下面一大一小两个圆，光凭肉眼看，你能说出哪一个的 周长/直径 之比更大吗？

许多年前，小学数学老师说所有的圆周长和直径的比值是一样的。我信了，可是很长时间都不明白为什么。而且，即使明白了，又该如何去计算这个值是多少呢？

在我想出一个方法之前，很不幸地被历史老师提前告知了正确答案：咱老祖宗早就研究过这个了。怎么样，这个老头很眼熟吧，教室的墙上经常可以见到他。这是世界上第一个把圆周率精确到小数点后第6位的祖冲之，这纪录保持了上千年，才被欧洲人打破。哇，那他是怎么算的呢？——历史老师好像对这个不太感兴趣。

后来才知道，祖冲之的算法仍然是个未决的悬案。古书的记载只有《隋书·律历志》中一段文字：“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”也就是说，人们只知道祖冲之给出了圆周率介于3.1415926和3.1415927之间这个答案，以及两个π的近似数355/113和22/7。其他就没有线索了。

咦，这个祖先生是南北朝年间的人物，在他之前的人类文明史已有三千多年，在他之后又有一千几百年了。可为什么一提到圆周率人们想起的就是他呢？只是凭着这么简略的一小段，既没说“为什么”又没说“怎么算”的记载？合书四顾心茫然，看来得动手动脚找东西。

从哪里入手呢？嗯，一个人用什么办法解决问题可以从他的知识背景看出些端倪。他读过哪些书，在朝廷里当什么官，或者做过什么工作，都能给我们一些提示。祖冲之家学渊源深厚，祖父是南朝主管皇家土木营建的大匠卿，而冲之本人精通历法和音律。这些技术全都需要算学的功底，可现在已经很难考证当时的学界推崇哪些算学书籍。不过，晚些时候的唐代国子监里把一套《算经十书》作为标准教材，包括《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《缀术》、《五经算术》、《五曹算经》、和《缉古算经》，用于教习和考试。其中《缀术》是祖冲之所撰，前面六部的成书要早于他的时代。既然被后来的朝廷选为官方教材，说明这些著作的权威性是比较大的，祖冲之很可能熟习了前几部古书中的计算技巧。那么其中有没有人提到过计算圆周率呢？有。而且看这个人留下的文字，闪烁的智慧丝毫不逊于后人。很可能就是这些思想，把祖冲之引向了辉煌的6位小数。

这个人叫刘徽，生于三国时期，为《九章算术》作了很详细的注解。《九章算术》在现代的名声远远盖过算经十书里其他几部，大部分功劳得归于刘先生。其余枝节且按下不表，单看他如何拆解圆周的玄机。

在刘徽之前的古代文字记载中，圆周率是“径一而周三”，也就是整3倍。从中国人的文化传统看，这个值很可能是匠人们（尤其是木匠）在劳动中的经验总结。想象一下，许许多多的匠人砍下大树为房屋搭柱子，他们要比较长度、面积、体积这些最基本的几何关系。在无数次测量中，柱子横截面的周长和直径之比总是在3左右，有时多点有时少些。搭房子不需要计较差的那一点零头，于是业界就把这值取为三，用起来也十分顺当。

《九章算术》里有许多关于圆的问题，原作者给出的答案都是基于这个比值3算的。好，我们在这里停一停。咳咳，你是一个生活在21世纪的新好青年，你知道圆周率至少是3.14。如果有一天寻秦记不幸在你身上上演，被派到赵国去说服他们的木匠，说柱子周长比直径的三倍还要略大，该怎么完成任务呢？ 备上一条量衣皮尺去量给他们看么？你有比这更好的建议吗？

刘徽敏锐地察觉到了这个“3”的谬误，批注在《九章》相应的题目下（方田术·三十二）。他的理由聪明又简洁：在圆内画一个内接正六边形，如果圆直径是1的话，这个六边形的周长就是3。而六边形的周长显然比圆小，那么圆周和直径之比肯定大于三了。

更进一步地，从比较正六边形和圆的思路出发，刘徽找到了一个计算圆周长的方法——割圆术，即不断增加圆内接多边形的边数。他说，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”边数越多，周长和圆周越接近；无限地割下去，就可以无限趋近于圆周。这样，算出多边形的周长作为圆周长的近似值，除以直径，就得到圆周率的近似值了。边数越多，就越精确。

这个思路并不复杂，落实起来却有个问题需要解决：怎么实现“割之弥细”这个过程呢？在地上画一个大大的圆，然后在圆里画一个很多很多边的多边形，然后计算多边形的周长？你能告诉我96边形的周长有多少吗？有点难。直接算很多边的形状有点无从下手。刘徽迂回了一下，使用递推的办法，从边数少的形状开始往上增加。观察下图：对于一个圆内接正多边形，把每条边对应的圆弧平分，就能得到一个边数是原来两倍的正多边形。如果我们从原来的边长AB能推出新多边形的边长AC，问题就解决了。

因为C是个平分点，整个图形是对称的，那么OC就垂直平分AB，也就是说ADC是一个直角三角形。其中AD的长度是AB的一半，很好算；只要求出CD就能用勾股定理得到AC。而CD又恰好在半径OC上，那么CD等于半径减去OD。OD是多少？哈，ODA也是个直角三角形呀，而且OA就是半径，AD又已知，OD不就用勾股定理算出来了吗？跨过这道坎，通往圆周率的路上就只剩下计算了。

刘徽选择了正六边形作为递推的起点，因为它的边长很容易算，就等于半径的长度，在图中就是OA=AB。把半径设为1尺，他一直算到了96边形的周长。他由96边形求出来的圆周率是3.14。

哦，原来祖冲之还没生下来的时候，算圆周率的方法就已经出来了！而且只要努力地“割之又割”，总能算到更精确的值。虽然祖冲之的结果比3.14多了四位小数，可开创性的工作是来自刘徽嘛！即使祖先生有更好的算法，也已经遗失无记载，而刘先生的评注清清楚楚地写在《九章算术》里面。为什么前者的知名度比后者高那么多呢？挂在墙上的应该是刘先生的画像才对啊！

冷静，冷静。如果数一下从六边形到96边形，不过是6、12、24、48、96，迭代了四次而已，可是计算量已经非常惊人了。那时连算盘都还没发明（我们引以为豪的算盘是宋朝以后才出现的），人们的工具是“算筹”。计算规则和我们今天用阿拉伯数字进行笔算的方法大同小异，只不过每个数字都用相同数目的小棍儿来代替。想象一下这会产生什么麻烦吧：你写在纸上的3决不会自己变成了12，可是如果摆在个位的三根小棍，有一根不小心被碰到了十位上，接下来的计算就差得十万八千里了。最麻烦的是，在使用勾股定理求边长的时候得开平方。想一想，用一堆小棍子手动开平方啊！从六边形到96边形，这平方一开起来可是昏天暗地，如果边长还带着小数点。。。所以，虽然祖冲之很可能直接采纳了刘徽的思路，他可不是吃干饭捡便宜的闲人。你可以作个弊，用计算器来试试，看祖先生精确到第六位需要一个几边形，算出它的边长需要给哪些数开几次平方。当然，还不过瘾的话可以自己手动开一个看。

 更有趣的，祖冲之不仅算得准确无误，他给出的还是上限（盈）和下限（朒），“正数在盈朒二限之间”。这显然是一个考虑更周详的提法。不禁让人猜想，祖先生是不是用外切多边形和内接多边形分别逼近，来求出一大一小两个边界的呢？还有那两个作为近似圆周率的355/113和22/7，是怎么来的呢？尤其这个22/7，和地球另一边一个遥远希腊国度里的数学家，阿基米德，在公元前2世纪得到的结果一模一样。他们的思想会不会有巧合？不得而知，不得而知。 

 

推荐阅读:
关于刘徽对圆周率的注解,这里有一篇文很靠谱,但愿大家打得开: 

http://www.nsc.gov.tw/_newfiles/popular_science.asp?add_year=2004&popsc_aid=142

写完那个《四维盒子的展开图》 ，很多人都跟我说没有看懂。我头皮抓了很久，还是想不出什么样的文字叙述能传递出维度旅行的奇特感觉。灰心中，不小心在网上找到一个免费的电影，居然就叫《维度》（点进来看啊）。结果看high了，眼珠子都没舍得转两下。原来是近日才刚刚放到网上“公映”的，两个数学家和一个电脑工程师的惊人之作。他们的简介是，“包你尝到眩晕的数学滋味”。果然，不需要多强的数学背景，我这个半吊子爱好者也晕得直呼过瘾。

 全片两小时左右，分成九个章节。（可在此观看 http://www.youku.com/playlist_show/id_4526471.html）我很开心地在这里做个肆无忌惮的剧透，因为我知道不管说了什么，都丝毫不会影响你看电影时张开下巴的心情。也许最好的准备活动，就是先问自己一个问题：维度是什么？然后看完数一数，答案出乎了你几个意料。

关于维度，我们大多数人也就是拿“线、面、体”来联系一维、二维、和三维。对笛卡尔坐标系有印象的铜子们，就会说维数乃是用来描述物体位置的坐标轴的个数。影片就从这个大众的视角拉开了序幕。不过章节的讲述者并不急于回答这个问题，而是做了个有点奇怪的举动：把地球的表面投影到一个无限大的平面上。在这个平面上，经线都成了向外发散的射线，纬线仍然是一个个圆圈，七大洲的比例变得一塌糊涂，形状却仍然可辨。这是在玩什么呢？呵呵，让我们的眼睛习惯习惯，这是把高维物体向低维空间投影的好办法。

你很快会在第二章中发现立体投影（stereoprojection）的妙处。把一个正多面体从里面吹气“充”成一个圆球，它的各个顶点“贴”在了球的表面，各条边都成了球面上的一段弧线，各个面也都成了球面的一部分。这个“球形多面体”只是样子变得奇怪了点，它的点、线、面之间的关系都没有变化。那么，就可以照着第一章的投影方法，把球面投影到一个平面上。阿哈！住在那个二维平面上的生物们，就可以通过投影所展现的几何关系，来判断这个三维物体是什么啦。比如正四面体有4个顶点6条边，正方体有8个顶点12条边，正八面体有6个顶点12条边。。。都可以在投影平面中数得清清楚楚。一个正方体横穿二维世界可以留下各种各样的截面，让二维的小居民难以判断；但如果有一张球面投影照片，就很快辨认出来啦。

好了，小热身结束，准备观看三、四章，四维多面体们在我们的世界中的投影吧。注意哦，将会有一个只能存在于四维空间的物体出现哦~ 欧几里德老先生早在几千年前就证明了，三维空间里只能存在5种正多面体。睁大眼睛，看看这个四维的“第六者”会不会给你带来一点第六感。

接下来的两章，我觉得有点松散。网上一个数学专业人士在博客评论说，引入复数变换还不如介绍一下莫比乌斯变换，后者才是立体投影的顶峰。而曼德布罗特集和空间维度的关系更显得牵强了，这玩意儿单独拉出来都能做个两小时的片儿。呵呵，他说得挺对，如果你有点云里雾里了，别对自己的理解力产生怀疑。不过第六章末尾那个漂亮的旅途可别错过了：把一个图案不停地放大、放大，你是不是觉得最后看到的细节，应该是一堆无聊的直线或者一块纯色呢？一起来看看分形图案那美妙的无穷的细节吧。

接下来两章我们遇到了四维空间中的球形。球形是没有顶点和边界的，把它投影到平面上和没投一样，先前的办法不管用了。天才的霍普夫想出了一个办法：切开它！三维球面切开来，边缘是个圆圈；那四维球面用一个二维平面去截，出来的边缘是什么呢？看上去满有食欲的一个形状，hoho。

第九章忽然从眼花缭乱的拓扑图形中跳出来，一板一眼的做起了数学证明。初觉有些突兀，一想，不禁暗赞作者的良苦用心。数学这座大厦的根基，是深深埋在这华丽的表象之下的逻辑。我们所看到的任何一个小细节，都是用逻辑推理牢固地支撑起来，其中层层叠叠的繁复，最终又化为简洁或美艳的直观几何图。这些图形也许让人觉得神秘，也许唤起人的美感，也许勾起无限遐想。但只有那些不近人情的铁板证明，才能分辨直觉与幻觉，打消模糊不清的争论，铺起一条超越我们生活的维度之路。踩着人类智慧的坚硬路石，我们可以充满信心地迈向感官局限以外的新世界。影片中的讲述方式很有爱，让人感觉到向这个世界迈进的机会就在自己脚下，只要有一颗开放的渴求知识的大脑。

那个世界有多奇妙？本部片子似乎只是个开始。九章结束紧跟着一小段预告，作者们还将推出《维度II》，里面连那个洛伦兹吸引子都有（我为什么也写过，惊了 ），用来说明拓扑学和物理学的紧密关系。啥时候出来呢？不晓得，我们一起“沙发，等”吧。——向这些免费为公众传播智慧的学人们致敬。

尾注一下：片子有多种语言，可惜没有中文。目前的英文版语速不快，只是有些数学词汇大家可能不熟悉，影响理解。他们的网站上有每一章节的注释，和影片内容是一致的，可以帮助理解。

]]> http://songshuhui.net/archives/382/feed 26 http://songshuhui.net/archives/279 http://songshuhui.net/archives/279#comments Mon, 16 Jun 2008 08:31:02 +0000 安婆婆 http://songshuhui.net/?p=279 本文作者：安婆婆

思考有时候是很有乐趣的，特别是你发现解开一个问题的同时，同样的思路能把其他一连串问题也解决了。从特殊的情况推广出一个通用的原则，可是不小的本事，也是相当不容易的一件事。它需要一些洞察力，想象力和把看起来不相关的东西扯到一起的本领。尤其在抽象的问题上，当直觉开始显得吃力的时候，这种推而广之的方式可能会打开从显见通往深奥的道路。柯赫同学诡异的雪花曲线，它怎么会和芝诺的乌龟拉上关系，它俩又如何都能用极限的定义来认识？洞察这一切联系带来的乐趣，大概就像长期忍受便秘之苦终于畅通无阻的快感吧。

这样的乐趣可不能让老书虫们给垄断了，精彩的思想不等于复杂艰涩哈。凭着常识和逻辑，也能解开反常识的问题。比如，这个四维盒子的展开图。

四维盒子？长啥样啊？呵呵，我也没见过——估计地球人都没见过。我想问的是，它拆开来以后是个啥样。大家都见过被拆开压平的纸箱，从一个三维的立方体变成了一串连在一起的二维正方形。那么，四维的盒子拆开以后，我们就能在三维的空间中看到它。你有兴趣来告诉我，你会看见什么吗？想一分钟，再往下看，好不好？

让我们来做个推而广之的思想实验，从日常生活中人人都看得见的三维盒子开始。要得到一个立方体，需要六个面。这六个面是什么关系呢？

我们观察一个正方形，把它叫做“A”。A是一个二维的物体，让它沿着第三维平移到A’处，它所经过的就是一个三维的空间。把这个空间封闭起来，就成了一个盒子。那么封闭需要几个面呢？观察上面左图，因为A和A’两条相互平行的边之间要一个面来封（叫做“B”），A有四条边，所以一共需要四个B。哇哈，一个起始面，一个截止面，四个封闭面，这就是一个立方体。

把标注过的三维盒子拆开，我们可以见到这样的平面图：起始的A各条边都和一个B相连，截止的A’“挂”在这个对称图形的任意一个B上。 

好了，可以开始联想了。三维物体是用二维物体封闭起一段空间，那么四维物体就是用三维物体来封闭四维空间。所以四维盒子的各个“面”应该是立方体。剩下的问题是我们需要几个立方体，怎样组合？

如果在假想的第四维上平移，我们需要一个起始立方体A，一个截止立方体A’，以及若干用于封闭的立方体B。在A和A’两个相互平行的面之间需要一个B，A有六个面，所以总共要六个B。看看上面的盒子展开图，四维盒子就不难拆开了：一个A在中央，各面粘上一个B，在这个对称物体的任意一个B上粘个A’，就成了！

怎么样，和你想的一样吗？整个思路并不复杂。就像三维盒子可以有不同形式的展开图，这个答案不是唯一的。其它的情况对想象力的挑战更大，你有兴趣做个不同的展开图不？下次你去高维度大集合星球旅游，别忘了带上这个纸箱皮，帮我验证一下是不是可以折成个四维的盒子。多谢多谢:D