Montgomery 虽然得到了有关Riemann ζ 函数非平凡零点对关联函数的猜测性结果。 但这一结果究竟有什么深意？ 对他来说却还是一个谜。 他觉得这个结果应该预示着某种东西， 可那究竟是什么东西呢？ 他毫无头绪， 这多少让他感到有些苦恼。
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Riemann 猜想漫谈 (九)
本篇将讲述黎曼猜想证明史上的一场赌局。 数学家Zagier预测至少要计算出300,000,000 (三亿)个零点，才是对黎曼猜想有价值的判定。而奥卡姆剃刀理论的信仰者，数学家Enrico Bombieri则坚信黎曼猜想的成立。二位决定以两瓶波尔多葡萄酒为赌注打赌。没成想，决定这场赌局走向的是计算机时代的到来和Zagier的一位损友……
Riemann 猜想漫谈 (八)
时下流行一种休闲方式叫做 DIY ， 讲究自己动手做一些原本只有工匠才做的东西， 比方说做件陶器什么的。 在像我这样懒散的人看来这简直比工作还累， 可如今许多人偏偏就兴这个， 或许是领悟了负负得正 (累累得闲？) 的道理吧。 既是大势如此， 我们也乐得共襄盛举， 让大家亲自动手用 Riemann-Siegel 公式来计算一个 Riemann ζ 函数的非平凡零点，走着？
Riemann 猜想漫谈 (七)
Siegel曾计划在柏林学习天文学， 因为天文学是看上去最远离战争的学科。 但是入学那年的天文学课程开得较晚， 为了打发时光，他去旁听了德国数学家 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) 的数学课。 这一听很快改变了他的人生轨迹， 使他最终成为了一名数学家。
Riemann 猜想漫谈 (六)
随着 Riemann 论文中的外围命题——那些被 Riemann 随手写下却没有予以证明的命题——逐渐得到证明， 随着素数定理的攻克， 也随着 Hilbert 演讲的聚焦作用的显现， 数学界终于把注意力渐渐投向了 Riemann 猜想本身， 投向了那座巍峨的主峰。
Riemann 猜想漫谈 (五)
在Riemann的论文发表之后的最初二、 三十年时间里， 他所开辟的这一领域显得十分冷清， 没有出现任何重大进展。 如果把 Riemann 论文的全部内涵比做山峰的话， 那么在最初这二、 三十年时间里， 数学家们还只在从山脚往半山腰攀登的路上。高耸入云的山颠还笼罩在一片浓浓的雾霭之中， 正所谓高处不胜寒。 但到了1885 年，在这场沉闷的登山之旅中却爆出了一段惊人的插曲：有人忽然声称自己已经登顶归来！
Riemann 猜想漫谈 (四)
在 上节 中我们看到， 素数的分布与 Riemann ζ 函数之间存在着深刻关联。 这一关联的核心就是 J(x) 的积分表达式。 由于 Riemann ζ 函数具有极为复杂的性质， 这一积分同样也是极为复杂的。 为了对这一积分做进一步的研究， Riemann 引进了一个辅助函数 ξ(s)
Riemann 猜想漫谈 (三)
象这样一种被 Riemann 随手写下、 却让数学界花费几十甚至上百年的时间才能证明的命题在 Riemann 那篇论文中还有好几处。 这是 Riemann 那篇论文的一个极为突出的特点： 它有一种高屋建瓴的宏伟视野， 远远超越了同时代的其它数学文献。
Riemann 猜想漫谈 (二)
Gauss 对素数分布的研究始于 1792 到 1793 年间， 那时他才十五岁。 在那期间， 每当“无所事事” 的时候， 这位早熟的天才数学家就会挑上几个长度为一千的自然数区间， 计算这些区间中的素数个数， 并进行比较。
Riemann 猜想漫谈 (一)
在复数理论还被一些英国数学家视为来自欧洲大陆的危险概念的时候， 土生土长的英国数学家 Hardy 却对来自欧洲大陆 (而且偏偏还是德国)、 有着复变函数色彩的数学猜想——Riemann 猜想——产生了浓厚的兴趣， 积极地研究它， 并且——如我们将在后文中介绍的——取得了令欧洲大陆数学界为之震动的成就， 算得上是勇者所为。
