《孙子算经》问：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 元代秦九韶的解答：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。这歌诀隐含一种算法。 本文就以此为引子陈述一种新的“数”——有限域的元素。
数的创生（二）赋值完备化
这一节说说从有理数产生新数的另一个途径：从有限到无限。这个概念我们在小学就已经比较熟悉了，就是从有限小数或者循环小数到无限不循环小数的扩张。然而，要说清楚这个概念，我们最好还是从更基本的概念开始，即，什么是整数，什么是小数。
数的创生（一）方程的解
人们最初产生了自然数 1, 2, 3, …… 的概念，后来产生了 0 和负数的概念。这些概念虽然已经称为最简单的常识，但它们实际上是非常抽象的概念。这种把具体而复杂的事物抽象为简单概念的过程，就是 ”数学“ 这门学科的发展过程。
Erlangen纲领——几何学
"非欧几何" 的发现是19世纪最大的数学进展之一.主要的先驱人物是俄国的罗巴切夫斯基, 匈牙利的鲍耶, 和德国的高斯. 非欧几何的故事已经流传很广了, 它与欧氏几何的不同就在于所谓欧氏平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
拓扑学简介（六）——结语
前面几篇简要涉及了代数拓扑、微分拓扑、低维拓扑，如果大伙儿还不知道这些是啥，请复习拙著：）。其实，拓扑的概念和方法已经渗透到整个数学，而不仅限于拓扑学研究本身。很多文献会提到，拓扑学起源于柯尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。欧拉解答了这个问题。同样是欧拉，给出了第一个拓扑不变量，多面体表面的欧拉数（点数-边数+面数）。可以认为欧拉是第一个研究代数拓扑学的人（虽然莱布尼兹曾经臆想过）。
拓扑学简介（五）---- 爬虫的世界
黎曼所描述的几何经常被形容为 “爬虫的几何”，因为黎曼假设观察者处于流形内部。对人类来说，二维流形是非常直观的对象，它们通常被称为“曲面”。而三维流形却难以想象，正因为我们处于宇宙空间这个三维流形内部。
拓扑学简介（四）—— 流形
拓扑学简介（一） 拓扑学简介（二） 拓扑学简介（三） 1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位， 也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严 格数学定义。
