伦敦奥运会即将开幕，在这个本是体育界人士欢聚一堂的盛会里，经济学家也在凑热闹。比如美国科罗拉多学院教授 Dan Johnson 和达特茅斯大学教授 Andrew B Bernard 近些年来就一直乐衷于为奥运会各国代表团算上一卦。他们都发明了自己的预测公式，并且在悉尼、雅典、北京几届奥运会前都大试过身手。总体来说，预测结果是“八九不离十”，来看看他们是怎么算的吧。

奖牌数和什么因素有关

两位用来预测的公式说起来倒也简单，大概都是这个样子：

其中 y 是某个国家预计获得的奖牌数。 x 是各项影响获得奖牌的因素，相当于各个国家在各项上的得分。 a 是各项的权重，需要靠拟合历史各届奥运会的数据得到。影响各国夺取奥运奖牌的的因素，也就是 x_i，看起来很简单，包括：

人口： 假定擅长体育的牛人在世界人口中是平均分布的，那么人口多的国家摊到的体育天才也会相对多一些，这样奥运会奖牌人才的储备库就会比较大。

国家总的 GDP 和人均 GDP （或者人均收入）： 虽然一个国家人口多，对于获得更多的奖牌来说是一个优势，但是现实中奥运会奖牌获得比例和各国人口数并不完全成正比，比如在1996年亚特兰大奥运会上，中国、印度、印度尼西亚和孟加拉国一共占了当时世界人口的 43%，可是只获得了当年奥运会奖牌总数的6%。这两位经济学家都认为奥运会奖牌数和国家的经济实力有很大关系，如果说人口多提供了比较大的天才宝库，把这些运动天才培养成为奖牌获得者需要不小的人力、物力、财力，富裕的国家可以更轻松地承担。 1996 年的时候这四国的GDP综合不到世界的5%，和奖牌总数的比例很接近。

主办国优势： 主办国占据天时地利人和，入账的奖牌数一定会明显增加。经济学家在预测奖牌的时候更进一步认为如果能成为主办国的邻居国家，或者某个国家在上一届奥运会或者未来几届奥运会里是主办国，在模型里也都会有额外加分。

气候： 可以把各国所处的地球纬度或者每月霜冻期的长短作为一个指标，在冬季运动会里，这一项指标会很有用。

国家体制： 如果其他方面的条件相似，经济上实行计划经济或者体育上实行举国体制的国家往往在奥运会上会有更好的成绩，此前苏联和东欧的国家就是一个比较明显的例子。

各国特有系数： 除了以上这些共有的因素以外，各个国家还有一些自身特别的原因（比如特别擅长某一个奥运项目，这几块金牌旱涝保收，早早便收入囊中），使得金牌数总是超出正常值或者低于正常值，我们可以通过奥运会历史数据算出各国的这个“额外校正金牌数”（可以是负的，也可以是正的）。

经济学预测的各国伦敦奥运会金牌数

在确定了一系影响因素后，再根据历史上各届奥运会各国的奖牌数，计算出在决定奖牌数上，人口、GDP、主办国等因素到底各发挥了多大分量，调整各项的权重，使公式算出来的结果和实际的结果尽量吻合。最后他们选择影响比较大的几个因素留下来，并且计算出最佳的a系数，这样就得到了最终的预测公式。只要把下一届奥运会举办的时候各个国家相应的数据代入公式中，计算出的结果就是各国获得奖牌数和金牌数的预测值。

经过尝试以后，Johnson 最后用了一个简单一点的公式来预测今年奥运会金牌数，主要只包括了人口、人均收入和主办国三个因素：

其中， T 是各国现有奖牌数， I 是人均收入， P 是各国人口数。H是东道主加成，E则是国家体制得分。在公式里，人口和人均收入是主要因素。另外可以看到，作为主办国，英国可以多获得多达 10 块金牌的额外加成，中国因为上一届是举办国，也有 2.78 块的“照顾加分”。

Johnson用自己的公式预测了伦敦奥运会的奖牌榜

以及金牌榜

当然，预测的自然不只有经济学家，体育界人士也有自己的预测。荷兰体育数据公司 Infostrada 没有考虑上述的 GDP 等因素，而是对奥运会每个项目的金牌一块一块地数。他们根据每个项目的知名运动员在最近一段时间的比赛成绩进行排名，预测谁会是金银铜牌得主，最后把各个国家的金牌数加起来得到奖牌榜。这相当于在电脑上开了一场虚拟奥运会。

有趣的是，尽管北京奥运会上中国队在金牌榜上遥遥领先，比美国队多了整整15块金牌，经济学家和体育学家却一致地预测中国会在本届金牌榜上是第二位，辉煌不会再现。在奖牌总数上，体育公司则比 Johnson 教授更看好中国队，他们预测中国会是奖牌总数第一名（这个目标中国队还从未实现过，即便 08 年还是东道主时）。

从过往几届奥运会的经验来看，经济学家们奖牌榜预测既有神准的时候，也有让人大跌眼镜的时候，比如 2008 年奥运会的时候他就成功预测出中国金牌数第一，美国奖牌数第一，不过中国的奖牌总数比 Johnson 的预估还多出了十多枚。但无论如何，从一个外行人的角度，用一个超简单公式能给出八九不离十的结果还是很给力的。至于今年的榜单是否靠谱，经济学家和体育专家谁更靠谱，等到 8 月奥运闭幕之时就能见分晓了。

P.S. 文章中提到Bernard教授，作者发邮件询问过，他今年准备退休，不再玩奖牌预测了。

参考资料：
[1] Olympic Games Predicted Medal Tables
[2] WHO WINS THE OLYMPIC GAMES: ECONOMIC RESOURCES AND MEDAL TOTALS
[3] Infostrada数据公司的预测结果

本文已发表于果壳网 死理性派主题站 《如何预测伦敦奥运会中国金牌数？》

十九. Montgomery-Odlyzko 定律

Montgomery 关于 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的论文于 1973 年发表在了美国数学学会的系列出版物《纯数学专题讨论文集》(Proc. Symp. Pure Math.) 上。 但最初几年里它并没有吸引多少眼球， 因为这种存在于零点分布与随机矩阵理论之间的关联无论有多么奇妙， 在当时都还只是一个纯粹的猜测， 既没有严格的数学证明， 也没有直接的数值证据。 我们在第 十三、 十四 两节中曾经介绍过对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行大规模计算的部分历史。 在 Montgomery 的论文发表之初， 人们对零点的计算还只进行到几百万个， 而且——如我们在 第十五节 中所说——那些计算大都只是验证了 “前 N 个零点” 位于临界线上， 却不曾涉及零点的具体数值。 既然没有具体数值， 自然也就无法用来检验 Montgomery 的对关联假设了。 更何况——如我们在 第十六节 中所说——为了检验后者， 我们需要研究虚部很大的零点， 这显然也是当时的计算所远远不能触及的。 因此当时就连 Montgomery 自己也觉得对他的猜测进行数值验证将是极为遥远的将来的事情。

但是 Montgomery 和我们在 第十四节 中提到过的那位输掉了葡萄酒的 Zagier 一样大大低估了计算机领域的发展速度。

在 Montgomery 的论文发表五年之后的某一天， 他又来到了普林斯顿。 不过这次不是为了觐见 Selberg， 而是来做一个有关 Riemann ζ 函数零点分布的演讲。 在那次演讲的听众中有一位来自 32 英里外的贝尔实验室 (Bell Labs) 的年轻人， 他被 Montgomery 所讲述的零点分布与随机矩阵理论间的关联深深地吸引住了。 这位年轻人所在的实验室恰好拥有当时著名的 Cray 巨型计算机。 这位年轻人就是我们在 第十六节 中提到的 Odlyzko。

普林斯顿真是 Montgomery 的福地， 五年前与 Dyson 在这里的相遇， 使他了解到了零点分布与随机矩阵理论之间的神秘关联， 从而为他的研究注入了一种奇异的魅力。 五年后又是在这里， 这种奇异的魅力打动了 Odlyzko， 从而有了我们在 第十六节 中介绍过的 Odlyzko 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的大规模计算分析。 这些计算为 Montgomery 所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据^[注一]。 这种关联， 即经过适当的归一化之后的 Riemann ζ 函数非平凡零点的间距分布与 Gauss 幺正系综 (参阅 第十八节) 的本征值间距分布相同， 也因此渐渐地被人们称为了 Montgomery-Odlyzko 定律 (Montgomery-Odlyzko Law)^[注二]。

Montgomery-Odlyzko 定律虽然是用 Gauss 幺正系综来表述的， 但我们在 第十八节 中曾经提到过， 随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数 N→∞ 时具有普适性。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律所给出的关联并不限于 Gauss 幺正系综。 不仅如此， 这种本征值分布的普适性还有一层含义， 那就是它不仅在各种系综下都相同， 而且对系综中任何一个典型的系统——即任何一个典型的随机厄密矩阵——都相同。 换句话说， 我们不仅不需要指定系综的分布函数， 甚至连系综本身都不需要， 只要随便取出一个随机厄密矩阵就可以了。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律实际上意味着 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述^[注三]。

Montgomery 当初的研究——如我们在 第十六节 中介绍的——只涉及零点分布的对关联函数。 在他之后， 人们对零点分布的高阶关联函数也作了研究。 1996 年， Z. Rudnick 与 P. Sarnak 及 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 分别 “证明” 了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机厄密矩阵的本征值关联函数相同。 美中不足的是， 我们不得不对这种 “证明” 加上引号， 因为它们和 Montgomery 的研究一样， 并不是真正严格的证明， 它们或是引进了额外的限制条件 (如 Z. Rudnick 与 P. Sarnak 的研究)， 或是运用了本身尚未得到证明的 Riemann 猜想及 强孪生素数猜想 (如 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 的研究)。

但即便如此， 所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布与随机厄密矩阵的本征值分布——从而与由随机厄密矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质——之间的确存在着令人瞩目的关联。 Montgomery-Odlyzko 定律在 “经验” 意义上的成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。

二十. Hilbert-Pólya 猜想

那么在 Riemann ζ 函数非平凡零点这样的纯数学客体与由随机矩阵理论所描述的纯物理现象之间为什么会出现像 Montgomery-Odlyzko 定律那样的关联呢？ 很遗憾， 这是一个我们至今也未能完全理解的谜团。 不过有意思的是， 虽然在与 Montgomery 论文的发表已相隔几十年的今天我们仍未能彻底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本质， 可是远在 Montgomery 的论文发表之前六十余年前的二十世纪一、 二十年代， 数学界就曾经流传过一个与 Montgomery-Odlyzko 定律极有渊源的猜想， 这个猜想也是用两个人的名字命名的， 叫做 Hilbert-Pólya 猜想 (Hilbert-Pólya conjecture)， 它的内容是这样的：

Hilbert-Pólya 猜想： Riemann ζ 函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。

当然， 确切地讲， Hilbert-Pólya 猜想指的是： 如果把 Riemann ζ 函数的非平凡零点写成 ρ=1/2+it 的形式， 则那些 t 与某个厄密算符的本征值一一对应^[注四]。 我们知道， 厄密算符的本征值全都是实数。 因此如果那些 t 与某个厄密算符的本征值相对应， 则它们必定全都是实数， 从而意味着所有非平凡零点 ρ=1/2+it 的实部都等于 1/2， 这正是 Riemann 猜想的内容。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann 猜想也必定成立。

我们在 上节 中提到， Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。 这种描述虽然奇妙， 终究只是统计意义上的描述。 但如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点干脆就直接与某个厄密矩阵的本征值一一对应了。 这是严格意义上的对应， 有了这种对应， 统计意义上的对应自然就不在话下。 因此 Hilbert-Pólya 猜想虽然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十余年， 却是一个比 Montgomery-Odlyzko 定律更强的命题！

历史真是富有戏剧性， 从二十世纪早期开始流传的 Hilbert-Pólya 猜想居然在无形之中与半个多世纪之后才出现的 Montgomery-Odlyzko 定律做了跨越时间的遥远呼应。

但这一呼应实在是太遥远了， Montgomery 的论文尚且因为缺乏证据而遭到冷场， Hilbert-Pólya 猜想自然就更无人问津了。 这种冷落是如此彻底， 以至于当 Montgomery 的论文及后续研究重新燃起人们对 Hilbert-Pólya 猜想的兴趣， 并开始追溯它的起源时， 大家惊讶地发现不仅 Hilbert 和 George Pólya (1887-1985) 两人不曾在人们找寻得到的任何发表物或手稿之中留下过一丝一毫有关 Hilbert-Pólya 猜想的内容。 而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何与这一猜想有关的叙述。 一个隐约流传了大半个世纪的数学猜想竟似乎没有落下过半点文字记录， 却一直流传了下来， 真是一个奇迹！

但 Odlyzko 执著地想要探寻这一奇迹的起点。 那时候 Hilbert 早已去世， Pólya 却还健在。 1981 年 12 月 8 日， Odlyzko 给 Pólya 发去了一封信， 询问 Hilbert-Pólya 猜想的来龙去脉。 当时 Pólya 已是九十四岁的高龄， 卧病在床， 基本不再执笔回复信件了， 但 Odlyzko 的信却很及时地得到了他的亲笔回复。 毕竟， 对一位数学家来说， 自己的名字能够与伟大的 Hilbert 出现在同一个猜想中是一种巨大的荣耀。 Pólya 在回信中这样写道^[注五]：

很感谢你 12 月 8 日的来信。 我只能叙述一下自己的经历。

1914 年初之前的两年里我在 Göttingen。 我打算向 Landau 学习解析数论。 有一天他问我： “你学过一些物理， 你知道任何物理上的原因使 Riemann 猜想必须成立吗？” 我回答说， 如果 ξ 函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样一种关联， 使得 Riemann 猜想等价于该物理问题中所有本征值都是实数这一事实， 那么 Riemann 猜想就必须成立。

三年后 (1985 年) Pólya 也离开了人世， 他给 Odlyzko 的这封回信便成了迄今所知有关 Hilbert-Pólya 猜想的唯一文字记录。 至于早已去世的 Hilbert 在什么场合下提出过类似的想法， 则也许将成为数学史上一个永远的谜团了。

二十一. Riemann 体系何处觅？

如上所述， 假如 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点将与某个厄密算符的本征值一一对应。 我们知道厄密算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量， 而厄密算符的本征值则对应于该量子力学体系的能级。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点有可能对应于某个量子力学体系的能级， 非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 我们把这一特殊的量子力学体系称为 Riemann 体系， 把这一体系的哈密顿量称为 Riemann 算符^[注六]。

那么这个神秘的 Riemann 体系——如果存在的话——会是一个什么样的量子力学体系呢？

这个问题的答案目前当然还不存在。 不过， 有关这个问题目前所知道的最重要的线索显然是来自 Montgomery-Odlyzko 定律。 由于 Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数的非平凡零点分布与随机厄密矩阵的本征值分布相同， 因此我们不难猜测， Riemann 算符应该是一个特殊的随机厄密矩阵。 那么由这个特殊的随机厄密矩阵所描述的量子力学体系会具有什么特点呢？ 这个问题自二十世纪七十年代末以来有许多人研究过。 1983 年， 法国核物理研究所 (Institut de Physique Nucléaire) 的 O. Bohigas、 M. J. Giannoni 和 C. Schmit 等人提出了一个猜想， 即由随机厄密矩阵所描述的量子体系在经典极限下对应于经典混沌体系。 这一猜想被称为 Bohigas–Giannoni–Schmit (BGS) 猜想^[注七]， 它获得了一些数值计算的支持 (比如对一些以经典混沌体系为极限的特定量子体系的能级计算得出了与这一猜想相容的结果)， 但迄今尚未得到严格证明。 不过虽然尚未证明， 但从物理角度上讲， 这一猜想具有一定的合理性， 因为与经典混沌体系相对应的量子体系的波函数会在一定程度上秉承经典轨迹的混沌性， 从而使得哈密顿量的矩阵元呈现出随机性， 这正是随机厄密矩阵的特点。

由此看来， Riemann 体系很可能是一个与经典混沌体系相对应的量子体系。 那么， 这个作为 Riemann 体系经典近似的经典混沌体系又具有什么样的特征呢？ 这个问题人们也做过一些研究。 由于我们所知道的有关 Riemann 体系最明确的信息是这一体系的能谱——因为它与 Riemann ζ 函数的非平凡零点相对应。 因此研究 Riemann 体系的特征显然要从能谱入手。 描述量子体系能谱的一个很有用的工具是所谓的能级密度函数：

ρ(E) = Σ_nδ(E-E_n)

这里的 δ(E-E_n) 是所谓的 Dirac δ 函数， 求和对所有能级进行。

早在二十世纪六十年末和七十年代初， 出生于瑞士、 一度跟随著名物理学家 Wolfgang Pauli (1900-1958) 学习过量子力学的物理学家 Martin Gutzwiller (1925-) 就对这一能级密度函数的经典极限进行了研究， 并得到了一个我们现在称之为 Gutzwiller 求迹公式 (Gutzwiller trace formula) 的结果。 在对应的经典体系具有混沌性的情形下， Gutzwiller 求迹公式为：

ρ(E) = ρ(E) + 2 Σ_pΣ_k A_p,kcos(2πkS_p/h + α_p)

这里的 h 为 Planck 常数， ρ(E) 是一个平均密度。 我们感兴趣的是第二项， 它包含了一个对经典极限下所有闭合轨道 p 以及沿闭合轨道的绕转数 k (k 为正整数) 的双重求和。 求和式中的 S_p 是闭合轨道 p 的作用量， α_p 是一个相位， 被称为 Maslov 相位 (Maslov phase) 或 Maslov 指标 (Maslov index) 。 而 A_p,k 与 闭合轨道的性质有关， 可以表示为：

A_p,k = T_p/h[det(M_p^k-I)]^1/2

其中 T_p 是闭合轨道 p 的周期， M_p 则是描述闭合轨道 p 的稳定性的一个单值矩阵 (monodromy matrix)。

另一方面， 我们也可以定义一个与量子体系的能级密度函数完全类似的 Riemann ζ 函数非平凡零点的密度函数：

ρ(t) = Σ_nδ(t-t_n)

并利用 Riemann ζ 函数的性质对这一密度函数进行计算。

1985 年， 英国数学物理学家 Michael Berry (1941-) 给出了这一计算的结果：

ρ(t) = ρ(t) - 2 Σ_pΣ_k [ln(p)/2π]exp[-k ln(p)/2]cos[k t ln(p)]

这个公式看似寻常， 却包含了一个非常值得注意的特点， 那就是： 其中的 k 虽然是正整数， p 却受到更大的限制。 事实上， 这个公式中的 p 是素数而非一般的正整数！ 将这个结果与前面有关量子体系能级密度的计算相比较， 我们发现为了使两者一致， 必须有：

α_p = π

T_p = ln(p)

S_p = (ht/2π) T_p

A_p,k = T_p/[2π exp(kT_p/2)]

这其中最简洁而漂亮的关系式就是 T_p = ln(p)， 它表明与 Riemann 体系相对应的经典体系具有周期等于素数对数 ln(p) 的闭合轨道！ 这无疑是这一体系最奇异的特征之一。

研究 Riemann 体系的努力仍在继续着， 在一些数学物理学家的心目中， 它甚至已经成为了一种证明 Riemann 猜想的新的努力方向， 即所谓的物理证明^[注八]。 会不会有一天人们在宇宙的某个角落里发现一个奇特的物理体系， 它的经典基本周期恰好是 ln2, ln3, ln5……？ 或者它的量子能谱恰好包含 14.1347251, 21.0220396, 25.0108575…… (读者们应该还记得这些是什么数吧)？ 我们不知道。 也许并不存在这样的体系， 但如果存在的话， 它无疑是大自然最美丽的奇迹之一。 只要想到像素数和 Riemann ζ 函数非平凡零点这样纯粹的数学元素竟有可能出现在物理的天空里， 变成优美的轨道和绚丽的光谱线， 我们就不能不惊叹于数学与物理的神奇， 惊叹于大自然的无穷造化。 而这一切， 正是科学的伟大魅力所在。

注释

1. 这种数值证据之一便是我们在 第十六节 中给出的关于 Montgomery 零点对关联函数的拟合曲线。
2. 这 “定律” 二字通常在物理学中用得比在数学中多， 它很贴切地表达了这一命题虽有大量的数值证据， 却缺乏数学意义上的严格证明这一特点。
3. 当然， 别忘了 N→∞ 这一条件。
4. 自 第十一节 中引进 s=1/2+it 以来， 当我们提到 Riemann ζ 函数的非平凡零点时， 实际指的往往是零点虚部的大小 t， 这一点读者应该能很容易地从上下文中判断出来。
5. Pólya 提到的 ξ 函数应该是指我们在 第五节 的 注释 中提到的 Riemann 本人所定义的 ξ 函数。 Riemann 猜想等价于那个 ξ 函数的零点为实数。
6. 严格讲， 量子力学中所有的可观测量都是由厄密算符表示的， 哈密顿量只是其中之一。 不仅如此， 由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并不限于量子力学中的物理量。 从 Pólya 给 Odlyzko 的信中也可以看到， Pólya 当年并没有对与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的 “物理问题” 做具体的猜测。 因此从 Hilbert-Pólya 猜想到 Riemann 体系是后人所做的进一步猜测。 之所以做这种进一步猜测， 除了哈密顿量对物理体系所具有的重要性外， 或许也是因为随机矩阵理论最初是在研究原子核能级时被引入物理学中的。 另一方面， 量子体系的能级是自然界中含义最为深刻的离散现象之一， 这或许也是人们把注意力集中到这一方向上的原因之一。
7. Bohigas–Giannoni–Schmit 猜想的原始表述针对的是 Gauss 正交系综。
8. 数学家们则称这种方法为 “谱方法” (spectral approach)， 因为它的要点是寻找一个本征值的全体——即谱——与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的厄密算符。

二零零四年十一月二十一日写于纽约
二零零四年十一月二十一日发表于本站
二零一二年二月八日最新修订

http://www.changhai.org/

Riemann 猜想漫谈连载

（本文授权转载自卢昌海老师的个人博客，欲再转载者请联系原作者）

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

十七. 茶室邂逅

Montgomery 虽然得到了有关Riemann ζ 函数非平凡零点对关联函数的猜测性结果。 但这一结果究竟有什么深意？ 对他来说却还是一个谜。 他觉得这个结果应该预示着某种东西， 可那究竟是什么东西呢？ 他毫无头绪， 这多少让他感到有些苦恼。

带着他的研究成果， 也带着那几分苦恼， Montgomery 于 1972 年春天飞往美国圣路易斯参加一个解析数论会议。 那趟旅行对 Montgomery 有着一举数得的意义。 除会议本身外， 他还到 Michigan 大学 (University of Michigan) 所在地安娜堡 (Ann Arbor) 买了房子， 因为此前不久他已接受了一份 Michigan 大学的工作 (Montgomery 目前仍在 Michigan 大学数学系)。

至此， 那趟旅行可以说已经获得了精神与物质的双重丰收。 但在结束旅行前 Montgomery 还有一件事情放心不下。

我们在 第三节 曾经提到过 Gauss 有一个 “坏毛病”， 那就是常常不发表自己的工作， 结果使得同时代的许多数学家在研究课题上与他 “撞车” (与 Guass 那样的大师玩 “碰碰车”， 谁的脑袋先碰破就不必说了)。 无独有偶， 二十世纪的 Princeton 高等研究院也出了一位有同样 “坏毛病” 的数学家， 那便是挪威数学家 Atle Selberg (1917-2007)。 Selberg 在 Riemann 猜想的研究中也有着极为重要的地位， 我们在 后文 中将会更多地介绍他， 这里就先不赘述了。 让 Montgomery 放心不下的就是自己会不会与 Selberg “撞车”？ 自己的这项研究工作会不会不幸地在 Selberg 的某一叠草稿纸上已经有了？ 当然， 除此之外他也很想顺便听听这位 Riemann 猜想研究领域中的顶尖高手对自己这项研究的看法， 尤其是想听听他对这项研究背后可能隐藏着的深义的理解。

于是在返回英国前他决定在 Princeton 高等研究院做短暂的停留， 以便会见一下 Selberg。

Montgomery 如愿见到了 Selberg。 但 Selberg 听完了他的工作介绍后只是礼貌地表示了兴趣， 却没有提出具体意见。 不过他总算也没有说： “干得不错， 小伙子， 但是 N 年前我就已经证明过这样的结果了”， 还是让 Montgomery 松了一口气。

见过 Selberg， 心事算基本了却了， Montgomery 便和他的朋友、 印度数学家 Sarvadaman Chowla (1907-1995) 一同到高等研究院的 Fuld Hall 去喝下午茶。 喝下午茶是一种很普通的休闲， 但对 Princeton 高等研究院 (以及其它很多美国高校及研究所) 来说， 却是学术氛围的一个重要组成部份。 在这一时间里， 来自世界各地、 从事不同研究的学者们在茶室里互相攀谈， 交流看法， 往往会撞击出一些意想不到的智慧火花。 Montgomery 的这次下午茶就是一个很好的例子。

Montgomery 和 Chowla 正在喝茶闲聊的时候， 一位物理学家走了进来。

在 Princeton 高等研究院这样一个科学家阵容豪华得近乎奢侈的地方， 在随便哪个角落碰上的都可能是非同小可的人物。 这位漫步走进茶室的物理学家也不例外。 此人在二十世纪中叶曾因证明了量子电动力学 (Quantum Electrodynamics) 的几种形式体系彼此等价， 而获得了很高的声誉， 也为他赢得了 Princeton 高等研究院的终生职位。 而这项研究还只不过是他科学生涯中许许多多研究中的一项。 他的研究涉及到核物理、 凝聚态物理、 天体物理， 乃至天体生物学等诸多领域。 这位物理学家便是来自英国的 Freeman Dyson (1923-)。 在二十世纪物理殿堂的璀璨群星中 Dyson 当然远不是最杰出的， 但那个午后他和 Montgomery 的世界线在高等研究院的短暂交汇， 却是科学史上一段令人难忘的佳话， 对于 Riemann 猜想的研究来说也是一个奇峰突起的精彩篇章。

Chowla 是一位交际高手， 他一边和 Montgomery 喝茶聊天， 一边仍能眼观六路、 耳听八方。 Dyson 刚一进门就被他发现了， 于是他问 Montgomery： “你见过 Dyson 吗？”， Montgomery 说没有， Chowla 就说我给你引见一下。 Montgomery 心想自己做的东西和 Dyson 八杆子都打不着， 再说喝完茶就走人了， 何必还要特意打扰 Dyson 呢？ 就说不必了。 但 Chowla 却是一个从来不把 “不” 字当成答案的家伙， 当下二话不说就把 Montgomery 拽到了 Dyson 跟前 (谢谢 Chowla！)。

就这样 Dyson 和 Montgomery 攀谈了起来。 遵循着此类谈话的固有模式， 年长的 Dyson 问起了年轻的 Montgomery 最近在研究什么？ Montgomery 就把自己对 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的研究叙述了一下。 Dyson 礼貌地听着， 他对这一领域并不熟悉。 连本领域的顶尖高手 Selberg 都未曾发表具体看法， Montgomery 也并不指望对一个物理学家的这番泛泛介绍会得到比礼貌地点点头更多的回应。

但当他介绍到自己所猜测的密度函数 ρ(t) = 1-[sin(πt)/πt]² (详见 第十六节) 时， Dyson 的眼睛猛地睁大了！

因为这个让 Montgomery 找不到北， 甚至连 Selberg 也看不出端倪来的密度函数对 Dyson 来说却一点也不陌生， 那是所谓的随机厄密矩阵 (random Hermitian matrices) 本征值的对关联函数。 物理学家们研究这类东西已经有二十年了！

而且 Dyson 本人也早在十年前就系统地研究过随机矩阵理论， 是这一领域公认的先驱者之一。 即使找遍整个世界， 也不可能找到一个比 Dyson 更合适的人来和 Montgomery 共喝那杯下午茶了。 他们的相遇本身就是一个幸运的奇迹^[注一]。

十八. 随机矩阵理论

身为理论物理学家的 Dyson 如何会研究起随机矩阵理论来的呢？ 这当然还得从物理学说起。

我们知道， 在物理学上可以严格求解的问题是少之又少的。 而且物理理论越发展， 可以严格求解的问题就越少。 举个例子来说， 在 Newton 引力理论中二体问题可以严格求解， 但一般的三体问题就不行^[注二]； 到了广义相对论中连一般的二体问题也解不出了， 只有单体问题还可以严格求解； 而到了量子场论中更是连单体问题也解不成了 (因为根本就不存在单体问题了)。

另一方面， 现实物理中的体系却往往既不是单体， 也不是二体或三体， 而是多体。 这 “多” 字少则十几、 几十 (比如大一点的原子、 分子)， 多则 10²³ (千万亿亿) 或更多 (比如宏观体系)。 很明显， 对现实物理体系的研究离不开各种各样的近似方法。 这其中很重要的一类近似方法就是统计方法， 由此形成了物理学的一个重要分支： 统计物理 (statistical physics)。

在统计物理中， 人们不再着眼于对物理体系的微观状态进行细致描述 (因为这种细致描述不仅无法做到， 而且对于确定体系的宏观行为来说是完全不必要的)， 取而代之的是 “系综” (ensemble) 的概念。 所谓 “系综”， 指的是满足一定宏观约束条件的大量全同体系的集合， 这些体系的微观状态各不相同， 但满足一定的统计分布， 而我们感兴趣的体系的宏观状态则由相应的物理量在这些体系上的平均值——即所谓的系综平均值——所给出。

在传统的统计物理中， 组成系综的那些全同体系具有相同的哈密顿量 (Hamiltonian)^[注三]， 只有它们的微观状态才是随机的。 但随着研究的深入， 物理学家们开始接触到一些连这种方法也无法处理的物理体系， 其中一个典型的例子就是由大量质子和中子组成的原子核。 这种体系的相互作用具备了所有可以想象得到的 “坏品质” (比如耦合常数很大， 不是二体相互作用， 不是有心相互作用， 等等)， 简直可以说是 “五毒俱全”。 对于这种体系， 我们甚至连它的哈密顿量是什么都无法确定。 这样的体系该如何处理呢？ 很显然还是离不开统计的方法， 离不开系综的概念。 只不过以前在系综中哈密顿量是已知的， 只有各体系的微观状态是随机的， 现在却连哈密顿量也不知道了。 既然如此， 那就 “一不做、 二不休”， 干脆把哈密顿量也一并随机化了。 由于在量子理论中哈密顿量可以用矩阵来表示， 因此这种带有随机哈密顿量的系综可以用随机矩阵理论 (random matrix theory) 来描述。 这一点最早是由美籍匈牙利数学及物理学家 Eugene Wigner (1902-1995) 于 1951 年提出的^[注四]。

当然， 把哈密顿量随机化不等于说对哈密顿量的结构就没有任何限制了。 二十世纪六十年代初， 与 Montgomery 在茶室里偶遇的这位 Dyson 对随机矩阵理论进行了深入研究， 并在 1962 年一连发表了五篇非常漂亮的论文。 这些论文在随机矩阵理论的发展史上具有奠基性的作用。 在这些论文中， Dyson 证明了由随机矩阵理论所描述的物理体系可以按照其在时间反演变换 T 的作用下的变换性质， 而分为三种类型：

• 如果体系不具有时间反演不变性， 则体系的演化算符为幺正矩阵 (unitary matrices)。
• 如果体系具有时间反演不变性， 且 T² = I， 则体系的演化算符为正交矩阵 (orthogonal matrices)。
• 如果体系具有时间反演不变性， 且 T² = -I， 则体系的演化算符为辛矩阵 (symplectic matrices)。

这里 Dyson 用演化算符 U 取代了哈密顿量 H， 这两者之间由 U=exp(-iHt) 相联系。 用演化算符的好处是它的参数空间是紧致 (compact) 的。

除了利用对称性对体系演化算符的结构进行分类外， 还有一个需要解决的问题， 就是哈密顿量的分布函数。 Dyson 引进的是 Gauss 型分布， 这是数学物理中比较常见的一种分布。 在这种分布下具有上述三种对称性的系综分别被称为： Gauss 幺正系综 (Gaussian Unitary Ensemble——简称GUE)、 Gauss 正交系综 (Gaussian Orthogonal Ensemble——简称GOE) 和 Gauss 辛系综 (Gaussian Symplectic Ensemble——简称GSE)。

Dyson 在得知了 Montgomery 的密度函数时猛然想起的 “随机厄密矩阵” 所描述的正是这三种系综中的一种——即 Gauss 幺正系综——的哈密顿量 (因为 Gauss 幺正系综的演化算符是幺正的， 所对应的哈密顿量则是厄密的)， 它的几率测度定义为 Gauss 型分布：

P(H) dH = C exp[-tr(H²)/2σ²] dH

其中 C 为归一化常数， H 为体系的哈密顿量， σ 为标准差 (通常取为 2^-1/2)。

有了哈密顿量， 接下来要关注的当然就是能级分布。 对于一个量子体系来说， 能级分布无论在理论还是观测上都是极其重要的性质。 这也是随机矩阵理论中物理学家们最感兴趣的东西之一。 物理学家所说的能级用数学术语来说就是哈密顿量的本征值 (eigen value)。 那么随机厄密矩阵的本征值是怎样分布的呢？ 分析表明， 一个 N 阶随机厄密矩阵的本征值的分布密度为：

P(λ₁, ... , λ_N) = C exp[-Σ_iλ_i²] Π_j>k(λ_j-λ_k)²

其中 λ₁, ... , λ_N 为本征值， C 为归一化常数。

通过对这一分布密度的积分， 我们可以计算出随机厄密矩阵本征值的各种关联函数。 但是这些关联函数的表观复杂程度与本征值的平均间距有很大关系， 因此我们要先对本征值做一点处理， 以便简化结果。 这一处理所依据的是 Wigner 曾经证明过的一个结果， 那就是当矩阵阶数 N→∞ 时， N 阶随机厄密矩阵的本征值趋近于区间 [-2(2N)^1/2, 2(2N)^1/2] 上的半圆状分布， 即：

P(λ) dλ = (8N-λ²)^1/2 dλ/4π

其中 P(λ) dλ 为区间 (λ, λ+dλ) 上的本征值个数。 这一规律被称为 Wigner 半圆律 (Wigner semicircle law)。 利用这一规律， 我们可以对本征值做一个标度变换， 引进：

μ = λ(8N-λ²)^1/2/4π

可以证明 (请读者自己证明)， 这一变换就像我们在 第十六节 中对 Riemann ζ 函数零点虚部所做的处理将零点的平均间距归一化那样， 将本征值的平均间距归一化为了 Δμ~1。 在这种间距归一化的本征值下， 关联函数的形式变得相对简单， 其中对关联函数的计算结果为：

P₂(μ₁, μ₂) = 1 - [sin(π|μ₂-μ₁|)/π|μ₂-μ₁|]²

看到这里， 大家想必也和 Dyson 一样看出来了， 随机厄密矩阵本征值的对关联函数正是我们在 第十六节 中介绍过的， Montgomery 所猜测的 Riemann ζ 函数非平凡零点的对关联函数！ 当然， 那时候 Montgomery 用的不是像 “对关联函数” 这样摩登的术语， 事实上 “对关联函数” 这一术语 Montgomery 在与 Dyson 交谈前连听都没听说过， 他自己用的是像 “我正在研究零点间距” 那样土得掉渣的 “白话文”。

有些读者可能会提出这样一个问题， 那就是哈密顿量的分布为什么要选择成 Gauss 型分布？ 对于这个问题， 实用主义的回答是： Gauss 型分布是数学上比较容易处理的 (不要小看这样的理由， 当问题复杂到一定程度时， 这种理由有时侯是最具有压倒性的)； 稍为深刻一点的回答则是： Gauss 型分布在固定的 |H|² 系综平均值及标准差下具有最大的熵， 换句话说它所描述的是在一定的约束之下具有最大随机性的体系； 但最深刻的回答却是： 我们其实并不需要特意选择 Gauss 型分布！ 随机矩阵理论的一个非常引人注目的特点便是： 在矩阵阶数 N→∞ 的极限下它的本征值分布具有普适性 (即不依赖于哈密顿量的特定分布)。 正是这种普适性使得随机矩阵理论在从复杂量子体系的能级分布到无序介质中的波动现象， 从神经网络系统到量子混沌， 从 N_c→∞ 的 QCD 到二维量子引力的极为广阔的领域中都得到了应用。

但即便把随机矩阵理论在所有这些不同尺度、 不同维度、 不同领域中的应用加在一起， 似乎也不如它与 Riemann ζ 函数非平凡零点分布之间的关联来得神奇。 Montgomery 曾经为不知道自己的结果预示着什么而苦恼， 现在他知道了那样的结果也出现在由随机矩阵理论所描述的一系列物理现象之中。

但这是解惑吗？ 这与其说是解惑， 不如说是一种更大的困惑。 像 Riemann ζ 函数非平凡零点分布这样最纯粹的数学性质， 怎么会与像复杂量子体系、 无序介质、 神经网络之类的最现实的物理现象扯上关系呢？ 这种神奇的关联本身又预示着什么呢？

注释

1. 有意思的是， 在与 Montgomery 的这次 “茶室邂逅” 的前一年 (即 1972 年)， Dyson 刚刚写过一篇题为 “Missed Opportunity” (“错过的机会”) 的文章， 叙述了科学史上由于数学家与物理学家之间的交流不够而错失发现的一些事例。
2. 这里的 “单体”、 “二体”、 “三体” 等指的都是点状分布或可视为点状分布的体系。
3. 哈密顿量是决定体系动力学行为的一个很重要的物理量。 在量子理论中， 体系的能级由哈密顿量的本征值所决定。
4. 当然， 在随机矩阵本身的提出上， 数学家还是要先于物理学家。 随机矩阵在数学上最早是 1928 年由苏格兰统计学家 John Wishart (1898-1956) 提出的。

二零零四年八月一日写于纽约
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Riemann 猜想漫谈连载

（本文授权转载自卢昌海老师的个人博客，欲再转载者请联系原作者）

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

十五. 更高、 更快、 更强

三亿个零点摆平了 Zagier， 但显然远不是对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行计算的终点。 不过在介绍进一步的进展之前， 我们先要对零点计算做一点补充说明。

当我们说到零点计算的时候， 一般人会很自然地认为所谓零点计算， 顾名思义就是计算零点的数值。 不知读者在阅读 上一节 时有没有想过这样一个问题： 那就是三亿个零点， 即使每个只保留十位有效数字， 写下来也有三十亿个数字 (如果加上小数点、 等号及零点编号等， 则数字差不多还要翻上一番)。 这许多数字以每页三千个数字而论， 起码也要一百万页纸才能记录下来！ 当然， 大规模的零点计算既然是用计算机进行的， 计算结果不是非得记录在纸上不可的。 但三十亿个数字所需占据的存储空间差不多是 3GB， 这在今天虽然算不了什么， 在 1982 年却是非同小可的数量， 用任何方式来记录都并不容易。 以计算机硬盘为例， 当时容量为几个 MB 的就算是很大的硬盘了， 价格十分昂贵。 而要想记录三亿个零点， 起码需要上千个那样的硬盘！ 那得花多少钱？ 若果真如此， Zagier 岂不还大大低估了他那两瓶葡萄酒的价值？

其实， 狡猾的 te Riele 根本就没有计算那三亿个零点的具体数值。 事实上， 除了最初那些小范围的计算外， 我们前面介绍的大规模零点计算基本上都并不给出零点的具体数值， 而只是验证它们是否在临界线上。 因此， 当人们说 “计算了前 N 个零点” 时， 实际上指的往往只是验证了前 N 个零点是否位于临界线上^[注一]。

但是不计算零点的数值， 又如何能判断零点是否在临界线上呢？ 答案其实很简单。 我们在 第十一节 中曾经介绍过， 要研究 Riemann ζ 函数在临界线上的零点， 只需研究 Z(t) 的符号改变即可。 假如在区间 0<t<T 内 Z(t) 的符号改变了 N 次， 则 Riemann ζ 函数在临界线上该区间内至少有 N 个零点。 另一方面， 我们虽不确定是否所有零点都在临界线上， 却知道它们全部位于临界带 0<Re(ρ)<1 内 (参阅 第七节)， 而人们早就知道如何计算临界带内位于区间 0<Im(ρ)<T 内的零点总数 (最早的方法是由 Riemann 本人给出的， 即对 dξ(s)/2πiξ(s) 沿矩形区域 {0<Re(ρ)<1, 0<Im(ρ)<T} 的边界做围道积分——参阅 第五节)。 显然， 只要我们能够证明：

1. 在临界带内位于区间 0<Im(ρ)<T 的零点总数为 N。
2. 在临界线上位于区间 0<t<T 的零点至少有 N 个。

就可以推知 Riemann ζ 函数的前 N 个零点全部位于临界线上。 由于这两者的证明都不必涉及零点的具体数值。 因此我们可以不计算零点数值就直接证明 Riemann ζ 函数的前 N 个零点 (或更一般地， 复平面上某个区域内所有的非平凡零点) 都位于临界线上， 这正是大多数零点计算所采用的方法。

对 Riemann ζ 函数零点的计算越推进 (即 N 越大)， 我们在复平面上沿虚轴方向就延伸得越高 (即 T 越大)。 随着计算机的运算速度越来越快、 运算成本越来越低， te Riele 的三亿个零点的记录很快就失守了。 四年后， 由他本人及 J. van de Lune 领衔将计算推进到了十五亿个零点。 此后 van de Lune 及其他一些人继续进行着零点计算。 不过这时已很少有人像当年的 Turing 那样觉得有可能通过零点计算直接找到 Riemann 猜想的反例， 也再没有像 Zagier 那样敢于下注的 “勇士” 了。 人们在计算零点上的兴趣和投入遂大为下降。 这其中一个显著的变化就是逐渐用廉价的小型或微型计算机取代以往的大型计算机， 且往往使用机器的闲散时间而非正规工作时间来进行零点计算。 但尽管如此， 计算机技术的神速发展还是抵消了所有这些因素带来的不利影响。 零点计算仍在推进着， 只是推进的速度变得缓慢起来。 这种趋势一直延续到了二十世纪末 (2000 年)。

但是到了二十一世纪伊始的 2001 年 8 月， 情况有了新的变化。 德国 Böblingen IBM 实验室的研究者 Sebastian Wedeniwski 启动了一个被称为 ZetaGrid 的计划， 建立了迄今为止最强有力的 Riemann ζ 函数非平凡零点计算系统， 重新将零点计算推向了快车道。 ZetaGrid 系统将零点计算通过计算机网络分散到了大量的计算机上， 从而极大地拓展了资源利用面。 这种将计算工作通过网络分散到大量计算机上的计算被称为分布式计算(distributed computing)。 ZetaGrid 刚启动的时候， 加入系统的计算机只有 10 台， 半年后就增加到了 500 台， 这些都是 IBM 实验室的内部计算机。 一年后， Wedeniwski 将 ZetaGrid 推向了互联网， 任何人只要下载安装一个小小的软件包就可以使自己的机器加入 ZetaGrid， 此举很快吸引了大量的参与者。 很快地， 在 ZetaGrid 上的联网计算机总数就稳定在了一万以上。 虽然 ZetaGrid 上的多数计算是利用那些联网计算机的闲散 CPU 时间进行的， 但涓涓小溪可以汇成浩瀚江海， 由如此大量的计算机所形成的总体运算能力依然十分可观。 到了 2004 年 8 月， 即 ZetaGrid 诞生三周年的日子， 这一系统所计算的零点总数已超过了八千五百亿个 (其中有六百万个是由本文作者的计算机贡献的)， 而且还在以大约每天十亿个以上的速度增加着^[注二]。

十六. 零点的统计关联

除了不计算具体数值这一特点外， 前面所介绍的那些大规模零点计算还有一个特点， 那就是都只针对前 N 个零点。 换句话说， 所有那些计算都是以第一个零点为起始的。 它们所验证都只是复平面上 0<Im(ρ)<T 这一区间内的零点。 除了这类计算外， 在零点计算中还有一类计算也十分重要， 那就是针对一个虚部很大的区间 T₁<Im(ρ)<T₂ 的计算 (即从某个很大的序号开始的零点计算)。 这类计算中最著名的人物是出生于波兰的数学家 Andrew Odlyzko (1949-)， 他在二十世纪八十年代末和九十年代初对序号在 10²⁰ - 30,769,710 和 10²⁰ + 144,818,015 之间的总计 175,587,726 个零点进行了计算。 2001 年和 2002 年， 他更是把计算的起始点推进到了第 10²² 和 10²³ 个零点附近， 所计算的零点数目也分别增加到了一百亿和两百亿个。 Odlyzko 的这些计算不仅所涉及的区域远远超出了包括 ZetaGrid 在内的所有其它零点计算的验证范围， 而且还包含了对零点数值的计算。 这些计算对于研究 Riemann 猜想的意义不仅在于它们提供了有关这一猜想的新的数值证据， 更重要的是它们为一类新的研究， 即研究 Riemann ζ 函数的非平凡零点在临界线上的统计关联提供了数据。 这也正是 Odlyzko 进行这类计算的目的。

Odlyzko 为什么会想到要为研究零点的统计关联提供数据呢？ 这还得从二十世纪七十年代初说起。 当时英国 Cambridge 大学 (剑桥大学) 有位来自美国的研究生叫做 Hugh Montgomery， 他所研究的课题是零点在临界线上的统计关联。

Montgomery 这个名字不知大家有没有觉得面熟？ 对了， 本系列每一篇文章所引的共同题记正是出自此人！

我们以前谈论零点分布的时候， 所关心的往往只是零点是否分布在临界线上。 Montgomery 的研究比这更进一步。 他想知道的是， 假如 Riemann 猜想成立， 即所有非平凡零点都分布在临界线上， 那它们在临界线上的具体分布会是什么样的？

在 Montgomery 进行研究的时候虽然已经有 Rosser 对前三百五十万个零点的计算结果 (参阅 第十三节)， 但如我们在上文中所说， 那些计算并不涉及零点的具体数值， 从而无法为他提供统计研究的依据。 因此 Montgomery 只能另辟蹊径， 从纯理论的角度来研究零点在临界线上的统计关联。

Montgomery 对零点分布的这一理论研究从某种意义上讲恰好与 Riemann 对素数分布的研究互逆。 Riemann 的研究是着眼于通过零点分布来表示素数分布 (参阅 第五节)， 而 Montgomery 的研究则是逆用 Riemann 的结果， 着眼于通过素数分布来反推零点分布。

不幸的是， 素数分布本身在很大程度上就是一个谜 (否则 Riemann 也就不会试图通过零点分布来研究素数分布了)。 除了素数定理外， 有关素数分布的很多命题都只是猜测。 而素数定理， 如我们在 第七节 中看到的， 与零点分布的相关性非常弱， 不足以反推出 Montgomery 感兴趣的信息。 于是 Montgomery 把目光投注到了比素数定理更强的一个命题， 那便是 Hardy 与 Littlewood 于 1923 年提出的关于孪生素数 (twin prime) 分布规律的猜测， 即迄今尚未被证明的著名的 强孪生素数猜想^[注三]。 Montgomery 以 Riemann 猜想的成立为前提， 以 Riemann 的公式及 Hardy 与 Littlewood 所猜测的孪生素数分布规律为依据， 研究提出了一个有关 Riemann ζ 函数的非平凡零点在临界线上的分布规律的重要命题：

上式中 t' 和 t'' 分别表示一对零点的虚部， α 和 β 是两个常数 (α < β)。 很明显， 上式表示的是零点的对关联 (pair correlation) 规律。 这一规律被称为 Montgomery 对关联假设 (Montgomery pair correlation conjecture)， 其中的密度函数 ρ(t) = 1 - [sin(πt)/πt]² 则被称为零点的对关联函数 (pair correlation function)。

【零点的对关联函数】

从上述分布规律中可以看到 lim_t→0 ρ(t) = 0， 这表明两个零点互相靠近的几率很小。 换句话说 Riemann ζ 函数的非平凡零点有一种互相排斥的趋势。 这一点很有些出乎 Montgomery 的意料。 Montgomery 曾经以为零点的分布是高度随机的， 如果那样的话， 对关联函数应该接近于 ρ(t) ≡ 1。 这一分布也不同于 Montgomery 当时见过的任何其它统计分布——比如 Poisson 分布或正态分布——中的对关联函数， 它与素数本身的分布也大相径庭。

这一分布究竟有何深意呢？ 对 Montgomery 来说还是一个谜。

大家也许还记得， 在 第五节 中我们曾经介绍过 Riemann 提出的三个命题， 其中第一个命题 (也是迄今唯一被证明的一个) 表明在区间 0<Im(ρ)<T 内 Riemann ζ 函数的非平凡零点的数目大约为 (T/2π)ln(T/2π) - (T/2π)。 由此不难推知 (请读者自行证明) Riemann ζ 函数相邻零点的间距 (即虚部之差) 平均而言大约为 Δt~2π/ln(t/2π)。 这一间距随 t 而变， 这使得 Montgomery 对关联假设的形式呈现出一点表观上的复杂性。 有鉴于此， Montgomery 之后的数学家 (比如 Odlyzko) 对零点的虚部做了一点处理， 引进了间距归一化的零点虚部：

n = (t/2π) ln(t/2π)

利用这一定义， 相邻零点的平均间距被归一化为了 Δn~1， 而 Montgomery 对关联假设则可以简化为 (请读者自行证明)：

Montgomery 对关联假设提出之后， 一个很自然的问题就是： 零点分布果真符合这一假设吗？ 这正是 Odlyzko 登场的地方。 由于 Montgomery 对关联假设涉及的是对关联在 T→∞ 情形下的渐进分布， 因此要想对这一假设进行高精度的统计检验， 最有效的办法是研究虚部很大的零点的分布， 这也正是 Odlyzko 将零点计算推进到 10²⁰ 及更高的区域， 并且计算其数值的原因。 那么这两人的研究结果的匹配程度如何呢？ 我们在右上方的图中给出了 Montgomery 零点对关联假设中的关联函数 (曲线) 及由 Odlyzko 利用 10²⁰ 附近七千万个零点对之进行统计检验的结果 (数据点)。

两者的吻合几乎达到了完美的境界。

1972 年春天， 刚刚完成上述零点统计关联研究的 Montgomery 带着他的研究成果飞往美国圣路易斯 (St. Louis) 参加一个解析数论会议。 在正式行程之外， 他顺道在 Princeton 高等研究院 (Institute for Advanced Study) 做了短暂的停留。 没想到这一停留却在数学与物理之间造就了一次奇异的交汇， 我们 Riemann 猜想之旅也因此多了一道神奇瑰丽的景致。

注释

1. 举个例子来说， 虽然早在 1982 年 te Riele 就 “计算了” 前三亿个零点， 但直到 1985 年 Odlyzko 与 te Riele 才合伙对区区两千个零点做了真正的数值计算 (精度达小数点后一百位)， 并以此为基础一举否证了 Mertens 猜想 (参阅 第六节 的 注释)
2. 可惜的是， 看似如日中天的 ZetaGrid 在那之后不久就迎来自己的结局， 而且是一个不太走运的结局。 关于这个结局请参阅附录二： 超越 ZetaGrid。
3. 所谓孪生素数， 是指形如 p 和 p+2 的素数对 (即间隔为 2 的素数对)。 所谓强孪生素数猜想， 是指 Hardy 和 Littlewood 所提出的孪生素数分布密度的渐进形式 (参阅拙作 孪生素数猜想)。

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- H. Montgomery

十三. 从纸笔到机器

Riemann-Siegel 公式的发表大大促进了人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算。 如我们在第 十一、十二 两节的介绍及实际运用中看到的， Riemann-Siegel 公式中的求和的项数是由 n²<(t/2π) 这一条件确定的， 这表明用 Riemann-Siegel 公式计算一个位于 s=1/2+it 附近的零点所需的计算量为 O(t^1/2)。 而在这之前人们所用的 Euler-Maclaurin 公式计算同一零点所需的计算量约为 O(t)， 两者在计算量上的差别——也就是 Riemann-Siegel 公式相对于 Euler-Maclaurin 公式的优越幅度——随着 t 的增大而变得越来越明显。 因此 Riemann-Siegel 公式对于 Riemann ζ 函数非平凡零点的大规模计算来说， 要比 Euler-Maclaurin 公式有效得多。

Riemann-Siegel 公式发表之后大约过了四年， Hardy 的学生、 英国数学家 Edward Titchmarsh (1899-1963) 就成功地计算出了 Riemann ζ 函数的前 1,041 个零点——如所预料的， 它们全都位于临界线上。 这是十一年来数学家们首次突破我们在 第八节 提到过的 138 个零点的记录。 Titchmarsh 的工作在 Riemann ζ 函数非平凡零点计算史上的地位是双重的： 从计算方法上讲， 它是数学家们首次运用 Riemann-Siegel 公式取代 Euler-Maclaurin 公式进行的大规模零点计算； 从计算手段上讲， Titchmarsh 的计算使用了英国海军部用来计算天体运动与潮汐的一台打孔式计算机 (punched-card machine)， 这是数学家们在零点计算上首次使用机器计算取代传统的纸笔计算。 这两个转折是数学与技术相辅相成的结果， 它奠定了直到今天为止人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行计算的基本模式。

Titchmarsh 之后零点的计算因第二次世界大战的爆发而中断了十几年。 战后最先将计算推进下去的是著名的英国数学家 Alan Turing (1912-1954)。 Turing 其实早在战前就对 Riemann 猜想产生了兴趣。 与当时的许多其他年轻数学家一样， Turing 对 Hilbert 演讲中提到的数学问题很感兴趣， 这其中又尤其以 第十问题 与包含了 Riemann 猜想的第八问题最让他着迷^[注一]。 他后来的主要研究大都是以这两个问题为主轴展开的。 1936 年 Turing 到 Princeton 大学读研究生， 在那里见到了来访的 Hardy (他原本希望能在那里见到 Gödel， 可惜后者当时已去了欧洲)。 那时 Hardy 对 Riemann 猜想的态度已经相当悲观。 这种悲观情绪对 Turing 产生了影响， 他觉得这么多年来所有证明 Riemann 猜想的努力都归于失败也许不是偶然的， 而意味着应该换个角度思考问题了。 人们一直无法证明 Riemann 猜想， 也许并非因为它太难， 而是因为它根本就不成立！

一个数学命题， 它的成立固然需要证明， 它的不成立同样也需要证明。 那么， 假如 Riemann 猜想真的不成立， 我们怎样才能证明这一点呢？ 我们当然可以试图从数学上直接证明其不成立 (或证明其否命题成立)， 这是一种方法。 但还有一种办法， 那就是找到一个反例——即找到一个不在临界线上的零点。 这种方法的好处就是不在乎数量多少， 只要一个反例就足够了， 正所谓 “一粒老鼠屎就能坏掉一锅粥”。 被后世誉为 “计算机与人工智能之父” 的 Turing 显然对后一种方法情有独钟。 当时 Turing 已经提出了后来以他名字命名的 Turing 机的概念。 很自然的， 他希望建造一台机器来计算零点。 但是这一工作起步不久， 英国就卷入了二战， Turing 开始参与英国情报部门破译德军密码的工作， 建造机器的计划被搁置了下来。 直到战争结束后， Turing 才渐渐恢复了建造机器及计算零点的计划。 Turing 虽然是以其对计算机及人工智能领域的卓越贡献著称的， 但他在传统数学领域内也有相当深厚的功力， 早在读本科的时候， 就曾独立证明了概率论中著名的中心极限定理 (central limit theorem)， 只可惜比芬兰数学家 Jarl Waldemar Lindeberg (1876-1932) 晚了十余年。 在建造机器的同时， Turing 对计算零点的数学方法也进行了研究， 并做了一些改进。

经过几年的努力， 到了二十世纪五十年代初， Turing 终于完成了自己的机器， 并且比在二战前创造过记录的 Titchmarsh 略进一步， 于 1953 年计算出了前 1,104 个零点。 不过他试图寻找 Riemann 猜想反例的努力并不成功， 因为他所计算出的所有零点全都位于临界线上， Riemann 猜想在他计算所及的范围内岿然不动。 在那之后， Turing 的机器坏掉了。 几乎与此同时， 他的个人生活也遭遇了极大的挫折。 他于 1952 年被控犯有当时属于违法的同性恋行为， 受到强制药物治疗及缓刑的处罚。 两年后他被发现因氰化物中毒死于寓所。 多数人相信他是自杀^[注二]。

在 Turing 之后， 随着计算机技术的加速发展， 数学家们对零点的计算也推进得越来越快， 几乎呈现出你追我赶之势： 1956 年， D. H. Lehmer 计算出了前 25,000 个零点； 两年后 N. A. Meller 把这一记录推进到了前 35,337 个零点； 1966 年， R. S. Lehman 再次刷新记录， 他计算了前 250,000 (二十五万) 个零点； 三年后这一记录又被 J. B. Rosser 改写为了前 3,500,000 (三百五十万) 个零点。

Riemann ζ 函数的零点计算步入了快车道！

十四. 最昂贵的葡萄酒

验证了三百五十万个零点虽不足以证明什么， 但对 Riemann 猜想还是有着一定的心理支持作用。 不过许多数学家对这点心理支持作用很不以为然， 其中有一位数学家最为突出， 不仅不以为然， 而且还跟同事打赌！

这位数学家是德国 Max Planck 数学研究所 (Max Planck Institute for Mathematics) 的 Don Zagier (1951-)。 对 Zagier 来说， 区区三百五十万个零点对 Riemann 猜想来说简直就是 “零证据” (zero evidence)， 因为他认为 Riemann 猜想的反例根本就不可能出现在这么靠前的零点之中， 因此当时已完成的所有有关 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算在他看来其实都还远没有涉及到真正有价值的区域。

那么究竟要计算多少个零点对 Riemann 猜想才可能会具有判定性的价值呢？ Zagier 通过对一些由 Riemann ζ 函数衍生出来的辅助函数的研究， 而做出了自己的估计， 他认为大约要计算 300,000,000 (三亿) 个零点。

Zagier 的怀疑论调很快遇到了对手。 二十世纪七十年代初， Max Planck 数学研究所的访客名单中出现了一位铁杆的 Riemann 猜想支持者： 意大利数学家 Enrico Bombieri (1940-)。 这是一位非同小可的人物， 在数论、 分析及代数几何领域都有不凡的造诣， 并将在不久之后的 1974 年获得数学界的最高奖——菲尔兹 (Fields) 奖。 Bombieri 深受英国哲学家 William of Occam (1288-1348) 的科学简单性原则——俗称 Occam 剃刀 (Occam's Razor)——的影响， 对他来说， 一个不在临界线上的零点就像交响乐中的一个失控的音符， 是完全无法令人接受的， 因此 Riemann 猜想一定得成立。

一个疑心重重、 一个深信不疑， 怎么办呢？ Zagier 提议打赌。 不过人生苦短， 两人都意识到自己未必能有机会在有生之年见到 Riemann 猜想被证明或证伪。 为了不使赌局太过遥遥无期， 双方决定以 Zagier 认为具有判定性价值的前三亿个零点为限。 如果 Riemann 猜想在前三亿个零点中出现反例， 就算 Zagier 获胜； 反之， 如果 Riemann 猜想被证明， 或者虽然没被证明， 但在前三亿个零点中没有出现反例， 则算 Bombieri 获胜^[注三]。 他们定下的赌注为两瓶波尔多葡萄酒 (Bordeaux)。

赌局已定， 接下来就是等待结果了。 要等多久呢？ Zagier 也做出了自己的估计， 他认为这个赌局要分出胜负也许得等上三十年的时间， 理由是当时计算机的运算能力距离能够计算三亿个零点还相差很远， 而且计算 Riemann ζ 函数的零点没什么应用价值， 在 CPU 时间十分昂贵的时代并不是人们热衷的计算课题。 可是没想到仅仅过了几年， 1979 年， 由澳大利亚数学家 Richard Brent (1946-) 领导的一个研究组就把零点计算推进到了前 81,000,000 (八千一百万) 个零点。 不久之后， 荷兰国家数学及计算机科学研究所 (National Research Institute for Mathematics and Computer Science) 的数学家 Herman te Riele (1947-) 领导的一个研究组更是成功地计算出了前两亿个零点。

所有这些被计算出的零点都毫无例外地落在了 Riemann 猜想所预言的临界线上。 这一系列神速的进展大大出乎了 Zagier 的意料， 对他的钱包更毫无疑问地是一串大大的凶兆。 到这时 Zagier 已经知道自己太低估计算机领域的发展速度了。 不过 te Riele 在两亿个零点处终止计算还是让他松了一口气， 他庆幸地表示： “毫无疑问他们有能力推进到三亿， 但感谢上帝， 他们没那么做。 现在我总算有几年的时间可以喘息了。 他们是不会为了多算 50% 而推进的。 人们会等待能够算到十亿个零点的那一天， 那将是许多年后的事了。”

Zagier 的如意算盘不能说毫无道理。 毕竟， 计算零点不像百米赛跑， 在百米赛跑中由于比赛记录已经逼近了人类所能达到的速度极限， 因此大家会不惜为百分之一秒的细微差异争个你死我活。 计算零点却是一条没有尽头的征程， 计算能力的发展在相当长的时间内也是没有尽头的。 在这种没有尽头的征程上， 仅仅多算百分之几十的零点是不够刺激的， 人们更感兴趣的是数量级上的推进。 这也正是 Zagier 认为自己可以喘息几年的心理屏障。 可惜人算不如天算。 Zagier 万万没有想到的是， 他的一位好朋友——荷兰数学家 Hendrik Lenstra (1949-) 当时正好与 te Riele 同在一个城市——阿姆斯特丹！ Lenstra 是知道 Zagier 和 Bombieri 的赌局的。 如今眼看好戏就要开演了， 正自心痒难搔， te Riele 竟然不合时宜地在两亿个零点处停了下来， Lenstra 心里那份难受就甭提了 (大家以后可得留神好朋友啊！)， 于是他给 te Riele 做了耐心的思想工作： 你知不知道， 如果你算到三亿， Zagier 就会输掉一个赌局！ te Riele 一听原来计算零点还有这么伟大的意义， 那还等什么？ 把 Zagier 干掉啊！ 于是大家一鼓作气把计算推进到了 307,000,000 (三亿零七百万) 个零点处。 那是在 1982 年。

Zagier 输了。

Zagier 兑现了诺言， 买来两瓶波尔多葡萄酒， Bombieri 当场打开其中一瓶与 Zagier 共享。 这一瓶酒， 用 Zagier 的话说， 是世界上被喝掉的最昂贵的葡萄酒。 因为正是为了这两瓶葡萄酒， te Riele 特意多计算了一亿个零点。 这花费了整整一千个小时的 CPU 时间， 而 te Riele 所用的计算机的 CPU 时间在当时大约是七百美元一小时。 换句话说， 这两瓶葡萄酒是用七十万美元的计算经费换来的， 从这个意义上讲， 被他们喝掉的那一瓶葡萄酒的价值高达三十五万美元！

喝完了那瓶葡萄酒， Zagier 从此对 Riemann 猜想深信不疑。 只不过， Bombieri 相信 Riemann 猜想是因为它的美丽， 是因为 Occam 剃刀；而 Zagier 相信 Riemann 猜想则是因为证据， 是因为他觉得证据已经足够强了。

注释

1. Hilbert 第十问题 是： 给定一个任意的 Diophantine 方程， 设计一种普遍的算法， 能用有限多次运算确定该方程是否有整数解。 Turing 对计算机及人工智能的研究与这一问题有着密切的关系。
2. 从某种角度看， Turing 与传记作品及影片《美丽心灵》(A Beautiful Mind) 的主角、 美国数学家 John Nash (1928-) 颇有相似之处： 两人都对纯数学有着浓厚兴趣， 研究成果却对应用领域影响深远； 两人都对物理学有过一些兴趣； 两人都有为军方服务的经历； 两人后来的精神世界都偏离了常轨……
3. 严格讲， 他们的赌约还忽略了一种可能性， 那就是 Riemann 猜想在数学上被证伪， 但反例并不出现在前三亿个零点之中 (或虽然出现在前三亿个零点之中， 但尚未有人做过计算)。 显然， 这个忽略对 Zagier 比较不利， 不过它对赌局后来的发展没有产生影响。

二零零四年六月十九日写于纽约
二零零四年六月十九日发表于本站
二零一二年二月二日最新修订

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Riemann 猜想漫谈连载

（本文授权转载自卢昌海老师的个人博客，欲再转载者请联系原作者）

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

十二. 休闲课题：围捕零点

时下流行一种休闲方式叫做 DIY (Do It Yourself)， 讲究自己动手做一些原本只有工匠才做的东西， 比方说自己动手做件陶器什么的。 在像我这样懒散的人看来这简直比工作还累， 可如今许多人偏偏就兴这个， 或许是领悟了负负得正 (累累得闲？) 的道理吧。 既是大势如此， 我们也乐得共襄盛举， 安排 “休闲” 一下， 让大家亲自动手用 Riemann-Siegel 公式来计算一个 Riemann ζ 函数的非平凡零点。

DIY 一般有个特点， 那就是课题本身看起来虽颇见难度， 实际做起来却通常是捡其中相对简单的来做 (以免打击休闲的积极性)。 我们计算零点也是如此， 挑其中相对简单——即容易计算——的非平凡零点来计算。 那么什么样的非平凡零点比较容易计算呢？ 显然是那些听 Riemann 的话， 乖乖躺在临界线上的——因为不在临界线上的非平凡零点即便有也绝不可能容易计算， 否则 Riemann 猜想早被推翻了。

如我们在 上节 中所见， Riemann-Siegel 公式包含了许多计算量很大的东西， 其中最令人头疼的是求和， 因为它使计算量成倍地增加。 不过幸运的是那个求和是对 n²<(t/2π) 的自然数 n 进行的， 因此如果 t<8π≈25， 求和就只有 n=1 一项。 这显然是比较简单的， 因此我们狡猾的目光就盯在了这一区间上。 在这一区间上， Riemann-Siegel 公式简化成为：

Z(t) = 2cos[θ(t)] + R(t)

这就是我们此次围捕零点的工具。

在正式围捕之前， 我们先做一点火力侦察——粗略地估计一下猎物的位置。 我们要找的是使 Z(t) 为零的点， 直接寻找显然是极其困难的， 但我们注意到 2cos[θ(t)] (通常被称为主项) 在 θ(t)=(m+1/2)π 时为零 (m 为整数)， 这是一个不错的出发点。 由 上节 中 θ(t) 的表达式不难证明， 在所有这些使 2cos[θ(t)] 为零的 θ(t) 中， θ=-π/2 (即 m=-1) 是使 t 在 t<25 中取值最小的 (当然， 别忘了 t 是正实数)， 它所对应的 t 为 t≈14.5。 这是我们关于零点的第一个估计值。 纯以数值而论， 它还算不错， 相对误差约为百分之三。

接下来我们对这个估计值进行一次修正。 修正的理由是显而易见的， 因为 t≈14.5 时 R(t) 明显不为零。 为了计算 R(t)， 我们注意到 t≈14.5 时 (t/2π)^1/2≈1.5， 因此 R(t) 中的参数 N——即 (t/2π)^1/2 的整数部分——为 1， p——即 (t/2π)^1/2 的分数部分——约为 0.5。 由此可以求出 R(t) 中的第一项——即 C₀(t/2π)^-1/4——约为 0.3。

为了抵消这额外的 0.3， 我们需要对 t 进行修正， 使 2cos[θ(t)] 减少 0.3。 我们采用最简单的线性近似 Δt≈Δ{2cos[θ(t)]}/{2cos[θ(t)]}' 来计算这一修正值。 为此注意到 2cos[θ(t)] 在 t≈14.5 处的导数 {2cos[θ(t)]}' 为 -2θ'(t)sin[θ(t)] ≈ -2(1/2)ln(14.5/2π)sin(-π/2) ≈ 0.83。 由此可知 t 需要修正为 t+Δt ≈ 14.5-0.3/0.83 ≈ 14.14。 这个数值与零点的实际值之间的相对误差仅为万分之四。 但是需要提醒读者的是， 这种估计——无论从数值上讲多么高明——都不足以证明零点的存在， 而至多只能作为围捕零点前的火力侦察。

那么究竟怎样才能证明零点的存在呢？ 我们在 上节 中已经叙述了基本思路， 那就是通过计算 Z(t) 的符号， 如果 Z(t) 在临界线上某两点的符号相反， 就说明 Riemann ζ 函数在这两点之间存在零点。 我们上面所做的估计就是为这一计算做准备的。 现在我们就来进行这样的计算。 由于我们已经估计出在 t=14.14 附近可能存在零点， 因此我们就在 14.1≤t≤14.2 的区间上撒下一张小网。 如果我们的计算表明 Z(t) 在这一区间的两端， 即 t=14.1 与 t=14.2， 具有不同的符号， 那就证明了 Riemann ζ 函数在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在零点^[注一]。

下面我们就来进行计算：

对于 t=14.1， (t/2π)^1/2≈1.498027， θ(t)≈-1.742722。 因而主项 2cos[θ(t)]≈-0.342160， 剩余项 R(t) 中 p≈0.498027， 从而其中第一项 (即 C₀ 项) 为 C₀(t/2π)^-1/4≈0.312671。 由这两部分 (即主项及剩余项中的第一项) 可得:

Z(14.1) ≈ -0.342160 + 0.312671 = -0.029489

类似地， 对于 t=14.2， (t/2π)^1/2≈1.503330， θ(t)≈-1.702141。 因而主项 2cos[θ(t)]≈-0.261934， 剩余项 R(t) 中 p≈0.503330， 从而其中第一项 (即 C₀ 项) 为 C₀(t/2π)^-1/4≈0.312129。 由这两部分 (即主项及剩余项中的第一项) 可得:

Z(14.2) ≈ -0.261934 + 0.312129 = 0.050195

显然， 如我们所期望的， Z(14.1) 与 Z(14.2) 的符号相反， 这表明在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在 Riemann ζ 函数的非平凡零点。 当然， 我们还没有考虑 C₁ ~ C₄ 项。 这些项中带有 C₀ 的各阶导数， 计算起来工作量非同小可， 有违休闲的目的， 因此就只好偷点懒了。 熟悉计算软件的读者可以动用 Maple、 Matlab 或 Mathematica 之类的计算软件来算一下。 对于其他读者来说， 我们就把算得的结果直接列在下表中了 (其中包括我们手工算得的结果)：

从表格所列的结果中可以看到， 剩余项中的高阶项的贡献虽然有所起伏， 但与第一项相比在总体上是很小的。 对我们来说， 这当然是很令人欣慰的结果， 因为它表明我们手工所能计算的部分给出的贡献是主要的。 这还是 t 较小的情况， 随着 t 的增加， 由于高阶项中所含 t 的负幂次较高， 其贡献会变得越来越小^[注二]。 不过要严格表述这种趋势并予以证明， 却绝非轻而易举。 事实上 Riemann-Siegel 公式作为 Z(t) 的渐进展开式， 其敛散性质与误差估计都是相当复杂的。

现在我们知道了 Riemann ζ 函数在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在零点。 如果我们再仔细点， 注意到 Z(14.1) 与 Z(14.2) 距离 Z(t)=0 的远近之比为 0.027446:0.052042， 用线性内插法可以推测零点的位置为：

t ≈ 14.1 + (14.2 - 14.1) × 0.027446 / (0.027446 + 0.052042) ≈ 14.1345。

这与现代数值 t=14.1347 的相对偏差只有不到十万分之二！ 即使只估计到 C₀ 项 (这是我们自己动手所及的范围)， 其误差也只有不到万分之二 (请读者自行完成内插法计算并验证误差)。

好了， 猎物在手， 我们的简短休闲也该见好就收了。 大家是否体验到了一些成就感呢？ 要知道， Riemann ζ 函数的零点可是在 Riemann 的论文发表之后隔了四十四年才有人公布计算结果的哦。 当然， 我们用了 Riemann-Siegel 公式， 但这没什么， 一个好汉三个帮嘛！ 再说了， DIY 哪有真的百分之百从头做起， 连工具设备都包括在内的？ 想象一下， 如果你 DIY 出来的陶器能够把缺陷控制在万分之二以内， 那是何等的风光？ 当然， 倘若你可以退回一百多年， 把这个结果抢在 Gram 之前公布一下， 那就更风光了。

在本节的最后， 还有一件可能让大家有成就感的事情要提一下。 那就是我们所用的估计零点的方法——即从使 2cos[θ(t)] 为零的点出发， 然后依据 R(t) 的数值对其进行修正^[注三]， 最后再用 Z(t) 的符号变化来确定零点的存在——暗示着 Riemann ζ 函数在临界线上的零点数目大致与 cos[θ(t)] 的零点数目相当。 而后者大约有 (请大家 DIY) θ(t)/π ~ (t/2π) ln(t/2π) - (t/2π) 个。 不知大家是否还记得， 这正是我们在 第五节 中介绍过的 Riemann 那三个命题中迄今无人能够证明的第二个命题！ 当然， 我们这个也不是证明 (真可惜， 否则的话， 嘿嘿……)， 但这应该使大家对我们的休闲手段之高明有所认识吧？

注释

1. 要注意的是， Z(t) 在一个区间的两端具有不同符号只是 Riemann ζ 函数在该区间内存在零点的充分条件， 而非必要条件。 换句话说， 假如我们不幸发现 Z(t) 在我们所取的两点上具有相同的符号， 我们并不能由此直接得出结论说 Riemann ζ 函数在这两点之间不存在零点。 至于这是为什么， 请大家 DIY。
2. 但另一方面， 随着 t 的增加， Riemann-Siegel 公式中的求和所包含的项数会逐渐增加， 因此计算的总体复杂程度并不呈现下降趋势。
3. 对于求和中有不止一项的情形， 修正所依据的将不仅仅是 R(t)， 但思路是类似的。

二零零四年五月二十三日写于纽约
二零零四年五月二十三日发表于本站
二零一二年一月三十一日最新修订

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Riemann 猜想漫谈连载

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