本文由沐右、橡树村合作

约翰内斯堡是个依靠黄金兴起的城市，自然会有以黄金为主题的主题公园，坐落在约翰内斯堡西南部的金矿城主题公园（Gold Reef City）索性就建立在一座废弃的金矿上。这里不仅有各式各样的游乐设施，还依据黄金开采冶炼的故事造了几个博物馆，平时也有和黄金有关的表演。这里面最吸引人的一个，就是一个叫做Gold Pour的表演。

这个表演展示的是黄金冶炼的一个步骤。黄金在矿石中的含量很低，需要通过各种物理和化学方法精炼。初步精炼的最后一个步骤，就是把已经初步提纯的黄金熔化，浇筑在一个模子里面，铸成金砖。这个表演演示的就是这个浇筑过程。一次浇筑大约是400盎司黄金，重量差不多是12.4公斤。看着工人们从红彤彤的烘箱里面夹出烧得发亮的坩埚，把里面冒着火焰的金水浇筑在模子里面，等待稍微冷却后再把仍然发光的金子从模子里面扣出来，形成金灿灿的金砖，还是很令人兴奋的。特别是这个表演的时候，还会提醒你，现在的金价是多少钱，这些金子，虽然只有88%的纯度，一共值多少钱。看着价值几十万美元的东西就在眼前几米的地方，很少有人会不心动。

更刺激的在后面。表演结束的时候，工人会拿出来一块以前浇筑好的金砖(刚浇筑的那个还热着呢，不能碰)，让所有观众亲手摸一下，满足观众们摸一次金砖的强烈愿望。同时，工人会向你发出挑战。看到眼前这块金砖了么？顶部长25厘米，宽7厘米，底部长接近28厘米，宽不到10厘米，高3.5厘米。这么一个黄灿灿的家伙，如果你能用拇指和食指两个手指头，从上方夹住金砖的侧面，把金砖提起来，那么，这个价值几十万美元的东西，就可以让你抱回家！去看这个表演的几乎没有不去试试的，不过传说还没有人成功过。怎么样，是不是想立刻打飞的到南非试试？不过，在订机票之前，咱需要先算算，究竟有没有这个可能。

单臂提起二十多斤的重量对大多数人来说都不成问题，但是金砖上面没有把手，我们能用拇指和食指捏起金块吗？这是一个简单的力学问题，让我们先来做一下受力分析。

【金砖的受力分析图】

如上图所示，金块受到这么几个力的作用：

1. 竖直向下的重力G，等于金块的质量（12.4千克）乘以重力加速度ɡ（取10牛顿每千克）；

2. 拇指和食指分别对金块两侧的压力，两边一样大，都记作N，这个力垂直于金块的侧面；

3. 由于手指有和金块发生相对运动的趋势，但是又没有相对的滑动，金块会受到沿着侧面向上的静摩擦力f=μN，μ是手指和金块之间的静摩擦系数。

将金砖侧面和底面的夹角记作θ，根据几何关系我们可以得出，竖直方向上金砖受到的合力F为（取向上的方向为正方向）

F=2μN sin(θ)-2N cos(θ)-G，

其中，第一项是两侧受到摩擦力f向上的分量的和，第二项是两个手指对金块压力N向下分量的和。这样，我们用来提起金砖而给金砖施加的压力，一部分成了对我们的阻碍。不过，只要我们施加的压力N能够使得F大于零，我们就能把金砖抱回家！

可是，如果θ角小于某个数值的话（θ＜arccot(μ)），即使不考虑重力G，第二项的贡献也会比第一项大。要真是这样的话，哪怕是项羽、李元霸、施瓦辛格或者超人来了，也不能把金砖抱走。那就太坑爹了。

还好问题没有这么严重。根据问题里面的给出的上面宽7厘米、底面宽10厘米、高度3.5厘米的数字计算，θ角为66.8度，而只要μ比0.43大，第二项就不会比第一项大。金砖的标准规定了大小有一定的浮动范围 [1]，实际的角度和这个数字不一定完全吻合，不过应该差别不大。人的手指和这种不太纯的黄金之间的静摩擦系数没有查到，实际上手和黄金的静摩擦系数也没有查到。不过，可以查到手指和铝的摩擦系数平均为0.6，和橡胶的摩擦系数平均为0.9，而且随着压力的增加，摩擦系数有减小的趋势[2]。因此，我们有理由相信，除非蜘蛛人出马或者偷偷往手指上抹万能胶水，手指和黄金的静摩擦系数应该不会超过1，比较可能的猜测是接近0.5到0.6的样子。

根据前边的公式，我们可以算出需要的最小压力的数值为N=G/[2μ sin(θ)-2 cos(θ)]。知道了确切的尺寸和摩擦系数，我们就可以通过这个公式求出需要的最小力量。取θ角为66.8度，对应于μ取0.5~1之间的情况，我们可以求出需要的压力N，在下图里面用蓝色曲线表示。可见， N起码要一百多牛顿才可以，如果摩擦系数接近0.6甚至更低，那么力量要超过400牛顿才行。考虑到我们并不知道金砖的准确大小，对于侧面和底面夹角为70度和75度的情况（分别用紫色和褐色线表示），我们也可以求出需要的压力大小。起码来说，N要大于100牛顿才能有点把握。

【静摩擦系数在0.5~1之间的时候，提起金砖需要一根手指提供的压力大小】

不过，根据一项关于手指头力量的研究[3]，这个用两指捏的动作一般人很难达到这么高的力量：对一共100名成年人测试的结果显示，男性平均能够达到大约63牛顿，标准差约为19牛顿，女性平均约是45牛顿，标准差约为14牛顿。因此，超过100牛顿的可能性是很小的。看样子，即使是最好的情况下（μ接近1），也非得锻炼到远超一般人的力量才能做到了，有心发财的童鞋们可以照着这个目标努力锻炼了。

可惜的是，即使理论上存在可能，这个机会也已经不存在了。虽然没有人确实成功地用两根手指夹起过金砖，但是金砖还是被人拿走了。这两块金砖在这个主题公园被演示了十多年，不知道有多少人打它们的主意，结果，几年前，一伙歹徒成功把武器带进了公园，直接把金砖抢走并逃脱。两根手指夹起来一块金砖虽然很难，用一只手抱着还是不难做到的。从此以后，这个表演就再也不使用真金了，还生怕你不知道，用很大字写上：本表演不使用真金！这个表演仍然在继续，但是观看的时候，再也找不回那种心动的感觉了。

参考资料

1. London Bullion Market Association, The Good Delivery Rules for Gold and Silver Bars-Specifications for Good Delivery Bars and Application Procedures for Listing. 链接
2. Na Jin Seo and Tomas J. Armstrong, Friction coefficients in a longitudinal direction between the finger pad and selected materials for different normal forces and curvatures, Ergonomics 52(5), 609-16 (2009). 链接
3. Angela Didomenico Astin, Finger force capability: measurement and prediction using anthropometric and myoelectric measures, Virginia Polytechnic Institute and State University, Master of Science Thesis. 链接

《生活大爆炸》第 5 季第 8 集的开头，谢耳朵终于忍受不了几位女士总在晚餐时聊些没有营养的话题（说实话，我也快要受不了啦！！），于是他精心准备了一份话题清单。据谢耳朵说，不论是专家还是新手，对这些话题都该感兴趣才对。排名第一的是——“Faster-than-light particles at CERN”（CERN 的超光速粒子）。

这个话题确实到位！实际上，自 2011 年 9 月 23 日所谓的“中微子超光速”被公布以来，我就一直等着看《生活大爆炸》什么时候会提到它呢！确切地说，公布这一结果的 OPERA 实验小组并不隶属于欧洲核子研究中心（CERN），他们的实验装置位于意大利格朗索萨（Gran Sasso）国家实验室地下 1400 米处的山洞里，距离 CERN 足有 730 多千米。不过，谢耳朵把它总结为“CERN 的超光速粒子”也没错，因为实验里涉及到的 μ 中微子确实是从 CERN 发出的。

【意大利格朗索萨（罗马以南 120 公里）国家实验室地下 1400 米处 OPERA 实验室入口 / aspera-eu.org】

CERN 的超光速粒子？

中微子是一类非常孤僻的粒子，几乎不与其他物质发生相互作用，哪怕穿透整个地球也极有可能“撞”不上任何东西。在飞行途中，它还会在不同味的中微子之间变来变去，这种特性叫做“中微子振荡”—— OPERA 实验原本就是为了观察这一现象而设计的。运行 3 年来， OPERA 在“本职工作”上尚未得出什么结论，却在其他方面抛出了一枚原子弹。他们发现， μ 中微子从 CERN 跑到 OPERA 所用的时间，竟然比以光速跑完同样距离还少用了 60 纳秒！

【OPERA 实验小组研究“中微子振荡”的实验设施 / aspera-eu.org】

在现代物理学的理论框架中，光速是一个独一无二的角色。以真空中光速不变为基础，爱因斯坦建立起了狭义相对论，推出了光速不可超越这一结论。 100 多年来，相对论经受住了物理学家有意设计的无数次越来越苛刻的考验。如今，它已经和量子理论一起，成为了撑起现代物理学天空的两根擎天巨柱。

然而，如果 OPERA 实验没有问题，中微子就超光速了！这将意味着，树立超过百年的相对论这根擎天巨柱，在根基上突然出现了一道裂缝！就算这道裂缝不至于让整根擎天巨柱轰然倒塌，令现代物理学的天空崩塌掉一半，对它的修修补补也势必会改写相对论——总之一句话，相对论这下可就是麻烦大了。所以谢耳朵才会说，超光速粒子可能是“ paradigm-shifting discovery”（改变某一领域大多数人共识的发现）。

OPERA 实验：撼动根本 or 满是漏洞？

但是，这一切都是有前提的，那就是“ OPERA 实验没有问题”。这项实验真的没有问题吗？实验原理看起来非常简单——只要精确测出 μ 中微子飞行的距离，再精确测出它出发和抵达的准确时刻，接下来就是简单的加减乘除了。

【OPERA“中微子超光速”实验示意图。从瑞士日内瓦 CERN 出发的中微子束经过 732 Km 到达意大利格朗索萨的 OPERA 实验室 / uni-muenster.de】

然而，不论是精确测量距离，还是精确测量时间，都有大量可能引起误差的因素需要考虑。更重要的是，由于中微子性情孤僻，在 CERN 出发的无数中微子中，根本不可能预先知道哪个中微子会被 OPERA 抓住，就更不可能知道它到底是什么时刻在什么地方产生的了。OPERA 使用了一种看起来很复杂的统计方法来处理这种状况，似乎也存在不少可能出错的疑点。

所以，正如谢耳朵后一句话 “another Swiss export as full of holes as their cheese” 所说，这个结果很有可能 “像瑞士奶酪那样，浑身都是（漏）洞”。事实上，就连 OPERA 实验小组的发言人、瑞士伯尔尼大学的物理学家安东尼奥 · 埃雷蒂达托（Antonio Ereditato）都没敢把话说得太满。他只是谨慎地表示，实验小组穷尽了心思也找不出这个结果到底错在哪里，只能公布出来请大家帮忙来一起挑错了。

超光速：精彩如果继续……

很可惜，如此精彩的一个话题，居然没有引起在座几位女士的兴趣，以至于在她们集体退场之后，谢耳朵忿忿不平地把话题改成了“女人”。如果这个话题继续下去，他们都会说些什么呢？

实验物理学家 Leonard（我记得有一集他摆弄过激光来着……）或许会以挑剔的眼光盘点 OPERA 实验中可能存在的漏洞，也可能会跟工程师 Howard 一起商量，弄出个新的方案来重复这一实验（美国费米实验室的 MINOS 实验小组已经打算这么干了）。理论物理学家谢耳朵和 Raj 则会提出各种稀奇古怪的理论，来解释中微子为什么能够超光速……至于中微子到底有没有超光速——管他呢，反正 Leonard 们和 Howard 们总有一天会弄清楚的。

另外一种可能性（感谢 Ent 汉化~）

来源：www.xkcd.com

原文发表于果壳网 文艺科学主题站 《TBBT.S05E08：不靠谱的“中微子超光速”》

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见识过咖啡拉花的朋友们多半会对咖啡师的技艺赞叹不已。白色的热牛奶冲进深褐色的浓缩咖啡里面，随着咖啡师的手腕轻点，拿铁表面便荡漾出如心似叶的图案。这事太有情调，太浪漫了。

【咖啡师制作叶形拉花（图片来自 travellercoffee.pixnet.net）】

 
咖啡拉花（latte art）主要分为 两种，一种是拉花（free pour)，在往浓缩咖啡（espresso) 中倾倒热牛奶的同时“拉”出图案；另一种则是雕花 (etching），是牛奶和咖啡混合之后，在顶部用巧克力酱和牙签等辅助用品直接在拿铁表面的泡沫上“雕”图。具体的过程，可以观看下面这个制作拉花和雕花的视频：

拉花和雕花两者比较，前者更加奇妙，而后者花样更全。这是因为在雕花时，拿铁表面的泡沫具有一定的稳定性，能够支撑巧克力酱、焦糖浆之类的有颜色的酱料，不但给咖啡师以更多时间，勾画、构图也有了更大的自由。而拉花的奇妙之处则在于图案是在调制拿铁的过程当中形成的。

拉花的奥妙，资深的咖啡师或许会从如何制取浓缩咖啡和热牛奶泡沫谈起。不过，从物理上来说，咖啡拉花是怎么一回事呢？

这个么，咱得从表面剂谈起。

表面剂，或者叫做表面活性剂，是一类非常广泛的物质，在日常生活中随处可见。洗衣粉、洗碗液靠它去油除污，小朋友靠它吹泡泡，没有它，包括牛奶在内的很多饮料都不会是我们看到的样子。在食品工业里面应用的时候，表面剂有时也被称做乳化剂（参考阅读“起云剂”来了，饮料还能喝吗》^[1]）。

表面剂一般是同时具有亲水部分和疏水部分的有机小分子。典型的表面剂有着下图这样的结构：有一个可以亲水的极性基团脑袋（B里面的圆球），还有一根或者多根长长的尾巴，这是喜欢溶解在油等非极性介质里面的憎水基团部分（一般是长一点的碳链）。很多读者在中学里都学过，构成生物体细胞膜的磷脂分子也具有这样的结构，它有两条憎水的尾巴，也可以作为表面剂。值得说明的是，这个表面剂的形象不应该和我们常说的“小蝌蚪”们混起来。

【表面剂的典型分子结构。图片来自这里，已汉化。】

 
如果我们在水里面加入一些表面剂，那么由于憎水的尾巴不喜欢和水挨在一起，如果尾巴和尾巴挨在一起，用亲水的脑袋把水和尾巴隔离开来，那么整个系统的能量就会更低一些。就像下图显示的一样，这可以形成各种各样的结构：可以是亲水脑袋包裹着憎水尾巴的小球状的胶束（Micelle）或者胶囊形状，也可以是两层表面剂分子包裹成球状的（下图中的Liposome），或者双层的分子形成的平面膜等等。这个体系据信与生命最初形成的过程有关，即从混合有包括原始RNA或者DNA在内的多种有机分子的原生汤里面是如何形成一个个的原始细胞的^[2]。

【表面剂在水里形成的几种结构。图片来自维基百科-胶束（Micelle），已汉化。】

 
表面剂的一个重要特性就是可以让原本不能相混合的两种液体或者一种液体和一种固体粉末混合起来，形成乳浊液或者胶体。比如说，水和油就可以通过加入一些表面剂形成乳浊液。根据水和油的比例不同，形成的结构可以是油包水，可以是水包油，也可以是油水分层的多层结构，而表面剂就在水和油的界面上，保证着系统的稳定。这个特性的一个重要应用就是洗去衣物上的油污。

【表面剂和它在洗涤、制作泡沫里面的应用。图片来自这里，已汉化。】

 
蛋白质里面一般同时具有亲水和憎水的基团，因此很多蛋白质都可以起到表面剂的作用。西餐里面的蛋黄酱是一种主要由植物油、蛋、柠檬汁或者醋以及其他调味料制成的调味酱，其中蛋里面的蛋白质就起到了表面剂的作用，把植物油和水混合起来。牛奶是一种天然的乳浊液体，其中含有的蛋白质也会把牛奶里的脂肪包裹着，悬浮在水里面。倘若通过外力等手段将这个体系破坏，就可以收集脂肪得到黄油，收集蛋白质得到奶酪（参考阅读《黄油，高热量的美味要不要？》和《牛奶如何变奶酪？》^[3]）。

表面剂也可以用来稳定空气和水的界面，简单点来说，就是可以用来吹泡泡。当很多的小气泡聚在一起，而它们之间的水流走的时候，它们就会互相接触，形成多面体的结构：泡沫。这时候，憎水的尾巴暴露在空气里面，而亲水的脑袋扎在一薄层水里面，表面剂的存在降低了空气和水的表面张力，使得这种泡沫的结构可以存在一段时间，让小孩子享受吹泡泡的乐趣，让摄影师拍下它们的身影，让科学家们可以研究它们的性质，也让咖啡师得以制作咖啡拉花。

【肥皂水里面含有表面剂，可以帮助稳定水和空气的界面，形成泡泡。感谢科学松鼠会的资深热心摄影师瘦驼提供图片。】

 
制作咖啡拉花的杯子里面要先放大概容积三分之一的浓缩咖啡（Espresso）。这是一种口感强烈的咖啡，用接近沸腾的热水以高压冲过细研后压实的咖啡粉就能得到^[4]。在浓缩咖啡的表面飘着一层红棕色的泡沫状的咖啡脂（crema），这层咖啡脂是咖啡里面的脂肪成分以及气体形成的泡沫，而起到表面剂作用的是咖啡里的蛋白质，以及细胞膜的磷脂分子等物质。

【获取浓缩咖啡时得到的咖啡脂。图片来自维基^[4]】

 
咖啡脂的体积一般要占到浓缩咖啡的10%以上，而其中，气体的体积含量大概能占到咖啡脂的一半。在光学显微镜下观察咖啡脂的结构，可以看出里面包含有气泡、脂肪颗粒（一般小于10个微米）以及一些固体的颗粒（咖啡豆细胞壁的碎片之类）^[5]。别小看了这层咖啡脂，咖啡脂的存在往往被当作浓缩咖啡质量的标志，不止如此，咖啡脂本身也正是形成咖啡拉花的一个重要因素。

【光学显微镜下观察到的咖啡脂。图片来自资料^[5]。】

 
在咖啡拉花的制作过程中，倒入浓缩咖啡的热牛奶经过了预先的处理。有了牛奶里的蛋白质当表面剂，再通过搅拌等手段，热牛奶的表面形成了一层牛奶和空气混合出来的泡沫（microfoam）^[6]。（如何让牛奶的泡沫起的又多又持久也是科学研究的一项内容，可参阅《实验室手记之卡布奇诺的泡泡》等文^[7]）。

在混合热牛奶和浓缩咖啡的过程中，两种泡沫被混合在一起：一种是空气和牛奶混合的泡沫，一种是浓缩咖啡表面的脂肪、气体和浓缩咖啡混合的咖啡脂泡沫。这两种泡沫都相对稳定，咖啡脂的泡沫一般可以维持 10 分钟左右 ^[5] ，牛奶和空气形成的泡沫也可以维持数分钟之久 ^[8] 。

这两种泡沫混在一起之后，由于它们的颗粒都较大（微米级别），又挤在一起，颗粒的扩散过程是很慢的，在没有搅拌的情况下，两种泡沫之间混合的速度会很慢，因此，泡沫之间的界限会在很长时间内保持清晰。这样，咖啡师倾倒牛奶时做出来的图案可以保持足够长的时间，以供顾客欣赏。

【咖啡拉花可以做出各种漂亮的图案。】

 
有读者可能会问了，为什么非得泡沫混合在一起才行，不同颜色的液体混合在一起就不行吗？

当我们把牛奶倒入咖啡时，虽然这两种液体内部仍然存在着微米大小的颗粒，但是这些颗粒并没有互相紧挨着，并且这类颗粒只占液体的很小一部分，即使它们不会立刻就互相均匀混合，但由于内部液体的流动很不稳定，两种液体混合的界面也会因为扩散很快变得模糊起来，无法做成拉花的图案。

其实，除了咖啡拉花之外，表面剂在我们日常生活和工业生产中都有着非常重要的应用。在我们洗衣服、洗碗的过程中，表面剂的憎水尾巴深入污渍内部，亲水的脑袋和水密切相连，在洗刷的运动下，将污渍包裹成悬浮的颗粒随着水而去。在食品工业里面，表面剂被用来将不同的原料混合在一起，以获得新的口味和性状（比如前面提到的蛋黄酱）。而在工业生产里面，表面剂可以用来混合不同的原料，以利于化学反应的发生；或者用来混合不同的材料，以方便后续的加工处理（比如油漆）。

至于咖啡拉花中的表面剂故事，我们今天就说到这里。

感谢果壳编辑闻菲、秋秋的帮助，感谢瘦驼提供美丽的照片。

本文的修改版已经发表在果壳网-文艺科学主题站，题为《咖啡拉花：泡沫圆舞曲》。

参考资料：

1.科学松鼠会，云无心，《“起云剂”来了，饮料还能喝吗》，http://songshuhui.net/archives/55755
2. S. Huebner et al., Lipid-DNA Complex Formation: Reorganization and Rupture of Lipid Vesicles in the Presence of DNA As Observed by Cryoelectron Microscopy, Biophysical Journal 76, 3158 (1999).
3. 科学松鼠会，少个螺丝，《黄油，高热量的美味要不要？》和《牛奶如何变奶酪？》。
4. 维基百科，Espresso, http://en.wikipedia.org/wiki/Espresso
5. Ernesto Illy and Luciano Navarini, Neglected Food Bubbles: The Espresso Coffee Foam, Food Biophysics 6, 335-3348 (2011).
6. 维基百科, Microfoam, http://en.wikipedia.org/wiki/Microfoam
7. 科学松鼠会，云无心，《实验室手记之卡布奇诺的泡泡》及《实验室手记之卡布奇诺的泡泡（续）》。
8. Felix Sebba, Microfoams—An Unexploited Colloid System, Journal of Colloid and Interface Science 35, 643 (1971).

作者：D-Horse

想必很多人都见过彩虹（至少彩虹的照片你见过吧）。一说到它，你脑海里总能浮现出一道七色圆弧。但你知道彩虹为什么是弯的吗？彩虹真的是恰好七种颜色吗？彩虹的秘密，死理性派告诉你。

古代人对彩虹的观察和研究

对彩虹的研究最早可以追溯至公元前 4 世纪。亚里士多德是第一个认真研究彩虹的人，他曾指出彩虹最为重 要的几个特征，比如：

• 如果太阳在地平线上升起得不太高，彩虹就会出现。彩虹不会出现在夏日的中午
• 我们可以同时看到两条形状相同但颜色顺序排列相反的彩虹，其中外侧那条显得略为松散
• 彩虹主要由三种（或四种）颜色组成（现代的RGB三原色理论亦基于此）

但是有一个很重要的现象亚里士多德并没有注意到，那就是两条虹中间的区域亮度较暗，直到公元约 200 年雅典哲学家亚历山大（Alexander of Aphrodisia）才观察到这个现象，所以后人就将这条暗带命名为“亚历山大暗带”（dark band of Alexander）。另外，亚里士多德对彩虹的解释并不正确，他认为只有大的镜子可以反射出物体的全部外形，他把天空中的水滴比做小镜子，认为这个镜子太小了，不可能反射出整个太阳，但是又必须得有什么东西反射出来，所以会有颜色呈现出来。而且，亚里士多德也没有注意到光的折射作用。

在此之后，古罗马哲学家 塞内卡 、波斯物理学家 海什木 等人也都曾发表过自己的看法。中国北宋时期一位叫 孙思恭 的精通天文历算的进士也曾说过“虹乃雨中日影也，日照雨则有之”（沈括《梦溪笔谈》），这些均只停留在对现象的思考上，没有更多深入和本质性的研究。

彩虹是怎么形成的

我们现在知道，彩虹的形成和光的折射有关。所以直到人们发现折射定律，彩虹问题才有条件被解决。光入射到不同介质的界面上会发生反射和折射，入射光和折射光位于同一个平面上，且与法线的夹角满足如下关系：

其中， n ₁ 和 n ₂ 分别是两个介质的折射率， θ ₁ 和 θ ₂ 分别是入射光（或折射光）与法线的夹角，叫做入射角和折射角。这个定律最早在公元 984 年被波斯科学家 IbnSahl 精确描述。随后又被英国科学家 托马斯·哈利奥特 （ 1602 年）、荷兰物理学家 威理博•斯涅尔 （ 1621 年）、法国数学家笛卡尔（ 1637 年）等人先后独立发现这个定律。

其中，笛卡尔利用折射定律，成功解释了彩虹是如何形成的。笛卡尔假想在一个 AFZ 平面内，光线从 AF 处射出，人眼位于 E 处。如果这时把一个代表水滴的圆球放在 BCD 处，那么 D 部分将呈现全红色且比其它部分都更明亮。而无论是把球向前向后还是向左向右移动，这个现象均不会改变。笛卡尔测出此时的 ∠DEM 约为 42° （ M 为彩虹的圆心）。之后他将 ∠DEM 调得稍大一些，观察到红光立刻就消失了，稍小一些，则能看到黄色、蓝色等其它颜色。在仔细检查 BCD 处的球后，笛卡尔得出结论：光线 AB 在 B 点处射入球体发生折射打到 C 点，随后在 C 点处发生反射传递到 D 点，并在 D 点再次发生折射而出。

【笛卡尔描绘彩虹是如何形成的。图片来源：wikipedia.com】

上面这段话并不太好理解，转化成现代语言就是：以空中的一个水珠为例，如下图所示，光线在水滴内发生两次折射和一次反射。其中α为入射角，β为折射角。容易看到，角 D（α） 就是最后的光线偏离原始方向的角度。

【图像来源：plus.maths.org】

那如果一簇平行光线射入水珠又是什么情况呢？如下图所示，可以发现经水珠两次折射后，一部分光线散射出去，还有一部分光线则非常密集地射向（大致的）同一方向。实际上 可以证明 ，下图中越靠近红线处的光线越密集，光强越大。这条红线就被称作为彩虹线。

【图像来源：plus.maths.org】

要确定这条彩虹线的位置也并不困难。仍然以红光为例，前面已经说过，角 D（α） 是最后的光线偏离原始方向的角度。通过简单的几何知识我们容易得到：

而根据折射定律，有

其中， n _f,w 是红光在水中的折射率（1.33），将上式代入到 D _f （α） 的表达式中，绘制 D _f（α） 的函数图象如下图蓝线所示。从函数图中我们可以看到，当入射角 α 范围相等时（ I ₁ = I ₂），最后的光线偏移量范围 J ₁ 比 J ₂ 间隔更小，也就是说入射角在 I ₁ 范围内的入射光线（入射光线是平行的，但由于水珠是球形，所以几乎每条光线的入射角都不相等，而是在一个范围内），光线偏移量的范围更小。即两次折射后的光线更加密集，光强更大。

【图像来源：plus.maths.org】

因此， D _f （α） 的最小值就对应着彩虹线的位置。通过求导计算，当 α = 59.58° 时有最小值 D _f(α) = 137.48° 。因此，最终的折射光线和入射光线的夹角是 180°- 137.48°= 42.52°。这正是笛卡尔寻找的 ∠DEM，也就是人眼对于彩虹的仰角，称为红光的“彩虹角”（Rainbow angle）。我们所看到的彩虹中红色部分均来在这一角度附近。

【图像来源：plus.maths.org】

当以人的眼睛为顶点，把所有与平行入射光线成 42.52° 彩虹角的光束连接起来，就形成一个红色的圆锥体。 圆锥底面的圆弧就是彩虹。到这里，我们就成功解决了彩虹为什么是弯的这个让无数人困惑的难题。

【所有满足红光彩虹角形成的红色圆锥体.图像来源：plus.maths.org】

另一方面，对红光的分析还可以拓展到其它颜色的光线。这样就可构建出彩虹的完整的彩色外形。比如对紫光分析，由于其频率比红光高，折射率要高于红光，所以能计算出其彩虹角为41.07°（取紫光在水中折射率为1.34）。这个值小于红光，这正是为什么在彩虹中，紫色排在红色下方的原因。

为什么中午很难看到彩虹

顺带一说的是，你在中午几乎看不到彩虹。因为从上面的示意图我们可以看到，太阳位于底面圆心（即彩虹的圆心）与人眼连线的延长线上，这导致了彩虹不会出现在中午——太阳越高，彩虹的圆心将越往地平线以下偏移，这使得彩虹整体下移。当然如果从空中俯瞰的话，可以观察到完整的圆形彩虹。如果没有飞机，站在视野开阔的高山之巅也有可能看到。

【彩虹不会出现在中午的原因。图像截自：The Rainbow - Aristotle's Theory】

彩虹是七色的吗？

说完彩虹的形状，不妨再说说彩虹的颜色。一种广为流传的说法是彩虹由 7 种颜色组成。但事实上彩虹是一道由红色到紫色的连续光谱（“光谱”一词最先由牛顿创造），并非真的只是由 7 种泾渭分明的颜色组成。1665 年牛顿在棱镜实验中将可见光分为红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫这 7 种颜色，实际是受到了来源于古希腊的毕达哥拉斯学派的影响。毕达哥拉斯学派认为数学是美的（比如他们搞出的“黄金分割”），在祷文中他们认为 1 是纯洁的， 4 是圣洁的， 10 是万物之母，而数字 7 则象征着完美。在牛顿之前，“七原色”（seven principal colours）的概念就已出现在中世纪的神秘主义和炼金术理论之中，并在文艺复兴时期成为遵行的颜色理论。

由于不同颜色光的波长都不相同，所以彩虹实际就是可见光的色散，介质就是雨后天空中的水滴。人的眼睛可以感知的电磁波波长一般在 400 到 700 纳米之间，而这只占宽广的电磁波谱的极小部分。

【可见光光谱。图像来源：wikipedia.com】

多重彩虹和亚历山大暗带

虽然牛顿在对彩虹的研究中颇有发现，但是在对彩虹的进一步阐释中，由于牛顿深陷于光的粒子性理论之中，因此无法解释“复虹”（supernumerary rainbow，指有时在一条彩虹的内部还可以看到几条模糊的彩虹）的存在。

直到 1801 年，英国科学家托马斯•杨意识到了光在一定条件下还具有波的性质，并用双缝实验给予了有力的证明。随后（1804 年）他用“光的干涉”理论完美解释了复虹现象：当两条光束从同一个水滴沿相同方向散播出来的时候，它们彼此之间会发生干涉。若两光束的光程相差半波长的奇数倍，则到达观察者的光强彼此削弱；若相差整数波长，则光强相互增强。由此造成了一系列位于彩虹内侧的明暗相同的光带。根据这一解释，“复虹”又被称为“干涉虹”。

【副虹。图像来源：wikipedia.com】

在上文中我们分析的彩虹又可称为“主虹”（primary rainbow）。在主虹上方，我们有时还能看到“副虹”（secondary rainbow），也就是文章开头提到的亚里士多德观察到的两条形状相同但颜色顺序排列相反的彩虹的外一层，即我们常说的“霓”。虹是光在水滴内经过了两次折射和一次反射的结果，霓的形成则比虹在水滴内多经历了一次反射（就是笛卡尔描述彩虹怎样形成示意图中的红色光线所示），导致它的颜色排布与虹的颜色排布顺序相反。霓中不同颜色的光线的彩虹角约在 51°左右，所以它比虹显得要高。在自然界中，我们最多能观察到一条副虹，而更高阶的副虹则可以通过实验手段制得。

到这里，霓虹之间的“亚历山大暗带”也可以得到解释了：人眼所能捕捉的光线几乎全部集中在彩虹线及以下处，而几乎没有或者很少有光线高于彩虹线射出，所以虹的上半部是是偏暗的。彩虹线以下射出的光束基本上都是混合了光谱的颜色，呈可见光白色，所以虹的内部要更明亮。霓的分析与之相对，由此形成“亚历山大黑带”（也就是仰角大约在 42°到 51°之间）。

【虹、霓和亚历山大暗带。图像来源：wikipedia.com】

关于彩虹各种观察现象的科学讨论还有很多很多，曾经还有人为之还出了一本书，书名为《彩虹桥：艺术、神话和科学中的彩虹》（The rainbow bridge: rainbows in art, myth, and science by Raymond L. Lee,Alistair B. Fraser）。本文只讨论了彩虹现象其中极小的一部分，涉及到了几何光学、波动光学等知识。20 世纪的时候，还曾有科学家用电磁波理论、光子理论等对彩虹现象进行更精确的描述。关于彩虹的更多有意思的科学话题，欢迎参看后面的参考文献。

参考资料：

[1] Maths behind the rainbow

[2] About Rainbows

[3] RAINBOW, COLOURS AND SCIENCE MYTHOLOGY

[4] 虹现象的数理解释

[5] 彩虹中的数学

原文发表于 果壳网 死理性派主题站《 彩虹为什么是弯的？》

“改良俱乐部的大门一下被推开，斐利亚·福克用他那沉静的声音说：‘先生们，我回来了。’”

每一位初看《八十天环游地球》（东西方两大硬汉——成龙和皮尔斯-布鲁斯南分别在大银幕上演绎过这部名著）的人，看到这里恐怕都要为即将输掉全部身家的福克先生捏把汗吧。不过善解人意的作者儒勒·凡尔纳马上作了解释：福克在向东走的路上一直是朝着太阳升起的方向前进，所以他每走过一条经度线，就会提前4分钟看见日出。整个地球经度线分作360等份，4分钟乘以360，正好是24小时。这就是福克不知不觉赚来的那一天的时间。

小说虽为虚构，但因为环球航行而“净赚”一天的例子在历史上确有其事。1522年，麦哲伦率领的舰队致力于完成环球航行的壮举。当船队返航至佛得角群岛时，发现船上记录的日期是7月8日星期三，而岸上的日期却是7月9日星期四。水手回国后向国王和教皇汇报了这个现象，引起了广泛的关注和探讨，时差之谜逐渐被揭示出来。

时差的发现

 在没有钟表的古代，人们只能通过观察太阳在天空中的位置来确定本地时间，这个时间叫做“地方时”。地球是自西向东自转的，东边总比西边先看到太阳，东边的时间也总比西边的早。比如在北京太阳已经升起了一个时辰，而乌鲁木齐还处于黎明时分。这个时间差便是不同地区的“时差”。

最早发现时差现象的可能是古希腊天文学家。希腊人长于航海、精于天文，善于绘制地图。生活于公元前2世纪的喜恰帕斯已经知道不同地点发生日食或月食的时间是不同的，进而他利用各地发生月食的时间差来测定地理经度。但是日月食发生的时间差不容易测定，古希腊人只能在较近的距离内使用这种方法。三个世纪后，托勒密继承了喜恰帕斯的思想，利用经纬线绘制地图。可是，由于无法准确测量经度，他只能凭借对距离的估计，大致标出某地的相对位置。托勒密的方法一直延续了一千多年，此法显然不够严密，所以那时的地图大都不准，往往夸大了陆地的面积，低估了海洋的范围。

蒙元时代的时差问题

在中国，早在13世纪就有人注意到了时差现象。此人便是成吉思汗的谋士耶律楚材。耶律楚材在跟随蒙古大军西征过程中，发现用金代《大明历》推算出应该在某时刻出现的月食，在中亚的撒马尔罕竟然要推迟出现。他隐约意识到，把万里之外的中原地带制定的《大明历》直接用在遥远的西域恐不合适。于是，他在《西征庚午元历》中提出了一个全新的概念“里差”，弥补了由于东西距离差而造成的天象发生的时间差。这实际上是对不同地理经度引起的地方时差作出了数值修正。虽然耶律楚材没有提到现代“时区”的概念，但他事实上解决了时差的问题。

近年来有学者指出，“里差”是西方地理经度概念传入中国，并在历法上加以应用的结果。原来，耶律楚材在《西征庚午元历》中使用的东西距离（从开封到撒马尔罕）数值过大，约为实际距离的1.4倍。这种情况恰好接近于希腊托勒密的地理经度测量值。也许这个倍率是巧合，也许这个知识真的经历了“古代西方→阿拉伯世界→中国”的知识传播过程。

时区的划定

进入19世纪，在科技领域再次居于领先地位的西方世界发起工业革命，铁路运输普及开来。此时，不仅是旅客希望车辆准点运行，对运输部门而言，为了避免共用一条铁轨的多列火车发生相撞事故，车次时间必须掌控精确。当时横贯东西的漫长铁路往往造成不同车站之间有时差存在。19世纪70年代，在加拿大铁路公司任职的桑福德·弗莱明意识到了时区对于铁路安全的重要性，遂提出了国际标准时间的概念。1884年，在华盛顿召开的国际子午线会议认可了这个概念。该次会议还规定通过格林威治天文台的经线为本初子午线（零经度线），当地地方时为格林威治标准时间（GMT）。从这里算起，往东往西各有12个时区，每个时区跨越经度15度。

到了20世纪，随着航空业的兴起，旅客有可能在几小时内跨越几个时区。时区的设置开始出现在手表、电脑和手机等个人装备上。因为现代喷气式客机速度太快，长途旅客血液中皮质醇浓度的变化已经跟不上地面昼夜变更的速度，“倒时差”便成了飞行一族的头痛事。时差和时区已然是司空见惯之事，斐利亚•福克先生的奇遇愈来愈成为天方夜谭了。

Sheldon 的老妈再次驾临洛杉矶。作为一名正常的老妈，Cooper 夫人想趁机好好地逛一逛洛杉矶。作为一名超常的儿子（没错，“正常”的反义词不一定就是“反常”），Sheldon 却想拉她一起去听索尔·佩尔穆特（Saul Perlmutter）的演讲。

佩尔穆特（Saul Perlmutter）是今年的诺贝尔物理学奖得主之一，他和布莱恩 · 施密特（Brian Schmidt）及亚当 · 里斯（Adam Riess）通过观测遥远星系中的 Ia 型超新星爆发 （参见下图） ，发现宇宙并非人们之前认为的那样正在减速膨胀，反而是在加速膨胀。如果你想知道这项研究有什么深远影响，请看 果壳网 2011 年诺贝尔科学奖（及搞笑诺贝尔奖）系列文章 之 2011 年诺贝尔奖物理学奖：宇宙加速膨胀完整图文解读.

不过， Sheldon 可不是去捧场的，他想让佩尔穆特当场下不来台。考虑到老妈是一名虔诚的基督徒， Sheldon 邀请她参加演讲时体贴地提醒说：“ He will be stating that the universe is older than 6,000 years, but I thought you could stick your fingers in your ears and hum‘Amazing Grace’during those parts. ” 翻译成中文就是：“ 他［指佩尔穆特］会说宇宙比 6000 年更加古老，不过讲到这几段时，你用手指把耳朵堵起来，哼唱‘奇异恩典’这首基督教圣歌就好。”

【2005 年美国宇航局雨燕卫星发现的 Ia 型超新星 2005ke 。上图分别为光学（左）、紫外线（中）及 X 射线（右）波长范围观测到的图像。（来源：NASA / Swift / S. Immler ）】

年龄问题：天文学家喉咙里的一根刺

6000 年这个数字可不是 Sheldon 随口瞎编的，而是确有出处。直到 20 世纪初，英王钦定版《圣经》的 “创世纪” 章节的栏边注解中，还赫然印着上帝创造我们这个世界的日期——确切来说是时刻：公元前 4004 年 10 月 23 日星期天夜晚来临前的那个傍晚。这是 18 世纪爱尔兰圣公会主教詹姆斯 · 乌舍尔（James Ussher）在《圣经》中所记载的族谱的基础上进行了复杂计算，从一些历史事件发生的时间倒推出来的。照这么算来，上帝创世距今真的不过才 6000 年挂零而已。

或许在当时的人们看来，好几千年的历史对于这个世界来说似乎已经足够悠久。然而没过多久，地质学就找到了证据，表明地层沉积所需的时间远远超过千年量级；达尔文提出的进化论更是对《圣经》中记载的族谱提出了质疑。越来越多的证据表明， 6000 年远远不够形成我们这个世界。到了 20 世纪初，这个日期终于从那个版本的《圣经》中被删去。

【18 世纪爱尔兰圣公会主教詹姆斯 · 乌舍尔（James Ussher）以《圣经》中记载的族谱为基础，结合历史事件发生的时间推算得出：上帝创造我们这个世界的日期是在公元前 4004 年 10 月 23 日星期天夜晚来临前的那个傍晚。上图为当时发表乌舍尔推算结果的《旧约记事，从创世之初推断起》（Annals of the Old Testament, Deduced From the First Origins of the World）。（来源：wired.com）】

在天文学历史上，类似的年龄问题其实并不罕见。 19 世纪末，天文学家还不知道太阳的如何发光发热。假设太阳就像一颗燃着的巨大煤球，通过物质燃烧这样的化学反应来发光发热，那它最多就只够燃烧几百万年。而地质学证据早已经断言，地球的年龄至少有上亿年了。太阳反倒比地球还要年轻，这让科学家如鲠在喉。直到很久以后，科学家发现为太阳提供能量的是核心处的核聚变，氢燃料足够太阳照耀上百亿年，这根“刺”才被咽了下去。

加速膨胀：让宇宙年龄再古老一些

不过，一波未平一波又起。哈勃发现宇宙膨胀之后，将星系彼此远离的膨胀速度逆着时间倒推回去，便可以推算出宇宙年龄。

1933 年 9 月，大科学家阿瑟 · 爱丁顿爵士（Sir Arthur Eddington）在英国科学促进会举办了一场关于宇宙膨胀的演讲，提到宇宙出现于 “不超过 20 亿年前” 的某一时刻。这一估算还没有考虑到引力对宇宙膨胀的减速作用，如果算上引力的话，宇宙年龄可能更短， “比方说只有 10 亿年” —— 而在当时，人们已经知道地球至少有 30 亿岁了！天文学家再次被郁闷到了，这一次似乎轮到宇宙本身比地球更加年轻了。

问题出在天文学家对星系距离的测定上——当时的测距方法大大低估了星系的距离，由此推算出的宇宙年龄自然也就被低估了。到上世纪 50 年代，随着对距离测定方法的进一步改进，宇宙年龄终于如天文学家所愿那般比地球年龄更加古老了。 （不容易啊……）

【几种不同的宇宙模型。其中，宇宙加速膨胀模型（最右）的研究获得了 2011 年诺贝尔物理学奖，这在某种程度上更是加长了对宇宙年龄的估算。（编译自 Adam Reiss / Hubblesite.org）】

今年，2011 年诺贝尔物理学奖的获奖研究发现了宇宙在加速膨胀，这在某种程度上更是加长了对宇宙年龄的估算（死理性派可以开动脑筋想想为什么）。结合包括宇宙加速膨胀在内的所有宇宙学观测数据，天文学家如今已经将宇宙年龄限定在了（137.3 ± 1.2 ）亿年的范围之内，比已经观测到的所有天体都更加古老，当然也比出自《圣经》的 6000 年古老太多了。（嗯，天文学家终于可以松口气了……）

对于理论物理学家 Sheldon 来说，佩尔穆特凭借观测成果拿到今年的诺贝尔物理学奖，显然太过 “儿戏” 了。难怪他坚持要去听演讲，好提些问题让佩尔穆特答不出来。不过，佩尔穆特的好心情估计不会因 Sheldon 的刁钻问题而受到影响，因为他终于凭借诺贝尔奖，拿到加利福尼亚大学伯克利分校的永久停车位了！

【2011年诺贝尔物理学奖得主，索尔 · 佩尔穆特展示他在加利福尼亚大学伯克利分校永久停车位的证书。（看他笑得那么开心，加州大学伯克利分校的停车位是有多难抢呀 -_- | | | ）】

不知道 Sheldon 有一天拿到诺贝尔物理学奖时，最让他开心的会是什么事情，反正肯定不会是获得永久停车位——他连驾照都没有嘛……

原文发表于果壳网 文艺科学主题站 《TBBT.S05E06：宇宙年龄 6000 岁？》

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