刘慈欣在一篇科幻小说《诗云》中，设想了一个化身为李白的外星人试图利用技术来实现诗歌的创作。尽管外星人的科技水平发达到了不可思议的程度，然而用程序创作出媲美李白的诗歌似乎仍然是不可能完成的任务，甚至让程序来鉴赏一首诗是否出色也过于困难了。

刘慈欣本人写过一个作诗机的软件。但是很显然，他并不相信机器算法能够成为像人类一样的诗人。他是过于悲观了么？

大多数人都会根深蒂固地认为，艺术创作（特别是高质量的精英艺术创作）和人的心灵密切相关，而任何形式和技巧层面的解析和实现都只能触及它的皮毛。尽管这种作用多少显得有些神秘而难于言表，可是恐怕没有谁会怀疑，在巴赫的恰空和达芬奇的蒙娜丽莎之中，有某种专属于人性的神圣和崇高之处。

但是另一方面，一部人类的文明史，基本上也就是人类的领地不断被人类所发明的机器占领和取代的历史。人工智能和机器学习技术的发展使得让机器程序创作出能够以假乱真的艺术作品早已不是幻想。侯世达，《集异璧》一书的作者，曾经这样描述他在听到并亲自弹奏一首短小精致的钢琴作品后的感受：

尽管能间或听出些小瑕疵，这首曲子还是给我留下了深刻的印象，因为它似乎在「倾诉」着什么。如果谁告诉我它是出自人手，我绝不会怀疑它的表现力。这首曲子听来有些怀旧，带点波兰味道，而全无抄袭嫌疑。它是崭新的，而又毫无疑问地刻上了「肖邦风格」的烙印，却不令人觉得情感空乏。我的的确确受到了震撼：抒情的乐曲怎么能从一个从未听过一个音、从未活过一秒钟、从无一丝一毫情感的程序中写出来？

这首作品是一首仿制的肖邦马祖卡舞曲，出自加州大学圣克鲁兹分校作曲学教授 David Cope 的 EMI （音乐智能实验）程序「之手」。这个程序的原理是首先研究一名真实的作曲家的作品中不同层面不同类型的抽象结构，然后以新的形式重组这些结构，从而得到一部仿制作品。

这听起来像是儿戏，但其效果惊人。侯世达曾经在一次纽约 Eastman 音乐学院举办的讲座中，先后播放了上面提到的那首伪肖邦作品和另一首真正的肖邦作品，并且让听众们（大多数是音乐专业的师生）判断哪一首是真正的肖邦。大多数听众选择了错误的答案。毫无疑问，这是极其戏剧性的一幕。

我们知道，在计算机科学中有一条著名的图灵实验法则：一个人使用任意一串问题去询问一个正常思维的人和一个机器，如果经过若干询问以后他不能得出实质的区别，则我们认为此机器具备人工智能。与此类似，如果机器创作的艺术作品和人类作品在人类欣赏者眼中是不可分辨的，我们有什么理由不认为机器在艺术创作领域里完全可以取代人的作用呢？

如果一个人放弃关于艺术创作的种种玄学般的神秘信仰，而认定一切艺术作品都只不过是某种抽象的形式组合，那么用逻辑和数学来研究美的奥秘就是一种顺理成章的尝试。1933 年，哈佛大学数学系教授，当时美国最重要的数学家之一 George Birkhoff 出版了一本出乎同行意料的小书：《美学测度》，讨论了用数学公式衡量并刻画艺术作品的美学价值的可能性。在书中他断言到：

如果美学理论是科学的，那么它就必须从分析的角度加以审视，必须将其自身理解为艺术的纯形式的一面。

这本书并没有引起很大反响，反而招致了不少批评，这恐怕是因为他的理论实在过于粗糙。作为他的理论的核心，他认为一个对象的「美丽程度」可以用下面的公式来计算：

美 = 有序度 / 复杂度

其中有序程度和复杂程度对于不同类型的艺术作品有不同的定义方式。例如对于每一个多边形而言都可以用一种特定的算法算出一个美丽得分：

同样的方式也被他应用在音乐、绘画、建筑和诗歌上。毫不令人意外地，这种异想天开的「美学理论」很快就被人们抛诸脑后了。

但是这一理想并未消失。在二十世纪下半叶，它以崭新的形式重新出现在人们面前。一方面，这得益于电子计算和人工智能理论的迅猛发展；另一方面，现代艺术观念极大地改变了人们对艺术作品的认识和期望。毕竟，让今天的电脑模仿米开朗基罗或者黄宾虹的创作仍然是过于困难的任务，但是对普通欣赏者来说，很多现代艺术作品看起来不过只是幼稚随机的线条和色彩的涂抹，而这样的作品用机器算法实现起来一点也不困难。

从 1977 年开始，加州大学圣地亚哥分校的艺术家 Harold Cohen 开始编写一组名为 Aaron 的电脑程序，赋予其绘画的模式和功能。这些作品起初只是纯然随机的线条色块，随着程序日渐复杂，它开始「学会」画出更复杂的对象，例如石块和植物，以至于人像。题图和下图是两幅 Aaron 的作品，分别名为《在高更的海滩上相遇》（1988，题图）以及《Aaron 和装饰板》（1992，下图）。

Cohen 曾经带着这些 Aaron 的作品在国际上的多家画廊内进行展出。一开始，大多数观众拒绝相信这是纯粹由电脑生成的作品。当 Cohen 解释了这些作品的创作原理之后，观众们又断言说这些作品中体现出了某种统一的「个性」。这是个有趣的事实，因为这些作品除了都生成自同一算法之外别无共同点。这是不是意味着，所谓的艺术个性其实不过是一种程序性的算法模式而已呢？

编写 Aaron 程序的基本思路，是像教会一个没有见过大自然的孩子画出大自然一样教会电脑画画。也就是说，用语言为它定义出所有可能的物体的样子，以及这些物体会倾向于如何排列在空间中，然后令其自由随机发挥即可。这一过程可以是完全技术性的，不牵涉任何层面的美学观念，例如「平衡」或者「和谐」之类，然而其作品却会自发的体现出特定的艺术性选择。

当然，我们可以认为，电脑在这里并不真的是进行完全「自发」的创作。虽然每一幅画的生成过程不受干预，但是 Cohen 本人的美学观念毕竟以一种并不直接的方式隐藏在编程的过程之中。如果换了一个人来编写 Aaron 的源代码，哪怕同样只遵循同样的技术性原则，其结果也可能大相径庭。但是这一事实并不构成对这一方案的「客观性」的否定。它恰恰说明，无穷丰富的美学选择和艺术个性可以通过简单的技术手段实现和遍历。如果事实真的如此，那么考虑到电脑的海量计算能力，它的艺术「创造力」将是人类所无可匹敌的。

迄今为止，Cope 教授的 EMI 程序已经远远不满足于仿制一两首肖邦或者贝多芬的小曲子，而是把目光投向了复杂得多的大型音乐作品。它创作过若干独立的音乐作品，根据普罗科菲耶夫未完成的第十钢琴奏鸣曲的片段补完了全曲，甚至还写作了一部名为《马勒风格》的歌剧。正如我们前面所提到的那样，它和 Aaron 一样早已轻松地通过艺术领域的图灵测试，可以被认可为一位颇为高产的作曲家了。而它今年还不到三十岁，一切才刚刚开始。

苛刻的批评家也许会断言说：无论如何，EMI 和伟大的巴赫之间永远存在着一条无法跨越的鸿沟，正如 Aaron 永远不可能画出和蒙娜丽莎同样杰出的作品，作诗机也写不出超越李白的诗作一样。──尽管他们事实上并不能证明这一点。

退一步讲，就算它们真的永远充其量只是二流的艺术家好了。可是就在我们触手可及的未来里，这样一批不知疲倦、不会枯竭、不依赖于生活环境、不受限于观念桎梏的，拥有无限可能性的「二流艺术家」的出现，难道不会带来艺术史上最为空前的革命么？

本文发表于2010年3月号《新发现》。

第一首
第二首

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

作为松鼠，自然也不能自外于这一话题。下面这篇文章建立在犹他大学数学家 Golden 教授关于北冰洋融化的数学模型的系列研究的基础之上。需要强调的是，这一方面的研究只是刚刚起步而已。

这一趋势还可以从下面的曲线中看出来。下图中的蓝色和黄色曲线分别表示三月（即冬季结束时）和九月（即夏季结束时）的北极冰盖面积的相对变化情况。从图中可以看出，在2007年夏天，北极冰盖面积下降到了历史上的最低点。

但是事实上，北极冰盖对全球暖化过程所起到的可远不仅仅只是一个指标计量器的作用而已，它本身就在全球气候变化中是一个重要的主动因素。北极冰盖对气候的影响体现在很多方面，例如它的漂移会带动海水的循环，它本身也能像一个水面上的盖子一样影响海水和空气之间的热交换。但是它对地球温度最重要的影响之一来自于它对阳光的反射作用，而这一点在全球变暖的过程中很可能至关重要。这是因为，海水本身是深蓝色的，而冰盖却是白色的。众所周知，深色的物体能够吸收阳光中的热量，而浅色的物体会把阳光反射出去。于是冰盖的存在保证了海水温度不至于过高，在正常情况下这两者处于平衡的状态。然而一旦冰盖的面积降低到一定程度之下，那么由于深色的海水能吸收热量，水温就会越来越热，然后进一步促使冰盖融化面积减小，这就形成了一个自反馈的加速过程，而局面就会失控，最后的结果就是夏季的北冰洋冰盖完全消失。事实上，很多科学家认为，2007年冰盖面积的大幅下降，标志着这个加速自反馈过程已经有开始的迹象了。

更糟的是，由于海洋浮冰是由盐水冻结而成的，它在性质上同淡水冰（例如冰川和冰架）有很大的不同。由于盐水比淡水更不容易结冰，海洋浮冰事实上往往呈现为固态冰和液态盐水的混合体。下图是一块海洋冰的剖面，其中可以看到大量盐水水泡的存在。

盐水在冰中所占的百分比是同温度相关的。温度越高，盐水的比例就越高。当温度高于 -5℃ 时，盐水的比例就会超过 5%，这时这些盐水水泡就能够在固态冰连接出一些细小的隧道，从而使得浮冰开始具有一定的透水性。随着温度提高，这种透水性也随之升高。其结果是海水可以透过浮冰而在冰面上形成一些冰上的池塘，而这就意味着浮冰表面的白色面积甚至都不需要等到它彻底融化就会开始大幅减少。下图就是一个在 2007 年六月拍摄到的典型的北极冰上池塘的照片。

有趣的是，这一问题可以同许多别的学科中业已存在的类似问题联系起来，统一到一个相同的模型下解决，这一模型曾经被用来讨论诸如岩石的渗水性和半导体的导电性等问题。让我们考虑如下简化的情形：给定一个方格点阵，任选一定比例的短边用单位线段连接起来（如下图），那么当这个比例达到多大时，可以形成一个无限大的网络？（你也可以把这些线段理解为导体，则问题相应的变成什么时候能保证相隔很远的两点之间几乎总可以被导线连接起来。）

上图左的连接比例为 1/3， 很显然， 此时整个网络只是一些支离破碎的碎片。上图右的连接比例为 2/3，此时尽管不是每条边都相连，但是已经足以保证整个网络构成一个联通整体了。很容易猜到，这个临界的比例正好是 1/2，今天人们已经证明这个数字是正确的。

（这一问题在三维空间中也存在，但是相应的临界比例就不这么直观了，它大约等于 1/4 左右。）

一个有趣的事实是人们发现这一现象（临界比例的存在及其数值）不仅对规则方格网络成立，而且对一般的随机网络也成立，于是这一理论就可以应用于诸如海洋浮冰渗水性的研究。下图是人们利用 X 光断层扫描成像技术绘制出的海洋浮冰中盐水水泡在不同温度下的形状，从左至右分别对应 -15℃、 -6℃ 和 -3℃ 时的情形。可以看到，随着温度上升，盐水「隧道」的比例也随之上升，在 -6℃ 和 -3℃ 之间越过了临界比例，整个网络从而被连接了起来，于是这块冰就可以被海水渗透了。

值得一提的是同样的模型也可以用来研究其他学科里的随机网络连通性问题。例如下面两幅图分别是正常的骨骼和骨质疏松的骨骼的剖面图，容易看出，在数学上它们同上面的那些图像别无二致，所以同样的模型也可以用来帮助研究和诊断骨质疏松症。

这一方面的研究（特别是数学模型的建立）在今天仍然停留在很初步的阶段，然而可以看到，即使这个单一层面的小问题（海洋浮冰的渗水性）也已经牵涉到许多不同分支的应用数学理论：随机网络、流体力学、断层扫描成像等等，而关于北极冰盖的研究本身所包含的问题又远不止这一个层面。正如前面所提到的那样，它的融化本身是一个自反馈过程，所以需要运用动力系统的理论加以解释和预测；它的尺度结构跨越了若干个数量级，所以需要用自相似理论来对大尺度的行为做出模拟；它能够极大地影响海水和空气之间的热量传输，所以这同时也是一个复杂的热传导方程问题，等等。

而海洋冰盖的融化又只是全球变暖过程的一部分而已，由此可以一管窥豹，看出全球变暖问题在科学上（甚至仅仅在数学上）对科学家们构成了多么巨大的挑战。然而这一次，留给人们探索的时间已经所剩无几了。下图是人们根据现有的数学模型对北冰洋冰盖融化速度的估计，从左至右分别对应1990年代，2010年代和2040年代。白色代表陆地，彩色部分代表冰盖的厚度。虽然目前各种模型的预测之间略有出入，但是人们普遍相信，在未来的五十年内夏季的北冰洋冰盖将会完全消失。如果足够幸运（或者不幸）的话，我们自己是能看到这一天的。

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

下面所有括号中的文字都是我所添加，以帮助不熟悉复平面的朋友了解所说那些的点的位置。每幅图都可以点击放大。

点击图片可以看大图。二次多项式的根是灰色的，三次多项式的根是青蓝色的，四次多项式的根是红色的，五次多项式的根是黑色的。横轴是实轴，纵轴是虚轴，中间的大洞的中心是原点。两侧小一点的洞的中心是 ±1，在 ±i 处和 1 的所有六个虚根出也各有一个小洞（即中间那个大洞上下不远处对称的那些小洞）。

你可以在这里看到许多迷人的图案，给人的感觉是这些整系数多项式的根在竭力避开那些整点和单位根似的，──除非这些整点和单位根本身就是多项式的根。如果你把图案放大，可以看到更多细节：

在这里你可以看到，在 1 这个点所在的空白区域周围环绕着一些美丽的羽毛，在 exp(iπ/3) 这个点周围有一个六瓣的星形（即左上角那个梅花形状的洞），还有一条奇特的红色连线把这两个点连接起来，还有很多其他的点周围的星形的洞，诸如此类。

人们应该开始研究这些东西才对！让我们把所有系数为 -n 到 n 之间的整数的 d 次以下多项式的全体根构成的集合称为 Christensen 集 C_d,n，很显然当 d 和 n 越大， C_d,n 这个集合就越大，并且当 n 趋于无穷大时这个集合趋于布满全复平面。如果固定 d, 令 n 趋向于无穷大，那么我们就能得到全体有理复数；如果令 d 和 n 同时趋于无穷大，那么我们就能得到全体代数复数。于是一个有趣的问题就是，如果我们固定 n，令 d 趋于无穷大，会得到什么呢？

在上面这些图片的鼓舞下，Sam Derbyshire 决定绘制一些分辨率更高的多项式根的图片。试验了几次之后，他觉得他最喜欢的是系数为 ±1 的多项式。他把所有 24 次以下的这样的的多项式的根绘制成一副高清晰度的图片，这些多项式一共有 2²⁴ 个，其根大约共有 24 × 2²⁴ 个，也就是大约四亿个。他用 mathematica （一个数学软件）花了大概四天时间才计算出所有这些根，得到了大约 5G 的数据。然后他用 Java 语言生成了这幅美妙的图案：

颜色表示根的密度，从黑色到暗红色到黄色再到白色。上图是低分辨率版本，这里有一个 90M 的文件可供下载。我们可以放大一点看到更多细节：

请注意单位根周围的那些小洞，还有圆弧内部的那些羽毛。为了更清楚地观察，我们把下面这些标记出来的区域放大：

这里是 1 这个点处的那个洞。（即上面最右边那个标记出来的区域。）

中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。

然后这里是 i 这个点处的洞。（即最上面那个标记区域。）

这是 exp(iπ/4) 这个点周围。（差不多位于 1 和 i 正中央。）

请注意，根的密度在接近这个点的时候会变大，然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。

但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案！这里是实轴附近的样子，这个图的中心位于 4/5 点处。（右边数第二个标记区域。）

在 (4/5)i 点处的样子就截然不同了。（从上数第二个标记区域。）

但是我觉得最漂亮的还要说是 (1/2) exp(i π / 5) 这个点周围的区域。（剩下的那个标记区域。）这幅图生动的展示出，在我们的数学研究中，规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的，就像从薄雾中隐约显现出来一样。

这里有太多东西需要解释了，每幅图片都至少需要一两个定理来描述。如果想看到更多的这类结果，可以参见：

Loki Jörgenson， 限定系数多项式的根 以及 相关图片。
Dan Christensen，整系数多项式的根的图案。

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

（四）若干注记

长度的意义说了这么多，到此差不多就可以告一段落了。但是关于在前面的讨论中出现的许多数学概念和思想，却还不妨多说几句。事实上，测度论虽然只是数学中一个具体的分支，但是它的发展和演进却和数学史上最有趣的篇章之一——所谓的“第三次数学危机”——联系在一起。关于这桩公案，坊间的科普书目已经汗牛充栋，我也并不想在这里再重复一遍那些随手就可以找得到的八卦，而只是想针对某些特别的概念和理论略加说明，至少，这对愿意继续阅读别的数学或者数学科普著作的朋友来说，会有点作用吧。

1. 无穷小。

这个概念无疑常常困扰没有受过现代数学训练的阅读者们，这是很自然的事情，因为它可以从直觉上意识得到，却又难于精确地把握：无穷小是什么？是不是可以精确定义的数学概念？它是一个数？还是一段长度？能不能对无穷小做计算？诸如此类等等。由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起，使得甚至哲学家们也对它颇为关注，——当然，还有数之不尽的民科们。

关于无穷小的讨论者，最著名的大概莫过于莱布尼茨，他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念并且以此作为整个微积分学的基石。在莱布尼茨看来，无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量，对它可以做四则运算，尤为关键的是可以做除法：两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。以此为基本语言他开始建立微积分学的基本理论，——他基本上成功了。直至今天，数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨，而数学学科内部关于微积分学的专门称呼——“ 分析学”——也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法：无穷小分析。尽管牛顿和莱布尼茨在微积分的发明权上争得不可开交，可是几个世纪过去，至少在这两件事情上莱布尼茨大获全胜。

可是，也许你想不到的一件吊诡的事情是：尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献，他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。人们发现这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处，于是作为一种语言，它被丢弃了。

事实上，即使在莱布尼茨的同时期人看来，无穷小也是一个有点让人不舒服的词：比任何大于零的数都小，却不是零。我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用，可是这样一个怪东西的存在，既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱，也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题（尽管它也确实带来了不少方便）。在分析学蓬勃发展的十八世纪，一代又一代数学大师为此争论不休，大家混乱而各行其是地使用这个词，却没人能说清楚它的精确含义。终于，从十九世纪初期开始，以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）为代表的一大批数学家开始为分析学的严密化做出了大量的工作，他们试图在完全不采用“无穷小量”这个概念的前提下重新建立整个分析学，——他们也成功了。

于是这个词就被抛弃了。时至今日，这个词尽管在很多数学书里仍然会出现，但是这时它仅仅作为一个纯粹修辞上的词汇而不是严格的数学概念，——人们通常用它来指代“极限为零的变量”（感谢十九世纪那一大批数学家，极限这个词已经是有了严密清晰的定义而不再仅仅是某种哲学性的描述），也有的时候它被用来作为对微积分运算中的某些符号的称呼，但是无论何时，人们在使用它的时候都明确的知道自己想说什么，更关键的是，人们知道自己并不需要它，而只是偶尔像借助一个比喻一样借助它罢了。

那么，回到这个词最本源的意义：到底有没有这样一个量，比一切给定的正实数都小却又不是零？或者这个问题还有一系列等价的提法：在直线上存不存在两个“相邻”的点？存不存在“长度”的最小构成单位？等等等等。

在今天我们已经能够确定无疑的回答这些问题了：不，不存在。

事实上，这个问题的彻底解答甚至比柯西和魏尔斯特拉斯的时代还要晚：它本质上是关于实数的结构的理解的问题。即使柯西本人——尽管他奠定了现代极限理论的基础——也并不真正了解“实数是什么”这样一个简单的问题。关于严密的实数理论的最终建立，一般认为是皮亚诺（peano），康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）这几位十九世纪下半叶的数学家的成就。所谓的“戴德金分划”仍然是今天的教科书里对“实数”这一概念所介绍的标准模型。在这套模型里，人们能够在逻辑上完全自洽的前提下回答有关实数结构的一切问题，而正如前面指出过的那样，它完全摈弃了“无穷小”的存在。

（是不是数学家说无穷小量不存在，这个词就没意义了呢？）

这又回到了前面我们屡次面对的那个关于数学断言的权威性的问题。如果承认无穷小是一个有关数的概念，那么，数学家的工作已经告诉我们，在实数理论中没有无穷小的位置。事实上，康托本人就曾经证明过承认无穷小是同承认实数中基本的阿基米德原理相矛盾的。（阿基米德原理是一个关于实数性质的基本原理，如果阿基米德原理是错的，整个数学大概都无法得以建立。）但是，如果把问题拉到数学的疆域以外，如果认为人们有权利不按照数学家的方式讨论数本身的性质，那么我们面对的就已经是全然另一层次的问题，——也就不可能在这里得到详尽的讨论了。

2. 无穷大。

有趣的是，和无穷小如此相似的一个词——无穷大——却在今天的数学语言中占有与之判若云泥的一个地位：人们谈论它，研究它，还给它以专门的记号（倒 8字）。造成这一多少有点奇特的事实的关键在于，和通常人们的误解不同，无穷大其实并不是无穷小这个词在概念上的对偶（尽管乍一看似乎如此）。事实上，就某种意义而言，说它是零这个词的对偶也许更为恰当一些。

让我们回顾一下这个概念在数学中的递进过程：我们都知道存在这样的数列（例如自然数列），可以一直变得越来越大，直到比任何给定的数都更大，这种时候，我们把这样的数列称为“趋于无穷大”或者直接就简称它是无穷大。——请注意，在这里无穷大仅仅是作为人们对一个数列或者变量的极限的叫法而存在的，我们并没有承认它是一个数或者一个确定的对象，而只是一个形容词而已。每个具体的数都不可能真的比别的数都大，尽管一系列数可以没有止境地变得越来越大，这实质上就是亚里士多德所强调的“潜无穷”。

如果事情只是到此为止，那一切相安无事，无穷大这个词今天的地位也只不过和无穷小一样仅仅作为对一种极限的描述而存在罢了。可是这里有某种微妙的差别：正如前面提到过的那样，“无穷小”不是别的，只是一个变量极限为零而已，所以我们总可以认为无穷小只是一种说法，在必要的时候可以用“趋于零”这样一个替代说法来换掉它。可是“无穷大”是什么极限呢？它并不是趋于任何特定数字的极限，而是“趋于无穷大的极限”，你看，这个词轻易回避不掉。

于是人们只好被迫不断的提及它，要是非要替换成别的说法，就要花好多倍唇舌才成。比如，前面说过直线本身也是直线的可测子集，那么整条直线的测度是多少？当然我们可以佶屈赘牙地说“直线可测，但是它的测度并不是一个确定的数，而只是比任何给定的实数都要大。”——这也太麻烦了一点。为什么不省点事直接说“直线的测度等于无穷大”呢？

这样人们就开始不断的把无穷大当一个名词来使用，假装它好像也是一个数一样，这就是所谓的“实无穷”。哲学家和数学家中比较喜欢哲学争辩的那一部分人对此有许多争论（直觉主义学派等等），但是让我们忽略掉它们，先看看在今天数学家是怎么使用这个词的吧。

首先，无穷大不是一个实数，在实数集中不存在任何数比其他所有数更大，这是确定无疑的事情。

其次，在许多场合下，我们确实可以把无穷大当作一个名词来使用，既方便又不造成困扰。例如前面提及的在测度论里我们说一个可测集的测度是一个“数 ”，这里的“数”既包括非负实数也包括无穷大。事实上，在有些数学书里索性把实数加上无穷大这样一个集合称为“增广实数集”。我们甚至可以对无穷大定义运算（在事先做好严格约定的前提下），这对于很多理论的叙述带来了极大的方便。如果说得更技术化一点，在很多数学分支（例如仿射几何）里我们还能像让每个实数对应于直线上的一个点这样一个几何对象一样，让无穷大这样一个特殊的对象也对应于一个特殊的几何对象（所谓的“无穷远点”），并且让所有这些几何对象平等地参与到几何学中来。只要仔细做好事先的公理准备，这样子做并不会引起任何逻辑问题。

——也许有人会觉得奇怪，怎么数学家可以如此随便，想给实数集添上什么就添上什么？事实上，数学家就是有这样的权利，因为说到底，数学不是研究真实自然界的学问，而只是研究人造概念的学问。任何人造概念，只要在逻辑上被严格的描述出来又不造成内在的逻辑不自洽，都可以被认为是“存在”的。复数的引进就是一个很好的例子。

——那前面怎么又说“无穷小不存在”？就算无穷小本身不能是一个实数，为什么不能把它添在实数集之外也弄一个“增广实数集”出来研究？

事实上，这样做是可以的，而且事实上也确实有好事者这样做过。问题在于它毫无意义。前面说了，任何人都有权利自己定义出一些什么东西来作为数学对象来研究，这是对的，只要他在逻辑上足够细心就行。可是这句话还有一个常常被人忽视的反面：数学尽管不是直接研究自然界的学问，可是它毕竟是在人们研究自然界的过程中形成而又有助于人们对自然界的理解的。如果一个数学概念纯粹只是自说自话的产物，那无论它多么自洽，也没有人会去关心它。复数这一人为的构造之所以被所有人承认是因为它巨大的威力。而无穷小——正如前面所指出的——是一个毫无必要引入的概念，添上它只会自找麻烦。无穷小和无穷大的命运之所以不同，关键正在于此。

回到无穷大这个词上来。这一系列文章的一开头还说过无穷大可以分成“可数”和“不可数”的无穷大，那又是怎么回事？

这是一个更常见的误解，这其实是两个不同的词：作为一个极限的（潜）无穷和由此引申而来的作为一个数学对象的（实）无穷是一码事，作为一个集合的势的可数无穷或者不可数无穷是另一码事，不同于前者的“无穷大”，后者其实应该被称为“无穷多”才对，只是人们通常混为一谈。事实上，当我们说“一个集合有无穷多个元素”的时候，我们有必要指出这个集合是不是可数，而当我们说“一条直线的测度是无穷大”的时候，却完全谈不上什么可数不可数。——在数学书中通过观察上下文，分辨这两者并不是很难的事情，可是如果把“无穷”作为一个哲学命题来研究的时候，这种区分却是必须的。——不幸的是，就我阅读所及，很多时候人们都没做到这一点。

3. 不可测集与选择公理、数学的严密性

回顾一下“不可测集”这个词的意思：在勒贝格测度的意义下，总有一些集合是没办法定义测度的，这样的集合称为不可测集。同时已经被我们反复指出过的一点是：一个没受过专门数学训练的人所能想象到的任何古怪集合其实都是可测的，不可测集非常罕见。

不可测集的存在是数学中中一件令人遗憾的事实，要是能给直线的任何一个子集定义长度，这样的理论该有多么漂亮啊……数学中常常有这样的情形，一个人们通过直觉认定的美妙设想，偏偏被一两个好事者精心构造出的反例破坏了，但是数学毕竟受制于逻辑，不管一个反例多么煞风景，只要它确实成立，数学家也只好接受它。

可是不可测集这个例子有点不同：构造不可测集，用到了选择公理。

这件事情说来话长，简单的说，我们都知道整个数学是建立在一些很显然也很直观的公理之上的，这些公理大多数都是诸如等量之和为等量之类的废话，可是选择公理稍微复杂一点，它是说：

任何给定一组非空集合，我们总能从其中的每一个集合里取出一个元素组成一个集合。

也像废话一样，是吧，可是这句话多少有点罗嗦，不像等量之和为等量一样简单明了。于是人们对它多少有所争议，有人认为它不应当排在基本公理之内。可是毕竟这句话也挑不出什么错，而且人们很快发现，很多很有用的数学结果离开选择公理就变得很难证明或者根本不可能证明，于是将就着也就承认它了。

可是不可测集的存在却又掀起了人们的疑虑，反对选择公理的人说，看看吧，要是没有选择公理，也就没有不可测集了。

赞成的人反驳说，不可测就不可测呗，有什么大不了的……虽然整个理论确实变得不那么完美了。——他们不知道更大的问题还在后面。1924年，波兰数学家巴拿赫（Banach）在选择公理和不可测集构造法的基础上，证明了石破天惊的“分球定理”：一个半径为1的实心球，可以剖分成有限的若干块，用这些块可以完整地重新拼出两个半径为1的实心球体！

这一下引起轩然大波，反对选择公理的数学家们声势大振，认为选择公理完全是trouble maker，必欲除之而后快。赞成选择公理的数学家们则指出选择公理“功大于过”，毕竟有很多有价值的数学成果出自选择公理的基础。双方僵持的结果是大家各行其是，大多数数学家承认选择公理，同时忍受巴拿赫分球定理所带来的不适感，少数数学家坚持不要选择公理，为此失去很多别的很有用的定理也在所不惜。

这一僵持局面维持了很多年，直到二十世纪的中叶才被戏剧性地解决。人们在不承认选择公理的假设下构造出了一大堆比巴拿赫的球体更严重的反例（例如一个空间同时有两个维数）。这些反例不只像巴拿赫的例子一样违反直觉，而且还严重的破坏了大多数已有的数学结果。于是人们发现，承认选择公理也许是必须的，而像巴拿赫的反例那样的反直觉的结果，也只能被迫承担下来了。

所以到今天几乎所有的数学研究都是在承认选择公理的基础上进行的。虽然作为一种后遗症，人们总是会时不时地谨慎的在使用选择公理的时候加上一句声明：“本文依赖选择公理。”——这也许是这条公理的一个特殊待遇了。

以上便是这段公案的来龙去脉。很多人可能在读完这段故事之后疑虑重重。什么啊？数学家们难道是这么随便的确定公理体系的么？如此的实用主义，似乎全然置真理的地位于不顾的样子。很多人可能还会想起欧几里德第五公设的故事，觉得数学家们原来如此不负责任，带给人们的不是一套严整规范的理论体系，而是一个支离破碎的混乱图景。连公理的问题都搞不定，整个数学岂不是空中楼阁？

限于篇幅，这篇文章不可能对这个问题予以展开论述，可是至少我们可以澄清一个常见的似是而非的误解：数学是严密性的科学，数学的发展也只有在严密的公理化基础上才能得以实现。

这句话——至少在字面上——是对的。不可测集的例子本身就说明，为了严密性，数学家们甚至不惜放弃直观，——像巴拿赫球那样的例子尽管如此怪诞，可是它是严密逻辑的产物，数学家也只好承认它的存在。

可是在更宏观的层面上，这句话却是错的。前面提到的分析学就是很好的例子：微积分的思想的提出是在十七世纪，在随后的十八世纪里取得了丰硕的成果，可是它的严密化却直到十九世纪下半叶才真正得以实现。测度论是另一个例子：“测度”是人们对于长度这个词的直观理解的严密化，可是这并不是说，在测度论被提出之前的漫长岁月里人们对于长度都一无所知，恰恰相反，人们已经知道了相当多的事情，只是等待测度论的语言让一切都变得精确和完整而已。

所以数学的发展实质上是一个拖泥带水的过程，一代又一代崭新、充满活力却又粗糙的思想被提出来，人们意识到它的重要性，予以发扬光大，产生一系列重要的成果同时又带来困惑，直到崭新的数学语言诞生，清理战场，让一切显得井井有条，像教科书上的文字一样道貌岸然，而同时却又有新的粗糙的思想诞生了…… 在这个过程里，严密性始终只是一个背景，尽管无处不在，可是并不占据舞台的统治地位。数学家们在意严密性，追逐严密性，甚至不惜为了严密性而牺牲看似有价值的学术成果，可是严密性并不是数学发展的引领旗帜，从来都不是。

这就是为什么同很多人的误解相反，大多数数学家其实并不关心那些关于数学基础的哲学性的争论，这也就是为什么我把眼前这些讨论放进附记的原因——一件事情是不是关系到数学的逻辑基础和这件事情在数学上是不是重要一点关系都没有。所有这些故事：可数与不可数、可测与不可测、选择公理等等，都是和二十世纪初所谓“第三次数学危机”的大背景联系在一起的，那段时间里数学家之间产生了无数纷争，可是今天的数学学生们在严肃认真地学习集合论和测度论的同时，却只对那些八卦付之一笑，作为茶余饭后的谈资。——事实上，即使在二十世纪初，也有大量的数学家根本不关注这件事情或者压根就采取了日后看来是错误的立场（反对康托，反对不可数集的概念，等等）却同时又在自己的领域里作出了重要的甚至是历史性的贡献。

关于那个所谓的“第三次数学危机”，有一本著名的科普著作《数学：确定性的丧失》[2]专门讨论了它。这本书内容相当详尽，不幸的是它所引起的误解和它阐明的事情一样多。关于这次“危机”的描述主要集中在第十二章，那一章的结尾倒是相当深刻，值得特别引用在此：

“一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。”

（完）

参考文献[1]：实变函数论 周民强著 北京大学出版社
参考文献[2]：数学：确定性的丧失 M.克莱因著 李宏魁译 湖南科学技术出版社

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

回到我们的主题：“长度”的意义上来。

先总结一下我们已经知道了的事情：

所谓（一维）测度，就是要给直线上的每个子集标上一个数字，使得它们满足下面两条性质：

• 空集对应的数字（空集的测度）是零。
• 若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。

这样的测度存在很多种，而且几乎全都行为古怪。为了更好的符合“长度”的概念，我们添上第三条要求：

• 如果把直线看作实数轴，那么从数轴上a点到b点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应当等于b-a。

满足这三条性质的对直线上的每个子集定义的测度是不存在的。但是，如果放松要求，不对直线的每个子集定义而只对直线的可测子集定义测度，那么这样的测度存在并且唯一，数学上称为勒贝格测度。靠一系列定理的帮助，对直线的任何一个可测集（一般来说你能想象到的任何子集都是可测集），都有一套严密定义的公式能够把这个测度的具体大小算出来。

于是，数学家郑重宣布：

勒贝格测度就是人们通常所说的“长度”的严密定义，而且是唯一正确的定义。

“什么？”我们的哲学家朋友们一定要跳起来了。“你上面绕来绕去的说了一大堆让人听不懂的话也就罢了，你怎么能说这是关于长度唯一正确的定义呢？这顶多是你们数学家对这个词的理解而已，我最讨厌你们学理科的用这种自以为掌握绝对真理的口气说话了！”

“是么？”数学家回答道，“难道长度这个词还可能有别的理解不成？”

“当然可以。”哲学家愤愤不平地说。“亚里士多德说过……，莱布尼茨说过……，康德说过……，江泽民同志说过……，总之，人类对长度这个词的理解是经历过漫长的争论的，而且必然还会一直争论下去。每个人都有权提出自己的观点啊。”

“我不管他们怎么说，”数学家说，“我只问你心里有没有对长度的定义？”

“当然有了。”哲学家骄傲地说，“我认为，长度就是……”

“慢着，”数学家迫不及待的打断他，“我不想听你的哲学论文，我只问你，在你对长度的定义里，空集有没有长度？有的话，是不是零？”

“是……的。”其实哲学家暂时没想到空集这么细节的事情，但是他觉得反正这个无关紧要吧，所以先首肯了。

“那么，按照你定义的长度，数轴上从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度，是不是等于6.98-2.76=4.22？”

“这个废话，不然还叫什么长度啊。”哲学家有点不耐烦了。

“还有，如果我把可数无穷个有长度的集合放在一起，总长度等不等于各自的长度之和？”

“这个……”哲学家对于“可数无穷”这个词有点拿不准，“反正两个线段的总长度是等于它们各自的长度之和的，至于无穷个……好吧就算是吧，那又怎样？”

“那就结了。”数学家慢条斯理地说。“我根本不关心你关于长度的哲学观念是怎么建立起来的，我只想说，如果你的观念没有内在的逻辑矛盾，那它就一定和我们数学家所说的勒贝格测度是一回事。这就是我为什么说勒贝格测度是唯一正确的长度的定义。——你当然可以有你自己的定义，只不过它一定正好就是勒贝格测度！”

“什么和什么呀！”哲学家有点懵了。“可是你什么也没有定义啊，你只是自己号称证明了一个所谓勒贝格测度的存在，可是我们关心的是为什么！我们哲学家要问的是为什么从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度等于4.22，你却把它写在了定义里，这并没有回答问题本身啊。”

“唉，”轮到数学家不耐烦了。“从2.76这个点到6.98这个点的线段的‘长度’当然也可以不等于4.22，只要你不取勒贝格测度而换一种测度就成了，——问题是人们不喜欢那样啊。不是为什么它的长度等于4.22，而是你首先要求了4.22这一属性，然后把它叫做长度。为什么只有在春天桃花才会开？因为是你把桃花会开的那个季节叫做春天的！”

哲学家：“……”

数学家：“……”

嗯，我不知道这段对话是把问题讲清楚了还是搅得更混乱了。当然这里面还有许许多多的细节需要阐明，下面让我们来更仔细的讨论一下吧。

“长度是什么？为什么从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度等于4.22？”正如前面那个数学家所说的，这个问法本身就是不合适的。我们给从2.76这个点到6.98这个点的线段赋予一种属性是4.22，给从姚明的头到姚明的脚的线段赋予一种属性是2.26米，现在我们把这种属性叫做长度，如此而已。——这完全是人为的设定，没有任何先验的意义。数学家已经说了，你当然也可以给从2.76这个点到6.98这个点的线段赋予另一种属性是3.86，给从姚明的头到姚明的脚的线段赋予另一种属性是0.03米，只要你足够细心，这种做法是不会引起问题的，只不过你自己定义的那种属性不再被人们称作“长度”罢了。你可以把它称为“短度”或者别的什么，没有问题。

有趣的是，——测度论的伟大也就体现在这里，——只要我们承认了诸如从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度等于4.22这样一些朴素的论断，那么仅仅靠着逻辑推演，我们就能够给直线的几乎所有子集——可测集——计算出对应的“长度”来，哪怕它们已经变得不是那么直观。譬如说，单点集的“长度”是0（不是什么无穷小，就是0），2到5之间的全体无理数的集合的“长度”是3，某个广义康托集（一种有着复杂分形结构的点集）的“长度”是2.86……这一切本来似乎都可以问一问为什么的事情，其实都只是逻辑的自然推论罢了，你要是不承认它们，就必然导致逻辑上的不自洽。

——为什么这个东西的长度是0？那个东西的长度是2.3？为什么这个奇奇怪怪的集合也会有长度？为什么它的长度不等于别的，偏偏等于根号2？

因为长度满足那三条性质，所以必然如此。

——为什么长度要满足那三条性质？

因为人们把满足那三条性质的属性就叫做长度。你当然也可以用别的几条性质定义出来一个什么度，只是不能再叫长度就是了。

这就是“长度”这个词的全部意义。

“可是，”我们的哲学家还是不甚满意，“我还是觉得你没有真正回答我想问的问题。”

“还有什么呢？”数学家说，“我上面这些理论不都已经自圆其说了么？”

“就是这个自圆其说让我特别恼火。”哲学家说。“我总觉得你绕过了我真正的问题。我问为什么长度要这么定义，你说因为人们把这样定义出来的属性就叫长度，这当然没错，可是我其实想问的是，为什么会有这样一种属性存在？为什么自然界中的事物可以具有长度——或者用你的话说——这种属性？你当然可以告诉我说，因为数学上证明了你的那什么勒贝格测度一定存在，可是我不想听你那个证明，我想听到的是一个更深入的解释，为什么长度是得以存在的？”

“因为……因为我们能证明它实际上存在……”数学家迷惑不解的说。

“我不是问你它存不存在，我是问它为什么存在！”哲学家怒气冲冲的说。“你不觉得这是件不太自然的事情么？反正是一堆点，你又说了点的长度是零，可是一旦把点排列起来得到的线段就有了测度，在这个过程中发生了什么呢？这个不为零的长度是怎么出现的呢？——别又对我说你能证明它不为零，我要问的是为什么，——比证明更本质一步的那个为什么！”

“啊，”数学家字斟句酌地说，“你想问的其实是为什么线段的测度不等于简单地把点的测度加在一起对吧。是啊，这确实是个有趣的问题……”

这确实是个有趣的问题。

如果我们仔细检查关于勒贝格测度的那三条公理，会发现关于第一条和第三条并没有什么可多说的，可是第二条——至多可数个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和——却多少让人心生疑惑。这句话读起来总是有点别扭。

如果我们把它换成“有限个彼此不相交的子集的并集的测度，等于这些子集各自测度之和”，听起来就会舒服多了，可是这里做了某种推广，从有限到无限，而且还不是任意无限个而是“至多可数无穷”个，这是为什么呢？

首先，这种推广是必须的：只对有限个的子集定义测度的可加性，这样得出来的测度会不满足人们的需要，——不仅仅是给长度一个精确定义的需要。测度论不只是为哲学家发明的，它要在数学的其他领域里以及别的自然科学领域里得到应用，而在这些场合里，我们时刻会碰到对无穷个集合的并集的测度的计算。我们必须在定义里就保证测度能够无穷相加。

可是另一方面，为什么又偏偏要限制可数无穷个集合才有可加性呢？

事实上，我们很容易就会发现，正是这一点促成了前面那个问题的出现：为什么线段具有长度？如果我们假设任意无穷个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和，那么，既然线段是由无穷个点构成的而点又没有长度，那线段也应该没有长度才对。难道这一条是专门为了避免这个悖论才设置的么？

不是。我们很快就能看到，这种对于可数性的限制，有着更为本质的原因存在。

首先，让我们想想看把很多数相加是什么意思。我们一开始学到的加法是针对两个数而言的，给定任意两个数，我们能够算出它们的和。进而，我们把这一过程推广到了三个数求和：先对其中两者求和，然后再把这个和同第三者相加。依此类推，我们可以把四个数相加，把五个数相加……

请注意，这里的过程完全是递归的（inductively）：只有定义了n个数的和，我们才能够继而定义n+1个数的和。然后，这样一直进行下去，我们就能够对任意有限多个数求和。——只是“任意有限”，还不是“无限”。

从有限到无限这一步跨越其实走得颇为艰难。哲学家也好别的领域的科学家也好常常随心所欲的使用数学词汇而并不特别在意自己是否真的明了它们的严格意义，可是数学家却不能如此自由。真正把无穷个数加起来，也就是数学中所谓的“级数”（series），这套理论的严密化在数学史上经历了相当长的一段时间。最终，借助于极限理论的帮助，真正严格的关于级数求和的理论才得以建立。——也就是说，事实上，什么样的无穷级数可以相加，什么时候不能相加，相加的时候要注意什么问题，这一切都受到了理论的约束。在这些理论的基础上，我们才能够确定当我们随口说出“把这无穷个数加在一起”的时候，我们确实知道我们在说什么。

什么是级数呢？级数就是把有限个自然数相加的自然推广：既然定义了n个数的和我们就能够进而定义n+1个数的和，那么，把这个过程递归地进行下去，我们就能够对任意有限多个数求和。当有无穷个数需要我们求和的时候，我们就只对它们中的前N个求和，并且让这个N不断变大，如果这一过程有极限，这个极限就被我们称为这个无穷数的和。

请注意上面这段话背后的涵义：当我们说“对无穷个数求和”的时候，我们其实潜在地要求了这些数的总个数必须能够通过n->n+1->n+2……这样的过程来逼近，然后通过极限的方式定义它们的和。这也就是说，这些数的总个数必须是可数个！

让我们回忆一下什么是“可数个”：“可数个”就是能够和自然数集建立起一一对应的那么多个，用更直观的语言来说，“可数个”就是“可以一个一个数下去”的那么多个。只有一个集合里包含可数个元素的时候，我们才能够对于它应用数学归纳法，因为数学归纳法的本质就是“一个一个数下去”：当一件事对n成立时，我们进而要求它对n+1成立，这样的过程进行下去的极限，就是可数无穷。

那么，既然多个数的加法本质上是个递归过程，——只有先把n个数加起来，我们才能进而加上第n+1个数，——所以加法至多能对“可数无穷”个数来定义（也就是级数加法）。把“不可数无穷个”数加在一起，这件事情是毫无意义的！

这正是前面所有那些所谓哲学悖论的根源：当人们想当然的说着“把无穷个点的测度加在一起”的时候，他们以为他们是在说一件自然而然的事情，可是事实上，除非这无穷个点是可数个，否则这里的加法根本无法进行。不幸的是，任何线段都偏偏是由不可数个点构成的（它们是连续统）。

为什么线段是由点构成的，而线段的测度却不等于组成它的那些点的测度之和？因为“组成它的那些点的测度之和”这个短语根本没有意义，所以两者也不必相等。

这个回答也许有些出人意料，可是事情就是如此。很多问题之所以令人迷惑，不是因为它们真的是什么悖论，而只是因为问题本身没有被恰当的叙述。人们常常自以为是的使用很多词汇却罔顾自己是不是了解它们的真实含义，譬如说“求和”。人们随心所欲地说“把若干个数加在一起”却忘了其实不可能真的把它们“一下子”加在一起，加法是个递归过程，这就决定了如果要加的东西的个数太多（不可数那么多），它们就加不起来了。

（不得不补充一点——一个很扫兴的补充——在数学中，某些场合下我们真的必须要对不可数个数定义总和……数学家总是这样，为了各种极端情况而拓展自己的定义。在这些情况下，这种不可数个数的和也是能定义出来的。但是，这件事并不会对上面那些论述造成削弱：这里的特殊意义上的“和”是为了应付特别的目的而定义的，它和我们平时所说的求和已经不是一个意思了。）

也许哲学家还会追问：既然线段的测度不是组成它的那些点的测度之和，那么这个测度是从哪里来的呢？

它们不是哪里来的……它们是线段自己所固有的。这就是为什么我们在定义长度的时候非要加上第三条公理的原因：我们必须在定义里就写明线段的测度，否则就没有办法建立起直线的所有可测子集的测度的架构。事实上，既然点的长度是零，根据可数可加性我们很容易推出一切可数集的长度也都是零，所以在某种意义上说来，“长度” 是本质上只属于连续统的一种性质。换句话说，只有进入了连续统的范畴，不为零的长度才可能出现。这就是为什么我们不能从单点集出发定义长度的原因。

那么，我们现在可以回答那个著名的“飞矢不动”的芝诺悖论了：一支飞驰的箭，在每一个确定的时刻都静止在一个确定的位置上，为什么经过一段时间后会移动一段距离？

答案是：因为任何一段时间（不管多么短暂）都是一个连续统，包含了不可数个时刻，所以箭在每一时刻的静止根本不需要对一整段时间之内的移动负责。——后者并不是前者的相加，而前者也根本不可能相加。

因为连续统不可数，所以我们能够在每时每刻里都静止的存在，同时又能在一段时间内自由运动。这也许是大自然的巧妙安排吧。

（待续）

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

让我们暂时放下关于无穷的那些讨论，回到主题：我们通常所说的长度面积体积这些词，究竟是什么意思？

为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我们只考虑“长度” 这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个“长度” 存在。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的高维词汇也可以类似的得以理解。

我们把目前要回答的问题列在下面：

• 什么是长度？
• 是不是直线上任何一部分都可以有长度？

直线上的一个线段当然应该有长度，直线上的两段分离的线段也有总长度，单点有没有长度呢？随便从直线上挖出一些点来得到的也许是虚虚实实的一个“虚线段”有没有长度？是不是我们从直线上任意取出一个子集合(线段啦单点啦都可以看成是直线的特殊的子集合)，都可以定义它的长度？——这件事无论在数学上还是应用上都是重要的，如果能够给直线的任何子集定义长度，那就太方便了。

• 如果上面这件事是可以的话，那么随便给一个直线上的点集，长度怎么计算？

等等等等。

事实上，在数学中这些问题都能够得到解答，但是首先让我们把上面问题里的“长度” 这个词都换成更准确的一个术语：测度(measure)。之所以要采用这么一个新造的词，首先是因为“长度”有时候有局限性。一个线段的长度好理解，一个复杂的点集，说长度就会显得很奇怪；不仅如此，在二维情形下我们还要研究面积，三维还要研究体积，四维还要研究不知道什么积……为了省去发明一个又一个新词的苦恼，我们把这些东西统一叫做二维测度，三维测度……一了百了。

好吧，那么，我们来定义(一维)测度。

——不，不要误会，我并不是要在此刻写出一大段难懂的话，告诉大家“测度就是什么什么什么什么。” 或者更谦逊一点，说“我认为，测度就是什么什么什么什么。” ——也许这是一般人看来自然不过的工作方式，但不是数学家的。

这是因为，我们现在要定义的是某种特别基础的概念。也许在定义某些很复杂的高层概念的时候这种方式很自然，可是概念越基础，这种方式带来的问题就越大。关于测度这种层次的概念几乎必然伴随着用语言难于精确描述的种种晦涩的思考，一旦一个人试图把他对这个词的理解宣诸笔墨，那么无论他多么小心翼翼的整理他的陈述，在别人看起来他的定义都必然漏洞百出，有无数可以商榷的地方。——而因为这个概念在整个逻辑体系中的位置过于基础，任何商榷又都必然说起来云山雾罩，像哲学家们通常进行的关于基础概念的争论一样令人头昏脑胀。如果数学家们要开会用这种方法给出测度的定义，那一百个数学家一定会提出一百零一种定义来，最终的结果是什么有效的结论也得不到。

数学家们采用的是完全不同的方式：我们先不要贸然去说“什么是测度”，而是先问问自己，当我们想发明一个新的定义的时候，我们在这个定义的背后是想达到怎样一种目的？换句话说，我们想让这个定义实现哪些事情？

首先，测度——不管它具体怎么定义，其作用的对象按照我们的期望是直线上的任意一个子集，而最后得到的测度应该是一个具体的数字。也就是说，所谓定义测度，就是我们需要找到一种方法，使得随便拿来直线上的一个子集，我们都能够最终得到一个数字作为其“长度”。 （在这里我们把无穷大也看成是数字，例如整根直线的测度就是无穷大。）

然后，这种方法总要满足一些必要的约束。——不能随便给一个线段标上一个数字，就说它是测度了。这些约束有哪些呢？

第一，空集（注意是说空集而不是说单点集）本身也是直线的子集，也应该有个测度。我们应当保证空集的测度是零。这是很显然的，否则这个测度就毫无实际意义了。

第二，既然每个子集都有一个测度，那么把两个彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也应该有个测度，并且这个测度应该等于两者之和。——这也是很直观的要求。两个线段如果不相交，那么他们的总长度应该等于两者长度之和。更高维的情况也一样，两个二维图形如果不相交，那么总面积应当等于各自面积之和，诸如此类。

更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也对，五个也对，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。——注意，是可数无穷个！

(为什么呢？直接说任意无穷个不好么？干嘛只限定是可数无穷个？)

数学家是很谨慎的。上面这个性质被称为可数无穷个集合的测度的“可加性” ，承认可数无穷个集合有可加性是不得不为之，因为在实际应用中我们确实常常会遇到对可数无穷个子集求总测度的问题，可是任意无穷个子集的测度也能相加，这个陈述就太强大了，我们一时还说不好测度有没有这么强的性质，还是先只承认可加性对可数无穷个集合成立好了。

第三……

“且慢” ，数学家说，“先别找太多的约束，看看这两条约束本身能够在多大程度上给出测度的定义好了。”

(什么嘛，这两条约束根本什么都没说。第一条是废话，第二条也是很显然的性质，要是只满足这两条就可以叫做测度，那测度的定义也太宽松了，我随随便便就能构造出好多种不同的测度出来。)

也许是这样，可是到时候再添上新的约束也不迟。这也是数学家们常用的办法，先定义尽量宽松的概念，然后再一点一点的附加条件，得到更细致和特殊的子概念。就目前的情况来说，看起来这两条约束确实是宽松了点……

不幸的是——也许出乎你的意料——这两条约束不是太宽松，而是已经太严苛了。我们可以证明，给直线的每个子集都标上数字作为测度，保证空集的测度是零，并且测度满足可数无穷个集合的可加性，这件事情在逻辑上并无内在的矛盾，但是这样的测度必然具有一些数学上非常古怪的性质。也就是说，这样的测度根本不能用来作为对长度的定义！

（关于这件事的证明其实很简单，但是需要一点数学基础才能读懂，详情可以参考文献[1]。关于什么是“古怪的性质”，后面还会提及。）

在这种情形下，我们只好退而求其次，减少对测度这个概念的期望。——可是前面提到的两条性质都再基本不过了，如果连它们都不能满足，我们定义出来测度又有什么用呢？——于是数学家们另辟蹊径，不是放松这两条限制，而是放松它们的适用范围：我们不去强求测度能对直线的每个子集都有定义，也就是说，我们只挑出直线的一些子集来定义测度，看看能不能避免逻辑上的困境。

需要挑出那些子集呢？很显然，我们希望对于平时人们能接触到的各种常见的子集都能定义测度，所以单点集是需要的，线段也是需要的，而若干线段的交集或并集（这里若干还是指至多可数个）也是需要的，对它们的交集或并集再作交集或者并集也是需要的……

在数学中，我们把所有线段反复做交集或并集生成的这一大类集合称为可测集（当然它有更严格的定义，不过大概就是这个意思）。不要小看这种生成方式，事实上，你能想象得到的直线的子集其实都是可测集，——要找出一个非可测集的集合反倒是有点困难的事情。虽然可测集不包括直线的全体子集，但是如果我们能对所有可测集定义合理的测度，那这个测度也足以应付人们的需要了。

所幸的是这确实是可以做到的。在测度论中有很大的一部分篇幅是用来论述测度是怎么对可测集得以建立的，这部分内容一般被表述为一个称为Caratheodory’s theorem的理论。言简意赅地说：是的，只针对可测集定义的，满足前面那两条假设的“合理”测度总是能够建立得起来的。

这里所谓的“合理”，就是说它能够用来作为我们心目中那个“长度”而存在。为了说明这一点，让我们想想我们离我们的目的地还差多远：直到现在为止，我们还是完全不知道一个测度究竟是什么样子。举例来说，按照我们的想法，一个单点集的测度应当是零（对应于点没有长度的直观），而实数轴上从0点到1点的线段的测度应当是1，更一般地，从a点到b点的线段的测度应当是b-a，——可是这一切我们统统还不知道呢！

这一切确实还未曾得到说明，而且更关键的是，仅仅有前面给出的那两条假设，我们也确实无法推理得出上面那些结论。这也是数学家们的通常做法：先有一个一般的概念，然后通过给它添上一些新的独立约束来构造出更细致的概念。

我们现在已经有了一个一般的测度的概念，把它总结一下，就是说：

对于直线的一大类子集（也就是可测集，谢天谢地，我们在应用中真正关心的集合都属于可测集），我们能够在不伤害逻辑的自洽性的前提下，给他们中的每个都标上一个数字，称为测度，并且这些数字满足下面两条性质：

• 空集对应的数字（空集的测度）是零。
• 若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。

我们只知道这样的测度是存在的，但是很显然并不唯一，因为我们未曾对这些具体的数值作过任何限定。为了使测度能够符合我们心目中的那个“长度”的概念，我们需要进一步添上一条需要满足的性质：

• 如果把直线看作实数轴，那么从数轴上a点到b点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应当等于b-a，例如，数轴上从2到3的这一段线段的测度应该等于1。

乍一看这好像只是个不完全的限定，我们只规定了最简单的线段的测度，却没有规定剩下那许多奇奇怪怪的集合的测度，可是好在有数学推理来替我们包办剩下的一切：只要添上这条约束，那么所有的可测集的测度的具体大小就会以唯一不导致逻辑上的矛盾的方式被确定下来。也就是说，对于任何一个可测集，我们都有办法算出它所对应的那个唯一可能的测度来。（怎么算的？如果你不想看到数学式子的话就别问了……）

需要说明的是，同样也是根据这三条，我们就能够发现单点的测度必须是零（否则就会导致计算上的矛盾）。注意：这里的逻辑完全是数学的而不是哲学的，也就是说，我们是可以“推导”出单点的测度是零这样的结论的。

各位看到这里可能会很疑惑，我究竟在干什么？我并没有回答事先许诺要回答的任何一个问题（为什么点的长度是零而线段就不是，诸如此类），而是蛮横无理的把它们作为规定和规定的推论强制性的摆在这里，作为测度的定义的一部分。这算什么回答？

请允许我把对此的解释（以及对前面所有那些哲学性问题的解释）放在后面，先暂且回到测度的定义本身上来。

前面说了，只要能满足头两条性质，我们就称定义出来的那个东西为测度，加上第三条只是为了让这个测度符合我们对长度的具体数值的要求。也就是说，加上第三条性质后，我们定义出的应当只是测度中的具体某一种，一般把它称为勒贝格测度（Lebesgue measure）。再强调一遍，正如前面所说的那样，勒贝格测度并不能定义在直线的所有子集上而只能定义在其中的可测集上。但是我们在数学中和应用中能够遇到的集合差不多全是可测集。

（那就总还有几个不可测集了？是的，确实存在一些特别诡异的集合是不可测集。关于不可测集的构造和性质一直是数学上一个有趣的话题，——虽然并不重要，因为事实上在真实世界里我们遇不到它，它们只是作为抽象的数学构造出现的。我们后面还会再次谈及这个问题。）

既然勒贝格测度只是测度的一种，那就是说，数学上是承认不同于勒贝格测度的更一般的测度存在的。这些测度只满足三条性质的前两条，而未必满足第三条，也就是说，这些“测度”并不保证从0点到1点的线段的测度是1，甚至也未必保证单点集的测度是零。它们的性质可能和通常人们对长度的理解很不相同。

（为什么呢？既然明显和常识相悖，为什么还要保留这些人造的概念呢？）

这是因为，尽管数学家发明测度的概念的初衷确实只是想把“长度”的概念精确化和逻辑化，（事实上也确实做到了，就是勒贝格测度），但是人们很快发现，那些更一般的测度虽然未必还符合人们对“长度”这个词的理解，但是它们作为一种数学概念却能在大量的学科里得到应用，甚至成为很多理论的基础语言。一个最简单的例子是概率论，这门古老的学科在测度论建立之后就完全被测度的语言所改写，以至于今天一个不懂一般测度的人完全没办法研究概率论；另一个例子是著名的狄拉克测度（Dirac measure），这个曾经令数学家也有点头痛的非正常测度在物理学和信号处理等领域里扮演了非常关键的角色。

——不过，这是后话了。

（待续）

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

这篇文章写于三年前，严格说起来，这是我认真写过的第一篇关于数学的文章。

写作动机来自于一次在网络上和一个学哲学的朋友的聊天，当时谈到了几个关于长度的哲学问题，那个朋友想知道从一个学数学的人的角度来看，这些问题是怎样被回答的：点没有长度和面积，为什么由点组成的线和面会具有长度和面积？“长度”“面积”这些词汇究竟是在怎样的意义上被使用的？有的时候我们把点的长度叫做零，有的时候叫做无穷小，这两个称呼是不是都有道理？

当时松鼠会还没有出现，我也并不觉得自己有资格写所谓的科普，但是既然这些问题摆在面前，我也就认认真真地尝试着把自己关于这些问题的理解用尽可能非数学化的语言描述出来。当我最终完成这一组文章的时候所得到的那种满足感，相信很多朋友们也都体会过。

后来有了松鼠会，有这么多朋友们也在兴高采烈地做着同样的事情。现在松鼠会即将迎来自己的周年庆了，我把这组文章发在这里，算是我自己的一点致意。松鼠会，生日快乐。

（一）关于无穷

当我们使用“无穷”这个词的时候，我们必须时刻谨记，这个词有两种截然不同的意义——不，我这里说的不是亚里士多德关于实无穷和潜无穷的那些绕口令，而是某些重要得多的本质问题，对他们的清晰阐释开始于伟大的德国数学家康托Georg Cantor (1845-1918)：当我们说一个集合有无穷多个元素的时候，我们必须指明这里的无穷是哪一种，是“可数无穷”还是“不可数无穷”。虽然都是无穷集合，但是它们会体现出截然不同的性质。

为了说明这一问题，我们引进集合的“势（cardinality）”的概念。简单说来，势就是集合的元素的个数。一个集合有三个元素，我们就称其势为3。两个集合如果元素个数相等，我们就称它们为等势的。——很显然，要判断两个集合是不是等势，只需要看这两个集合之间能不能建立起元素的一一对应即可，如果可以的话，我们就说这两个集合的元素是一样多的。

到这里为止都显得很简单。可是最有趣的部分马上就要出现了：康托指出，不但对于有限个元素的集合我们可以讨论它们的势，对于无穷个元素的集合，我们同样可以讨论它们之间是否等势。换句话说，我们可以讨论两个无穷集合的元素是不是一样多！

之所以如此，是因为集合之间的“一一对应”本质上只是个数学概念，是可以被精确研究的对象（请回忆高中数学课本关于映射的那一章）。从而，随便拿两个集合来，它们之间是否能建立一一对应只是数学上的问题而已。

以下是一些最基本也是最著名的例子和命题，请尽量耐心的阅读。所有这些陈述都是可以基于最简单的形式逻辑给出严格证明的，证明可以在参考文献[1]上查到：

• 每一个集合都和它自身等势。

注：废话。

• 全体正整数的集合和全体正偶数的集合等势。

注：这是第一个有趣然而迷惑人的结果。我们等于是在说：一个集合可以和它的一部分一样多！——但是这并不是一个悖论。我们通常觉得一个集合不能和它的一部分一样多只是针对有限集合而言的，本来就没人说过无限集合不能和它的一部分一样多，只是有时候大家会不自觉地有这个误解而已。

• 全体正整数的集合和全体有理数的集合等势。（什么是有理数来着？查书去！）

注：这是在数学上很重要的一个例子，说明一个实数中的稠密集可以和一个离散集等势，不过大家看到这里大概已经开始打瞌睡了……跳过这个例子！

• 全体正整数的集合和全体实数的集合不等势。

注：睁大眼睛，迄今为止最重要的一句话出现了！你永远不可能在全体正整数的集合和全体实数的集合之间建立起一一对应来。对这个陈述的证明是数学上最有趣也最迷人的证明之一，可惜的是篇幅所限我不能在这里证明给大家看。那么只讨论结论好了：并不是所有的无穷集合都是等势的，有一些无穷集合比另一些无穷集合的元素更多，换句话说，无穷之间也是有大小的。

• 任给一个无穷集合，我们都能够造出一个集合包含它，而且和它不等势。

注：换句话说，无穷和无穷相比，没有最大，只有更大。——但是请注意，虽然我们能够造出越来越大的无穷集合，但是我们并不真正对那些太大的无穷感兴趣，因为和这个世界没什么关系。

• 如果两个集合都和第三个集合等势，那么它们彼此也等势。

注：好像也是废话，但是它引出了下面的重要陈述。

• 有很多集合都和全体正整数的集合等势，从而它们彼此也等势，我们称所有这样的集合为“可数无穷的（countably infinite）”。有很多无穷集合比全体正整数的集合的势更大，我们称所有这样的集合为不可数无穷的（uncountably infinite）。但是，不存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。

注：我们待会儿再来讨论为什么起这么两个名字。前面的例子告诉我们，全体正偶数的集合是可数无穷的，全体有理数的集合是可数无穷的，但是全体实数的集合是不可数无穷的。

• 在不可数无穷集合中间，有些集合是和全体实数的集合等势的，这些集合被称为“连续统（continuum）”

注：好了，现在我们对全体无穷集合建立了一个简单的分类。最小的一类称为可数无穷集。剩下的都叫不可数无穷集。不可数无穷集里面又有特殊的一类叫作连续统，剩下当然还有一些非连续统的不可数无穷集，但是它们几乎和真实世界没有任何关系，所以忽略之。（有人不愿意忽略它们，非要去研究里面的一些麻烦的问题，于是产生了数学中间最让人头晕的一部分结论，比如什么哥德尔不完全性定理之类……这个定理偏偏还特别著名，很多人都问过我它究竟说的是啥。相信我，你不可能弄明白的。）

也就是说，我们真正关心的是两类特殊的无穷集合，一类称为可数无穷集，一类称为连续统。所有的可数无穷集彼此等势，所有的连续统彼此等势，但是任何可数无穷集和连续统之间不等势，后者总是更大一些……真绕嘴阿。

下面是一些可数无穷集和连续统的例子：

可数无穷集：

自然数集，整数集，有理数集。（基本上，如果你在平面上或者直线上随手点无穷个点，并且这些点彼此都不挨着，那么它们的总数就是可数无穷的。但是也存在一些不这么简单的可数无穷集。）

连续统：

实数集，直线上点的个数，平面上点的个数，一个正方形里点的个数，或者简而言之，一切几何对象里的点的个数都是连续统。（这里一个常常被人提到的推论就是直线上的点和平面上的点一样多，——都是连续统那么多。其实证明很简单，但是一言难尽，请查书去。）

好了，现在我们可以讨论这两个名字是怎么来的了。请注意，所有的可数无穷集都是可以和正整数建立起一一对应的，这是什么意思呢？这意味着，我们可以把一个可数无穷集中的每个元素都对应到一个正整数，这相当于给他们编了号码，从而我们可以去数它们（这就是可数这个词的来历）。也就是说，我们可以按照1号、2号、3号这么一直数下去，虽然总数是无穷的，但是只要我们在理论上一直数完所有的自然数，我们就能真正数遍这个集合的所有元素（至少在想像里是这样）。

而连续统集合却不是这样。一个直线上的点是连续统，这就是说，无论怎么巧妙的给这些点编号，我们都是不可能给所有的点都编上号码然后一个一个的数下去把它们都数完的。它们是“不可数”的。

有人会说，这不是自欺欺人么？反正都是无穷个，反正事实上总也不可能数得完，那么在理论上区分“想像中数得完”和“想像中也数不完”有什么实际意义呢？

有的。正是这一点微妙的差别，使得有些事情我们能够对可数集去做却不能对连续统集合去做，也正是这一点差别，促成了从没有大小的点到有大小的直线和平面之间的巨大的飞跃。

（待续）

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

崔莺莺见了只沉吟不语。然而回到家里，“神魂荡漾，情思不快，茶饭少进。”红娘瞧了暗笑：“姐姐往常不曾如此无情无绪；自见了那张生，便觉心事不宁，却是如何？”

这开头如此典型，以至于可以套在古今中外无数或真或假的八卦前面。19岁的海涅第一眼见到15岁的表妹阿玛丽，就像维特见到了夏绿蒂，“一位天使！——没说的！谁谈起自己的意中人都这么说，不是吗？可是我却无法告诉你，她是多么完美，她为什么会那么完美；够了，她已经把我整个心都俘获了。”我不知道别人有没有产生过和我一样的疑惑，他们真的这么写情书么？收信人不觉得难受么……

还是中国人含蓄，“这个妹妹我曾见过的。”妥帖多了，但也多少有点无趣。严格说起来，贾宝玉也真的从来不曾像张生或者维特那样追过女孩子。在元宵夜宴上贾母声色俱厉地指出过张生模式的不靠谱。贾宝玉听了作何想法，我们不知道。但是我们知道的是他多少算是个被动的人，连宝钗都算比他要勇敢些。

于是宝钗成功地和宝玉在一起了。这当然只是个和西厢记一样不靠谱的个案，但是也不是没有道理可言的。

花开两朵，各表一枝。话说在1962年，两个数学家David Gale 和Lloyd Shapley提出了下面的问题：

给定若干个男生和同样多的女生，他们每个人都对所有的异性有一个心理的偏好次序。是否存在一种男女配对组合构成一种稳定的组合关系？这里稳定组合的意思是说，不存在两个非伴侣的异性对彼此的评价比对各自伴侣的评价还要高。（可以理解，这样的异性太容易红杏出墙了，所以是某种不稳定因素。）进一步的问题是，在已知每个人对异性的偏好顺序的情况下，怎样求出这种稳定组合方式（如果它存在的话）？你可以理解为这是数学家们替月老问的问题：给定一群孤男寡女，寻找一种牵红线的方式，以确保把红杏扼杀在摇篮里。

这一问题被称为稳定婚姻问题。它有很多种可能的解法。为了让大家相信数学家不是真得如此无聊，我要指出它确确实实是一个地道的组合数学问题，有其特定的数学价值。当然啦，它也有很多别的背景和应用，比如用来在若干个公司和应聘者之间进行招聘中介……但是数学家们怎么会放过如此八卦的一个名字呢？于是它就这样流传下来了。

话说回来，有很多组合数学问题都可以如此这般的翻译为生活中的问题。比如著名的Hall定理：给定n个有限集合（其间可以有交集），如果其中任意m个集合的并集的元素个数都不小于m，那么一定存在n个不同的元素，使得它们正好依次存在于这n个集合之中。我相信没有人明白以上这是在说什么。可是它有一个很好的解释：把那n个集合想象成n个男生各自心仪的女孩子们（一般来说都不止一个），中间的那个条件是说，如果对于其中任意一部分男生，他们喜欢的女孩子的总数都不少于这组男生的人数（这个条件是必要的，否则就打起来了），那么总的说来一定存在一种办法给每个男生都分配一个女生恰好是他喜欢的。

听起来真是令人心情愉快啊……

（这个定理事实上还有很多别的解释方式，比如说，把52张扑克牌任意分成13堆，每堆4张牌，那么上面的定理告诉我们，一定存在一种方式从每堆牌中抽出一张来一共13张恰好凑成一条不一定同花的顺子。这件事情乍一听也是挺奇妙的，不过在这个特殊的日子里，我们还是专注于我们的主题吧。）

回到一开始提到的稳定婚姻问题，给定每个人关于异性的偏好排序，要寻找一种男女配对组合构成稳定的组合。Gale 和Shapley不但提出了这个问题本身，而且给出了一种著名的解法。这个解法可以描述为如下的求偶过程：

首先，让这些男生去向他们最心仪的女生求婚——这是数学家们的原本的用词。如果你觉得太快了的话，让我们暂时改成表白吧……

然后，等所有男生表白完毕后，所有的收到表白女生们都从自己的表白者中选择自己最喜欢的人接受为男朋友。没人表白的女生只能暂时等一等了，不要着急，表白会有的。

以上过程称为“一轮”。之后的每一轮都按照类似的方式进行。首先由还处于单身状态的男生们每个人再次向自己还没有表白过的女生中自己最喜欢的人表白（无论人家是否已经有了男朋友），然后，等所有单身男生表白完毕后，所有的收到表白女生们都从自己的表白者中选择自己最喜欢的人接受为男朋友。如果原来有男朋友而表白者中有自己更喜欢的，不要犹豫，换之。等到尘埃落定之后，再开始如上所述的新的一轮表白。

依此类推。可以证明的是，这个过程一定是会终止的，也就是说，不会陷入任何死循环。并且一旦终止，每个人都会找到一个伴侣。更关键的是，这个过程最终得到的一定是如前所述的“稳定组合”：不存在两个非伴侣的异性对彼此的评价比对各自伴侣的评价还要高。——这几个事实都不难证明，有兴趣的话可以自己试试看。

所以这就得到了稳定婚姻问题的一个解（顺便也证明了解的存在性）。但是真正有趣的部分还在后面。一般来说，给定若干个男生女生和他们之间的偏好关系，稳定组合存在不止一种。上述“算法”只是给出了所有可能的稳定组合其中之一而已。但是这个特定的解具有某些特别的性质：可以证明（这一次证明不很容易了），上述方式得到的稳定组合和所有其他的可能的稳定组合相比，是对男生最优而对女生最劣的。

确切地说是这样：

它是对男生最优的。也就是说，对每个男生来说，按照这种方式最后找到的伴侣，是在所有的稳定组合中自己可能具有的伴侣中自己评价最高的。——注意这并不等于说被个男生都能追到自己最喜欢的女生，而只是说，他一定能追到“有可能和他在稳定组合中在一起的女生”中自己最喜欢的。有些女生虽然很好，但是和他在一起是不可能形成稳定组合的。这就是人生啊……

另一方面，它是对女生最劣的。也就是说，对每个女生来说，按照这种方式最后找到的伴侣是在所有的稳定组合中自己可能具有的伴侣中自己评价最低的。同样的，这也不等于说每个女生都只有和自己最不喜欢的男生在一起，而只是说她最后的男朋友会是所有“有可能”的男生中自己觉得最勉强的。不过这样听起来也已经很悲惨了。

这两个结论并不直观，因为看起来在上面所描述的过程中，女生是相对占有优势的。作为男生，需要很辛苦地去不断表白，然后被拒，再表白，再被拒……而女生只要随心所欲挑选就好，而且还有随时更换男友的权利（在上面的规则里男生是不能主动提出分手的）。为什么结局会是如此？

但是如果仔细思考上面所描述的规则，会看到男生至少有一样优势——也许是至关重要的优势：他们是主动方。主动的好处是，即使一次又一次的被拒，他也仍然可以和剩下的女生中自己最喜欢的在一起。而对于女生来说，纵然有再多挑选的自由，可是一个女生也许永远也等不到自己最喜欢的男生来追自己——或者在她等到之前，游戏就已经结束了。

毫无疑问，你已经看出在上面的设定里“男生”和“女生”都只是代号而已，它符合古典文学的一贯叙事，但是在当代语境里也许并不政治正确。另一方面，这个定理也不是真的用来描述爱情的——数学家们还没有这么疯狂，认为可以用逻辑来推理情感。它只是一个过于简化的模型而已，比张生和维特的故事还要不靠谱的多。

但是我也相信你一定已经看出了我这篇文章的主题。在一切古典文学的叙事里，我们都满怀着希望注视着那些勇敢的孩子们，看着他们的努力和坚持，也许最后会失败，可是他们至少尝试过。

现在连数学也在帮着说明这个道理了，你还等什么呢？

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

Offord教授和我最近发现我们在《数学年鉴》中的论文存在一个蹊跷的错误。一个公式中的加号被写成了一个乘号，而后面那个命题的证明则是依赖于这个错误的公式的，因而也是无法成立的。不过，聊以自慰的是，我们最终能够确定那篇论文总的结论其实还是正确的。

——《Littlewood文集》

如果回忆一下中学数学的两门分支课程——代数和几何，就能清楚地看到，在数学的两种最基本的推演过程——计算和证明——之间一直存在着一种巨大的差别。在初等代数问题里，一个问题的求解（例如解一个方程或者计算一个多项式乘法）是可以通过规范化的步骤顺序实现的，这使得这门课程本质上同一门按照操作手册动手的劳技课并无不同。然而，几何定理（哪怕是最基本的初中平面几何）的证明却不然，发现一个证明的过程中一定存在着那样一些“灵光一闪”的时刻，它们可遇而不可求，使得几何这门课程几乎成为本质上“不可学”的一门课程。我们都曾经面对过无从下手的证明题目而摇头叹息过，也都在阅读一个自己想不出来的证明过程时体会过那种羚羊挂角无迹可循的美感。纵然掌握了再多的定理和证明技巧，在脑海中发现完整的逻辑道路的过程仍然是一个自发而偶然的事件，反映了人类思维的某些最难于用语言刻画的能力。从某种程度上说来，这正是数学这门学科的神秘感的终极来源。

也正因为如此，计算——无论多么繁琐——本质上都是可以被机械实现的，在今天更是借助电脑的辅助成为一种相对平凡的任务。而证明才被认为是数学本质的困难所在，是人类智慧的高度结晶。阅读并验证一个证明是否正确（或者哪怕仅仅是理解它在说什么）是一项辛苦而困难的任务，只有受过训练的数学家才能够得以完成。并且，和物理化学生物等牵涉到真实世界的学科不同，数学定理是不能被实验所证明的，从而数学家的阅读就成为本质上唯一可行的验证手段。这其实也正是今天数学界的真实运作方式：一个人写出一篇文章来宣称证明了一个定理，他的某些同行们会在特定的审议机制下阅读这篇文章并且宣布是否接受其论证。如果大家都认为证明无误，这个定理就被接纳为数学的一部分而存在下来。

这一流程的有效性已经为数学科学的茁壮生命力所证明，然而，任何人也都能看出这个过程中蕴含的极大风险：我们究竟在什么意义上能够宣称一个定理真的是正确的？其作者可能犯错，审阅者也可能犯错，我们都知道数学证明中的微小错误有时候是多么难于发现，而这些错误也许永远都不会有人知道。当然，这并不是说数学这门学问完全是空中楼阁：越是重要的定理，其阅读者也就越多，出错的概率也就越是无限趋近于零。我们不能想象一个从阿基米德时代就流传至今，被无数学生学习过的四五行的证明还会存在逻辑错误。但是即便如此，只要翻开数学史，我们还是能看到大量重要的错误由于极其偶然的原因才在事隔多年之后被人们发现的例子。

到了现代，这个问题更是严重得多，数学的复杂程度和专业化程度已经使得任何一个分支的专业人员数量同证明的普遍难度完全不成正比。这种矛盾在某些极端的例子里尖锐到了荒谬的程度：图论中的Robertson–Seymour定理的证明一共耗费了大约五百页的篇幅，Almgren对几何测度论中的一个定理的证明总长为1728页，而代数中著名的有限单群定理（确切来说这不是一个定理而是一组定理）的证明总共包含超过五百篇论文，总页数估计在一万页以上。世界上恐怕不存在任何一个人真地把这个证明从头读到尾过，遑论验证其正确性了。有限单群方面的专家之一Aschbacher曾经不无自嘲的说过：“一方面，当证明长度增加时，错误的概率也增加了。在有限单群分类定理的证明中出现错误的概率实际上是1。但是另一方面，任何单个错误不能被容易地改正的概率是0。随着时间的推移，我们将会有机会推敲证明，从而对它的信任度也必定会增加的。”

我们也希望如此，但是以严谨而著称的数学体系是以这样远远难于称为严谨的方式被建立，终究构成某种吊诡而令人心生疑虑的现实。不仅如此，这一体系在某些情况下还会完全失效，一个著名的例子是四色定理在1976年的证明。Appel和Haken在那个证明中把所有的地图用通常的逻辑推演的方式化归为1936种类型，然后——这是充满争议性的一步——编写了一个电脑程序逐个验证这些类型都满足四色定理的结论，从而完成了整个证明。一个立即存在的问题是：就算前面的逻辑部分是正确的，谁能证明后面的电脑程序中没有错误？难道数学家们应当逐行阅读代码以理解其正确性么？（写过程序的人一定晓得，阅读程序代码是比阅读一个通常的逻辑证明还要痛苦的经验。）另一个时间上稍近的例子是Hales对开普勒堆球定理的证明。这一证明包含了三百页的文本部分和四千行的代码部分，被投稿至数学界最重要的杂志《数学年鉴》，杂志的编辑最终接受了这篇论文，但是指出：

“在我的经验里，还没有一篇论文曾经得到过这样的审查。审读人专门建立了一个讨论班研究这篇文章，他们检查了证明中大量的论述并且确认其正确性，这种检查常常需要耗时数个星期。……总的说来，他们并不能确认证明总体的正确性，而且估计永远无法做到这一点，因为他们在到达终点之前精力就耗尽了。”

至于代码部分，估计并没有被任何人认真地审阅过。

于是在一部分数学家那里，另一种可能性开始渐渐浮上水面。既然一般来说数学定理的证明及其审查是如此困难和繁琐的一件事，我们有没有可能从根本上把它转化成电脑能够承担的任务呢，就像我们已经成功让电脑代替人类实现的大多数繁琐劳动一样？注意，这种电脑的参与并不是像上面的例子里那样仅仅负责某些验证性的工作，而是从最底层介入逻辑推演的部分，从而严格的建立整个证明过程。这种思路，一般被称为形式证明（Formal Proof），有时也称为机器证明。

两个哲学家之间的争论并不比两个会计师之间的争论更复杂，他们只需要掏出纸笔，然后对彼此说：让我们来算一算吧。

——《莱布尼茨通信》，1666

用计算的方式进行逻辑推演并不是什么新鲜想法，事实上，这是人类极为古老的梦想之一，它可以上溯到笛卡儿和莱布尼茨乃至霍布斯，甚至也许更早。霍布斯有名言曰：“推理就是计算”，不过考虑到他的数学（特别是几何）程度之糟糕，人们一向怀疑他根本不知道自己到底想说什么。莱布尼茨的观念则要清晰的多，在他看来，只要能够把一切逻辑论断用统一的语言确切的表达出来，并且采用严密的规则进行逻辑推演，那么世间的所有道理都是可以被严格推导出来的。

让我们抛开其间的哲学意涵不谈（莱布尼茨的梦想事实上已经涵盖了人类理性的全部领域），单就数学层面而言，这一框架听起来并不算特别不靠谱。从欧几里德开始，数学家们就开始着手把全部数学定理建立在公理体系之上，于是从理论上来说，任何一个数学定理的证明，确实是可以用纯粹的逻辑语言“算”出来的。这里的计算当然不是说加减乘除这样的四则运算，而是形式逻辑的基本运算，例如命题A为真推出命题B为假，诸如此类。这种运算也有其特定的“运算法则”，也就是我们平时所默认的那些形式逻辑的法则，以此为基础，一个推导就是在这些法则下的一次“计算”，而一个复杂的证明只不过是一道复杂的“计算题”而已。

事实上，经过二十世纪初那一场著名的数学革命以及随后的ZFC公理体系（这是今天数学界普遍承认的公理体系）的建立，这种把全部数学建立在逻辑演算之上的想法实际上并不存在理论上的障碍。实际困难在于，从人们熟悉的“人脑证明”到这种完全依赖于逻辑算符的“形式证明”之间，存在一个复杂度上的巨大鸿沟。我们在脑海中所进行的逻辑推导其实大量的依赖于人类特有的直觉想象和经验，如果要把每一环逻辑链条都清清楚楚地写下来，每一次推理都追溯到公理体系那里去，任何一个简单的证明都会变得繁琐到超乎想象的程度。我们喜欢严格性，但是这样做的代价也太大了。
然而电脑的发明改变了一切。众所周知，电脑最擅长于做的就是这种严格而繁琐的工作。把基本公理告诉电脑，把推理法则教给电脑，不就万事大吉了么？

差不多了，只剩下最后一步——非常微妙的一步。在上面的叙述里，一切传统的人脑证明都可以转化为逻辑算符的“计算”，这是对的，但是其前提是这种传统证明已经存在了，所需要的只是恰当的翻译过程而已。如何发现一个未知的证明则是一个完全崭新的挑战。我们对于人脑是如何想出一个证明的过程都不甚了了，又如何能教给电脑去自己发现一个证明？

于是人们采用了一种实用主义的策略。一方面，把人们已经知道的证明翻译给电脑，这同时也构成了对这些证明的逻辑严密性的一次确认。——虽然这件事情听起来很简单，操作起来仍然是很困难的事情。另一方面，小心翼翼的探索让电脑尝试去自动“发现”一个证明，哪怕只是很简单的证明而已。

让我们看看半个世纪以来人们已经让电脑做到了哪些事情：

• 1954年，Davis成功地让电脑证明了定理：偶数加偶数仍然等于偶数。
• 1959年，王浩让电脑证明了罗素和怀特海的名著《数学原理》中的所有谓词逻辑定理。
• 1968年，de Bruijn用电脑给出了Landau为其女儿所写的一本关于实数的入门小册子中的全部数学定理的证明。
• 1976年，Lenat让电脑自发的开始探索数学世界，他的电脑从基本公理开始，自己发现了自然数、加法、乘法、素数这些词的意思，甚至还发现了算术基本定理。
• 1984年，吴文俊发表《几何定理机器证明的基本原理》，用电脑证明了一系列平面几何中的著名定理。
• 1996年，McCune设法让电脑“自动”证明了布尔代数理论中的Robbins猜想。这里“自动”的意思是，把这个猜想输入电脑，回车之后，电脑花了八天时间给出了这个猜想的证明而没有借助人类的任何帮助。
• 2005年，Gonthier建立了四色定理的全部电脑化证明。这一证明和1976年那个证明虽然都用到了电脑，但是其意义则根本不同。1976年的证明本质上仍然是传统证明，电脑只是起到了辅助计算的作用，而Gonthier的证明则是纯粹的形式证明，其每一步逻辑推导都是由电脑完成的。

到今天为止，人们已经用电脑证明了上百条重要的数学定理，甚至还曾经用电脑发现过一些猜想（这些猜想的命名恐怕会成为一个问题）。这一切还当然仅仅是个开始，人们还不曾让电脑做出过任何真正意义上的数学贡献，几乎所有被电脑证明的都是人类已经知道的事情，而且大多数都是很初等的结论。指望电脑帮我们证明歌德巴赫猜想的那一天还远远没有到来。

但是另一方面，任何人估计都可以看出来这条道路的远大前景。和人类相比，电脑不知疲倦和逻辑严密的优点使得其前途未可限量。电脑当然也会犯错误，但是这种错误归根结底是容易检验的——其正确性归结为这些软件内核的正确性，而内核一共也就几百行代码而已（这一点要归功于数学公理体系的简洁和精致）。一代一代数学家永远都要从零开始学习和成长，而电脑则总是建立在已有成果的肩膀上（也许应当说机箱上？），假以时日，电脑会不会成为有史以来最伟大的数学家呢？

“一个好的数学证明应当像是一首诗，而这纯粹是一本电话簿！”

——对1976年四色定理证明的一则著名评论

这条道路从第一天开始就伴随着巨大的争议和疑虑。

数学证明，正如我们在前面所提到的那样，是人类理性最光荣的成果之一。蕴藏在深刻美丽的数学定理背后的那些那种苦心孤诣的劳动和成功之后宛若天成的光辉，吸引了一代又一代伟大的头脑投身于其中。匈牙利数学家Erdős曾经发明过一个术语：the Book，用以描述他心目中由上帝所拥有的那本书，在那里记载了全部美妙和精致的数学定理的证明。他曾经说过：“你可以不信仰上帝，但是你应该信仰那本书的存在。”大多数数学家是信仰的，而他们也衷心的希望自己所建立的定理和证明会出现在那本书里。

如果这些定理最终都只不过是被一些代码算出来的，这种美还有什么意义？

2007年，美国数学会通讯杂志采访了刚获得菲尔兹奖不久的陶哲轩，问题中包含了关于形式证明的看法。陶哲轩的回答可以在很大程度上代表一般数学家对这个问题的意见：

“对一个证明来说非常重要的一点在于，它应当能够被任何人清晰的理解。在这一前提下，在一个令人满意的数学证明中计算机的作用最好只限于确认一些显而易见的事实，比如某个方程的某个孤立解或者某个宽泛条件下参数的存在性，而不是用来证明一些从人类的思维过程中闪现出来的本质上非同寻常的结论。如果计算机证明的论断在人类看来是完全直观的，那用电脑来确认一下这些结论的逻辑严密性当然没什么不好，但是基于人的阅读和理解的证明过程总是必要的。”

于是这构成了某种颇为讽刺性的局面。计算机一般被认为是数学家最引以为豪的发明之一，然而当它转过头来开始侵蚀数学家的传统领地时，数学家们的首要反应便是捍卫自己的尊严。一个由计算机生成的证明在广义上说来当然也是人类智慧的产物，可是如果有朝一日，困扰人类几百年的某个著名猜想被计算机所证明，则数学家们情何以堪？

人们对形式证明的批评多半集中于它极端的繁琐和不直观。然而，既然人们已经知道如何把一个传统证明翻译为形式证明，那么把一个计算机生成的形式证明翻译回人们可以直接阅读和理解的直观证明在理论上说来也并非全然不可能。从这一点上说，形式证明和传统证明之间的鸿沟并非是不可逾越的，尽管还有很长的路要走。我们可以设想，在未来的某一天，这两种证明之间的界面变得极其友好，于是任何一个数学家都会把形式证明作为日常数学工具加以掌握，任何一本数学杂志都会要求提交的证明必须是经过计算机验证的……

而对于电脑来说真正的挑战，仍然体现在对未知证明的寻找上。如何让电脑学会迅速发现合适的证明路径，这是这一领域里最困难也最迷人的问题之一。毕竟即使数学家们自己往往也说不清楚那些片羽飞鸿般的灵感是怎样产生又怎样被自己捕捉到的，更不用说让电脑来模拟这一过程了。对于电脑“思考方式”的设计和研究，本身当然就是深刻的数学问题。——从某种意义上说来，这一自我缠绕的局面不但没有构成对传统意义上的数学之美的消解，反而是它的延续。归根结底，这一领域的任何进展，都标志着人们对于“智慧思考”这一问题更深刻的理解，这已经足以令人骄傲了，不是么？

不过还是让我们暂时抛开这些遥远的设想不谈，回到形式证明的初衷之一上来：为人类已有的证明建立可靠的逻辑基础。在这一领域里活跃的若干研究小组的通力合作，已经让一个宏伟的工程颇具雏形，在这个工程里，人们试图建立一个庞大的由电脑维护的“定理库”，其中包含了人类所了解的全部数学知识，而它们的正确性完全为电脑所确认。人们所建立过的所有证明都被翻译成电脑可以理解的形式而加以保存，而人们也可以轻易的从这里查询任何已知的数学问题的答案。——同让计算机彻底取代数学家去探索未知世界相比，这一wiki式的设想无疑具有更高的可操作性。这一工程被称为Q.E.D.，任何一个数学家都明白这三个字母的含义：这是拉丁文的缩写，意为“证毕”。

你可以说这是巴别塔般的梦想，也可以说这是潘多拉的盒子，你也可以像大多数数学家一样投去怀疑甚至不屑一顾的目光。但是你不能无视它的存在，因为道路已经打开，纵然迷雾重重，但是没有理由不继续走下去。

证毕。

（想象一下计算机说出这两个字的感觉……）

Formal Proof，作者T. Hales
Formal Proof — Theory and Practice，作者J. Harrison
Formal Proof — Getting Started，作者F. Wiedijk
（以上三篇为综述文章，见美国数学会通讯2008年11月号）

QED工程网站：http://www.cs.ru.nl/~freek/qed/qed.html

相关软件介绍及下载：

http://coq.inria.fr/

http://mizar.org/

http://www.cl.cam.ac.uk/~jrh13/hol-light/

http://prover.cs.ru.nl/login.php

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...

桔子：叫“桔子”是因为那是我的输入法打出来的第一个“juzi”……有一次在msn群里，有人改了名字冒充我；结果猛犸一眼就认出来了，猛犸悠哉地说：“哈，桔子自己是不会打‘橘子’的哦～～”

木遥：你小时候看科普么？看科幻么？我觉得女生好像都不是特别喜欢看科幻。。。。不是《科幻世界》，是那种长篇科幻，阿西莫夫的《基地》之类的。

桔子：小学时候看过《数的世界》还有那种小朋友游物理/化学/数学王国的书，妈妈总和别人说我看得如痴如醉，我自己不记得……《十万个为什么》没看全，很丢人，家里的一套似乎是爸爸的，封皮黑红黄三个颜色，那种很革命举镰刀的人物形象。《科幻世界》也没看过，爸爸告诉我他喜欢儒勒凡尔纳，我就看了。我好像一直不是那种爱科学的好儿童，看童话长大的，学到的知识有——作为一个小姑娘，哭是很有用的本事。

考大学时候歪打正着，我同学后来总结说，生物是理科里边最文科的一门。大学时候和科学有关的课外书只看了阿加莎·克里斯蒂（我更喜欢波罗），开始的时候那是最好朋友给我留的作业，后来就喜欢上了。

木遥：你有没有因为面对错误和失败抓狂过？

桔子：如果我没有理解错你的问题，是指在我的科研中么？曾有这样一段对话，物理男说：“我们只要一根笔、一张纸，和一个垃圾桶就可以做科研。”桔子说：“好牛啊。”物理男说：“不。不算牛。哲学系的只要一根笔，一张纸，随便写点什么都是研究结果。”桔子说：“那我们生物的只要一个垃圾桶。”

这个意思是，在生物研究里边，发现自己的结果和观点是错误的，这种时候很多；许多时候并不是操作失误，莫名其妙的再重复一遍结果就变了，生物变数多吧。所以随时做好了结果跑到垃圾箱的心理准备，老板听到你的结论又变了一般也会面不改色。

尽管生物一直想要变成逻辑的科学，但现在还无法脱离“描述”，所以很重要的是靠“看”。常常是不论推翻和支持，看到了就是有意义的成果。沮丧常是因为没结果，做不出就说明这条路走不通，白做了，不过我在实验室有酒。

木遥：如果你以后的孩子表现出对科学明显的排斥或者至少是对大自然的奥秘无动于衷（并且经过诱导仍然如此），你是认为这是他/她的自由选择应予保护还是错误倾向应予纠正？

桔子：（好遥远……）我是被放养的，以至于不觉得自己曾经叛逆过，感谢爸爸妈妈和老师们给我的尊重和自由，我想我有孩子以后，不会太强迫他。他如果觉得诗词歌赋好玩，笑我不懂，我可以说，你还不懂原子微管五羟色胺呢……不过现在说这个是站着说话不腰疼。

木遥：上个世纪末有一句流传很广的话是“二十一世纪是生物学的世纪”，当然这句话争议也很大，你怎么看这句话呢？

桔子：呵呵，不严肃地说，一句话害了多少少年儿童～还是毛爷爷好：“学好数理化走遍全天下。”

现在生物学的口碑恐怕不是这么伟大。我想过，为什么现在好多人都说学生物的不好找工作。因为虽然同是理科，但生物恐怕比数理化专业性强，研究的路容易走得窄。除非热爱这门科学，一门心思将来做研究；否则，当想要干点别的的时候就会发现自己的理科基础并不是很强，生物学也不是很多地方都用得上。另外，我觉得现有的生物研究人员多于实际需要，第一是因为它（曾）是热门专业，第二是因为它现在还靠人海战术，这是会变的。讲个笑话，我师姐答辩答high了，对在座老师说：“我将来要发明一个机器或至少编一个程序，这样我们就不用在实验室里看着几个小时的实验，浪费生命。”老板听了脸色发青，说：“那我要你们博士生干什么用的？”

同样的道理，有人说：“生物的重要性只要看生物研究有多少经费。”美国科学院确实把一半以上的钱都用于生物研究——实际上这也是因为生物建立在消耗物质的基础上，我们实验室一天肯定能比你数学实验室多产生垃圾，多消耗能源。

实际上现在科研界和科技领域，还是挺百花争鸣的吧，看各种大众科学杂志上的研究进展，也不一定大部是生物。

不过我也不是说生物不重要，人是好奇的，有关自然的科学是最直观、同我们距离最近的科学，有未解的迷就想解开。常常能见到一些paper上发表的实验，可以称之为“可爱”，比如本来只在细胞里边行使功能的东西，科学家让它翻个个儿长到细胞外边去，好像显摆一下，这个东西多有用，我能让它带着整个细胞到处跑——我感觉有时候生物研究可以让人类特别好地展示自己的智慧，同时满足人的解惑欲，这也是我为什么喜欢生物。另外从应用的方面来看，上世纪DNA结构和中心法则出现，现在能看到生物大分子、控制细胞命运，人能知道一个药物分子究竟通过细胞的什么组件，如何对细胞作用；人也认识到自己和许多低等生物这么像，就可以脱离人做实验，让别的动物代我们受死……这些成果都是几十年之内来的。我们突然认识到原来不一定要屈服于疾病，甚至不一定服从衰老——这多诱人。所以人类肯定还会动力十足地继续。

一个世纪100年，我不敢胡乱说它究竟是谁的世纪。90年以后再答……

木遥：北大生命科学学院院长饶毅曾经给一场院内辩论赛出了如下的题目：正方：学习生命科学有前途。反方：学习生命科学没有前途。你会愿意当哪一方辩手？

桔子：我不愿意辩论……

木遥：那你喜欢做研究么？

桔子：本科不是很懂什么是做科研，不过很幸运，实验用的是形态学的方法，用电镜，那时候就觉得生物真美啊，每天都惊叹；而且形态学那些实验，靠观察，只要仔细观察就能发现点什么，所以心情上很受鼓励，那时候整天做实验就很high。后来研究生，发现不是所有研究都是那样靠眼睛观察的，和以前反差很大，基本上没有形态学的东西，都是分子的、遗传的，刚开始不适应，但是逐渐就开始觉得做研究的思路很好玩，像拼图一样，用一点点结果把一个全局拼出来。将来干什么还没仔细想。。真难说，其实我实验很挫败感的时候都有心去学public health，然后去WHO工作，去帮非洲难民，至少自己做什么都看得到。。做生物，成果慢慢的。。也不知道希望啥。我想想。。

木遥：你最希望在我们有生之年看到科学的哪一样重大进展，要现实一点的。

桔子：我使劲想想……对了你希望啥呢？我建议把我的圈圈坐最后改成我采访你……

（在桔子的强烈要求下，下面暂时变成木遥回答问题了。）

======================我是反客为主的分割线======================

木遥：我想了三件事情。第一是更好的能源储存技术，确切说来就是让便携设备的电池不要那么大那么热。。。。第二是随时随地不限速度的无线网络，是真正的随时随地，不管人在哪里。第三是更好的锻炼身体的方式，坐在一个椅子里然后被机器噼里啪啦的拽一拽就把肌肉拽出来了（这个不太靠谱。。。。但是按说也不是完全不可能的。。。。）

桔子：还得把脂肪拽没。

木遥：那个我不care…

桔子：可是你被拽出来了还是锻炼么。。锻炼的一个目的其实是心理上的。

木遥：我承认这样没法实现锻炼意志品质的目的。但是生长肌肉本身是个纯生理的事情，理论上不必然要求长时间的坚持运动阿。

桔子：肌肉细胞要生长需要时常伸缩不说，即使有肌肉，神经没有通过锻炼发育（没有刺激，神经细胞就不会长得那么猛，没那个需要），还有关节和骨头强度不够。关节怎么拽。。得运动对这个部位产生刺激，才能生长，包括里边的血管。。你别没控制好又给世界增加一个癌症难题。

木遥：肌肉的生长本质上也不过就是个生理化学过程。你把营养都储备好了，相应的激素都给到了，生物讯号都模拟出来了，为啥肌肉生长不出来？

桔子：算了，我觉得还是别让未来的少年儿童看到你这个可怕的想法，回头新增了一个“肌肉癌”。。你变成绿巨人你就高兴了。我问你，心肺功能你想怎么办？很弱的心肺功能都没法支持那么强的肌肉。

木遥：一定要绿巨人那么强么。。。。长一点点肌肉就停下来，然后让心肺去适应一阵，然后再长。。。。本质上青春期长身体的时候肌肉长得也很快阿。

桔子：你没抓住那时候的好时机？

木遥：……

木遥：然而你还没回答问题。。。。

桔子：小麦亩产万斤，人类更好利用太阳能，更便宜的治疗艾滋病吧。我觉得我说的三个比你现实。。

木遥：我觉得我说得比你现实。。。。

桔子：哈哈。。艾滋病那个可能，实际上好多欧洲美国科学家都在研究。今年我还写了一个诺贝尔奖医学的，当时那个法国人就在非洲。他们研究，不是空谈的，不是光在实验室研究信号通路。我印象特深，那人说，不是治愈，是让他们never get sick，就像现在癌症的新疗法的idea一样。你记得癌症小红猪翻译的一篇么？与敌共存，有些异曲同工。就是说，你感染了，原来的思路是，就是要杀死你所有的病毒，治愈你。但是那个是非常贵和不容易实现的，现在的努力方向（便宜一点的），先短期治疗，然后疫苗，让你自己的免疫系统去努力抗衡。。这样让他们永远不发病。

======================我是回到主题的分割线======================

木遥：你到底是干啥的。。。简单介绍一下你的专业吧，也包括那个大家都问的问题，就是2008年你们专业最吸引你的话题是什么。。。

桔子：你知道“高尔基体”和“内质网 ”么？不知道没关系，细胞知道吧。恩，细胞里很挤，有好多大分子和小泡泡推推搡搡的。它们多数情况下并不是悠哉地在“细胞汤”里游泳（扩散作用），跑到一个地方随便干点活；而是很有序地被运到特定地方。人们总说，“高尔基体”就是细胞的邮局，新合成的蛋白质要从“内质网”出发，先被送到邮局，在这里一级一级地分拣、盖邮戳（就是蛋白的修饰过程，连个糖分子什么的），出邮局门的时候坐上特殊的小车跑到细胞的各个角落发挥它们的作用。我研究的就是新合成的蛋白质怎么被包裹好，然后怎么目标明确地被送到邮局去。

说到邮局——高尔基体，你肯定能猜到这是一个人的名字。细胞里的这个结构就是在1898年以他的发现者Golgi命名的。我实验室崇拜Golgi这个人，不光老板办公室里挂着他的大头像，做实验用来热有毒物质的微波炉里边也用他头像镇着，微波炉里灯一亮，他的脸面就格外神圣，偶尔水开锅了，一口有毒物质就飙上去了。Golgi和他的竞争者Ramon获得了1906年的诺贝尔奖，我实验室曾经养了两只好打架的金鱼，起名“Golgi”和“Ramon”，放在一个缸里它俩就背鳍直竖地开咬，所以只好放在两口缸，缸紧贴着，只能干瞪眼，不能动手。后来Ramon很悲惨地先去见上帝（幸好不是Golgi，不然老板该怒了），我们就在女厕所里为它举行了隆重的葬礼；后来Golgi也不行了，我们让它追随竞争者去了，然后老板规定实验室里不能养宠物，Golgi和Ramon的友情成了绝唱。

我们这个专业特别窄，而且我现在以搞副业为主，所以我眼中的大事就是不务正业……先给你个链接，然后贴图。http://socrates.berkeley.edu/~sherwood/sherwood/sherwoodhome.html

或者 http://www.gallerypauleanglim.com/Gallery_Paule_Anglim/Katherine_Sherwood.html

这是一位纯艺术家的网站，她今年二月办了一个画展，名叫“高尔基之门”（Golgi’s Door），因为主题是“神经细胞和大脑”——这个名字是为了纪念Golgi对发现神经细胞的重要贡献。绘画里除了那些枝枝杈杈的“神经细胞”、大脑、头颅这些生物成分，还有许多神话人物的元素。现实一点的比如这幅《Ramon的复仇》——哈，冤家对手总不缺席。

这个《pump, drug, computer》，你能看出来吗？

正经的，我自己的领域好像没有什么巨开创的结果，虽然paper频出。往广了说，我的系名叫“分子、遗传及细胞学系”，很大吧……

我觉得比较好玩的结果是上月一个研究海底荧光生物的组意外地发现了迄今为止最大的单细胞生物——像一颗葡萄一样大，是阿米巴的近亲，在800米深的海底滚。他们从海底把这些小葡萄粒捞出来，本来以为是……就叫它们doo-doo ball……后来发现居然能动，是活的。从细胞学的角度来讲挺不可思议，数学家和物理学家都做过计算，细胞大小很大以后对细胞就不利了，因为表面积相对较小，从表面吸收的东西运到细胞中心多远啊，从中间运出来也不容易（尽管实际上这个葡萄里边最重要的细胞元件确实靠近细胞膜）。从行为学，这个像阿米巴的球在海底还定向移动，而不是飘来飘去（一天只能走一个身长），以前人们认为只有对称的生物才能定向爬，因为你得认得自己的前后左右。

然后严肃的，近些年癌症和衰老方面的研究成果挺多。比如两年前建立了癌症基因组数据库（cancer genomics database）。一般癌细胞都是基因组发生了突变，导致它一个劲儿地疯长。研究人员就给癌症患者和健康人的基因组分别测序，这二者不一样的地方就很可能是导致癌症的地方。为了得到有统计意义的结果，得给上万人测序然后确定起决定性作用的基因突变。这个数据库不仅对癌症诊断，对靶向治疗、基因治疗都是很有意义的。2008年结果很多，比如发现了一种胶质细胞瘤（一种神经细胞癌）的新相关基因，在12%患者的癌细胞里，这个基因都发生了突变。

还有你记得DNA写过一篇克隆猛犸象的文章么？猛犸离现在很久远，都没有完整细胞保留下来，研究人员就取得碎片，测出了基因组。因为都是碎片，再加上年代久远损毁严重，所以coverage必须在10以上才能对结果比较confident（也就是说重复的数量达到10以上），但是现在只有0.7，已经很不容易了。据说明年还会测出非洲象的基因组序列，然后用猛犸的这个粗略的结果和非洲象比较，可以帮助纠正一些错误，还可以确定测出来的这一堆序列分别分布在哪条染色体（我有23对染色体，猛犸比我多，有28对，哈哈）然后可以克隆猛犸……。

说到这只猛犸，想起另一个克隆的故事，是上上月实现的。一些日本人从冰箱里拿出一只冻了16年的老鼠，冻得很丑，取出这只老鼠细胞的细胞核（细胞里装DNA的地方），放到别的老鼠的空细胞里边，然后这细胞就被冻老鼠灵魂附体了——由这个细胞发育的老鼠就是冻老鼠的克隆。有人就说，这个技术成功了，可以依照此法克隆猛犸啊。但是猛犸专家都很不份儿……

（木遥尾注：在采访过程中桔子同学屡次悍然拒绝交出照片，请同学们发动群众的力量声讨桔子吧……）

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：        更多...