If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

四. Riemann 的论文——基本思路

终于到了 Riemann 的论文登场的时候！ 如果让数学家们来评选几篇数学史上意义深远而又最为难啃的论文的话， 那么我想 Riemann 1859 年的那篇 “论小于给定数值的素数个数” 就算不名列榜首， 起码也要挤身三甲^[注一]。 现在就让我们一起来领略一下那篇数学史上出名难啃的论文的主要内容。 我们的叙述将采用较为现代的术语及表述方式， 所用的记号将与前文保持一致——因此与 Riemann 的原始论文不尽相同 (但主要思路是一致的)， 这一点要提醒有兴趣阅读 Riemann 原文的读者注意。

如我们在 上节 中所述， Euler 乘积公式：

ζ(s) ≡ Σ_n n^-s = Π_p(1-p^-s)^-1

是研究素数分布规律的基础。 Riemann 的研究也是以这一公式作为起点的。 为了消除这一公式右边的连乘积， Euler 曾经对公式的两边取对数， Riemann 也如法泡制 (看来连乘积真是一个人人欲除之而后快的东西)， 从而得到：

lnζ(s) = -Σ_p ln(1 - p^-s) = Σ_pΣ_n [(1/n) p^-ns]

但过了这一步， 两人就分道扬镳了： Euler——如我们上节 中所见——在小试身手， 证明了素数有无穷多个后就鸣金收兵了； 而 Riemann 则沿着一条布满荆棘的道路继续走了下去， 走出了素数研究的一片崭新的天地。

可以证明， 上面给出的 lnζ(s) 的表达式右边的双重求和在复平面上 Re(s)>1 的区域内是绝对收敛的， 并且可以改写成 Stieltjes 积分 (有兴趣的读者可自行证明)：

其中 J(x) 是一个特殊的阶梯函数， 它在 x=0 处取值为零， 以后每越过一个素数就增加 1， 每越过一个素数的平方就增加 1/2， ... ， 每越过一个素数的 n 次方就增加 1/n，...。 而在 J(x) 不连续的点 (即 x 等于素数、 素数的平方、... 、素数的 n 次方 ... 的点) 上， 其函数值则用 J(x)=(1/2)[J(x^-)+J(x⁺)] 来定义。 显然， 这样的一个阶梯函数可以用素数分布函数 π(x) 表示为：

J(x) = Σ_n [(1/n)π(x^1/n)]

对上述 Stieltjes 积分进行一次分部积分便可得到：

这个公式的左边是 Riemann ζ 函数的自然对数， 右边则是对 J(x)——一个与素数分布函数 π(x) 有直接关系的函数——的积分， 它可以被视为 Euler 乘积公式的积分形式。 我们得到这一结果的方法与 Riemann 有所不同， Riemann 发表论文时还没有 Stieltjes 积分——那时候荷兰数学家 Thomas Stieltjes (1856-1894) 才三岁。

如果说传统形式下的 Euler 乘积公式只是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的朦胧征兆， 那么在上述积分形式的 Euler 乘积公式下， 这两者间的关联就已是确凿无疑并且完全定量的了。 接下来首先要做的显然是从上述积分中解出 J(x) 来， 这在当时的数学背景下并不容易， 但却难不倒象 Riemann 这样的复变函数论大师。 他解出的 J(x) 是 (学过复变函数论的读者不妨试着证明一下)：

其中 a 为大于 1 的实数。 上面这个积分是一个条件收敛的积分， 它的确切定义是从 a-ib 积分到 a+ib (b 为正实数)， 然后取 b→∞ 的极限。 当 Riemann 写下这个公式时， 只是轻描淡写地提了一句： 这是完全普遍的。 听上去象是在叙述一个尽人皆知的简单事实。 而事实上， 与 Riemann 所说的普遍性相匹配的完整结果直到四十年后才由芬兰数学家 Robert Mellin (1854-1933) 所发表， 现在被称为 Mellin 变换 (Mellin Transform)。 象这样一种被 Riemann 随手写下、 却让数学界花费几十甚至上百年的时间才能证明的命题在 Riemann 那篇论文中还有好几处。 这是 Riemann 那篇论文的一个极为突出的特点： 它有一种高屋建瓴的宏伟视野， 远远超越了同时代的其它数学文献。 它那高度浓缩的文句背后包含着的极为丰富的数学结果， 让后世的数学家们陷入漫长的深思之中。 直到今天， 我们的数学在整体上虽已远非 Riemann 时代可比， 但数学家们仍未能完全理解 Riemann 在那篇短短八页的简短论文中省略掉的证明及显露出的智慧。 J(x) 的表达式是我们碰到的 Riemann 那篇论文中的结果超前于时代的第一个例子^[注二]， 在 下一节 中我们将遇到其它例子。

在一代代的后世数学家们为那些被 Riemann 省略掉的证明而失眠的时候， 他们中的一些也许会联想到 Pierre de Fermat (1601-1665)。 这位法国数学家在古希腊数学家 Diophantus (200?-284?) 的《算术》(Arithmetica) 一书的页边上写下著名的 Fermat 猜想 (Fermat's conjecture) 的时候， 随手加了一句话： “我发现了一个真正出色的证明， 可惜页边太窄写不下来”^[注三]。 令人尴尬的是， Fermat 猜想自 1670 年被他儿子公诸于世 (那时他本人已经去世) 以来， 竟然难倒了整个数学界长达三百二十四年之久， 直到 1994 年才被英国数学家 Andrew Wiles 所证明。 但 Wiles 的证明篇幅浩繁， 莫说在《算术》一书的页边上写不下来， 即便把整套《大英百科全书》(Encyclopædia Britannica) 的页边加起来， 也未必写得下来。 现在人们普遍认为， Fermat 并没有找到 Fermat 猜想的证明， 他自以为找到的那个 “真正出色的证明” 只是三百多年间无数个错误证明中的一个。 那么 Riemann 的情形会不会也象 Fermat 一样呢？ 他那些省略掉的证明会不会也象 Fermat 的那个 “真正出色的证明” 一样呢？ 从目前人们对 Riemann 的研究来看， 答案基本上是否定的。 Riemann 作为堪与 Gauss 齐名的有史以来最伟大的数学家之一， 他的水平远非以律师为主业的 “票友” 型数学家 Fermat 可比。 而且人们在对 Riemann 的部分手稿进行研究时发现， Riemann 对自己论文中的许多语焉不详的命题是做过扎实的演算和证明的， 只不过他和 Gauss 一样追求完美， 发表的东西远远少于自己研究过的。 更令人钦佩的是， Riemann 手稿中一些演算和证明哪怕是时隔了几十年之后才被整理出来， 却往往还是大大超越当时数学界的水平 (其中一个典型的例子可参阅 第十节)。 因此我们有较强的理由相信， Riemann 在论文中以陈述而不是猜测的语气所表述的内容——无论有没有给出证明——都是有着深入的演算和证明背景的。

好了， 现在回到 J(x) 的表达式来， 这个表达式给出了 J(x) 与 Riemann ζ 函数之间的确切关联。 换句话说， 只要知道了 ζ(s)， 通过这个表达式原则上就可以计算出 J(x)。 知道了 J(x)， 下一步显然就是计算 π(x)。 这并不困难， 因为上面提到的 J(x) 与 π(x) 之间的关系式可以通过所谓的 Möbius 反演 (Möbius Inversion) 来反解出 π(x) 与 J(x) 的关系式， 其结果为：

π(x) = Σ_n [μ(n)/n] J(x^1/n)

这里的 μ(n) 被称为 Möbius 函数， 它的取值如下：

• μ(1) = 1
• μ(n) = 0 (如果 n 可以被任一素数的平方整除)
• μ(n) = -1 (如果 n 是奇数个不同素数的乘积)
• μ(n) = 1 (如果 n 是偶数个不同素数的乘积)

因此知道了 J(x) 就可以计算出 π(x)， 即素数的分布函数。 把这些步骤连接在一起， 我们看到， 从 ζ(x) 到 J(x)， 再从 J(x) 到 π(x)， 素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了 Riemann ζ 函数之中。 这就是 Riemann 研究素数分布的基本思路。 在 下一节 中， 我们将进一步深入 Riemann 的论文， 让那些千呼万唤犹未露面的 Riemann ζ 函数的非平凡零点显露在我们的镁光灯下。

注释

1. 当然， 所谓 “难啃” 是一个相对的概念， 是相对于论文发表时数学界的水平而言的。
2. 需要提醒读者注意的是， 为了先把 Riemann 论文的思路表述清楚， 我们对叙述的顺序作了调整， 这里所说的 “第一个例子” 是相对于我们调整后的叙述而言的。 在 Riemann 的原始论文中其它的一些例子出现得更早。
3. Fermat 猜想 (现在被称为 Fermat 大定理) 的内容是： 方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 在 n>2 时没有非零整数解 (这里 “非零” 指的是 x、 y、 z 全部非零)。

二零零三年十二月六日写于纽约
二零零三年十二月六日发表于本站
二零一二年一月二十日最新修订

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Riemann 猜想漫谈连载

（本文授权转载自卢昌海老师的个人博客，欲再转载者请联系原作者）

用浏览器输入“万恶”两字，第一条提示是“万恶不赦”，第二条就是“万恶的高等数学”。最近一个焦点新闻就是姚明的高数挂了，有篇报道的标题很搞笑“姚明怕什么？万恶的高等数学！”其实不止姚明这种管理专业的学生怕数学，理工科的学生也一样，我亲耳听到有学生对着教室走廊上的数学家画像抱怨“老子的幸福全毁在你们手里了！”

科学家和工程师必须学数学，这点恐怕没有异议，但文人还要不要学数学？某位知名文人的意见是学到初一就可以了，潜台词就是学到一元一次方程就成，更高深的在生活中也用不上，这种说法听起来很有道理，不搞理工专业的会算算收支账就行，更多的数学实在没有必要。

去年底，华中科技大学新闻学院的大一新生用5页纸表述了自己对文科生是否应该修习数学的思考“人文社会科学专业注重的应该是学生抽象思维的培养，一味强调全面发展有时反而会起到负面作用。”这个学生的说法引起很大反响，有文史专家直言文科生不需要学数学，他用一则寓言打比方“一个人千辛万苦学会了屠龙的本领，但其实龙在日常生活中是不存在的，这门手艺白学了。”但是，校方的是结论是：“数学课程中逻辑思维的训练对文科学生还是非常有必要的。”看来新闻学院的学生还是没有成功摆脱数学的蹂躏。

从字面来看，文史专家的理由很直白有力，而校方的说法却只有结论没有论证，说服力并不强。新闻学院的学生很多是要去做记者的，除了要有良知和写作能力，还需要对社会事件背后真相有基本的判断能力，这些人要不要学点数学呢？不妨用三个案例来进行下分析。

案例一，有个婴儿吃了某款奶粉后突发急病死亡，家人气急攻心要状告奶粉厂，而奶粉厂却高调坚称奶粉没有问题，作为有良知不畏强权的记者，您是否有股对这个黑心奶粉厂口诛笔伐并将之搞垮的冲动呢？且慢，不妨先做道算术题：假设该奶粉对婴儿有万分之1的致死率，同时有100万婴儿使用这款奶粉，那就应该有约100名孩子中招，但事实上称使用该奶粉后死亡的说法却远远没有100个。

再假设只有这个婴儿真的是被该奶粉毒死的，那该奶粉的致死率就会低至100万分之1。请您再估计一个数据，一个婴儿因奶粉之外的疾病、护理不当等所有原因而夭折的可能性有多少？鉴于现在的医学进步，不妨给出个超低的万分之1数据吧，基于以上的算术分析，答案已经揭晓了，即此婴儿死于奶粉原因的可能性，是死于非奶粉可能性的1/100，若您不做深入的调查研究，仅靠吃完奶粉后死亡这个时间先后关系，来推理出孩子是被奶粉毒死的这个因果关系，从而将矛头指向了奶粉厂，那您就有约99%的可能性犯了错。

案例二，假设有种病得了就马上会死，但好在平均10万人里只有1个倒霉蛋，再假设医院有方法对此病进行筛查，任何手段当然都不是100%可靠的，平均100个没得病的就会有1个被误诊为有病。

问题来了，在一次对10万人进行该病的筛查过程中，您消息灵通居然打听出来有个大人物被查出阳性了，您这样想：“误诊率不过1%，看来他有99%的可能性要马上挂掉了，这消息太猛了，我出名就靠首发这条大新闻了！”且慢，误诊分假阳性和假阴性，您搞错算法了。这样想，这10万人中约有99999名是没得这个病的，医院会从这10万人里查出约1000个阳性来，但其中约有999个是没病的，真正有病的那个人恰好是你所关注的那个大人物的可能性，不过只有约1/1000的可能性。这是基础概率极端不平衡时产生的反直觉现象，您以为会以99%的可能性出了名，而实际上会以99.9%的可能性出了糗。

案例三，您遇到了一个地震预报研究民科，他给您列举了大量的地震前确有蛤蟆迁移的事实，您被这些数据震惊了，对他的“蛤蟆迁移预报地震学说”受到的打压感到气愤，决定要为他张目，揭开科普界打压民族创新理论的黑盖子。且慢，不妨再做道数学题。

设蛤蟆迁移的概率为P（蛙），发生地震的概率为P（震），已经发生地震了，事后发现震前确有蛤蟆迁移现象是一个条件概率P（蛙|震），蛤蟆迁移后会发生地震的条件概率是P（震|蛙）。可以发现，我们要根据蛤蟆迁移来预测地震的话，关注的是条件概率P（震|蛙），而不是P（蛙|震）。

P（震|蛙）与P（蛙|震）两者可以通过条件概率公式来画上等号，即：P（震|蛙）*P（蛙）=P（蛙|震）*P（震），根据常识我们知道，像唐山和汶川那样的大地震的概率是非常低的，但在神洲大地上蛤蟆迁移的概率却非常高，即P（震）极低，而P（蛙）极高，这两者的差距是非常巨大的。因此，即使P（蛙|震）的概率并不算很低，根据上面的等式，P（震|蛙）也会非常非常低，即蛤蟆迁移后会发生地震的概率也会非常非常低。

不妨做一个合理的假设，五十年内国内发生大地震的次数为5，全国各地在五十年内发生蛤蟆迁移的次数为5万，因为有很多蛤蟆迁移的事件并没有报道，这个估值并不过分。我们再做个照顾民科的假设，即震后一定会发现之前有蛤蟆迁移现象，即P（蛙|震）=1，那P（震|蛙）=P（震）/P（蛙）=5/50000=1/10000，即蛤蟆迁移后会发生地震的概率等于万分之一。

由此可见，即使地震后发现之前确有蛤蟆迁移的事件发现，也不能支持“蛤蟆迁移后会有地震发生”这个论断，因为这种概率小到了只有万分之一，不比瞎蒙准确多少。您本想仗义执言，揭开科普界的黑幕，结果却因为不懂得先验概率、前向概率和后验概率的关系，以99.99%的可能性闹了笑话。

这些案例说明了一个问题，记者仅有良知和写作能力是远远不够的，如果不学点数学，即使在报道一些貌似与数学无关的社会事件时，也很可能犯错、出糗、甚至闹笑话。这三个由浅到深的小案例可作为记者的数学素养自测题，敢说“不用你白话，我早就明白这些道理了。”的记者，恐怕是很少数的。我跟很多记者一样是食品学、医学、地震学的外行，但数学素养帮助我形成了统计分析的思维习惯，在相同的事实面前，具有数学素养的人对事件背后原因的分析就会准确得多，这种由数学素养形成的能力恰恰就是那位大一新生所说的抽象思维能力。

国内的记者科学素养差，这恐怕是共识了，板子不能只打在记者身上，这与教育过早分科有关。数学素养是科学素养的基础部分，我还没发现有哪位具有科学素养的人只懂到初一数学的，甭提什么服务社会，仅仅为了职业生涯，记者朋友们也应该学点数学。

有的记者朋友会说：“好了，我承认你说的有道理，但早已经被你那只左右互搏的蛤蟆搞得头大如斗了，我已经没有精力再捡起数学课本了，那该怎么办呢？”我的建议有两条：一是要真心尊重和重视数学，多给在校的文科生们讲讲学好数学的重要性，争取让他们不再重蹈覆辙；二是多交些数学好科学素养高的朋友，例如关注他们的微博，遇事先征询下他们的意见，这应该是最便捷的方法了。

流言： 美国历史上的两位总统林肯与肯尼迪都是遇刺身亡，两人都有极多相似的巧合，其中有着一种神秘的力量发挥着作用。例如：

林肯于1846年进入国会，肯尼迪于1946年进入国会，相隔100年。

林肯于1860年当选美国总统，肯尼迪于1960年当选美国总统，相隔100年。

两人都在星期五被暗杀，都是头部中弹。凶手都是南方人。

两人的总统继承人都是南方人，继承人的名字都叫Johnson。

继承林肯的安德鲁．琼森（Andrew Johnson）生于1808年。继承肯尼迪的林登．琼森（Lyndon B. Johnson）生于1908年。

刺杀林肯的凶手布思（John Wilkes Booth）生于1839年。刺杀肯尼迪的凶手奥司华德（Lee Harvey Oswald）生于1939年。

刺杀林肯的凶手从一间戏院跑出，在一间仓库被抓获。刺杀肯尼迪的凶手从一间仓库跑出，在一间戏院被抓获。两个凶手都是在审判尚未开始时遭人枪杀。

林肯的秘书叫肯尼迪，肯尼迪的秘书叫林肯，而且他们的秘书当时都曾劝告总统不要去被暗杀的地点。

真相： 关于林肯和肯尼迪之间种种巧合的故事在美国流传了几十年，影响深远。1963年，美国总统肯尼迪遇刺身亡，随后这样的段子就出现了，并且被各家大的、小的、靠谱的、不靠谱的媒体竞相转载。肯尼迪和林肯两个哥们之间的相似点也从最开始总结的几个，十几个发展到六十多个的版本，逐渐成为人尽皆知的“灵异事件”。[1]

林肯和肯尼迪之间的种种巧合真得那么离奇吗？我们需要区分来看。

三. 素数的分布

一个复数域上的函数——Riemann ζ 函数——的非平凡零点 (在无歧义的情况下我们有时将简称其为零点) 的分布怎么会与看似风马牛不相及的自然数域中的素数分布产生关联呢？ 这还得从所谓的 Euler 乘积公式谈起。

我们知道， 早在古希腊时期， Euclid 就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。 随着数论研究的深入， 人们很自然地对素数在自然数域上的分布产生了越来越浓厚的兴趣。 1737 年， 著名瑞士数学家 Leonhard Euler (1707-1783) 在俄国圣彼得堡科学院 (St. Petersburg Academy) 发表了一个极为重要的公式， 为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。 这个公式就是 Euler 乘积公式， 即：

Σ_n n^-s = Π_p(1-p^-s)^-1

这个公式左边的求和对所有的自然数进行， 右边的连乘积则对所有的素数进行。 可以证明 (参阅 附录一)， 这个公式对所有 Re(s)>1 的复数 s 都成立。 读者们想必认出来了， 这个公式的左边正是我们在 上文 中介绍过的 Riemann ζ 函数在 Re(s)>1 时的级数表达式， 而它的右边则是一个纯粹有关素数 (且包含所有素数) 的表达式， 这样的形式正是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的征兆。 那么这个公式究竟蕴涵着有关素数分布的什么样的信息呢？ Riemann ζ 函数的零点又是如何出现在这种关联之中的呢？ 这就是本节及未来几节所要介绍的内容。

Euler 本人率先对这个公式所蕴涵的信息进行了研究。 他注意到在 s=1 的时候， 公式的左边 Σ_n n^-1 是一个发散级数 (这是一个著名的发散级数， 称为调和级数)， 这个级数以对数方式发散。 这些对于 Euler 来说都是不陌生的。 为了处理公式右边的连乘积， 他对公式两边同时取了对数， 于是连乘积就变成了求和， 由此他得到：

ln(Σ_nn^-1) = -Σ_p ln(1 - p^-1) = Σ_p(p^-1 + p^-2/2 + p^-3/3 + ... ...)

由于上式右端括号中除第一项外所有其它各项的求和都收敛， 而且那些求和的结果累加在一起仍然收敛 (有兴趣的读者不妨自己证明一下)。 因此右边只有第一项的求和是发散的。 由此 Euler 得到了这样一个有趣的渐近表达式：

Σ_p p^-1 ~ ln(Σ_nn^-1) ~ lnln(∞)

或者， 更确切地说：

Σ_p<N p^-1 ~ lnln(N)

这个结果——即 Σ_p p^-1 以 lnln(N) 的方式发散——是继 Euclid 证明素数有无穷多个以来有关素数的又一个重要的研究结果。 它同时也是对素数有无穷多个这一命题的一种崭新的证明 (因为假如素数只有有限多个， 则求和就只有有限多项， 不可能发散)。 但 Euler 的这一新证明所包含的内容要远远多于 Euclid 的证明， 因为它表明素数不仅有无穷多个， 而且其分布要比许多同样也包含无穷多个元素的序列——比如 n² 序列——密集得多 (因为后者的倒数之和收敛)。 不仅如此， 如果我们进一步注意到上式的右端可以改写为一个积分表达式：

lnln(N) ~ ∫ x^-1 ln^-1(x) dx

而左端通过引进一个素数分布的密度函数 ρ(x)——它给出在 x 附近单位区间内发现素数的几率——也可以改写为一个积分表达式：

Σ_p<N p^-1 ~ ∫ x^-1ρ(x) dx

将这两个积分表达式进行比较， 不难猜测到素数的分布密度为 ρ(x)~1/ln(x)， 从而在 x 以内的素数个数——通常用 π(x) 表示——为：

π(x) ~ Li(x)

其中 Li(x) ≡ ∫ ln^-1(x) dx 是对数积分函数 (logarithmic integral function)^[注一]。 这个结果有些读者可能也认出来了， 它正是著名的素数定理 (prime number theorem)——当然这种粗略的推理并不构成对素数定理的证明。 因此 Euler 发现的这个结果可以说是一扇通向素数定理的暗门。 可惜 Euler 本人并没有沿着这样的思路走， 从而错过了这扇暗门， 数学家们提出素数定理的时间也因此而延后了几十年。

提出素数定理的荣誉最终落到了另外两位数学家的肩上： 他们是德国数学家 Friedrich Gauss (1777-1855) 和法国数学家 Adrien-Marie Legendre (1752-1833)。

Gauss 对素数分布的研究始于 1792 到 1793 年间， 那时他才十五岁。 在那期间， 每当“无所事事” 的时候， 这位早熟的天才数学家就会挑上几个长度为一千的自然数区间， 计算这些区间中的素数个数， 并进行比较。 在做过了大量的计算和比较之后， Gauss 发现素数分布的密度可以近似地用对数函数的倒数来描述， 即 ρ(x)~1/ln(x)， 这正是上面提到的素数定理的主要内容。 但是 Gauss 并没有发表这一结果。 Gauss 是一位追求完美的数学家， 他很少发表自己认为还不够完美的结果， 而他的数学思想与灵感犹如浩瀚奔腾的江水， 汹涌激荡， 常常让他还没来得及将一个研究结果完美化就又展开了新课题的研究。 因此 Gauss 一生所做的数学研究远远多过他正式发表的。 但另一方面， Gauss 常常会通过其它的方式——比如书信——透露自己的某些未发表的研究成果， 他的这一做法给一些与他同时代的数学家带来了不小的尴尬。 其中 “受灾” 较重的一位便是 Legendre。 这位法国数学家在 1806 年率先发表了线性拟合中的最小平方法， 不料 Gauss 在 1809 出版的一部著作中提到自己曾在 1794 年 (即比 Legendre 早了十二年) 就发现了同样的方法， 使 Legendre 极为不快。

有道是： 不是冤家不聚首。 在素数定理的提出上， 可怜的 Legendre 又一次不幸地与数学巨匠 Gauss 撞到了一起。 Legendre 在 1798 年发表了自己关于素数分布的研究， 这是数学史上有关素数定理最早的文献^[注二]。 由于 Gauss 没有发表自己的研究结果， Legendre 便理所当然地成为了素数定理的提出者。 Legendre 的这个优先权一共维持了五十一年。 但是到了 1849 年， Gauss 在给德国天文学家 Johann Encke (1791-1865) 的一封信中提到了自己在 1792 至 1793 年间对素数分布的研究， 从而把尘封了半个世纪的优先权从 Legendre 的口袋中勾了出来， 挂到了自己那已经鼓鼓囊囊的腰包之上。

幸运的是， Gauss 给 Encke 写信的时候 Legendre 已经去世十六年了， 他用最无奈的方式避免了再次遭受残酷打击。

无论 Gauss 还是 Legendre， 他们对于素数分布规律的研究都是以猜测的形式提出的 (Legendre 的研究带有一定的推理成份， 但离证明仍相距甚远)。 因此确切地说， 素数定理在那时还只是一个猜想， 即素数猜想， 我们所说的提出素数定理指的也只是提出素数猜想。 素数定理的数学证明直到一个世纪之后的 1896 年， 才由法国数学家 Jacques Hadamard (1865-1963) 与比利时数学家 Charles de la Vallée-Poussin (1866-1962) 彼此独立地给出。 他们的证明与 Riemann 猜想有着很深的渊源， 其中 Hadamard 的证明所出现的时机和场合还有着很大的戏剧性， 这些我们将在 后文 中加以叙述。

【素数分布与素数定理】

素数定理是简洁而优美的， 但它对于素数分布的描述仍然是比较粗略的， 它给出的只是素数分布的一个渐近形式——即小于 N 的素数个数在 N 趋于无穷时的分布形式。 从有关素数分布与素数定理的图示 (即右图) 中我们也可以看到， π(x) 与 Li(x) 之间是有偏差的， 而且这种偏差的绝对值随着 x 的增加似有持续增加的趋势 (所幸的是， 这种偏差的增加与 π(x) 及 Li(x) 本身的增加相比仍是微不足道的——否则素数定理也就不成立了)^[注三]。

那么有没有一个公式可以比素数定理更精确地描述素数的分布呢？ 这便是 Riemann 在 1859 年想要回答的问题。 那一年是 Gauss 去世后的第五年， 三十二岁的 Riemann 继德国数学家 Johann Dirichlet (1805-1859) 之后成为了 Gauss 在 Göttingen 大学的继任者。 同年的 8 月 11 日， 他被选为了柏林科学院 (Berlin Academy) 的通信院士 (Corresponding Member)。 作为对这一崇高荣誉的回报， Riemann 向柏林科学院提交了一篇论文——一篇只有短短八页的论文， 标题是： 论小于给定数值的素数个数。 正是这篇论文将 Euler 乘积公式所蕴涵的信息破译得淋漓尽致， 也正是这篇论文将 Riemann ζ 函数的零点分布与素数的分布联系在了一起。

这篇论文注定要把人们对素数分布的研究推向壮丽的巅峰， 并为后世的数学家们留下一个魅力无穷的伟大谜团。

（本文授权转载自卢昌海老师的个人博客，欲再转载者请联系原作者）

Riemann 猜想漫谈连载

假如你是一名大侠，为了维护自己的江湖地位，在寒风中和另一名大侠约战紫禁之巅。一切看上去都很飘逸，你的造型和动作也早已练得很潇洒。但死理性派提醒你，风大，小心冷。一阵风来，冻得浑身哆嗦，未免有失大侠风范。

大侠们可能都会诧异，就是因为穿的少，特地看了天气预报选了一个温度并不低的时间决战，怎么出门这么冷？到底是天气预报不准还是自我感觉出了问题呢？其实，天气预报和大侠们自己的感觉都没有错。

风吹到脸上到底有多冷

在有风的时候，如果空气温度比我们体表温度低，运动速度越快的冷空气通过热对流从我们身上带走的热量就越多。因此，即使气温并不算低，风很大的话我们还是会觉得冷，这时我们的感受可以称为感觉温度（也叫做风寒指数，wind chill factor），代表我们在无风情况下会有同等感受的空气温度。

数学杂志 Mathematics Today 在 2011 年 12 月份的刊登了一篇文章[1]，作者 Townie 对这个问题就进行了简单的分析。他计算出在空气温度为 0 ℃ 时，感觉温度随着风速变化如下图所示：

上图横坐标表示的风速都比较大，气象学家常用的风速指的是离地面 10 米处的数值。而实际计算中，用这个数值的 2/3 来估计人头部的风速的[1][3]。从图上可以看到，风的速度越大，感觉到的温度越低。刮 6 级以上的风（大于 40 km/h ）[4]，感觉到的温度比空气的温度（ 0 ℃ ）要低 10 ℃ 以上。

感觉温度是怎样计算的

这是怎么算出来的？不妨让我们来看看其中的道理。人体的头部一般暴露在外，更容易感到寒冷，为了简化问题， Townie 只考虑头部失去的热量，并将头部简化为直径 15 厘米的球体。尽管人的头有大有小，但这个简化结果的基本数量级是没错的。我们在中学物理里学过，热传递有 3 种方式：热传导，热对流，热辐射。 Townie 忽略了人体向周围发出的热辐射，选择用牛顿冷却定律来估算热量的损失速度。在稳定的情况下，人体表面温度恒定，牛顿冷却定律可以表达为：

其中 q 表示单位面积的皮肤在单位时间内失去的热量， h 是热传导系数， T _s 表示头部表面皮肤的温度， T _a 是空气的实际温度。皮肤的温度基本上恒定，一般比体内温度稍低一点，大概是 33 ℃ ~ 34℃的样子，我们对外界温度的感觉和 q 有关， q 越大，说明热量失去的越快，我们也就越觉得冷。

在这里，热导系数 h 和空气相对人运动的速度有关，假设某个速度下求出的热导系数记做 h _fc ，那么在这个速度下，单位面积失去热量的速度是

在没有风的时候，热导系数 h _calm 要比 h _fc 小一些，这样，要得到同样的热量损失，需要的外界温度 T _wc 就相应的要低一些，对应的公式为

注意，这里的 T _wc 就是我们感觉到的温度。对上面两个公式进行适当的整理，可以得到

由此可见，问题的关键在于推导或者测量出有风和无风时空气热导系数的比值。

如何求出热导系数比值

如何求出这两个热导系数的比值，真要靠测量吗？不需要。由于这个问题涉及到空气（一种流体）的运动和导热，因此热导系数的比值可以根据流体力学的理论来估计。一般流体力学涉及到的物理量比较多，这些物理量可以构成许多无量纲的数字，能够表征在不同问题里什么影响因素更重要。

在流体力学里经常见到的一个数字叫做雷诺数（Reynolds），Re = ρvD/μ。 μ 是流体的粘滞系数，ρ 是流体的密度， v 是流体的速度， D 是问题涉及到的尺度大小[2]，具体到本文所述的问题就是头部的直径。雷诺数给出了流体运动过程中，流体的惯性力和粘滞力的比值。当雷诺数比较大时，流体流动较不稳定，比如小溪里面的水流，这时可以将系统近似为非粘性流体，忽略掉液体的粘性；而雷诺数比较小时，流体流动稳定，比如室温下粘稠蜂蜜的运动，则可以近似地将惯性力忽略掉。 Townie 参考了这些知识，得到公式

Nu （ Nusselt 数）包含了热传导系数 h，它和 Re 、 Pr （ Prandtl 数）都是流体力学里面的无量纲数，根据这个数我们就能得出有风和无风时空气热导系数比值。这里就不仔细介绍各个无量纲数的含义了，有兴趣的读者可以自行学习。据此，Townie 就得到了文章开头给出的结果。

更精确的经验公式

当然，要说的是 Townie 的计算还比较粗略，其中用了很多的近似和假设，得到的结果在数量级上是对的，但并不精确。气象学家通常用的是通过人体实验和数据修正总结来的经验公式，如果温度 T 以摄氏度为单位，风的速度 V 以千米每小时为单位，那么感觉温度可以表达为[3]：

细心的读者会注意到公式里如果取 T = 0，在 V = 0 的情况下得到的感觉温度不是 0。这是因为这个公式是经验拟合公式，只在一定的速度范围内适用，超出这个范围得到的结果就不那么精确你。而且，在实际计算中，“无风”的情况下用的速度 V 不是0，而是 4.8km/h （ 3 英里每小时），代表的是人在无风的情况下行走的速度。

Townie比较了这个经验公式的结果和用前面我们介绍的方法估计的结果。在空气温度是 0℃ 和 -15℃ 的情况下，两种方法计算出的感觉温度如下图所示

可以看出， Townie 方法的估计结果（红色线段）和经验公式（蓝色线段）给出的结果还是比较接近的，随着风速的增加，都比空气温度（虚线）低出几摄氏度甚至十几摄氏度。单看经验公式的结果，在温度比较低的时候（比如 -15℃ ），感觉温度随着风速的增加，降低的更快，也就更冷。

最后要说明一下，本文只考虑了暴露在外的头部而没有考虑有衣服包裹的躯干部分。因为衣服包裹的地方散量流失的就会慢很多，尤其是像厚羽绒服或者冲锋衣那种衣服，相当于在皮肤和空气之间放了一层厚厚的隔热层，热量的流失会更小，身体表面的温度会和体温很接近。所以，讨论感觉温度就要讨论裸露在外的头部等部位。

了解到这些，你是不是觉得做一名大侠其实也挺不容易的？

参考资料：

[1] A.Townie, Urban Maths: Chill with Newton! Mathematics Today 294, December 2011.

[2] 维基百科： 雷诺数

[3] FCM-R19-2003. US Department of Commerce: National Oceanic and Atmospheric Administration, Report on wind-chill temper-ature and Extreme Heat Indices : Evaluation and Improvement Projects. 2003.

[4] 维基百科： 蒲福风级

本文发表于 果壳网 死理性派 主题站 做一名风中的大侠，你要知道啥？

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.- H. Montgomery

一. Hardy 的明信片

Bernhard Riemann

让我们从一则小故事开始我们的 Riemann 猜想之旅吧。 故事大约发生在七十多年前， 当时英国有一位很著名的数学家叫做 Godfrey Hardy (1877-1947)， 在我看来他是两百年来英国数学界的一位勇者。 为什么说他是勇者呢？ 因为在十七世纪的时候， 英国数学家与欧洲大陆的数学家之间发生了一场激烈的论战。 论战的主题是谁先发明了微积分。 论战所涉及的核心人物一边是英国的科学泰斗 Isaac Newton (1642-1727)， 另一边是欧洲大陆 (德国) 的哲学及数学家 Gottfried Leibniz (1646-1716)。 这一场论战打下来， 两边筋疲力尽自不待言， 还大伤了和气， 留下了旷日持久的后遗症。 自那以后， 英国的许多数学家开始排斥起来自欧洲大陆的数学进展。 一场争论演变到这样的一个地步， 英国数学界的集体荣誉及尊严、 Newton 的赫赫威名便都成了负资产， 英国的数学在保守的舞步中走起了下坡路。

这下坡路一走便是两百年。

在这样的一个背景下， 在复数理论还被一些英国数学家视为来自欧洲大陆的危险概念的时候， 土生土长的英国数学家 Hardy 却对来自欧洲大陆 (而且偏偏还是德国)、 有着复变函数色彩的数学猜想——Riemann 猜想——产生了浓厚的兴趣， 积极地研究它， 并且——如我们将在后文中介绍的——取得了令欧洲大陆数学界为之震动的成就， 算得上是勇者所为。

当时 Hardy 在丹麦有一位很要好的数学家朋友叫做 Harald Bohr (1887-1951)， 他是著名量子物理学家 Niels Bohr (1885-1962) 的弟弟。 Bohr 对 Riemann 猜想也有浓厚的兴趣， 曾与德国数学家 Edmund Landau (1877-1938) 一起研究 Riemann 猜想 (他们的研究成果也将在后文中加以介绍)。 Hardy 很喜欢与 Bohr 共度暑假， 一起讨论 Riemann 猜想。 他常常要待到假期将尽才匆匆赶回英国。 结果有一次当他赶到码头时， 发现只剩下一条小船可以乘坐了。 没办法， 他只得硬着头皮登上。 在汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情， 弄得好算是浪漫刺激， 弄不好就得葬身鱼腹。 信奉上帝的乘客们此时都忙着祈求上帝的保佑。 Hardy 却是一个坚决不信上帝的人， 不仅不信， 有一年他还把向大众证明上帝不存在列入自己的年度六大心愿之中， 且排名第三 (排名第一的是证明 Riemann 猜想)。 不过在这生死攸关的时侯 Hardy 也没闲着， 他给 Bohr 发去了一张简短的明信片， 上面只有一句话：

“我已经证明了 Riemann 猜想！”

Hardy 果真已经证明了 Riemann 猜想吗？ 当然不是。 那他为什么要发这么一张明信片呢？ 回到英国后他向 Bohr 解释了原因， 他说如果那次他乘坐的小船真的沉没了， 那人们就只好相信他真的证明了 Riemann 猜想。 但他知道上帝是肯定不会把这么巨大的荣誉送给他——一个坚决不信上帝的人——的， 因此上帝一定不会让他的小船沉没的。^[注一]

上帝果然没舍得让 Hardy 的小船沉没。 自那以后又过了七十几个年头， 吝啬的上帝依然没有物色到一个可以承受这么大荣誉的人。

二. Riemann ζ 函数与 Riemann 猜想

那么这个让上帝如此吝啬的 Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢？ 在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数： Riemann ζ 函数。 这个函数虽然挂着 Riemann 的大名， 其实并不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为了纪念 Riemann 的卓越贡献， 就用他的名字命名了这一函数。^[注二]

那么究竟什么是 Riemann ζ 函数呢？ Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)

ζ(s) = Σ_n n^-s    (Re(s) > 1)

在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为——如我们已经注明的——这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为：

这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞——离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点 (simple pole) 外， 在整个复平面上处处解析。 这样的表达式是所谓的亚纯函数 (meromorphic function)——即除了在一个孤立点集 (set of isolated points) 上存在极点 (pole) 外， 在整个在复平面上处处解析的函数——的一个例子。 这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。

运用上面的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式——也叫函数方程 (functional equation)：

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)^s-1sin(πs/2)ζ(1-s)

从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零——因为 sin(πs/2) 为零^[注三]。 复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 我们所要讨论的 Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想， 在这里我们先把它的内容表述一下， 然后再叙述它的来笼去脉：

Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

在 Riemann 猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

这就是 Riemann 猜想的内容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。 从其表述上看， Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题， 但我们很快将会看到， 它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。

注释

1. Hardy 的这个解释让我想起了一句有趣的无神论者的祈祷语： God, if there is one, save my soul if I have one (上帝啊， 如果你存在的话， 拯救我的灵魂吧， 如果我有灵魂的话)。

2. 远在 Riemann 之前， Riemann ζ 函数 (当然那时还不叫这个名字) 的级数表达式就已经出现在了数学文献中， 但是那些表达式中函数的定义域较小。 Riemann 把 Riemann ζ 函数的定义域大大地延拓了， 这一点对于 Riemann 猜想的表述及研究具有重要的意义。 仅凭这一点， 即便把 Riemann 称为 Riemann ζ 函数的提出者之一， 也并不过份。
3. sin(πs/2) 在 s=0 及 s=2n (n 为正整数) 时也为零， 但是在 s=0 时 ζ(1-s) 有极点， s=2n (n 为正整数) 时 Γ(1-s) 有极点， 因此只有在 s=-2n (n 为正整数) 时可以由 sin(πs/2)=0 推知 Riemann ζ 函数的取值为零。

（本文授权转载自卢昌海老师的个人博客，欲再转载者请联系原作者）

Riemann 猜想漫谈连载