本文由沐右、橡树村合作

约翰内斯堡是个依靠黄金兴起的城市，自然会有以黄金为主题的主题公园，坐落在约翰内斯堡西南部的金矿城主题公园（Gold Reef City）索性就建立在一座废弃的金矿上。这里不仅有各式各样的游乐设施，还依据黄金开采冶炼的故事造了几个博物馆，平时也有和黄金有关的表演。这里面最吸引人的一个，就是一个叫做Gold Pour的表演。

这个表演展示的是黄金冶炼的一个步骤。黄金在矿石中的含量很低，需要通过各种物理和化学方法精炼。初步精炼的最后一个步骤，就是把已经初步提纯的黄金熔化，浇筑在一个模子里面，铸成金砖。这个表演演示的就是这个浇筑过程。一次浇筑大约是400盎司黄金，重量差不多是12.4公斤。看着工人们从红彤彤的烘箱里面夹出烧得发亮的坩埚，把里面冒着火焰的金水浇筑在模子里面，等待稍微冷却后再把仍然发光的金子从模子里面扣出来，形成金灿灿的金砖，还是很令人兴奋的。特别是这个表演的时候，还会提醒你，现在的金价是多少钱，这些金子，虽然只有88%的纯度，一共值多少钱。看着价值几十万美元的东西就在眼前几米的地方，很少有人会不心动。

更刺激的在后面。表演结束的时候，工人会拿出来一块以前浇筑好的金砖(刚浇筑的那个还热着呢，不能碰)，让所有观众亲手摸一下，满足观众们摸一次金砖的强烈愿望。同时，工人会向你发出挑战。看到眼前这块金砖了么？顶部长25厘米，宽7厘米，底部长接近28厘米，宽不到10厘米，高3.5厘米。这么一个黄灿灿的家伙，如果你能用拇指和食指两个手指头，从上方夹住金砖的侧面，把金砖提起来，那么，这个价值几十万美元的东西，就可以让你抱回家！去看这个表演的几乎没有不去试试的，不过传说还没有人成功过。怎么样，是不是想立刻打飞的到南非试试？不过，在订机票之前，咱需要先算算，究竟有没有这个可能。

单臂提起二十多斤的重量对大多数人来说都不成问题，但是金砖上面没有把手，我们能用拇指和食指捏起金块吗？这是一个简单的力学问题，让我们先来做一下受力分析。

【金砖的受力分析图】

如上图所示，金块受到这么几个力的作用：

1. 竖直向下的重力G，等于金块的质量（12.4千克）乘以重力加速度ɡ（取10牛顿每千克）；

2. 拇指和食指分别对金块两侧的压力，两边一样大，都记作N，这个力垂直于金块的侧面；

3. 由于手指有和金块发生相对运动的趋势，但是又没有相对的滑动，金块会受到沿着侧面向上的静摩擦力f=μN，μ是手指和金块之间的静摩擦系数。

将金砖侧面和底面的夹角记作θ，根据几何关系我们可以得出，竖直方向上金砖受到的合力F为（取向上的方向为正方向）

F=2μN sin(θ)-2N cos(θ)-G，

其中，第一项是两侧受到摩擦力f向上的分量的和，第二项是两个手指对金块压力N向下分量的和。这样，我们用来提起金砖而给金砖施加的压力，一部分成了对我们的阻碍。不过，只要我们施加的压力N能够使得F大于零，我们就能把金砖抱回家！

可是，如果θ角小于某个数值的话（θ＜arccot(μ)），即使不考虑重力G，第二项的贡献也会比第一项大。要真是这样的话，哪怕是项羽、李元霸、施瓦辛格或者超人来了，也不能把金砖抱走。那就太坑爹了。

还好问题没有这么严重。根据问题里面的给出的上面宽7厘米、底面宽10厘米、高度3.5厘米的数字计算，θ角为66.8度，而只要μ比0.43大，第二项就不会比第一项大。金砖的标准规定了大小有一定的浮动范围 [1]，实际的角度和这个数字不一定完全吻合，不过应该差别不大。人的手指和这种不太纯的黄金之间的静摩擦系数没有查到，实际上手和黄金的静摩擦系数也没有查到。不过，可以查到手指和铝的摩擦系数平均为0.6，和橡胶的摩擦系数平均为0.9，而且随着压力的增加，摩擦系数有减小的趋势[2]。因此，我们有理由相信，除非蜘蛛人出马或者偷偷往手指上抹万能胶水，手指和黄金的静摩擦系数应该不会超过1，比较可能的猜测是接近0.5到0.6的样子。

根据前边的公式，我们可以算出需要的最小压力的数值为N=G/[2μ sin(θ)-2 cos(θ)]。知道了确切的尺寸和摩擦系数，我们就可以通过这个公式求出需要的最小力量。取θ角为66.8度，对应于μ取0.5~1之间的情况，我们可以求出需要的压力N，在下图里面用蓝色曲线表示。可见， N起码要一百多牛顿才可以，如果摩擦系数接近0.6甚至更低，那么力量要超过400牛顿才行。考虑到我们并不知道金砖的准确大小，对于侧面和底面夹角为70度和75度的情况（分别用紫色和褐色线表示），我们也可以求出需要的压力大小。起码来说，N要大于100牛顿才能有点把握。

【静摩擦系数在0.5~1之间的时候，提起金砖需要一根手指提供的压力大小】

不过，根据一项关于手指头力量的研究[3]，这个用两指捏的动作一般人很难达到这么高的力量：对一共100名成年人测试的结果显示，男性平均能够达到大约63牛顿，标准差约为19牛顿，女性平均约是45牛顿，标准差约为14牛顿。因此，超过100牛顿的可能性是很小的。看样子，即使是最好的情况下（μ接近1），也非得锻炼到远超一般人的力量才能做到了，有心发财的童鞋们可以照着这个目标努力锻炼了。

可惜的是，即使理论上存在可能，这个机会也已经不存在了。虽然没有人确实成功地用两根手指夹起过金砖，但是金砖还是被人拿走了。这两块金砖在这个主题公园被演示了十多年，不知道有多少人打它们的主意，结果，几年前，一伙歹徒成功把武器带进了公园，直接把金砖抢走并逃脱。两根手指夹起来一块金砖虽然很难，用一只手抱着还是不难做到的。从此以后，这个表演就再也不使用真金了，还生怕你不知道，用很大字写上：本表演不使用真金！这个表演仍然在继续，但是观看的时候，再也找不回那种心动的感觉了。

参考资料

1. London Bullion Market Association, The Good Delivery Rules for Gold and Silver Bars-Specifications for Good Delivery Bars and Application Procedures for Listing. 链接
2. Na Jin Seo and Tomas J. Armstrong, Friction coefficients in a longitudinal direction between the finger pad and selected materials for different normal forces and curvatures, Ergonomics 52(5), 609-16 (2009). 链接
3. Angela Didomenico Astin, Finger force capability: measurement and prediction using anthropometric and myoelectric measures, Virginia Polytechnic Institute and State University, Master of Science Thesis. 链接

假如你是一名大侠，为了维护自己的江湖地位，在寒风中和另一名大侠约战紫禁之巅。一切看上去都很飘逸，你的造型和动作也早已练得很潇洒。但死理性派提醒你，风大，小心冷。一阵风来，冻得浑身哆嗦，未免有失大侠风范。

大侠们可能都会诧异，就是因为穿的少，特地看了天气预报选了一个温度并不低的时间决战，怎么出门这么冷？到底是天气预报不准还是自我感觉出了问题呢？其实，天气预报和大侠们自己的感觉都没有错。

风吹到脸上到底有多冷

在有风的时候，如果空气温度比我们体表温度低，运动速度越快的冷空气通过热对流从我们身上带走的热量就越多。因此，即使气温并不算低，风很大的话我们还是会觉得冷，这时我们的感受可以称为感觉温度（也叫做风寒指数，wind chill factor），代表我们在无风情况下会有同等感受的空气温度。

数学杂志 Mathematics Today 在 2011 年 12 月份的刊登了一篇文章[1]，作者 Townie 对这个问题就进行了简单的分析。他计算出在空气温度为 0 ℃ 时，感觉温度随着风速变化如下图所示：

上图横坐标表示的风速都比较大，气象学家常用的风速指的是离地面 10 米处的数值。而实际计算中，用这个数值的 2/3 来估计人头部的风速的[1][3]。从图上可以看到，风的速度越大，感觉到的温度越低。刮 6 级以上的风（大于 40 km/h ）[4]，感觉到的温度比空气的温度（ 0 ℃ ）要低 10 ℃ 以上。

感觉温度是怎样计算的

这是怎么算出来的？不妨让我们来看看其中的道理。人体的头部一般暴露在外，更容易感到寒冷，为了简化问题， Townie 只考虑头部失去的热量，并将头部简化为直径 15 厘米的球体。尽管人的头有大有小，但这个简化结果的基本数量级是没错的。我们在中学物理里学过，热传递有 3 种方式：热传导，热对流，热辐射。 Townie 忽略了人体向周围发出的热辐射，选择用牛顿冷却定律来估算热量的损失速度。在稳定的情况下，人体表面温度恒定，牛顿冷却定律可以表达为：

其中 q 表示单位面积的皮肤在单位时间内失去的热量， h 是热传导系数， T _s 表示头部表面皮肤的温度， T _a 是空气的实际温度。皮肤的温度基本上恒定，一般比体内温度稍低一点，大概是 33 ℃ ~ 34℃的样子，我们对外界温度的感觉和 q 有关， q 越大，说明热量失去的越快，我们也就越觉得冷。

在这里，热导系数 h 和空气相对人运动的速度有关，假设某个速度下求出的热导系数记做 h _fc ，那么在这个速度下，单位面积失去热量的速度是

在没有风的时候，热导系数 h _calm 要比 h _fc 小一些，这样，要得到同样的热量损失，需要的外界温度 T _wc 就相应的要低一些，对应的公式为

注意，这里的 T _wc 就是我们感觉到的温度。对上面两个公式进行适当的整理，可以得到

由此可见，问题的关键在于推导或者测量出有风和无风时空气热导系数的比值。

如何求出热导系数比值

如何求出这两个热导系数的比值，真要靠测量吗？不需要。由于这个问题涉及到空气（一种流体）的运动和导热，因此热导系数的比值可以根据流体力学的理论来估计。一般流体力学涉及到的物理量比较多，这些物理量可以构成许多无量纲的数字，能够表征在不同问题里什么影响因素更重要。

在流体力学里经常见到的一个数字叫做雷诺数（Reynolds），Re = ρvD/μ。 μ 是流体的粘滞系数，ρ 是流体的密度， v 是流体的速度， D 是问题涉及到的尺度大小[2]，具体到本文所述的问题就是头部的直径。雷诺数给出了流体运动过程中，流体的惯性力和粘滞力的比值。当雷诺数比较大时，流体流动较不稳定，比如小溪里面的水流，这时可以将系统近似为非粘性流体，忽略掉液体的粘性；而雷诺数比较小时，流体流动稳定，比如室温下粘稠蜂蜜的运动，则可以近似地将惯性力忽略掉。 Townie 参考了这些知识，得到公式

Nu （ Nusselt 数）包含了热传导系数 h，它和 Re 、 Pr （ Prandtl 数）都是流体力学里面的无量纲数，根据这个数我们就能得出有风和无风时空气热导系数比值。这里就不仔细介绍各个无量纲数的含义了，有兴趣的读者可以自行学习。据此，Townie 就得到了文章开头给出的结果。

更精确的经验公式

当然，要说的是 Townie 的计算还比较粗略，其中用了很多的近似和假设，得到的结果在数量级上是对的，但并不精确。气象学家通常用的是通过人体实验和数据修正总结来的经验公式，如果温度 T 以摄氏度为单位，风的速度 V 以千米每小时为单位，那么感觉温度可以表达为[3]：

细心的读者会注意到公式里如果取 T = 0，在 V = 0 的情况下得到的感觉温度不是 0。这是因为这个公式是经验拟合公式，只在一定的速度范围内适用，超出这个范围得到的结果就不那么精确你。而且，在实际计算中，“无风”的情况下用的速度 V 不是0，而是 4.8km/h （ 3 英里每小时），代表的是人在无风的情况下行走的速度。

Townie比较了这个经验公式的结果和用前面我们介绍的方法估计的结果。在空气温度是 0℃ 和 -15℃ 的情况下，两种方法计算出的感觉温度如下图所示

可以看出， Townie 方法的估计结果（红色线段）和经验公式（蓝色线段）给出的结果还是比较接近的，随着风速的增加，都比空气温度（虚线）低出几摄氏度甚至十几摄氏度。单看经验公式的结果，在温度比较低的时候（比如 -15℃ ），感觉温度随着风速的增加，降低的更快，也就更冷。

最后要说明一下，本文只考虑了暴露在外的头部而没有考虑有衣服包裹的躯干部分。因为衣服包裹的地方散量流失的就会慢很多，尤其是像厚羽绒服或者冲锋衣那种衣服，相当于在皮肤和空气之间放了一层厚厚的隔热层，热量的流失会更小，身体表面的温度会和体温很接近。所以，讨论感觉温度就要讨论裸露在外的头部等部位。

了解到这些，你是不是觉得做一名大侠其实也挺不容易的？

参考资料：

[1] A.Townie, Urban Maths: Chill with Newton! Mathematics Today 294, December 2011.

[2] 维基百科： 雷诺数

[3] FCM-R19-2003. US Department of Commerce: National Oceanic and Atmospheric Administration, Report on wind-chill temper-ature and Extreme Heat Indices : Evaluation and Improvement Projects. 2003.

[4] 维基百科： 蒲福风级

本文发表于 果壳网 死理性派 主题站 做一名风中的大侠，你要知道啥？

见识过咖啡拉花的朋友们多半会对咖啡师的技艺赞叹不已。白色的热牛奶冲进深褐色的浓缩咖啡里面，随着咖啡师的手腕轻点，拿铁表面便荡漾出如心似叶的图案。这事太有情调，太浪漫了。

【咖啡师制作叶形拉花（图片来自 travellercoffee.pixnet.net）】

 
咖啡拉花（latte art）主要分为 两种，一种是拉花（free pour)，在往浓缩咖啡（espresso) 中倾倒热牛奶的同时“拉”出图案；另一种则是雕花 (etching），是牛奶和咖啡混合之后，在顶部用巧克力酱和牙签等辅助用品直接在拿铁表面的泡沫上“雕”图。具体的过程，可以观看下面这个制作拉花和雕花的视频：

拉花和雕花两者比较，前者更加奇妙，而后者花样更全。这是因为在雕花时，拿铁表面的泡沫具有一定的稳定性，能够支撑巧克力酱、焦糖浆之类的有颜色的酱料，不但给咖啡师以更多时间，勾画、构图也有了更大的自由。而拉花的奇妙之处则在于图案是在调制拿铁的过程当中形成的。

拉花的奥妙，资深的咖啡师或许会从如何制取浓缩咖啡和热牛奶泡沫谈起。不过，从物理上来说，咖啡拉花是怎么一回事呢？

这个么，咱得从表面剂谈起。

表面剂，或者叫做表面活性剂，是一类非常广泛的物质，在日常生活中随处可见。洗衣粉、洗碗液靠它去油除污，小朋友靠它吹泡泡，没有它，包括牛奶在内的很多饮料都不会是我们看到的样子。在食品工业里面应用的时候，表面剂有时也被称做乳化剂（参考阅读“起云剂”来了，饮料还能喝吗》^[1]）。

表面剂一般是同时具有亲水部分和疏水部分的有机小分子。典型的表面剂有着下图这样的结构：有一个可以亲水的极性基团脑袋（B里面的圆球），还有一根或者多根长长的尾巴，这是喜欢溶解在油等非极性介质里面的憎水基团部分（一般是长一点的碳链）。很多读者在中学里都学过，构成生物体细胞膜的磷脂分子也具有这样的结构，它有两条憎水的尾巴，也可以作为表面剂。值得说明的是，这个表面剂的形象不应该和我们常说的“小蝌蚪”们混起来。

【表面剂的典型分子结构。图片来自这里，已汉化。】

 
如果我们在水里面加入一些表面剂，那么由于憎水的尾巴不喜欢和水挨在一起，如果尾巴和尾巴挨在一起，用亲水的脑袋把水和尾巴隔离开来，那么整个系统的能量就会更低一些。就像下图显示的一样，这可以形成各种各样的结构：可以是亲水脑袋包裹着憎水尾巴的小球状的胶束（Micelle）或者胶囊形状，也可以是两层表面剂分子包裹成球状的（下图中的Liposome），或者双层的分子形成的平面膜等等。这个体系据信与生命最初形成的过程有关，即从混合有包括原始RNA或者DNA在内的多种有机分子的原生汤里面是如何形成一个个的原始细胞的^[2]。

【表面剂在水里形成的几种结构。图片来自维基百科-胶束（Micelle），已汉化。】

 
表面剂的一个重要特性就是可以让原本不能相混合的两种液体或者一种液体和一种固体粉末混合起来，形成乳浊液或者胶体。比如说，水和油就可以通过加入一些表面剂形成乳浊液。根据水和油的比例不同，形成的结构可以是油包水，可以是水包油，也可以是油水分层的多层结构，而表面剂就在水和油的界面上，保证着系统的稳定。这个特性的一个重要应用就是洗去衣物上的油污。

【表面剂和它在洗涤、制作泡沫里面的应用。图片来自这里，已汉化。】

 
蛋白质里面一般同时具有亲水和憎水的基团，因此很多蛋白质都可以起到表面剂的作用。西餐里面的蛋黄酱是一种主要由植物油、蛋、柠檬汁或者醋以及其他调味料制成的调味酱，其中蛋里面的蛋白质就起到了表面剂的作用，把植物油和水混合起来。牛奶是一种天然的乳浊液体，其中含有的蛋白质也会把牛奶里的脂肪包裹着，悬浮在水里面。倘若通过外力等手段将这个体系破坏，就可以收集脂肪得到黄油，收集蛋白质得到奶酪（参考阅读《黄油，高热量的美味要不要？》和《牛奶如何变奶酪？》^[3]）。

表面剂也可以用来稳定空气和水的界面，简单点来说，就是可以用来吹泡泡。当很多的小气泡聚在一起，而它们之间的水流走的时候，它们就会互相接触，形成多面体的结构：泡沫。这时候，憎水的尾巴暴露在空气里面，而亲水的脑袋扎在一薄层水里面，表面剂的存在降低了空气和水的表面张力，使得这种泡沫的结构可以存在一段时间，让小孩子享受吹泡泡的乐趣，让摄影师拍下它们的身影，让科学家们可以研究它们的性质，也让咖啡师得以制作咖啡拉花。

【肥皂水里面含有表面剂，可以帮助稳定水和空气的界面，形成泡泡。感谢科学松鼠会的资深热心摄影师瘦驼提供图片。】

 
制作咖啡拉花的杯子里面要先放大概容积三分之一的浓缩咖啡（Espresso）。这是一种口感强烈的咖啡，用接近沸腾的热水以高压冲过细研后压实的咖啡粉就能得到^[4]。在浓缩咖啡的表面飘着一层红棕色的泡沫状的咖啡脂（crema），这层咖啡脂是咖啡里面的脂肪成分以及气体形成的泡沫，而起到表面剂作用的是咖啡里的蛋白质，以及细胞膜的磷脂分子等物质。

【获取浓缩咖啡时得到的咖啡脂。图片来自维基^[4]】

 
咖啡脂的体积一般要占到浓缩咖啡的10%以上，而其中，气体的体积含量大概能占到咖啡脂的一半。在光学显微镜下观察咖啡脂的结构，可以看出里面包含有气泡、脂肪颗粒（一般小于10个微米）以及一些固体的颗粒（咖啡豆细胞壁的碎片之类）^[5]。别小看了这层咖啡脂，咖啡脂的存在往往被当作浓缩咖啡质量的标志，不止如此，咖啡脂本身也正是形成咖啡拉花的一个重要因素。

【光学显微镜下观察到的咖啡脂。图片来自资料^[5]。】

 
在咖啡拉花的制作过程中，倒入浓缩咖啡的热牛奶经过了预先的处理。有了牛奶里的蛋白质当表面剂，再通过搅拌等手段，热牛奶的表面形成了一层牛奶和空气混合出来的泡沫（microfoam）^[6]。（如何让牛奶的泡沫起的又多又持久也是科学研究的一项内容，可参阅《实验室手记之卡布奇诺的泡泡》等文^[7]）。

在混合热牛奶和浓缩咖啡的过程中，两种泡沫被混合在一起：一种是空气和牛奶混合的泡沫，一种是浓缩咖啡表面的脂肪、气体和浓缩咖啡混合的咖啡脂泡沫。这两种泡沫都相对稳定，咖啡脂的泡沫一般可以维持 10 分钟左右 ^[5] ，牛奶和空气形成的泡沫也可以维持数分钟之久 ^[8] 。

这两种泡沫混在一起之后，由于它们的颗粒都较大（微米级别），又挤在一起，颗粒的扩散过程是很慢的，在没有搅拌的情况下，两种泡沫之间混合的速度会很慢，因此，泡沫之间的界限会在很长时间内保持清晰。这样，咖啡师倾倒牛奶时做出来的图案可以保持足够长的时间，以供顾客欣赏。

【咖啡拉花可以做出各种漂亮的图案。】

 
有读者可能会问了，为什么非得泡沫混合在一起才行，不同颜色的液体混合在一起就不行吗？

当我们把牛奶倒入咖啡时，虽然这两种液体内部仍然存在着微米大小的颗粒，但是这些颗粒并没有互相紧挨着，并且这类颗粒只占液体的很小一部分，即使它们不会立刻就互相均匀混合，但由于内部液体的流动很不稳定，两种液体混合的界面也会因为扩散很快变得模糊起来，无法做成拉花的图案。

其实，除了咖啡拉花之外，表面剂在我们日常生活和工业生产中都有着非常重要的应用。在我们洗衣服、洗碗的过程中，表面剂的憎水尾巴深入污渍内部，亲水的脑袋和水密切相连，在洗刷的运动下，将污渍包裹成悬浮的颗粒随着水而去。在食品工业里面，表面剂被用来将不同的原料混合在一起，以获得新的口味和性状（比如前面提到的蛋黄酱）。而在工业生产里面，表面剂可以用来混合不同的原料，以利于化学反应的发生；或者用来混合不同的材料，以方便后续的加工处理（比如油漆）。

至于咖啡拉花中的表面剂故事，我们今天就说到这里。

感谢果壳编辑闻菲、秋秋的帮助，感谢瘦驼提供美丽的照片。

本文的修改版已经发表在果壳网-文艺科学主题站，题为《咖啡拉花：泡沫圆舞曲》。

参考资料：

1.科学松鼠会，云无心，《“起云剂”来了，饮料还能喝吗》，http://songshuhui.net/archives/55755
2. S. Huebner et al., Lipid-DNA Complex Formation: Reorganization and Rupture of Lipid Vesicles in the Presence of DNA As Observed by Cryoelectron Microscopy, Biophysical Journal 76, 3158 (1999).
3. 科学松鼠会，少个螺丝，《黄油，高热量的美味要不要？》和《牛奶如何变奶酪？》。
4. 维基百科，Espresso, http://en.wikipedia.org/wiki/Espresso
5. Ernesto Illy and Luciano Navarini, Neglected Food Bubbles: The Espresso Coffee Foam, Food Biophysics 6, 335-3348 (2011).
6. 维基百科, Microfoam, http://en.wikipedia.org/wiki/Microfoam
7. 科学松鼠会，云无心，《实验室手记之卡布奇诺的泡泡》及《实验室手记之卡布奇诺的泡泡（续）》。
8. Felix Sebba, Microfoams—An Unexploited Colloid System, Journal of Colloid and Interface Science 35, 643 (1971).

在《[流体力学趣事]拳头大的雨滴见过没有？》里面说到，由于表面张力和空气阻力的存在，雨滴有一个大小的限制，而且，由于空气阻力和速度正相关，雨滴不会在重力的作用下速度不停地增加下去。这样，雨滴打到我们身上的时候，即使是少数个头稍微大一些速度快一些的，我们也一般不会感觉到疼痛，更不会对身体造成什么直接伤害。

然而，雨滴的速度已经足够把它自己撞个粉身碎骨了。当雨滴撞到一个光滑平面的时候，就会碎裂开来，水花四溅，在撞击的地方留下几许水痕。在海边，大家也能看到大海波涛滚滚，撞到礁石上，变成“浪花一朵朵”。这是为什么呢？在这个过程中，什么才是主要的关键因素呢？

芝加哥大学的Wendy Zhang教授和Sidney Nagel教授在一个实验里揭开了这个秘密。他们研究了一个水滴是怎么样撞到一个干燥光滑的平面上的^[1] 。结果如下图所示：

在Sidney Nagel教授研究组的网页上（链接），我们还可以找到他们拍摄的水滴和平面撞击的视频，

【一个大气压下水珠和平面碰撞的过程】

【0.2个大气压下水珠和平面碰撞的过程】

直径为3.4毫米的水滴以3.74米每秒的速度落在平面上（相当于从约70厘米高的地方落下），而碰撞的过程由高速摄像机忠实地记录下来。 在一个大气压下，水滴撞在平面上，发生形状的变化，而边缘则会激起一圈美丽的托盘样的浪花，碎裂成很多的小水滴。随着气体压强的降低，激起的浪花越来越小。在0.172个大气压下，水滴撞到平面上之后，就只是平滑的摊成薄薄的一层，不会激起任何的浪花。由此我们可以看出，海水、礁石都不是关键的因素，空气的存在才是形成浪花的决定条件，如果没有空气的话，我们也看不到浪花朵朵的美景了。

在这个水滴和平面碰撞的过程里，水的表面张力使得水尽量平滑地铺开，而空气对运动的阻碍和摩擦使得水散开的边缘不稳定。这两种因素的竞争就决定了是否会激起浪花。他们利用不同液体和气体重复这个过程，得到的结果是一致的^[1] 。更进一步的研究表明，水滴和平面接触之后，两者正中间的地方会形成一个小气泡，水花飞溅的过程与水和平面间夹着的这层空气有很大的关系^[2] 。

参考资料：
[1]. L. Xu, W. Zhang and S. R. Nagel, Phys. Rev. Lett. 94, 184505 (2005).
[2]. M. M. Driscoll, C. S. Stevens and S. R. Nagel, Phys. Rev. E 82, 036302 (2010); M. M. Driscoll and S. R. Nagel, arXiv:1108.1129v1 (2011).

我们知道，水是由水分子构成的，一个水分子由一个氧原子和两个氢原子构成。每个原子都是由原子核和核外电子构成的，电子围绕着原子核运动，形成电子云。因此，水分子里的原子之间的连接实际上不是火柴棍那样的，而应该是像下面图里那种憨厚浑圆的样子，而且边缘也不应该那么清晰。水分子里面，氢原子和氧原子的距离大约为1埃，或者说是百亿分之一米。两个氢原子和氧原子形成的角度，大概是100多度的样子，在气态、液态水或不同的固态水里面，这个数字略有变化。

水分子的示意图^[1]

如果我们能放大去看日常放在桌子上的一杯水的话，可以看到这些水分子挨在一起，作着杂乱无章的运动。这种运动的强度由水的温度决定，温度越高，水分子运动的越快。而当我们把目光转向水和空气的界面上，事情就变得壮观起来：大量的空气分子不停地撞击界面附近的水分子，而这些水分子并不像在内部那样紧密地联系起来，不时有速度很快的水分子脱离开去，进入到空气里面，也不时有空气里面的水分子呼啸而来，又溶入到水面之中。如果杯子是敞开的，那么水会慢慢地散发到空气中，同时带走热量，这个热量叫做水的汽化热；而如果盖上盖子，那么水杯里面的水和空气就能够达到平衡，以空气里面含有一定的水蒸气，而水面维持一个动态的平衡。

空气和水的表面处，水的蒸发（来自这里）

所以，液体表面的分子含有的能量要比等量的内部分子高。大家知道，物理体系倾向于能量小的状态，因此，如果其他的因素可以忽略，液体会倾向于最小的表面积。失重状态下的液体可以形成球形的形状就是这个原因。这个倾向使得液体的表面像橡皮膜一样充满弹性，如果在水面上画一条线，那么线的一边对另外一边实际上有一个拉力，这个力被称作表面张力。在我们日常生活中来看，这个力是很小的，水面上一米长的距离上，这个力在室温下只有不到0.1牛顿（随着温度的升高，这个数值会变得更小一些）^[2] ，比较起来举起两个鸡蛋需要的力大概是1牛顿。然而，当我们观察比较小长度的物理现象的时候，表面张力可以起到主要作用。

表面张力的概念并不是太好理解，然而，通过下面的两个视频大家就可以明白，为什么说液体的表面和橡皮膜类似了。在高速摄像机的拍摄下，我们能看到装满水的气球和平面碰撞时候的样子，注意看碰撞的那一瞬间水的表面一层层的波纹。

视频：

装满水的气球和平面撞击时候的样子

而当一个小水珠和荷叶相撞的时候，我们能够看到类似的现象：水珠的表面像橡皮膜一样，把水紧紧包住。看一看，这两个视频是不是很像？

视频：

小水珠和荷叶表面碰撞的过程^[3]

我们知道，如果把一杯水装满，然后用一张硬纸盖住，当我们把杯子和硬纸翻过来，口朝下的时候，硬纸并不会掉下来。这是因为大气压要比硬纸上面杯子里水产生的压强大的多，完全可以支撑住硬纸。然而，如果我们用一个充满网眼的盖子盖住杯子，用硬纸盖住后反过来，然后拿开硬纸，杯子里面的水并不会通过网眼漏出来，这是因为网眼里面水面像绷紧的橡皮膜那样，支撑住了上面的水。这个魔术，是不是可以尝试一下？

视频：

第一个实验演示了空气压强，第二个实验演示了水的表面张力。水不会从有网眼的盖子里流出来，那是因为水的表面张力支撑住了杯子里的水。

手画一个简单的草图来解释一下（如下），黑色是杯子，黄色是网眼，蓝色是水。在网眼的地方，液面变形产生的力兜住了上面的水。所以即使像我画的那样上边漏风或者像视频里面那样水上面还有空气，水也不会掉下来。

表面张力的存在，还使得一些不可思议的事情得以实现，比如说，把硬币浮在水面上。

大家去旅游的时候，在一些寺庙名胜，往往会见到一个许愿池，旁边往往会有一些吉祥的话语，比如“沉下去是寿，飘起来是福”之类，这样鼓励大家往里面放硬币。偶尔有人能把硬币浮在水面上，大家都会觉得他运气好。大家都知道，硬币要比同体积的水重，因而把一个硬币放在水面上，如果考虑重力和浮力的话，它应该沉下去而不是浮起来。这是怎么回事呢？

我们先来做一个小实验：漂浮的针和硬币

需要：

• 一盆水（温度低一些会更好，表面张力大）；
• 针、硬币（轻薄一些的比较好）、曲别针等等；塑料叉子（或者镊子、纸巾用来辅助）；
• 肥皂水（洗洁精调出来的就好）；

步骤：

• 将干燥的针或硬币等水平地放在叉子上，将叉子缓慢地沉入水中，针/硬币等就会漂浮在水面上，从旁边慢慢地将叉子移开；
• 可以多放几个进去观察，看什么样的物体可以伏在水面上；
• 最后，可以倒入一些肥皂水，观察表面张力改变之后漂浮的小物体怎么沉下去的。

演示视频：

（请忽略背景的杂音）

把针放在水面上稍微有点困难，并不是每一次都能成功。针比水重，可是为什么针可以浮在水面上呢？从视频上大家应该可以看到，针两边的水面发生了弯折，从侧面看上去，水面应该是下面这样子的：

通过水面的弯折，表面张力提供了一个向上的力，使得针或者硬币可以浮在水面上。这一点大家如果自己做实验的话应该可以看的更清晰，而且大家应该能拍出比下图更漂亮的照片。

杯子里漂浮的曲别针

这些漂浮在水面上的物体之间有着相互作用。从视频里面我们可以看到，当硬币之间的距离比较远的时候，它们之间没有什么影响，当它们互相靠近的时候，就会互相吸引在一起。而在视频和上面的照片里面，漂浮的物体都不会粘在盆边或者杯子边上。这些相互作用和水面的形状有着密切的关系。

让我们以硬币为例分析下这里的物理原因。当两个硬币离的比较远的时候，每个硬币周围的水面都是平的，只有在硬币的周围水面才会有向下的弯曲。当两个硬币距离比较近的时候，它们互相靠近就能减小之间的水面的表面积，而这样就可以减少表面势能（表面张力），因此它们之间会有相互吸引的力。

而在水面和盆或者杯子接触的地方，如果我们仔细去看，水面是向上弯折的。不同的材料和水接触的时候，它们倾向于形成的接触角度是不同的，这一点我们将会在以后仔细来说。这样，硬币和盆边水面向不同的方向弯折，把他们靠在一起将会增大水面的面积，这样会增加表面势能而不利于系统能量的最小化。所以，曲别针会喜欢呆在杯子的中央。

其实，我们在日常生活中看到过很多这样子的例子。比如说，汤碗里面漂浮的油滴喜欢互相靠在一起，但是油滴并不喜欢靠在碗边上（这和油很多的时候碗边形成一圈油的情况要分开），这是因为油滴附近的水面被油滴压着向下弯折的（当然在汤里面除了油滴和水，还有蛋白质等胶体颗粒，它们渗透压也可以导致油滴靠近）。同样的，汤或者饮料表面的气泡也会互相靠在一起，而不是互相分离开来，而且碗里面的气泡会喜欢挨着碗边，这是因为气泡那的水面是向上弯折的（并且盖住整个气泡）。

从瓶口看到的鲜橙多，感谢@Neil10分享图片。

最后，当我们把肥皂水倒入盆中的时候，大家可以看到，针和较重的一角硬币落了下来，而且仍然漂浮的一分硬币也变得没有之前稳定了。这是因为肥皂水改变了水的表面张力，使得水面能够提供的弹力变小了。

看了本文冗长拖沓的分析，你是否也想自己动手试试呢？

参考资料：
1.维基百科，《水》。
2. 维基百科，《surface tension》。
3. Longquan Chen et. al., J. Micromech. Microeng. 20 105001 (2010). 链接

近来，网上关于云南过桥米线和旋毛虫的问题有很多的讨论。咱也凑个热闹，说说过桥米线里面的物理问题。讨论的一个关键，在于肉片放到热汤里面之后，多长时间之内肉片中心会达到什么样的温度，能否达到灭杀旋毛虫幼虫所需的温度。

一维热传导：建模与求解

首先让我们来简化一下这个问题。由于一般来说，热汤的量远多于肉片的量，可近似认为加入肉片不会造成汤温变化。也就是说，肉片的大小是没有关系的，肉片的厚度才是更关键的因素。而若非肉片叠在一起，肉的两边都是和汤接触的，因此我们可以简单地把这个问题考虑成一个一维的热传导问题。

诚然，肉片的厚度可能会不均匀，肉片在汤里面可能是有弯折的。这些因素对肉片中心的温度都会造成影响。但是为了得到一个初步的了解，我们可以先不考虑这些因素。这样，我们就得到了一个单纯的一维热传导问题。在肉片放入汤中的时候，整个体系的温度如下图所示：

这里我们把坐标x的原点定在肉片的中心，设肉片的厚度为L，则肉片从x=-L/2到L/2。假设汤的温度恒定为T_soup不变，肉的温度在开始 (t=0) 时为T_meat，这些就是这个问题里面的边界条件。现在我们需要的，就是利用物理和数学的方法去在这个体系里面求解一维热传导方程^[1] ：

其中，α是肉片里面的热扩散系数，数值越大说明热在物体里面越容易传播，我们可以用水的值来代替，α=1.4×10^-7m²/s ^[2] 。

具体的求解需要利用分离变量法和余弦函数的正交展开，仔细推导过程见文章最末，在此先略过不提。

对于任意的T_soup和T_meat我们可以得到如下的解：

薄肉片，导热快

根据这个解，如果知道汤和肉片的初始温度以及肉的厚度，我们就可以给出肉内部温度随时间变化的曲线。如果以汤的最低温度 80℃，肉的初始温度是 0℃ （不妨就设肉品刚刚解冻），肉的厚度是1毫米为初始条件，那么我们可以画出当时间 t 为 0 秒， 1 秒， 2 秒， 3 秒的时候肉内部的温度的变化图：

根据上图，3 秒之后肉片中心温度大约是 78℃，基本接近汤的温度了。

另一方面，我们也可以画出肉片中心的温度随时间变化的曲线，如下图所示，从左到右依次为厚度为 1 毫米、 2 毫米和 10 毫米的肉片，汤的温度是 80℃，肉片开始时是 0℃。

我们可以看到，比较薄的肉片放到热汤里，几秒钟的时间就会达到和汤几乎一致的温度，而比较厚的肉片中心需要很长的时间才能够热起来，对于米线来说，汤可能早就凉了。这个时间可以从前面给出的解里面估计出来，如果肉片的厚度L是以毫米为单位的话，那么需要大概数个L²秒才能把肉片的中心加热到汤的温度。涮过羊肉的读者应该在生活里面做过实验的验证了。

从以上的分析来说，比较薄的肉片（毫米厚度）在数秒之内就可以加热到汤的温度，而这个时间内汤并不会变凉，因此，只要汤的温度比杀死旋毛虫幼虫所需的62.2摄氏度高一些（参阅果壳网《旋毛虫风波，过桥米线还能吃吗？》），则完全不需要担心。这在一般的过桥米线里面应该不是问题。

但是如果肉片比较厚，或者肉片互相叠放（相当于增加了肉片的厚度），结果就是需要很长的时间才能将中心加热到能够杀死旋毛虫幼虫的温度。万一肉本身带有旋毛虫幼虫的话，食用起来恐怕就会有感染的风险。这里也建议大家把肉片放到汤里面的时候把肉片分开一些，不要叠放在一起。

模型的局限与应用

需要注意的是，在这个分析里面，我们做了一些近似。

由于汤比肉多得多，我们假设在肉片升温的过程中汤的温度是不变的。和肉片接触的汤在把热传递给肉片时温度会降低，会在汤里面形成复杂的流体运动（对流）；而且随着时间的变化，汤是会变凉的。但是如果我们考虑的时间比汤变量所需的小的多，这个假设就没有问题。因此，对于比较薄的肉片，这个假设是合理的，对于比较厚的肉片加热需要的时间会比较长，实际的情况会比这个分析更差一些。

在分析里面，我们用了水的热扩散系数。实际测量得出的猪肉的热扩散系数和水的确比较接近^[4]。肉里面绝大部分都是水，含有的蛋白质和脂肪等有机物会影响肉片的传导系数，但是改变不会太大也不会产生太大的影响。哈佛大学应用数学和应用物理系的Michael Brenner教授曾经在一个科普讲座里面用金枪鱼块测量了水的热扩散系数，得出了很准确的数字^[3] 。而且，即使这个估计不准确也没有关系，比如说，如果把肉片换成导热性更差的木头，其热扩散系数略大于水的一半^[2] ，这样求出来的时间会是原来的约2倍，而不会改变结果的数量级。也就是说，即使是1mm厚的木片插到汤里面的话， 5 ~ 6 秒钟后木片中心就应该跟汤的温度基本一致了。

模型告诉我们：肉片的厚度会导致内部温度上升时间的极大延长。但因为这只是理论上的计算，而实际生活中存在很多变量，所以最后还请以相关标准为指导。例如，根据《云南省旋毛虫病公共卫生应急预案（试行）》的建议，在吃过桥米线时最好能将肉片在 85℃ 的汤中浸烫 1 - 2 分钟。

参考资料：
1．维基百科，“heat equation”，http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation

2.  维基百科，“Thermal diffusivity”，http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_diffusivity

3. Boulder Summer School 2011, Public lecture “Science and Cooking”.

4. Maria Elena Sosa-Morales et. al., Journal of Food Engineering 77, 731-738 (2006).

附推导过程：

本文修改版已发表于果壳网 死理性派 《算出过桥米线中肉片的加热时间》