前文见《数的创生（一）方程的解》《数的创生（二）赋值完备化》。

这一节，从中国剩余定理讲起。

《孙子算经》之“物不知数”是这样说的：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

元代秦九韶的解答则是：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。

这歌诀隐含一种算法。 本文就以此为引子陈述一种新的“数”——有限域的元素。

固定一个正整数 6. 通过对它做除法，可以把所有整数分成 6 类：

被6 整除的数 {...-12,-6,0,6,12,18,...}、 除6余1的数 {...,-11,-5,1,7,13,19,...}、除6余2的数{...,-10,-4,2,8,14,20,...}、...、 除6余5的数{...,-13,-7,-1,5,11,17,...}。

倘若将这6个类分别记为 [0],[1],[2],[3],[4],[5], 称为 “模6的同余类”。 这些类之间可以进行运算：比如，从 [4] 里取一个数 10，再从 [5] 里取一个数 17，把它们相加，10+17=27，它落在类 [3] 里，这样，我们定义 [4]+[5]=[3]。如果在 [4],[5] 两个类 里取另外的代表，比如取 [4]里的-2, [5]里的 11, 相加得 -2+11=9, 还是落在 [3] 里。很容易证明，无论怎么选这两个代表，加起来都落在 [3] 里。所以我们现在定义的 [4]+[5]=[3] 这种运算是合理的。

同样的实验表明，减法和乘法也可以类似地定义：比如，[1]-[2]=[5], [2]× [3]=[0]. 这说明模6的同余类之间是可以做运算的！

不止如此，这些运算还具有跟普通运算相似的性质：
比如，[0]+[3]=[3], [0]+[4]=[4]，零的同余类在加法中没有效果；
[0]× [1]=[0], [0]× [3]=[0]，零的同余类乘上别的同余类都得 [0]；
[1]×[2]=[2]; [1]×[3]=[3], 表明 1 的同余类在乘法中没有效果（换句话说，[1]是乘法的单位元）。

有了乘法单位元，就可以试图定义“倒数”（严格地说，“倒类”）：
比如，[5] ×[5]=[1], 就定义 [5]^-1=[5].

可惜，不是 每个同余类都有 “倒数”，[2] 就没有倒数，这是因为 [2]×[0]=[0], [2]×[1]=[2], [2]×[3]=[0], [2] × [4]=[2], [2]×[5]=[4], 都不等于 [1].

哪些同余类有倒数呢？答案是：那些与模数互素的同余类有倒数。比如，模数为6的时候，[1] 和 [5] 有倒数，因为它们与 6 互素。 （互素的意思是，最大公约数为 1。在这种情况下可以应用欧几里得的《几何原本》中记载的 “辗转相除法” 来求同余类的倒数。）

显然，同余类的性质跟模数有关。前面举的例子都是以6为模数，即考虑除6的同余类。严格的记号必须将这个关联反映出来。 我们应该记上述例子中的同余类为 [4]₆, 括号中是余数，下标是模数（除数）。

现在来尝试研究一下《孙子算经》的“物不知数”问题。3，5，7的最小公倍数是105. 如果找到一个解 x, 则 x+105 还是一个解，因为它们在除以 3, 5, 7 时“同余”，如果 x 满足 “物不知数” 的条件，x+105 也必然满足。用这篇文章里介绍的数学语言，我们说 “物不知数” 问题的解是一个 “模数为105的同余类”。 现在我们只需要求得此同余类中任何一个数即可。

我们把 “物不知数” 的条件列出：[x]₃ = [2]₃, [x]₅ = [3]₅, [x]₇= [2]₇.

求解的办法实际上是 “拆分”。也就是说，我们先来求三个数 a, b, c, 分别满足较简单的条件：
[a]₃ = [1]₃, [a]₅ = [0]₅, [a]₇ = [0]₇.
[b]₃ = [0]₃, [b]₅ = [1]₅, [b]₇ = [0]₇
[c]₃ = [0]₃, [c]₅ = [0]₅, [c]₇ = [1]₇

如果能简单地求得这三个数 a, b, c, 那么我们容易看到，x = 2a+3b+2c 即为原 ”物不知数“ 问题的一个解。这是因为我们刚刚介绍过的同余类四则运算律。验证如下：
[x]₃ = [2a+3b+2c]₃ = 2 [a]₃ + 3 [b]₃ + 2 [c]₃ = 2 [1]₃ = [2]₃,
[x]₅ = [2a+3b+2c]₅ = 2 [a]₅ + 3 [b]₅ + 2 [c]₅ = 3 [1]₅ = [3]₅,
[x]₇ = [2a+3b+2c]₇ = 2 [a]₇ + 3 [b]₇ + 2 [c]₇ = 2 [1]₇ = [2]₇,

那么，问题就归结为求解 a, b, c 三个数. 先看 a. 它满足的条件是，同时被 5, 7 整除，被 3 除余 1。 由于 5, 7 互素，所以 a 必须被 5 × 7 = 35 整除。很容易找到 35 的倍数中被 3 除余 1 的数：a=70. 这个求 a 的过程就是秦九韶的所谓 “三人同行七十稀”。

同理可得 b=21, 即秦九韶所谓 “五树梅花廿一支”，以及 c=15, “七子团圆正半月”。所以我们得到了 “物不知数” 问题的一个解：
2a+3b+2c = 2 × 70+3 × 21 + 2 × 15 = 233.

之前已经提到，加上或者减去 3, 5, 7 的公倍数 105，仍然还是一个解。所以我们得到绝对值最小的解：233-105 × 2 = 23. 此即 “ 除百零五便得知”。

可以看到，解决这个问题的关键，其一在于“拆分”，其二在于求最简单形式的同余方程组的解。而此问题的解的存在性和唯一性，都是由这最简单形式的同余方程组决定的。我们可以仔细地来审视一下求得 a 的过程。其实这个过程中更关键的未知数是一个乘数 w, 满足 [5 × 7 × w]₃= [1]₃. 一旦求得这个 w, 则 a = 5 × 7 × w. 前面已经提到过，这个方程表明， w 应该是 5 × 7 的同余类倒数（以3为模数）。而这个倒数存在当且仅当 5 × 7 与 3 互素。当然，在这个例子里，5 × 7 的确与 3 互素。普遍而言，这个条件则是此类问题存在唯一解的充分必要条件。

总而言之，秦九韶实际上证明了：“物不知数” 问题存在唯一解当且仅当该问题所涉及的所有模数两两互素。

秦九韶对这个问题的解答被称为 “中国剩余定理”，它是很罕有的被世界数学界公认由中国人最早给出完整证明的数学定理。它在现代数学中有极其重要的推广，其普遍形式是现代数学的基石之一。

回到正题。这一节介绍的是有限域。首先回忆一下，“域” 就是一些互相能做加减乘除四则运算的东西放在一起的一个集合。我们在前面的篇章里介绍过有理数域、代数数域、实数域、p-adic 数域。它们都包含无限个元素。而在这一篇里，我们已经看到了有限域的例子：比如模5同余类组成的集合，{ [0], [1], [2], [3], [4] }, 记为 F₅。

这些元素之间可以做加、减、乘运算，其过程无非是先把它们当作整数进行运算，再将运算结果模5。除法就没有这么直接，因为普通整数除法的结果不一定是整数，模5这种操作可能没有意义。不过我们知道除以一个数等价于乘上这个数的倒数，而当模数为素数的时候，非零同余类的倒数总是存在的。所以在 F₅ 里面我们也可以自由地做除法。

显然，对每一个素数 p, 我们就有一个有限域 F_p. 其它的有限域都是什么样子呢？数学论证表明，任何一个有限域，它的元素个数必定是某个素数的幂，pⁿ, 而它的元素都满足多项式方程

x^pn -x = 0.

实际上，正如有理数域通过添加多项式方程的解得到更大的数域，F_p 添加以上方程的所有解就得到元素个数为 pⁿ 的有限域。不过，对于不熟悉抽象数学语言的读者，有限域跟其它我们提到的数域有一个重要差别：有限域的元素一般不存在直观的表示。而其它数域的元素一般会有比较直观的表示方法，比如，代数数一般可以表示为复数a+bi, 实数可以表示为小数，p-adic 数可以表示为大数，等等。所以，其实我们应该承认：余数非数。

由于有限域的元素个数有限，以它们为系数的“向量空间” 就成为有限的对象，同时又具有普通向量空间所具有的丰富结构，很多科学工程领域应用有限域上的向量空间帮助建立数学模型。比如，有限域在密码学和编码学中发挥着极其重要的作用。

纯数学领域，对有限域上代数方程组的研究引导数学家韦伊在 1949 年提出一系列猜想，试图将数论问题与几何（拓扑）概念作类比。 为了解决韦伊猜想，格罗登迪克发展出了一整套新概念、新方法、新体系，形成了“现代代数几何”。发展至今，这一“发源于”有限域的新体系已经全面改变了整个数学的观念和语言。

下一节我们将把眼光转向另一个创生新数的领域 ── 数学物理，接触一些似数非数，遵循另类运算规则的数学对象。首先出场的将是听上去很像从中国传统文化中走下来的“四元数”。

上篇请见《数的创生（一）方程的解》

这一节说说从有理数产生新数的另一个途径：从有限到无限。这个概念我们在小学就已经比较熟悉了，就是从有限小数或者循环小数到无限不循环小数的扩张。然而，要说清楚这个概念，我们最好还是从更基本的概念开始，即，什么是整数，什么是小数。

0. 人类发明数字之前，整数是通过物件来表示的。这种方法在表示前面一些整数的时候还算方便，但如果数太大了，就很不方便。这就是“进位制”起作用的地方。人类用自己的十个手指头计数，计到十以后，做下标记，表示所有指头都用过一遍了，然后就可以再使用它们继续计数。每用完一次，就做一个标记，而标记的个数同样可以用手指来计，如果超过十个标记，就做一个新类型的标记，这表明所计的数已经超过一百。这就是把一个整数写为十进制数字的过程。下面这个表是把第一行的黑桃代表的整数表示为 3-进制数。祖先一直使用十进制，以至于我们离开十进制就无法举出具体例子。现在我暂时采用一种非十进制的数字体系，即以下列方式写出前几百个自然数：
零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、赵、钱、孙、李、周、吴、郑、王、...... 那么以下这个具体例子说的就是把整数 “吕” 表示为 “叁”-进制数，吕 = [壹零壹贰]_叁

现在从抽象的角度解释一下把整数表示为拾-进制数字的过程。

1. 将一个正整数表示为拾-进制数:
做欧几里得除法: n = n₁ × 拾 + b₀, 要求 0 ≤ b₀< 拾. 其中 n₁ 称为“商数”而b₀称为“余数”。接着对商数应用欧几里得除法, n₁ = n₂ × 拾 + b₁. 继续这么做下去，直到某一步 k, 商数满足 0< n_k<10, 如果再做欧几里得除法， n_k = 0 × 拾 + b_k, 我们不再得到更多的商数. 现在我们把过程中所有的“余数” 收集起来，就得到了n的拾-进制展开 n=b_k...b₁b₀ . 用一个复杂的公式来表示以上过程，就是

比如, 取拾-进制数112, 记为 [112]_拾, 我们想把它展开为 6-进制数: 为方便起见，我们还是用熟悉的拾-进制数来记录运算过程, 112=18 × 6 + 4, 接着对商数做欧几里得除法 18=3×6 + 0, 再做除法 3=0 × 6 + 3. 现在商数为零，过程结束，收集过程中的余数我们得到 [112]_拾=[304]₆

3. 从用桃杏梅方表示的那个例子可以看到，石器时代的人类其实已经可以做欧几里得除法了。做欧几里得除法不需要把整数表示为任何进制的数字。现代澳门赌场里的庄家闲家仍然在用这种办法计算筹码个数。

但是为了叙述方便，在接下来的段落里我会尽量使用阿拉伯数字。如果进位单位小于或者等于拾，这就够用了。如果进位单位大于拾，就需要引进阿拉伯数字以外的数字了（本文中使用百家姓）。

分数的情况如何? 怎样把分数表示为 m-进制数字? 我们从小就做了很多这样的练习（当然，基本上都是表示为拾-进制）。考察分数 x/y. 首先做欧几里得除法 x=q × y + r, 其中 0 ≤ r < y. 这样就把 x/y 分成了整数部分 q 和小于 1 的分数 r/y. 将整数表示为 m-进制数字我们之前已经讨论过了。至于 r/y, 我们的做法是长除法，首先“移位”，即分子乘以 m, 然后做欧几里得除法 r × m = a₁ × y +b₁. 显然，为了此等式成立，商数必然满足 0 ≤ a₁ < m. 如果余数 b₁ ≠ 0, 那么将此余数移位，再做欧几里得除法 b₁ × m = a₂ × y + b₂ . 一直这么做下去，有两种可能：（1）在某一步余数为0，过程结束；（2）余数永远不为0，长除法无限进行下去。把每一步的商数按顺序放在一起，就构成了 r/y 的 m-进制表示 0.a₁a₂a₃... 这个小数必然是有限或者循环小数，因为每一步的余数都小于 y, 只有有限种可能，一定会重复出现，从而商数也会重复出现。举个例子: 将分数 2/5 表示为 8-进制小数。不断移位做除法， 2×8=16=3× 5+1, 接着 1 × 8 = 8 = 1 × 5 +3, 接着 3 × 8 = 24 = 4 × 5 + 4, 接着 4 × 8 = 32 = 6 × 5+2, 余数 2 重复出现, 从而欧几里得除法 2×8=16=3× 5+1 再次出现, ... 这样，我们把商数按顺序放在一起，得到循环小数 2/5 = [0.314631463146...]₈

从上述段落我们应该看到，整数和分数是抽象的概念，而小数则是它们在某进位制下的表现形式。同一个有理数，在不同的进制下表示为不同的小数。细心的读者可能注意到，在进位制下展开整数和展开小于1的分数的方法不同，一个是被进位单位除，然后收集“余数”，一个是被本身的分母除，然后收集“商数”。然而，一句耳熟能详的话说，“整数是特殊的分数”，为什么展开方法如此不同？（此处请读者自己思考 5 分钟。答案是，分数的展开方式同样适用于整数，读者应该不难发现怎么做。）

取一个进制，可以把有理数展开为有限或者循环的小数。那么在此进制中那些无限而不循环的小数对应什么抽象的对象呢？如果是拾-进制，我们都知道答案：无理数。那么其它进制下的无限不循环小数也是无理数吗？或者说，无理数的定义是否依赖于进制选择？同样请读者自己思考 5 分钟，答案下几段揭晓。

现在我们进入光怪陆离的世界，看看跟小数相反的对象：“大数”。要理解这个概念，先要理解长除法的本质是通过移位和做欧几里得除法将有理数表示为各个位上的数字所表示的有理数的和，

下一步，

再下一步

第一步，先“移位”，即把分子分母里所有的因子 3 都提出来： 7/6 = 3^-1 × (7/2)

第二步，对 7/2 做新的带余除法：找一个商数 s < 3，使得余数 （7 - s× 2） 是 3 的倍数。由于数字比较小，这个不难，一个一个试就行了，很快就试出 s=2, 余数为 7- 2×2 = 3.

第三步，将上一步的余数移位，即，除以 3，作为新的被除数：3/3 = 1. 再做带余除法，1-2× 2 = -3.

接着进行移位和带余除法，-3/3 = -1. 现在 (-1) - 1× 2= -3.

余数重复，所以商数将开始循环。因此我们得到

7/6 = 3^-1 × ( 2×3⁰ + 2 ×3¹+1×3²+1×3³+1×3⁴+ ...... ) = 2×3^-1 + 2 ×3⁰+1×3¹+1×3²+1×3³+ ......

按照小数的习惯，从左到右幂次递减，则此大数记为

7/6 = [ ......1112.2 ]₃

再举一个例子，将 5/8 展开为 7-进制大数：

5-5×8= -35,接着 (-35/7) - 2 ×8 = -21, 接着 (-21/7) - 4×8 = -35, 余数重复，商数开始循环，我们得到

5/8 = [ ......424242425.]₇

再看一个例子，将 -1 展开为 5-进制大数：-1-4 = -5, 接着 (-5/5) -4 = -5, ..... 所以 -1 = [......444.]₅ 这个例子显示负有理数可以展开为正的大数。

前面谈的都是展开算法和例子。现在我们需要理清一下思路。比如，怎样从循环小数展开或者大数展开得到原来的分数？对于小数，可以用等比数列求和公式，

[0.4232323......]_拾 = 0.4 + 0.023×(1+0.01+0.001+......)

= 0.4+ 0.023× lim_k→∞(1-0.01^k)/(1-0.01) = 2/5 + (23/1000) ×(100/99) = 2/5+230/99 = 1348/495,

为方便起见我在计算过程和结果中都不加说明地使用了拾-进制表示。对于大数，同样有等比数列求和公式，比如

[......444.]₅ = 4×(1+5+5²+5³+......) =

= 4 × lim_{k→ ∞}(1-5^k)/(1-5)

如果我们强令当 k趋近于无穷时 5^k → 0，那我们正好得到有理数 -1. 在另一个稍微复杂一点的例子里， 7-进制大数可以用等比数列求和公式化为一个极限，

[ ......424242425.]₇ = 5 + [420]₇× (1+ [100]₇+[10000]₇+......)=

= 5 + [420]₇× (1+7₂+7₄+......) = 5 + [420]₇× lim_k→∞ (1- 7^2k)/(1-7²)

同样，如果我们强令 7^k→ 0, 则得到有理数

5+(4×7²+2×7)× (1/1-7²) = 5- ([210]_拾/[48]_拾)=5/8

（计算过程中我总用到拾进制数，因为我们人类的乘法口诀是基于拾进制表示的，我不必为了避开拾进制而去找一堆小木棍儿来摆弄，还把这种原始计算过程千辛万苦地画在这里 ）

上面这些计算告诉我们，如果要在 p-进制循环大数（习惯上用字母 p 来代表任一素数） 和分数之间自由转换，我们需要接受一种奇怪的观念，就是在 p-进制下，当 k 越来越大时， p^k 越来越接近于0. 一旦接受了这种观念，那个看起来怪怪的新式长除法就跟传统长除法类似了，都是坚持“余数比除数离0更近” 这个原则。这里应该注意的是，在大数的世界里，“哪个有理数离零更近”这件事，是跟进制单位 p 有莫大关联的。比如，在 3-进制大数体系里，[27]_拾 比 [12]_拾 离0更近，因为 [27]_拾 含有更多的因子 3. 而在 2-进制大数体系里，[12]_拾 比 [27]_拾 离0更近，因为 [12]_拾 含有更多的因子2. 这跟小数的世界太不一样了，不管用哪个进制的小数表示，1/5 都比 1/2 离0更近，这是因为在小数的世界里，衡量离0远近的是“绝对值”，它不依赖于进制的选取。

我们现在终于可以来解释这一篇的副标题：赋值完备化。所谓“赋值”，就是对每一个有理数规定离0有多远。当然，规定不是任意的，需要满足某些性质，比如，a+b 离0的距离不能大于 a 离0的距离同 b 离0的距离的和。一个这样的规定就叫一个赋值。“绝对值”就是一个赋值，它规定：正有理数离0的距离就等于这个数本身，负有理数离0的距离等于它的相反数。我们上面看到的跟素数 p 有关的是另一种赋值，称为 p-进制赋值，它规定：有理数离0的距离跟它含有的所有 p 因子成反比。就是说，如果 x/y 的分子分母都把 p 因子完全分解出来，x= p^j w, 而 y= p^k z, 其中 w, z 不再含有 p 因子，这样可以写 x/y = pⁿ(w/z)，其中 n=j-k. 则 x/y 离0的距离为 p^-n = 1/ pⁿ. 具体例子：有理数 -3/4, 它的 3-进制赋值为 1/3, 而 2-进制赋值为 4, 它的其它进制赋值均为 1，因为它不含有除2和3以外的其它素因子。 （有心的读者可能会观察到，这个数的绝对值为 3/4, 这样把它的绝对值和所有 p-进制赋值全部乘起来，

(3/4) × (1/3) × 4 × 1×1× 1× ...... = 1.

很容易看到这个关系对所有的有理数都成立。这说明所有这些赋值之间是有关联的，一个有理数在各个素因子处的表现是互相牵扯在一起的。这个道理虽然看起来很简单，它却有着极其深刻，很可能是至今为止数学中最深刻的推广，就是所谓“朗兰兹纲领”。这些从最简单到最复杂的关于素数之间的关联的命题，都称为“互反律”。）

扯得太远，总结一下。有理数可以用小数展开，展开的结果总是有限或者循环小数，那么包括无限不循环小数在内的所有小数自然就构成有理数的一种推广，它们在“绝对值”这种赋值下有意义，因为越到后来加上来的尾数绝对值减小得越快，所以会“收敛”到某种东西，这种东西就是某个“实数”。所以，实数的定义是不依赖于进制的，因为“绝对值”是不依赖于进制的。有理数又可以用 p-进制大数展开，展开的结果总是有限或者循环大数，而包括无限不循环大数在内的所有 p-进制大数也是有理数的一种推广，它们在“进制赋值”下有意义，越到前面加上来的大整数的 p-进制赋值减小得越快，所以收敛到某种东西，这种东西依赖于进制选取。对每一个素数 p, 有 p-进制赋值，在这种赋值下的有理数扩张称为 “p-进制数”。p-进制数之间可以进行加减乘除，它们构成数域。这样，对每一个素数 p, 存在一个数域，记为 Q_p, 它是实数域的类似物。以 p-进制数为自变量和取值的函数也可以做微分和积分。从而，这个世界上存在无数多种微积分，对每一个素数有一种，再加上我们已经熟悉的以绝对值为基础的微积分。最后回忆一下，之所以大数的进制单位必须是素数，是因为只有这样才能做除法。

下一篇将是关于伽罗瓦数。

人们最初产生了自然数 1, 2, 3, ...... 的概念，后来产生了 0 和负数的概念。这些概念虽然已经成为最简单的常识，但它们实际上是非常抽象的概念。人类可能已经进化出了理解这一类抽象概念的基因，这才使得 ”学习数字“ 成为很简单的事情。这种把具体而复杂的事物抽象为简单概念的过程，就是 ”数学“ 这门学科的发展过程。而到了21世纪，人们已经开始反思，这个过程是否过多地隐藏了世界呈现给我们的重要信息？我们也许应该从抽象的数学对象和它们之间简单的相互关系返回到它们所代表的、更为复杂丰富的事物及其相互关系。这就是本世纪数学界所谓 “范畴化” 浪潮。这是一点题外话，可能是另一篇帖子的主题。现在我们开始谈谈“数”。

引进 0 和负数自然有很多历史的理由，但从抽象的观点来说，可以理解成是为了使 “减法” 对任意选取的两个自然数有意义。同理，引进 “分数” 是为了使 “除法” 对任意选取的两个自然数有意义。负数概念和分数概念使我们有了最 “自然” 的所谓 “数系”，所有 “有理数”。在这个数系里，可以几乎自由地做 “加、减、乘、除” 运算。古希腊的毕达哥拉斯学派曾经认为有理数就是所有的宇宙奥秘。从数学的角度来说，这几乎是对的。其它一切 “数” ，进而大多数数学对象，都可以认为是从有理数系里面衍生出来的，而且是纯粹思维的产物。只有有理数是现实中 ”可见“ 的，或者说，”可操作“ 的。

发现无理数的过程大家可能都听说过，最初认识到有理数之外的数可能存在的人遭到了毕达哥拉斯学派 ”卫道士“ 们的血腥屠杀。但是历史的洪流是任何力量阻挡不了的，无理数还是迅速在人类的思维中占有了一席之地。从有理数系到实数系的扩展已经是更抽象的数学过程，大学里只有两三个非常依赖数学的专业才要求掌握其严格表述。直观上看，从有理数到实数可以看作一个从有限到无限的扩展。我们小学就已经学到了 ”循环小数“ 和 ”无限不循环小数“。有限长度的小数和循环小数都可以看作某种程度上有限的东西（至少可以用有限的表达式表示），而无限不循环小数是真正无限的东西，本质上是不可操作的、纯思维的对象。所有的小数构成了实数系。

通常大家认为，复数是比实数更复杂的东西。但事实并非如此。有些复数比有些实数要简单得多。比如，虚数单位 i 就比圆周率 π 要简单得多。 i 就是二次方程 x²+1 = 0 的一个解。而这个方程的系数特别简单。圆周率 π 是某个系数为有理数的多项式方程的解吗？不是。但要证明这一点却不容易。可以看到，像虚数单位 i 这种数可以从整数出发经过有限的、可操作的步骤扩展出来（列出一个方程，然后定义 ”新的数“ 为此方程的解，即，这个方程就是这个新定义的数满足的全部关系，从而可以作为这个 ”数“ 的定义。比如，我们所要知道的关于虚数单位 i 的全部信息就是 i²+1=0, 有了这个关系，我们就可以自由地使用它了。）显然，被称为 ”平方根“、”立方根“ 的那些数都是如此定义的。就像 √ 2 这个符号，它只是个抽象的符号而已，其实我们只知道并且只需要知道它的平方等于 2.

我们现在看到一种可操作的产生新数的办法，它不同于以往产生新数的办法，以往是为了让旧有的数之间直接的 ”运算“ （减法、除法）总是有意义而产生的新数，而现在这种办法是为了我们总能解出以旧有的数为系数的 ”多项式方程“ 而产生的新数。以有理数为系数的多项式方程的解称为 ”代数数“。虚数单位就是一个 ”代数数“，整数的平方根也是 ”代数数“。代数数之间同样可以自由进行加减乘除运算，同时，还可以自由进行开方、解代数方程的操作。这种产生新数的办法一旦建立，其威力无穷。古希腊尺规作图三大难题马上就有了结论。

尺规作图，咱们中国古人从来不计较什么规矩。这里规矩应该加引号，因为规矩本来就是指圆规和两把互相垂直钉在一起的尺（一把叫勾，一把叫股）。所以按照原意，咱们中国古人作图还是有 “规矩” 的。咱们的 “规矩” 上面画满了刻度，作起图来好用得很。当时的西方人，古希腊人，贫富两极分化太厉害，所以有一部分富人开始瞎想。这又跟如今中国两极分化的情况不同，如今好像是穷人才爱瞎想。再说古希腊人，他们喜欢没有刻度的尺（没有他们这类怪癖就没有现代科学），古希腊人希望用没有刻度的直尺和圆规做以下这三件事：

1. 倍方：给定一个立方体，存在一个大立方体，体积是原来那个的两倍。用尺规作出大立方体的边长。

2. 化圆为方：给定一个圆，存在一个正方形，面积等于这个圆的面积。用尺规作出这个正方形的边长。

3. 三等分角：任给一个角，用尺规把它三等分。

这几个问题合称 “古希腊三大难题”。其实比这几个更难的作图题还有很多，因为这几个看上去特别简单，所以有名。之后大约两千年都没有人能作出来。到了19世纪，终于有个人能够证明三等分角问题是不可解的。值得注意的是, 这个问题不可解, 是指不存在一个作图程序来三等分 "任意" 的角. 有些特殊的角是可以用尺规三等分的, 比如直角.

后来不久，经过两个英年早逝的天才 Abel 和 Galois 的工作，人们了解到这三个问题有共同的背景------数域的扩张。“ 域”，简单的说就是一些可以做加减乘除的东西放在一起组成的集合，条件是，四则运算的结果必须还在这个集合里。全体自然数不是一个域，因为两个自然数的差就不一定是自然数了；全体整数也不是一个域，因为除法的结果不一定是整数。全体有理数组成一个域 Q, 全体实数组成一个域 R, 全体复数组成一个域 C.

还能有些什么域？比如所有这种数： a+b√3 其中 a, b是有理数，就组成一个域，因为这些数加减乘除以后还是这种形式。这个域比有理数域大. 大多少？可以用 “次数” 来衡量------每个这种数需要两个有理数来表示，所以扩张次数是2。这是域扩张的最简单的例子。望文生义，域扩张就是把一个域扩大到更大的一个域。

再看这个扩张：要找一个域，包含有理数以及 1 的某个立方根 w. 现在所有 a + bw就不够了。要对乘法封闭，必须包含w². 所以这个域的每个数都写成 a + bw + c w² , 其中 a,b,c 是有理数. 这个在有理数域上的扩张的次数是 3 次。

现在来看尺规作图与域的扩张之间的关系。用尺规可以做两条互相垂直的直线，然后可以把两条直线标上刻度 (用圆规)，然后把这个刻度拓展到全平面得到方格点。把这些格点看成坐标是整数的点。然后所能做的事情是，连接两个格点得到一条直线，或者以某个格点为中心，以到另一格点的距离为半径画圆。这些直线和圆的方程的系数都是整数(至少是有理数). 它们之间的交点由解方程组得到。初中数学告诉我们，这些交点的坐标要么是有理数，要么是一些二次方根和有理数做四则运算的结果 (因为圆方程是二次的)。比如直线 x=y 和圆 x²+y² = 1 的交点就是（ √2 /2，√2 /2 ）. 在这些交点的基础上再用尺规作图，交点的坐标应该是一些二次方根里面套二次方根的数，比如

这个事实在代数上的意义就是，尺规作图所得交点的坐标，处在有理数域的某种扩张之中。这种扩张的性质是由圆方程的二次性质决定的，即，除去四则运算以外只有累次开平方运算。更准确的说法是，这些交点的坐标, 作为一个数, 满足很多系数是有理数的方程，这些方程中次数最低的那个, 其次数一定是2 的乘方，1, 2, 4, 8, 16, ... 。比如这个数

满足的有理系数代数方程中次数最低的一个是 (x² -3)² = (5 √ 7 )² = 175. 其次数为 4.

现在很快就能解释倍方问题为什么不可解：倍方问题相当于要作出 2 的 "立方根" ³√ 2 ，它满足的次数最低的有理系数方程是 3 次的（ x³ = 2）. 根据上面的分析，尺规作图不可能做出这样的数。

三等分角问题还要费一番周折。作出一个角，等价于作出这个角的某个三角函数，比如余弦。一个角 θ 的余弦和它的三等分角 θ/3 的余弦之间的关系是一个三次关系 cos(θ)=4 cos³(θ/3)-3 cos(θ/3) . 等式左边是已知的，所以这个关系是关于三等分角余弦的一个3次有理系数方程。这里可能需要一点小技巧来证明对于一般的角 θ 这个方程就是要求用尺规作出来的那个数满足的次数最低的有理系数方程。这样，根据以前的分析，这个 cos(θ/3) 不可能用尺规做出来。在一些特殊情形, 比如 θ=90度, cos(θ)=0, 两边消去 cos(θ/3), 可知现在 cos(θ/3) 满足一个二次方程。之前的分析并不能排除用尺规作出这个角(30度)的可能。实际上，直角的确可以用尺规三等分。

化圆为方问题就更复杂，涉及到圆周率 π 这个数到底满足一个什么样的有理系数方程。可以证明 其实不满足任何有理系数方程。这种数有个名字，超越数。尺规是作不出超越数来的，所以化圆为方是不可能的。

总结：有理数系在 “域的扩张” 这种有限的代数操作下产生新的数，包括一些有理数构成的根式。它们放在一起组成一个新的数系（而且是一个 “数域”，即可以进行加减乘除运算），称为 “代数数”。有理数域和代数数域之间存在很多中间域，比如所有尺规作图能作出来的数组成的域。

下一集我们来看看另一种由有理数产生新数的办法 ------ 赋值完备化。实数就是这么产生的。还会看到一些非常奇怪的数 (p-adic 数) 也是这么产生的。在数论研究中这些数尤其重要。

"非欧几何" 的发现是19世纪最大的数学进展之一. 主要的先驱人物是俄国的罗巴切夫斯基, 匈牙利的鲍耶, 和德国的高斯. 非欧几何的故事已经流传很广了, 它与欧氏几何的不同就在于所谓欧氏平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 如果把这条公理改成 "过直线外一点有两条以上的直线与已知直线平行", 而保持其它公理不变, 就得到一种新的几何, 称为非欧几何. 关于非欧几何的文章发表于 1830 年左右. 有迹象表明高斯在早些年就得到了一些结果. 然而非欧几何这个名称在 1854 年黎曼的就职演讲发表以后含义就不够精确了（因为黎曼提供了无穷多种“非欧”的几何形态）, 现在大部分数学家把上述这种公理化几何称为"双曲几何".

19世纪还出现了一种几何叫射影几何. 研究这种几何的动机是非常贴近生活的 ------ 它主要研究 "中心投影" 现象。通俗一点说, 如果有一盏灯, 它照射在纸面上, 那么纸面上的图形在地面上的投影是怎么样的? 最明显的就是, 纸面上的圆周在灯光下的影子一般不再是圆周, 可能是个椭圆周; 然后注意到, 如果纸面不平行于地面, 纸面上两条平行的直线在灯光下的投影可能不再平行; 更奇异的现象是, 如果纸面足够大，它上面的一个圆周也足够大, 使得圆周上有些点比电灯所处位置更高, 那么这个圆周在地面上的投影就会是双曲线. (记得高中的解析几何课本封面上绘有一个圆锥面, 用不同的平面去截就得到不同的圆锥曲线. 如果把锥的顶点视为一盏灯, 就容易看到所有这些圆锥曲线都可以互为中心投影.)

还有一种几何是研究平行投影下图形怎么变化的, 叫做 "仿射几何". 如果把上面的灯换成太阳, 由于距离太远, 在小范围内是非常精确的平行投影 ------ 纸面上两条平行直线总是投射为地面上的平行直线. 圆周会投射为椭圆周, 但决不会是双曲线。

在 1872 年, 所有这些几何把数学家搞懵了 ------ 到底什么是几何? 这时候 23 岁的德国人克莱因在爱尔朗根大学为其教授就职演讲准备了一篇讲稿 ------ 这篇稿子后来被称为爱尔朗根纲领 ------虽然他后来的演讲并没有讲这个讲稿上的内容. 这篇讲稿提出, 每一种几何对应一个变换群, 这种几何研究的对象是各种形体在相应变换群下不变的性质.

"群" 是描述对称性的数学结构. 变换群被伽罗瓦发明出来研究代数方程的可解性. 而克莱因的合作者挪威人李(Lie)到 1872 年已经研究了某些连续的变换群, 现在称为 Lie 群. 以上所说的这几种几何都对应到不同的 Lie 群.

现在我们从克莱因的爱尔朗根纲领来看待以上提到的这些几何:

欧氏几何是 "最小" 的几何, 研究的就是长度啊, 全等啊这些性质. 对应的群就是所谓 "欧氏变换群", 它里面的元素包括平移, 旋转, 反射以及它们的累次作用. 这些变换保持长度不变; 我们说两个图形是 "全等" 的当且仅当有一个欧氏变换把一个图形变为另一个.

我们初中高中的时候还研究相似三角形. 这种包含“相似性”的几何对应到什么变换群？我们可以把 "欧氏变换群" 扩大, 即, 加入 "伸缩" 这个变换, 这样就得到更大的 "相似变换群". 我们能用相似变换把不同长度的对象 "等同" 起来, 比如不同半径的圆周, 在相似几何中就被视为同样的图形. 三角形的 "相似" 就是相似几何中的 "全等". 这个相似变换群包含欧氏变换群, 所以在这个群下不变的性质自然在欧氏变换群下不变, 也就是说, "相似几何" 的概念都是欧氏几何的概念. 反过来就不对, 举个例子, 长度是欧氏几何的概念, 但不是相似几何的概念. 这句话说得直白一点就是，几何体的长度在欧氏变换群下不变，但在相似变换群下有可能改变。

仿射几何是更大的几何. 对应的群叫 "仿射变换群", 包括平移, 线性变换以及它们的累次作用. 线性变换的意思基本上就是那些把直线还变到直线的变换。由于旋转, 反射, 伸缩都是特殊的线性变换, 所以仿射变换群包含相似变换群. 在仿射几何里, 圆和椭圆是同一种图形; 所有的平行四边形都 "全等"; ... 在这个几何里, 长度, 角度都失去意义, 能谈论的只能是平行性质, 或者共线三点的分比(单比), 等等这些很 "粗略" 的性质.

射影几何是以上提到的几何中 "最大" 的几何. 从仿射几何到射影几何的扩张, 比之前的几次扩张要复杂得多. 特别地, 我们需要给平面添上 "无穷远直线" 来使得射影变换是一对一变换. 这其实很容易理解，如果纸面不平行于地面，那么从光源水平射出的光线就只与纸面相交而不与地面相交，这样它与纸面的交点在射影变换下就没有像。如果我们假设地面的无穷远处存在所谓“无穷远点”，那么就可以把这些无穷远点作为水平光线与地面的交点。平面的所有无穷远点构成无穷远直线。在射影几何中, 所有圆锥曲线 ------ 椭圆, 双曲线, 抛物线, 都是 "全等" 的图形. 所以射影几何研究的性质是最 "粗略" 的性质, 比如曲线的 "次数": 直线是由一次方程定义的曲线, 圆锥曲线是由二次方程定义的曲线; 再比如共线四点的交比. 射影几何是非常有趣的几何, 有很多 "巧合", 部分原因就是这个几何的变换群非常大, 对称性高. 同志们如果实在闲得无聊, 可以找本书看看, 书名一般叫做 "Projective geometry".

对于熟悉计算机的同志, 可以看出在每种几何里我们都 "重载" 了 "全等" 这个概念 ------这正是关键所在 ------ 凡是能用一个变换互相转换的对象, 我们都看成同样的对象. 自爱尔朗根纲领提出以来, 对称性(群论)日益收到重视, 到了今天, 已经成为根深蒂固的观念. 物理学中, 自相对论、量子力学以来, 对称性也被作为基本原理, 到了 1970 年代, 物理学家发现自然界四种基本相互作用的根源都是对称性. 由此可见伽罗瓦, 李, 克莱因这些前辈的深刻洞察力.

最近俄罗斯数学家佩雷尔曼解决了百万美元问题 "庞加莱猜想" 及更广泛的 "瑟斯顿几何化猜想". 后面这个猜想就是天才的瑟斯顿继承爱尔朗根纲领的精神给出的解决三维流形分类问题的蓝图. 具体内容如何, 且待下回分解.

前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑，如果大伙儿还不知道这些是啥，请复习拙著：）。其实，拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学，而不仅限于拓扑学研究本身。

很多文献会提到，拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉，给出了第一个拓扑不变量，多面体表面的欧拉数（点数-边数+面数）。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人（虽然莱布尼兹曾经臆想过）。

传说中高斯当年是德国国土局的领导，负责丈量土地。他由此观测到山脊附近的地面弯曲性质可以用内在的测量方法得到（所谓曲面的内蕴几何），他还定义了度量曲率大小的量（高斯曲率），并且将这个局部定义的、可以用微积分计算的量同整体定义的欧拉数联系起来（高斯-博内定理），所以他可以被追认为研究微分拓扑的第一人。当然，高斯的主业其实是政府工作、开创现代数论、以及电磁学。业余时间研究一下各种误差的分布啊，欧几里德的几何原本有什么错误啊之类的小问题作为消遣。

第二尊菩萨，黎曼同学，除了开创流形的几何学、发展了傅立叶分析和积分理论、研究了一下素数分布提出世界第一难题黎曼猜想之外，他不到40岁的短暂一生的其余时间基本上都在思考复变函数的问题。为什么有的复变函数是多值的？比如平方根和对数。能否把它们以某种方式变成单值函数？人们的思维定势是，既然函数是多值的，就像一条横着的抛物线，一个 x 对应到两个 y, 要变成单值很容易啊，砍掉抛物线的一半就行了。黎曼不这么看。他觉得，如果把函数图像本身作为定义域，每个点当然只对应到一个 y. 这样函数就变成单值的了，而且没有丢掉任何信息。如果是复变函数，其图像就是一个二维曲面，这就是黎曼曲面。黎曼曲面上有很多复杂的现象，这些现象催生了诸如连通性、单连通性、复叠空间这些拓扑概念，以及奇点、除子、函数域等等一些代数几何的概念。抛开代数几何不说，黎曼也许可以被屈尊为研究低维拓扑的第一人。

牛顿莱布尼兹发明了微积分之后，大家对无穷小无穷大这两个概念很不放心。为了让我们用得更安心，柯西和威尔斯特拉斯等人后来把无穷小解释得非常透彻，基本上就是说两个东西越来越近。“离得近”这个概念从而成为分析中最核心的概念。它正是所有拓扑学分支的共同基础——“点集拓扑”的起源。拓扑学在现实生活中的应用多数跟点集拓扑有关，即，通过分析“收敛性”体现在应用数学中。所以，最牛的牛顿被屈尊为研究点集拓扑第一人（有好事者不以为然，一定要扯到古希腊的阿基米德，这就见仁见智了。）

总而言之，拓扑学有着高贵的血统。当然，好汉不提当年勇，拓扑学的现在和将来如何？20世纪中叶，代数拓扑学朝着高度抽象的方向发展，两位名不见经传的数学工作者（艾伦伯格-麦克雷恩）突发奇想，从中总结出一套抽象语言。为了体现这套语言之形而上，他们重载了先贤亚里士多德的概念——范畴。继解析几何与微积分以来人类数学又一次在概念上经历了大变革。范畴论诞生了。20世纪数学的上帝——格罗登迪克，用7000页的数学圣经将拓扑学和范畴论全面而深遂地渗透到代数几何和数论研究中，改变了整个数学的风貌。与此呼应，世纪之交的物理学也在经历变革，量子场论和弦论呈现出绚丽多姿的数学结构。20世纪物理学的耶稣（上帝被爱因斯坦附身了）爱德华.威顿，身负绝世的拓扑神功，一经施展，整个理论物理学为之色变。拓扑学三位一体，必须要像生物学一样将21世纪纳入自己的势力范围。所以，在这个系列的结尾，让我骄傲地替拓扑学宣称：21世纪是拓扑的世纪！！

I am just kidding.

拓扑学简介（一）

拓扑学简介（二）

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拓扑学简介（五）

 黎曼所描述的几何经常被形容为 “爬虫的几何”，因为黎曼假设观察者处于流形内部。对人类来说，二维流形是非常直观的对象，它们通常被称为“曲面”。而三维流形却难以想象，正因为我们处于宇宙空间这个三维流形内部。爬虫几乎是二维的生物，它们靠爬行来感知周围世界。1884年英国小说家 E. A. Abbott 的科幻小说《平面国》描述了真正的二维爬虫，以及它们对额外维（仅仅是第三维）的恐惧不安。

现在让我们体会一下二维爬虫的世界。假设这个世界是一个二维球面，任何事件都发生在这个球面上。最重要的是，光线沿着球面传播。而我们人类可以从外部观察这个二维球面世界。古希腊数学家就已经知道，球面上连接两点的所有曲线段中存在最短者，即以球心为圆心的弧（称为“大圆弧”）。爬虫通过测量也能发现这个最短线段，但在爬虫的世界里，“球心”并不存在。我们假设爬虫的光学定律也要求光线沿短程线传播，所以二维球面上的光线，即短程线，在人类看来是一些大圆弧。一个处于球面上 P点处的光源发出的所有光线沿着大圆传播，它们将汇聚于 P 的“对极点” P’ （人类倾向于定义对极点 P’ 为三维空间中连接 P 和球心的直线与球面的另一交点；而爬虫将定义对极点为离 P 最远的那个点）。爬虫们实际上看到两个发光点 P 和 P’，一个是真实的，另一个是像（按高中物理的说法，P’ 处的发光点是 P 处光源的“实像”）。这是因为光线在 P’ 汇聚之后再次散开，眼睛将告诉大脑这些光线是从 P’ 发出来的。有延展的物体，比如一个四边形爬虫，不妨设它的眼睛长在“前边”。那么它往前看将看见自己的“后边”，往左看将看见自己的“右边”。它看到了自己在“远方”成的像。有多远？圆周率乘以这个二维世界的半径。有趣的是，对于正好处在此爬虫对极点的观察者而言，爬虫“无处不在”，往任何一个方向看都能看到爬虫，非常恐怖的景象。这个世界的另一个显著特点是，它“有限无边”。如果爬虫认定一个方向往前爬，它可以永远爬下去，不会碰到“世界的边缘”，此即“无边”；而如果爬虫会丈量面积，那么它发现这个世界的总面积是有限的，如果它一直往前爬，它会一次又一次地回到起点，此即“有限”。

有限无边的二维流形当然不必是球面。比如，爬虫的世界完全可以是我们人类所谓“轮胎面”，数学家叫它“环面”。在这样一个世界里，房地产开发商将是一个危险的职业，因为有时候画了一个圈来圈地，结果什么都没有圈进去。比如轮胎上的经线圈和纬线圈。脑满肠肥的开发商们应该庆幸我们人类脚下正好是一个球面，随便画个圈都会有收获。言归正传，数学家们发现我们人类观察到的轮胎面并非其最自然的形式。 这个二维流形更自然的模型是把一个正方形的对边等同起来。这是一个奇怪的世界，光线在正方形内沿直线传播，当你疑惑光线到达正方形的上边缘以后将往何处去时，你忘记了这个世界是“有限无边”的，上边缘和下边缘是同一条线，所以光线又从下边缘射上来。这个世界里，点光源不会成像，因为它发出的光走的是平面上（正方形内）的直线，正常发散，永不重聚。但是爬虫仍然会看到远方的自己。与球面世界不同的是，爬虫会看到无穷多个自己：朝任何一个斜率为有理数的方向看，就会从某个角度看到自己。怎么理解这个现象？可以用这个正方形的无穷多个复制品地板砖式地铺满整个平面，每一个这样的正方形都被解释为同一个环面世界。光线在环面世界里的传播就可以从光线在平面上的传播读出来：在平面上画一条无限延伸的直线，这条直线在某个正方形 S 中划出一条线段 C，然后进入到另一个正方形 S1，划出另一条线段 C1，我们按照 C1 在 S1 中的位置将它复制到 S 中，同线段 C 一起构成环面世界里光线的一段轨迹。这种“地板砖”式构造在拓扑学中称为“泛复叠”，其目的是用一个具有高度对称性的简单拓扑空间来研究一个比较复杂的拓扑空间。对环面而言，平面就是这个简单拓扑空间，而其对称性就是左右平移和上下平移。我们看到，在这个“泛复叠”里，一个爬虫被复制成了无穷多个，处于每个正方形的相同位置。连接任意两个复制品，得到一条斜率为有理数的线段，根据我们刚才关于光线的分析，平面上的这条线段代表环面上一条起于爬虫而止于爬虫的光线。所以，沿着这个方向爬虫将看到自己的某个侧面。数学家设计了一些环面上的小游戏，比如迷宫、台球、象棋等等，有兴趣的朋友可以到 http://www.geometrygames.org/ 去下载体验一下。

其它的二维流形称为“多环面”。（这里我们只谈论有限无边的，而且“可定向”的二维流形，像莫比乌斯带那种“单侧”的流形不在我们考虑之列。）这些流形也有最自然的模型，由“双曲平面”上的多边形粘合而成。这样的世界里，光线传播得更奇怪一些，它们发散得特别厉害。光线的发散性质不是拓扑性质，它依赖于我们所选的模型，即数学家所谓“黎曼度量”。发散性质反映了黎曼度量的“曲率”，弯曲程度。如果光线从某一点向周围“线性发散”，即光强随距离线性减弱，则流形在这一点是“平直的”。球面上光强减弱得比较慢，因为相对于平直空间（欧氏空间）来说球面上的光线倾向于“汇聚”，这是“正曲率”的标志；而多环面上的光强减弱非常快，这是“负曲率”的标志。黎曼度量和曲率是另外一个话题，跟爱因斯坦的广义相对论有关，就不赘述了。之前考虑二维世界的时候引进拓扑之外的结构——黎曼度量，是因为度量可以更好地帮助我们想象比较奇怪的拓扑结构，比如环面及其“泛复叠”。

充分地理解了可怜的爬虫以后，我们可以“顾影自怜”了。我们的宇宙是什么样子的？是不是一个“三维球面”？宇宙中某个光源发出的光线是否汇聚到对极点，那最遥远的地方？或者是一个“三维环面”？四面八方都应该是我们自己，而我们看不到无穷多个自己只不过是因为宇宙太宽广而光线在传播过程中消耗殆尽？或者，宇宙根本就不是“有限”的，这似乎更符合大多数人的信仰。即使是有限宇宙，由于维数更高，其可能形态比二维流形更多，至今数学家还未能将它们穷尽。

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