的黑名单之上。同时，赌场的游戏规则也不是一成不变的，会尽量减少玩家通过计算提高胜率的机会。受各种限制，能够仅仅依靠数学知识在 21 点之类的游戏中发家的一定是少数中的少数。

在电影《赌神》中，周润发扮演的赌神能够提前预测背面朝上的牌的数字是多少，微笑着说“三千万美元，我跟”。不过，这样的情景在现实世界中是永远不会发生的。无论是什么赌博游戏，每一个赌局的结果都是不确定的，没有人可以预知。数学知识只是可以证明一些赌博游戏不具有技巧，至多可以帮助玩家在成千上万次的重复游戏中稍微提高赢的次数，降低输的次数。

如果真有每局必胜的赌神，唯一的解释就是出老千了。像在《决胜 21 点》里，MIT 的几位学生除了依靠一些数学计算以外，使用的各种作弊手段也是成功的关键。有报道称，澳门警方曾经在赌场里查获过很多次“出老千”案件，像用针孔摄像机偷拍扑克牌，和赌场里的荷官勾结等等。出老千虽然非常危险，不过也确实时有发生，因为几张写满了数学公式的纸得出的结果可能还没有偷看一张牌给力。

在赌场门口，看到两位内地来的游客一起离开赌场，其中一个笑着对另一个说：“我来的时候拿着两大沓子钱，一沓子有一万多，现在全身上下兜里一共就八块五毛钱了”，另一个说“看来还是我有先见之明，我就带了一千块进来，玩光了就不玩了。”相对比的是，澳门的几家大赌场每天的收入很稳定，可以达到几千万甚至一亿元以上。

本文已发表于 果壳网

一来到澳门，就会发现这是一座名副其实的赌城，在这30多平方公里的弹丸之地上，遍布着十几家大型赌场，在码头、海关、机场外面的停车场上，一辆辆由各家赌场经营的等待着乘客的免费巴士排起了长龙，很多来澳门的游客除了会花些时间光顾一下澳门的几个标志性景点“大三巴牌坊” “妈阁庙”以外，剩余的时间都会一头钻进各个赌场里。在前几年，澳门开放了赌博经营权，除了原有的本地赌王何鸿燊投资的的葡京、永利等赌场以外，美国拉斯维加斯的投资大亨也在澳门开设了多间赌场，威尼斯人赌场就是其中一间。 

威尼斯人赌场不只是想象中的摆满赌桌的一个大厅，而是一座设计精巧的度假酒店，里面餐厅、剧院、宾馆、名牌店一应俱全，内部的装饰也异常豪华，金碧辉煌，天花板上装满了西式的吊灯。令很多人一饱眼福的是酒店里面“自然风光”，在这座酒店大楼的顶层可以看到蓝天白云，小桥阁楼，静静流淌的河流，在水上还有意大利水手划着船，一座威尼斯城呈现在眼前，让人难以相信这只是酒店大楼中的一层，逼真的“天空屋顶”和“室内河流”都是能工巧匠手中的作品。不过，在赌桌上输的身无分文的赌徒恐怕没有心情去欣赏这里的风光了。

在赌场里赌钱，需要使用标有金额数的塑料小圆牌，也就是筹码。玩家首先要在柜台把纸币换成筹码，不同的赌场情况不同，最小的筹码的面值从几十元到二百元不等，最大的面值可以达到惊人的200万元。

在威尼斯人酒店里，赌场区域分散在不同的楼层上，赌场区域也有很多个入口，给人一种进出自由的感觉。进入赌场区域，可以看到几十张赌台，不同的赌台有不同的游戏内容，每位赌台前站着一两位统一着装，穿着黑马甲的赌场工作人员，被称为“荷官”。在每张赌台上都有几位手握筹码，聚精会神望着赌桌的玩家，当然每个赌桌旁围观打酱油的也不在少数，我当时就是其中一员。

押大押小的秘密

在赌场里看到的第一个游戏是玩骰子的，也就是以前听说过的押大押小。想象中，既然是玩骰子嘛，这个赌桌上的荷官一定会一些绝技吧，比如把几个骰子放到盅里面，狂摇几下，打开盖子一看，五颗骰子笔直地叠在了一起。可是见到的荷官却完全不需要这样的绝技，每次他只需要按一下开关按钮，盅里面的三个骰子就自动振动起来了，振完之后骰子的数字是多少，也不需要荷官去数，盅里面的感应器有自动识别功能，最后在赌桌上电子显示屏上直接可以看到三个骰子的数字加到一起的结果，荷官最主要的工作就是收筹码和发筹码了。

图片来自新华网

押大押小游戏的规则是如果三个骰子的点数加到一起小于等于10，就算小；如果点数大于等于11，就算大。每次可以把一定金额的筹码放到赌桌上写着大和小的圆圈里，如果押对了，押了一个筹码，就可以拿回两个筹码；如果押错了，押的筹码就归赌场了。 

按照这样，无论押大还是押小，玩家和赌场各有百分之五十的胜率，看起来很公平。可是赌场不会这样做，游戏还有一条额外的规则，叫“大小通吃”，当三个骰子的点数是一样的时候（比如三个1，三个2……三个6），叫围骰。这个时候不管玩家押大押小，都算玩家输，赌场赢。按照概率计算，这六种围骰的情况，每一种的概率是1/6*1/6*1/6=1/216，加到一起是（1/216）*6=1/36，这样做的话赌场的胜率就从50%上升到了51.39%,玩家的胜率也就从50%下降到了48.61%。 

不要小看这1%，2%的微小差异，赌场的巨额盈利就是靠着游戏规则中每玩一次偏向于赌场的微小优势积累起来的，每天有成千上万的人在这个赌桌上像浮云一样飘过，仅仅靠这一个赌桌赌场得到的利润就不是小数目了。而对于玩家来说，如果手里最开始有5000元，每次下注一百元，玩50次之后，平均可能就剩下4800元；再继续玩几十次，4800元又会变成4800元的4600元，最后就会逐渐变为0，这是概率的乘法原则，随着玩的次数的增加，胜率会由48%变为48%*48%，48%*48%*48%…… 

除了可以押大小以外，玩家还可以“押围”，也就是说可以把砝码放在代表三个1的格子里（上图中左下角的格子里），如果最后骰子真的是三个1，押了1000元，最后可以净赚15万！用赌场专业术语，押大小的赔率是1：1，押围骰的赔率是1：150。看起来很诱人，坚信“人生能有几回搏”的赌徒一定会去“搏一次”，可是尽管收益很大，风险却更大，大多数时候1000元打了水漂，而15万还在梦里。因为出现三个1的概率只有1/216（0.46%），如果押1000元，中了可以赚21万5千元，才可以称得上对赌场和玩家完全公平，1：150的赔率仍然是对赌场非常有利的。 

可以看到，赌桌上还写了一些4到17的数字，表示还可以押具体一个数字，比如押三个骰子数字加到一起的和是11。那么从三个骰子的数字之和从最小的3到最大的11他们的可能性各是多少呢，按照计算是这样的： 

赌场当然也考虑了这一点，按照规则，押10，11这样比较容易出现的点数，赔率就是1：6，如果押5或者16，赔率就是1：18，这些制定的赔率也一定不会让赌场吃亏。 

在赌场里见到了一个年纪偏大的玩家，看起来并不像是腰缠万贯的富豪，手里拿着两三个筹码站在骰子游戏的赌桌前，眼睛望着赌桌上的电子显示屏上前几次的点数，心里在仔细盘算着是押大还是押小好，最后他小心地把这几个筹码都放到了“大”的圆圈里，接着，荷官触动了骰子盅的开关，几阵叮叮声过后，电子屏上显示了“14，大”，荷官把筹码加倍奉还给这位老汉。之后每一次下筹码时，这位老汉在下之前都要深思熟虑，打量打量显示屏上前几次点数的记录，似乎“深谙赌之道”。后来他又赢了两次，手里的筹码数也从两三个变成了一大把，看起来的确有一点“神机妙算”的功力。在经历了“三连胜”之后，这位老汉想“乘胜追击”，“来一把大的”，望着显示屏上前几次都是“大”，该如何是好呢？老汉心中举棋不定，他左手的拇指在食指和中指之间挪来挪去，或许他心里在想，既然已经连续出现了这么多次大，也应该出一次小了吧，不，也不对，有大师说过，这种情况下，说明“有一股冲劲”，下一次还会是大。电子屏上的时间倒计时快要结束时，老汉才把筹码全押到“大”上，随后结果出来了，是7，“小”，所有的筹码被荷官用小铲子轻轻扒进了赌场的篮子里，这位老汉垂头丧气的拂袖而去。 

不过从概率角度看，这位“心里会算”的赌徒所做的所有努力都是白费的，因为每一次三个骰子的点数之和是多少的概率都是按照上面那一张图分布的，与之前的几次结果毫无关系，“前世对于今生”并没有任何影响，连续出现十次大也不意味着下一次就一定会出现小，或者一定会出现大。

轮盘大赢家？

取自电影《决胜二十一点》

 在骰子游戏隔壁的赌桌上一群人在玩的是轮盘，游戏的基本规则是这样，在赌桌的旁边放着一个转盘，转盘上均匀分布着0到36一共37个数字，当转盘转起来又停下之后，转盘上的指针所指的号码就是“中奖数字”，在赌桌上密密麻麻的格子里写着一个个数字，轮盘转动之前，玩家要选好自己喜欢的数字，把筹码放进相应的格子里，最后如果猜中了轮盘上所指的数字，就可以赚一笔，如果猜错了，筹码就会交给赌场了。

具体来说，这个游戏赔率是1：35，也就是如果赢了，1元可以变成36元，而轮盘上最大的数字也是36，表面看起来规则定的有一定道理，可是算起来：假设玩37次，每次押1元，因为轮盘上一共有37个数字（0-36），平均的话就只能赢一次，其余36次共损失36元，而赢的这一次只可以捞回35元，同骰子游戏一样，仍然是玩家稍微占劣势，赌场稍微占优势。

为了让游戏更好玩，放筹码的时候还可以把筹码放到两个格子的交界处，比如上面图中12和15交界的那条线，这样最后的结果只有是12或15其中的一个，玩家都可以赢，规则还允许把筹码放到四个格子交界的那一个点上，8，9，11，12的那个交点上，如果放在两个格子交界线上，赔率是1：17，放在四个格子交界点上，赔率是1：8，显然小于押在一个单独格子里的1：35。由玩家会在这些格子面前左思右想，犹豫不定，是押一格还是押两格，押四格呢？其实种玩法类似于彩票复式投注的玩法，最后平均的概率都是一样的。

其实轮盘游戏在几百年前就已经非常流行了，历史上还有一个“轮盘赌神”的故事。在1873年，有一位名叫Joseph Jagger的英国人在蒙特卡洛（和澳门同样位列世界四大赌城之列）赌场上大放异彩，赚了一大笔钱。Joseph是一位工程师，他刚到赌场的时候，没有像其他的赌徒那样先拿几百英镑小试牛刀，而是雇用了几个助手来静观其变，偷偷的将赌场里每天运行的六个轮盘的每次停止的数字纪录下来，连续了六天之后，他将写满了数字的一页页纸统计到一起，发现其中有一个轮盘36个数字出现的次数不是很均等，有九个数字出现的次数稍微偏高。发现了这个漏洞之后，Joseph将自己准备的钱反复在这个“问题轮盘”的九个数字上押注，经过连续几天几十个小时的赌战，赢多输少，他已经赚了十几万美元。早在第一天，赌场的工作人员已经注意到了他总是在赢钱，可是拿他也没办法，因为没有发现任何作弊行为，到了几天之后赌场才把这台轮盘更换，结束了Joseph的常胜之旅，不过此时他已经可以满载而归。

不过Joseph的成功可以复制吗？当时的制造技术比较低劣，制造出的轮盘容易出现不均匀的情况，但是误差仍然要经过长时间的观察才可以发现，要想保证赢钱，还要在通一台机器上连续押注成千上万次，它的效应才可以显现出来。今非昔比，现代的制造技术已经可以让轮盘非常精密，而且每次的结果都被电子自动记录，赌场一旦发现某一个轮盘有些许异常情况，就会立刻采取措施更换。所以如果今天Joseph无论来到澳门赌场还是世界其他的赌场，他当年那么给力的情景是一去不复返了。

本文已发表于 果壳网

如果你的朋友告诉你，他今天要跟你打个赌：他首先把一副扑克牌洗好，把除了两个王以外的52张牌依次扣在桌面上，然后他把第二张牌翻开，是方片5，他向前数5张牌，翻开后，是梅花4，然后又向前数了4张牌，以此类推，每一次翻开的牌上面的数字是几，就向前走几步（J,Q,K按1算）……最后，当翻开红桃5时，已经接近牌的末尾，无法再向前数了。

接着，他把除了最后翻开的红桃5以外的所有牌都翻回去

然后，同你讲“你可以从第一张牌到第十张牌任意选一张开始，然后重复我的过程，如果你最后的一张牌也停在红桃5，那么你就输了，要给我100元；如果你的最后一张不是红桃5，我就输了，给你100元”。你敢跟你的朋友打这个赌吗？
你可能会想，最后一张牌停在哪个位置有很多种可能性，最起码倒数的十张牌都要可能，估计不会这么巧，我的最后的一张牌正好和我朋友的完全一样，十有八九一百元钱归我了。但是实际情况是，你的朋友是聪明的，十有八九要输的不是他，而是你。
看过苏椰同学的《生日悖论与生日攻击》（http://songshuhui.net/archives/23737.html）的读者都记得，经过概率计算，在一个班50位同学中有相同生日的概率高达97%，远远高出了绝大多数人的意料。关于这个游戏的概率计算结果也同样会令你大吃一惊。
我们先来看一个例子，假设你选了从第一张牌开始，是梅花Q,按照规则向前走一步

第二张是方片5，你的朋友刚刚翻过的，到这里，你应该猜得到，游戏不需要再进行下去了，你已经输了，因为在这之后，你会完全重复你朋友翻牌的路径，最后也终止于红桃5。你或许会说，我应该不会这么不幸吧，我翻开的第二张牌正正好好是我朋友翻过的。要是我不从第一张牌开始，从第三张牌、第四张牌、第十张牌开始，情况还会这么糟吗？是的，你翻开的第二张牌不是你朋友翻过的牌的可能性还是很大的，可是以后向前翻牌的过程中只要有任意一张在你朋友走过的路径上，你就输定了。尽管对于翻开的某一个单张牌“中招”的概率不是很大，可是连续翻很多张牌都不“中招”就并非易事了。只有在整个过程中左夺右闪，小心翼翼，不掉进你朋友“设下的所有陷阱”，你才有可能赢得这个赌局。

我们可以粗略估计一下你取胜的可能性

首先，由于J,Q,K都按1算，52张牌的数字平均大小小于5，暂且按5计算，那么你从头走到尾，平均要翻10张牌；

然后，对于这十张牌，每一张的数字可能为1到10十种可能性，如果这张牌的数字“大小合适”，翻开的下一张牌就会落入朋友的陷阱,按照这张牌前面十张牌中平均只有一张是你朋友翻过的算（实际因为有很多张“1”，十张牌中会出现多于一张的“危险牌”），那么你一次生还的概率是9/10，

最后，你久经考验、到了最后一张牌仍然和你朋友的红桃5不重合的可能性就是9/10的10次方，只有35%。而如果考虑了“1”牌的因素，用更精确的方法计算的结果为15%左右，你朋友在这场赌局中有85%获胜概率。也就是说，你的最后一张牌和你朋友的最后一张牌在大多数情况下会是一样的。

这个数学小游戏最早由美国著名的应用数学家Martin David Kruskal提出，被称作Kruskal Count。很多人应该都听说过离散数学中的Kruskal算法，Martin David Kruskal的弟弟Joseph Kruskal正是这一个算法的发明者。Kruskal算法成了众多电脑程序员不可或缺的武器，而Kruskal Count也成了众多魔术师手中的法宝。

由于一副扑克牌只有52张牌，如果把这个游戏当作魔术进行表演的话，仍然有百分之十几的失手机会，但是如果用两副、三副或更多扑克牌，失败的可能性会降至很低（两副扑克牌就可以降至5%）。除了用扑克，魔术师还可以要求你在长长的一篇英语文章中，从一个单词开始，看这个单词有几个字母组成就向前越过几个单词，以此类推，一直到文章的末尾，然后魔术师会表演他的“读心术”说出你停在的最后一个单词。

与这个纸牌游戏类似的一种用于破解密码的计算机算法称作波利德袋鼠算法。这个算法中，两个数字的链条，被称为“两只袋鼠”，在解空间里面各自“跳跃”，其中一只为“驯化的袋鼠”，相当于你的朋友，它的参数都是确定的，而另一只为“野生的袋鼠”，相当于你，算法希望得到“野生的袋鼠”的参数。驯化袋鼠每次跳跃之后都会做一个陷阱，如果野生袋鼠的某次跳跃碰到了这个陷阱，则表明他们的参数是一致的。这样，就可以使用驯化袋鼠的参数来推导出野生袋鼠的参数，与纸牌游戏整个过程非常相似。

引言：在我近30年的人生中，最与“艺术”接近的日子大概是在读研期间。这并不是因为我心血来潮地逛过几家画廊或爵士乐酒吧，而是在我就读学校中，计算机科学系，与音乐系和美术系一样，都隶属于“艺术与科学学院”。这往往给我一种错觉，仿佛自己已然脱离了“IT民工”的圈子，正行进在通往艺术和科学殿堂的大道上。尽管如此，当我听说坐我旁边办公桌，代码写的又快又好的一个家伙是音乐系本科毕业的时候，还是免不了有一丝愕然。“其实，我觉得写代码和写谱子本质上差不多”，他这样回答我的疑问。呃，果真如此吗？

本图为Marvin P.同学在小庄的威逼利诱下所作

通常人们如果要将音乐与计算机联系起来，第一个想到的自然是近十年来才开始流行的MP3和IPod播放器。不过，计算机与音乐创作之间的合作远比这密切的多。数字音效合成、音频编辑软件、乐器数码界面（MIDI）标准以及数码录音设备早已在各个音乐工作室里被广泛应用，并且大大缩短了唱片制作的成本和时间。然而，一个音乐白痴是否能够仅仅靠敲几下键盘就创作出一曲动听的乐章呢？两千多年前的古代希腊人就已经在思考类似的问题。

音乐可数

公元前五百年的一天，哲学家毕达哥拉斯（Πυθαγόρας，约前580年－前500年）走在大街上，突然被街边铁匠铺里传出的声响所吸引，他驻足细听，发现铁锤敲打在砧板上的声音并不像通常那样令人生厌，反而非常优美。这位企图用数来解释宇宙万物的哲学家意识到，在这美妙的音乐背后，一定有某种他所不了解的数学法则。通过不同的击打实验，毕达哥拉斯发现了和谐音程的秘密：当音与音之间的频率比是简单的整数比时，产生的音乐最美妙和谐。这个发现无疑是他所宣扬的“万物可数”哲学思想的最好证明，也巧妙地将音乐与数学紧密联系在了一起。毕达哥拉斯还坚信，宇宙中各天体也是按照某种数学法则来运行的，而与这种数学法则相对应的音乐，就是宇宙间真正的天籁之音。按照哲学家的观点，既然天地间的万物都可以用“数”来解释，那么，是否任何领域的知识都能够转化成音乐呢？两千年多前的古人并没有给我们留下实证，然而，关于数字和音乐的游戏却一直在继续。（在此声明一下，铁匠铺的故事乃是来自传说，而关于天体音乐理论的提出者也有争议，有人认为是柏拉图。）

投骰子作曲

1791年，天才作曲家莫扎特英年早逝，一支《安魂曲》留给世人无数浪漫的想像。两年之后，出版商在柏林公开了据说是他生前创作的一套随机乐曲生成系统，后世称之为“莫扎特的音乐骰子游戏”。这款小游戏由176条小步舞曲小节，96条三重奏小节，两张写满数字的规则表以及两粒六面骰子组成。游戏的规则非常简单，两粒骰子被随机投掷16次，根据骰子显示的数字，规则表中对应的小步舞曲片段被依次选定，组成了一支小步舞曲。同样，一粒被随机投掷16次的骰子就能够谱出一段三重奏。我们可以发现，这个简单的游戏总共可以生成11^16（4千多兆）的小步舞曲段和6^16（2千多亿）的三重奏段。

回文诗《璇玑图》（可有异曲同工之妙？）

莫扎特的音乐骰子游戏有多个版本，并被认为多是他人托名而作。虽说没有人发现过原始手稿明确证实这款游戏确实出自莫扎特之手，不过很多音乐家还是认为在他1787年创作的乐曲“K. 516f”中可以找出类似的随机生成机制。事实上，莫扎特并不是音乐骰子游戏的创始人，早在1757年，约翰•菲利普•克恩伯格（Johann Philipp Kirnberger，1721～1783）就在柏林公开发表过类似的游戏手稿。而他手稿扉页上的一段话，也多次被后来者所引用：只要愿意，任何懂得骰子和数字的人都能够谱写出足够多的乐曲段。伴随着十八世纪欧洲社会对数学的极大热情和关注，类似的小游戏在当时的音乐圈中相当流行。即使在200年后，也还有不少人借用类似方式向自己的作品中注入随机因素，美国实验音乐家约翰•凯奇就曾经制作过一个写满音符的棋盘来“演奏”棋局。相似的，一个圆周率就可以通过数字和音符之间不同的对应关系永无止境地演奏下去。而计算机的出现，更是为音乐自动创作打开了一扇新的大门。

依利亚克组曲
1952年，28岁的列哈伦•希勒（Lejaren Hiller）告别了杜邦公司，怀揣一大笔奖金重返校园。在美国伊利诺伊大学，这位23岁就拿到博士学位的化学家开始了对合成橡胶的研究。也正是在同一年，第一台完全由美国大学研发的冯•诺伊曼式计算机Illiac正式亮相伊利诺伊大学。得天独厚的希勒得以接触到电子计算机并用它来计算统计意义上理想聚合分子的大小。他无意中发现，如果将控制变量由几何数变为音符，同样的计算机代码可以用于对位法谱曲（一种使两条或者更多条相互独立的旋律同时发声并彼此融洽的作曲法则）。一向对音乐颇有兴趣的希勒开始“不务正业”，试着利用计算机来谱曲，他不仅在闲暇时间开始攻读音乐硕士学位，还把自己的助手——化学师里奥纳德•艾撒克逊（Leonard Isaacson）一同拉下了水。

他们最开始是希望让计算机实现类似传统对位法的谱曲工作，并进行了一系列的实验。包括如何生成全音阶旋律和复调，如何用计算机代码编写对位法规则以及如何生成半音阶。最后，统计学里的的马尔可夫链（一种通过历史状态来预测未来状态概率的数学模型）被用于决定音调。例如，如果当前的音调是C，那么下一个可能的音调则可能是G（概率70%），E（概率15%），F(概率10%)或A（概率5%），不同的概率由不同的马尔可夫链模型所决定。这样，整个谱曲工作被分为三个阶段：初始化—包括建立规则表和数学模型；生产—计算机随机生成单个音符；测试—计算机根据初始化中的规则测试随机音符是否有效。于是，通过不断重复生产和测试环节，越来越多有效音符被选择出来并组成了完整的乐曲。

希勒教授和他的音乐工作室

1956年，在美国计算机协会（ACM）的一次会议上，希勒做了一场关于计算机创作音乐的报告。听众的反应不一，有趣的是，计算机专家们大多对此持非常开放的态度，音乐家们则显得更为谨慎，而很多其他领域的学者们却认为他完全是在胡说八道。不管怎样，希勒的第一个作品在1957年诞生，为了纪念用以作曲的计算机Illiac，他为这支弦乐四重奏取名《依利亚克组曲》（Illiac Suite），这也是历史上第一支完全由计算机生成的音乐作品。而化学家希勒则从此彻底投入计算机音乐创作的怀抱，他转入音乐系任教，成立实验性的音乐工作室并“编写”出了有着诸如《算法一》、《算法二》、《算法三》这样古怪名字的乐曲。

算法各异
在希勒之后，随着计算机相关技术的发展和普及，越来越多的人关注到这个科技与技术奇妙结合的领域，于是各式各样的作曲算法涌现出来。上世纪八十年代进入这一领域的大卫•库佩（David Cope）算得上其中的佼佼者，他执教于美国加州大学圣克鲁兹分校（UCSC）艺术系，同时也是中国厦门大学计算机学院的名誉教授。库佩最开始是想编写一个能够描述自己作曲风格的计算机程序并用它来记录自己工作的发展轨迹，不过，很快的，他将目标转向了那些已经故去的大师们，希望能用软件创造出带有不同大师风格的音乐作品。库佩将这样的工作称为“重组合”（recombinancy）——在现存的音乐上加入新的，符合原有逻辑的演绎，从而创造出新的作品。

“所有伟大的英文著作都是26个字母的重组合，同样的，大多数现存的西方伟大音乐作品都是十二平均律音阶和对应的八度音阶的重组合”库佩这样理解自己的工作，“这秘密并不在于生成新的字母或音符，而是在于重组合的巧妙与优雅。” 他编写的音乐智能实验软件EMI能够模仿上百位作曲家的风格，其中包括类似巴赫的器乐协奏曲，类似莫扎特的奏鸣曲以及类似肖邦的夜曲。EMI能分析同一作曲家的多个作品，通过特殊的匹配过程找出作品中共有的特征，根据在现有作品中出现的次数多少，这些特征被赋予不同的权值，存放在数据库中。在创作的时候，这些特征被应用，而缺省的内容则由不同的计算函数来填充，模仿已故作曲家作曲风格的新作品便诞生了。库佩的机器创作取得了巨大的成功，EMI的效率是惊人的，我们现在可以在网络上听到多达5000首由EMI自动生成的音乐作品，足以举办一场全球巡回音乐会了。

酷酷的库佩教授

与库佩同时期的理查德•奥斯（Richard Voss）则采用了不同的方式。1978年，奥斯和约翰•克拉克（John Clarke）在分析众多音乐和演讲的频谱密度时发现：当他们将频谱密度降到万分之五赫兹时，就能分析出长时间内的旋律波动，而很多音乐的波动都呈现出“粉红噪音”（一种自然界最常见的噪音，频率分量功率主要分布在中低频段，可以模拟出瀑布或者下雨的声音）的模式。为了对比，奥斯和克拉克使用计算机分别生成了基于粉红噪音、褐色噪声和白噪音的旋律，上百名听众几乎一致认为基于粉红噪音的旋律更为动听。从那以后，许多基于粉红噪音的数学公式也被应用到了作曲算法中。

除了传统的统计学方法，作曲家们还瞄上了人工智能的最新发展。亚当•阿尔珀恩（Adam Alpern）在九十年代将遗传算法用到了音乐谱曲中。他将一支爵士乐曲输入计算机，通过模拟进化过程—改变些微参数生成新的相似乐曲，根据预先设定的淘汰规则（包括音调、节奏、自然音阶的平衡）去掉不适应的乐曲—自动生成了全新的乐章。而乔纳森•伯格（Jonathan Berger）设计的人工智能算法不仅会谱曲，还会“听音乐”，如此一来，机器就能够接受和识别音乐，并以音相和了。

不过，对大多数音乐家来说，他们更愿意从“数”中吸取灵感而不是完全放弃自己动手谱曲的能力。近年在中国频频露面的美国先锋音乐家艾略特•夏普（Elliott Sharp）便是如此将毕达哥拉斯“万物可数”的概念充分表达了出来。在他的手下，无论是混沌理论，斐波纳契数列，核糖核酸（RNA）重组算法，还是几何分形学，都能转化成不同的旋律。

尽管机器创作或辅助创作的音乐越来越被大多数人所接受，反对或质疑的声音永远都存在。我们需要什么样的艺术？本身毫无情感的机器如何能创造出真正能打动人心的音乐？艺术家们永恒追逐的灵感是否能由严格程序控制的机器再现出来？这些问题已经被无数人翻来覆去的讨论了。也许库佩的想法是对的：“大多数现存的西方伟大音乐作品都是由十二平均律音阶和对应的八度音阶组合起来的。”可是，正如罗丹所言：“完成一件雕塑，只不过是把石料的多余部分去掉。”伟大的音乐作品所需要的也是机器创作最棘手的技巧所在，正是如何去掉那些多余的部分。

买一送一的小贴士：机器也恶搞论文
与自动化作曲不同，到目前为止，除了一些勉强可以归入朦胧派或梨花体的诗句，机器创作在有意义的写作上还是毫无建树，而由机器翻译的长篇文章也确实让人有惨不忍睹之感。

几年前，出于对学术界“野鸡会议”（指那些学术水平低下，无质量把关，只知收取昂贵注册费用替作者攒论文发表数量的学术会议）的反感和年轻人的恶搞冲动，美国麻省理工大学（MIT）计算机专业的三位研究生编写了论文自动生成软件SCIgen。它能够从固定的词库中，随机抽取专业术语，以符合文法的方式生成句子。因为学术论文中大量充斥着一些专业性很强的用词和固定的句式，这种软件生成的文章乍看上去相当符合规范。再配上自动生成的漂亮图表和详细的引用文献，一篇就内容而言不知所云的文章第一眼往往能唬住不少人。

SCIgen的首次亮相是在2005年，机器论文Rooter: A Methodology for the Typical Unification of Access Points and Redundancy被WMSCI会议（World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics）所接收。虽然事后主办方澄清了此论文是作为“非同行评审论文”被接收并及时撤销了作者的报告资格，但在媒体的大肆渲染下，仍然是颜面大失。一方面，电气电子工程师学会IEEE暂停了对会议组织者的赞助，将论文从资料库中删除，努力将影响降到最小。另一方面，三位年轻人却在三天之内从网络上募捐到了两千四百美元，他们去到佛罗里达，在召开WMSCI会议的旅馆里租下房间，举行了一场同样是机器随机生成的混乱学术报告，并将整场闹剧录下来放在了互联网上。

本文已发表于《新发现》8月刊，感谢Marvin专门配的插图，太酷了。

经常有人说"概率是毫无意义的事情，如果事情发生了，概率就是百分之百，如果没有发生，就是零"。这样的想法是对概率完全错误的理解。为了解释概率，我们从赌场坐庄开始。

我们知道开赌场几乎没有输钱的。尽管有人从赌场赢了钱，但是输的人更多。很多人认为是赌场有"赌神"，或者赌场能"出老千"，其实都不是，赌场赢钱的原因在于概率的应用。换句话说，概率决定了赌场是占便宜的一方。赌客越多，赌场就越不容易输。

我们来玩一个游戏：如果有14张牌，其中有一张是A；现在我来坐庄，一块钱赌一把，如果谁抽中了A，我赔他10块钱，如果没有抽中，那么他那一块钱就输给我了。有人赌吗？

这样的一个赌局，为什么说我占了便宜呢？因为在抽之前，谁也不知道能抽到什么，但是大家可以判断抽到A的可能性要小得多，14张牌中才有一张，换句话说概率是十四分之一，而抽不中A的概率是十四分之十三。概率就是这样一个对未发生的事情会不会发生的可能性的一种预测。如果你只玩一把，当然只有两种可能：抽中了赢10块钱，没抽中输一块钱。但是，如果你玩上几百几千甚至更多把呢？有的抽中，有的抽不中，几千几百把的总结果是什么样的呢？

这就是概率上的一个概念，叫做数学期望。可以理解成某件事情大量发生之后的平均结果。现在我们来看上面的那个例子，抽中的概率是1/14，结果是赢10块钱（+10），抽不中的概率是13/14，结果是输1块钱（-1）。把概率与各自的结果乘起来，然后相加，得到的"数学期望"值是（-3/14）。这就是说，如果你玩了很多很多把，平均下来，你每把会输掉（3/14）块钱。如果抽中A赔13块钱，那么数学期望值是0，你玩了很多把之后会发现结果最接近不输不赢。如果抽中A赔14块钱，那么数学期望值是1/14， 对你有利，大量玩的结果是你会赢钱，我当然不会这么设赌局。

赌场的规则设计原则就是这样，无论看起来多么诱人，赌客下注收益的数学期望都是负值，也就是说，总是对赌场有利。因为有大量的人赌，所以赌场的收支结果会很接近这个值。比如美国的轮盘赌，38个数随机出，你压一个，压中了赔你35倍，没压中你的钱输掉。其它的赌局规则可能更复杂，比如21点，但是背后的概率原理是一样的，就是赌客的数学期望值是负数。像我们通常见到的彩票，如果所谓的返回比是55%的话，那么花一块钱的数学期望是赔掉0.45块。无论是赌场还是彩票，幸运儿的产生必定伴随着大量献爱心的人。赌场和彩票生意兴隆的基础，是每个人都认为自己会是那个幸运儿。

数 学期望的概念是作理性决策的基础。我们做任何一项投资，做任何一个决定，都不能只考虑最理想的结果，还要考虑到理想结果出现的概率和其他结果及其出现的概 率。否则，如果只考虑最理想的结果，大家都应该从大学里退学--从大学退学的最理想结果是成为世界首富，那个叫比尔盖茨的家伙。

概 率问题的关键是随机性，比如扔一个硬币，谁也无法预测是正面还是反面。同样，掷骰子、摇奖也是。有个最搞笑的职业叫"彩评家"，号称分析彩票号码的规律， 预测下一期最可能的号码。电视里的"彩评"节目往往是专家侃侃而谈，主持人做兴致盎然崇拜状。经常听到的话是"这几个数字前两期出现了，根据概率，下一期 不大可能出现"。这可以称之为一本正经地胡说八道。按照概率理论，两件不相干的事情都发生的概率是各自发生概率的乘积，所以两件不相干的各自概率为万分之 一的事情都发生的可能性是一亿分之一。但是，如果一件已经发生了，那么另一件发生的概率还是万分之一，跟已经发生的事情无关。只要彩票的摇奖没有丑闻，那 么中奖数字是无法预测的。不管前几期出现了什么号码，下一期的号码仍然是随机的。出现过的数字不会避嫌，没出现过的数字也不受到照顾。不过观众还是会觉得 "彩评家"的"预测"是对的，因为他说不会出现的号码后来确实没有出现。其实这种"彩评家"每个人都可以当--你随便写几个数，说"下一期这几个数不会出 现"，再找个神神叨叨的理由，你也就成"大师了"。因为你不管你写什么数字，中彩的可能性都是非常非常小的。

据说概率是起源于赌场的学问，但是它的价值已经远远超出了赌博。这里举一个很现实的把概率知识转化成经济效益的例子：要在人群中普查一种病，检查方式是抽血检测其中是否含有某种病毒，这种病在人群中的发生率比较低，比如说1%。对于这样的一种普查，成本最高的地方是检测血液，如果能减少血液检测的数量，就能节约大量成本。我们很自然地想到抽每个人的血，然后检测，这样有多少人就验多少份血，简单明了。为了形象起见，假设有1000万人，那么直接检测的方案是测1000万份血。现在我们换一下思路，把抽来的血两两混合，送去检测，如果检测结果阴性，表明原来的两份血都没问题；如果结果阳性，表明至少有一份血有问题，就把两份都重测。这样也可以确定每个人的带病情况。这样作的总检测量是多大呢？两两混合之后，要检测500万份，然后结果阳性的那些重测，大概是20万（1000万人的1%是10万人带病，导致20万份血重测），总共检测520万份的样子。实际上还有一部分阳性的样品是混合的两份血都带病，这样实际的阳性结果比10万份还要少。总之我们看到，检测总数几乎减少了一半，能省很多钱了吧？如果把10份血混一起再测呢？同样的分析，先要检测100万份，加上结果呈阳性的最多10万份混合样品重测--共100万份原始血样需要重测，总共最多检测200万份就搞定了。

在这个例子里，多少份血混在一起最划算，取决于人群中的发病概率，跟要检测的总人数无关。另外一个考虑因素是血样混合之后，病毒浓度被稀释了，是否还能被检测出来。综合考虑这些因素，运用概率和并不复杂的优化计算，可以精确地算出把几份血样混在一起最省钱而又能完成任务。

图片来源：It's A Gamble by MarkyBon