题图即为同心圆折纸作品，作者是麻省理工学院教授 Erik Demaine。

在 1927 年德国国立建筑学院（即后世著名的包豪斯学院）的一次预备课程上，教师 Josef Albers （他战后成为耶鲁大学设计系的系主任）带着一卷报纸走进课堂，对学生们说道：“

女士们先生们，我们很穷，没什么钱。我们浪费不起时间，也浪费不起材料。所有的艺术都得从材料上开始动手，所以我们必须先来看看我们能搞到什么材料，不要直接想着去制作什么成品。我们目前先考虑的应当是巧妙地利用材料，而不是美。我们的学习应当引出建设性的思考。我希望你们利用这些报纸，搞出一些你们现在还没见过的东西来。我希望你们尊重材料，合情合理地使用它们，保持它们的内在特征。如果你们能不用刀箭胶水就更好了。”

有一些当时的学生作业被保存了下来。其中一份是这样的：在一张圆形纸片上画出一系列同心圆，沿着它们作为折痕依次交替折成峰和谷。（考虑到折痕是曲线，这不太容易做到，但是并不是不可能的。）然后，一个出人意料的，呈现出马鞍形的漂亮结构出现了。

在人们目前所知道的文献里，这样的折纸结构还是第一次出现。

我们每个人都知道怎么折一个纸飞机或者纸鹤，不过恐怕也仅限于此。折纸毫无疑问是一门历史久远得已不可考的艺术，在漫长的历史年代中，一些简单的折纸技术在中国和日本代代流传。1797 年日本三重县桑名市长円寺的僧人义道一円出版的《秘传千羽鹤折形》被认为是世界上第一本折纸书，记载了当时所知道的大量折纸图案。

秘传千羽鹤折形影印。

人们意识到折纸有其技术上的复杂可能性，乃至科学上的应用和研究价值，还是相当晚近的事。二十世纪的日本折纸艺术家吉泽章被认为是现代折纸艺术的鼻祖。他一生发明出了超过五万种新的折纸图样，更重要的是，他建立了描述折纸技术的标准语言，至今仍旧为全世界所通用。在海外，他被广泛看作是日本的一名文化大使。1983 年，日本天皇授予他旭日章，这是日本国民所能获得的最高荣誉勋章之一。

吉泽章作品

到上世纪八十年代，人们开始注意到折纸可以作为一个数学问题被加以研究。归根结底，一个折纸作品一旦被展开，就不外乎体现为一张纸片上的若干折痕，这些折痕满足某些特定的数学性质。反过来，给定一个人们心目中的折纸作品的模样，如何设计出相应的折痕，这在从前是一件完全依赖于折纸艺术家的经验的困难技巧，而今天却可以通过特定的方式转化为一种可以被标准流程所回答的数学问题。上世纪九十年代，美国科学家 Robert Lang 写出了一个名为 treemaker 的电脑程序，允许人们输入任何自己心目中想要的形状，然后电脑会计算出为了折出该形状所需的折痕图样。从那一天起，折纸艺术彻底进入了自由王国。

以上三幅为Lang 借助电脑创作出的作品

这件事情听起来像是科学家们完全心血来潮的业余爱好。可是大多数科学技术领域的发展所体现出的一条必然规律在这里也发生了作用：一种纯粹基于兴趣的，看起来毫无实际用途的研究，最终会以出乎人们意料的方式在现实生活中产生应用。在 2004 年日本宇宙科学研究所在发射太阳能飞船时意识到，为外太空航行提供能源所需的太阳能板需要尽可能大的展开面积，而这些太阳能板又必须能够被折叠到尽可能小的状态才能在发射过程中装进狭小的飞船船舱，并且这一折叠和展开的过程都必须尽可能简单，才能在无人环境中顺利完成，这正是折纸技术所研究的问题。于是，东京大学宇宙科学研究所教授三浦公亮发明了一种折纸方法，提供了一个完美的解决方案。这一方案今天称为三浦折叠法，被广泛地应用于各种生产领域，甚至包括轮胎的胎纹设计。折纸技术还被用于设计人造血管支架，因为这一支架需要被折叠地足够小才能被放入血管，在到达指定位置后再被展开成一段人造血管，这一设计是由牛津大学的中国科学家由衷研究员所带领的研究小组发明的。

在这个领域里事实上还存在着大量未能解决的问题，它甚至构成了数学中一个特别的分支：折纸数学。所有从事这一领域的科学家几乎一开始都只是被折纸过程所蕴含的简单而纯粹的美所吸引，但是事实上，他们的工作开启了一个科学和工程学的宝库，没有人预料过这一切。

本文最初发表于《艺术世界》2010 年 8 月号

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：       更多...

刘慈欣在一篇科幻小说《诗云》中，设想了一个化身为李白的外星人试图利用技术来实现诗歌的创作。尽管外星人的科技水平发达到了不可思议的程度，然而用程序创作出媲美李白的诗歌似乎仍然是不可能完成的任务，甚至让程序来鉴赏一首诗是否出色也过于困难了。

刘慈欣本人写过一个作诗机的软件。但是很显然，他并不相信机器算法能够成为像人类一样的诗人。他是过于悲观了么？

大多数人都会根深蒂固地认为，艺术创作（特别是高质量的精英艺术创作）和人的心灵密切相关，而任何形式和技巧层面的解析和实现都只能触及它的皮毛。尽管这种作用多少显得有些神秘而难于言表，可是恐怕没有谁会怀疑，在巴赫的恰空和达芬奇的蒙娜丽莎之中，有某种专属于人性的神圣和崇高之处。

但是另一方面，一部人类的文明史，基本上也就是人类的领地不断被人类所发明的机器占领和取代的历史。人工智能和机器学习技术的发展使得让机器程序创作出能够以假乱真的艺术作品早已不是幻想。侯世达，《集异璧》一书的作者，曾经这样描述他在听到并亲自弹奏一首短小精致的钢琴作品后的感受：

尽管能间或听出些小瑕疵，这首曲子还是给我留下了深刻的印象，因为它似乎在「倾诉」着什么。如果谁告诉我它是出自人手，我绝不会怀疑它的表现力。这首曲子听来有些怀旧，带点波兰味道，而全无抄袭嫌疑。它是崭新的，而又毫无疑问地刻上了「肖邦风格」的烙印，却不令人觉得情感空乏。我的的确确受到了震撼：抒情的乐曲怎么能从一个从未听过一个音、从未活过一秒钟、从无一丝一毫情感的程序中写出来？

这首作品是一首仿制的肖邦马祖卡舞曲，出自加州大学圣克鲁兹分校作曲学教授 David Cope 的 EMI （音乐智能实验）程序「之手」。这个程序的原理是首先研究一名真实的作曲家的作品中不同层面不同类型的抽象结构，然后以新的形式重组这些结构，从而得到一部仿制作品。

这听起来像是儿戏，但其效果惊人。侯世达曾经在一次纽约 Eastman 音乐学院举办的讲座中，先后播放了上面提到的那首伪肖邦作品和另一首真正的肖邦作品，并且让听众们（大多数是音乐专业的师生）判断哪一首是真正的肖邦。大多数听众选择了错误的答案。毫无疑问，这是极其戏剧性的一幕。

我们知道，在计算机科学中有一条著名的图灵实验法则：一个人使用任意一串问题去询问一个正常思维的人和一个机器，如果经过若干询问以后他不能得出实质的区别，则我们认为此机器具备人工智能。与此类似，如果机器创作的艺术作品和人类作品在人类欣赏者眼中是不可分辨的，我们有什么理由不认为机器在艺术创作领域里完全可以取代人的作用呢？

如果一个人放弃关于艺术创作的种种玄学般的神秘信仰，而认定一切艺术作品都只不过是某种抽象的形式组合，那么用逻辑和数学来研究美的奥秘就是一种顺理成章的尝试。1933 年，哈佛大学数学系教授，当时美国最重要的数学家之一 George Birkhoff 出版了一本出乎同行意料的小书：《美学测度》，讨论了用数学公式衡量并刻画艺术作品的美学价值的可能性。在书中他断言到：

如果美学理论是科学的，那么它就必须从分析的角度加以审视，必须将其自身理解为艺术的纯形式的一面。

这本书并没有引起很大反响，反而招致了不少批评，这恐怕是因为他的理论实在过于粗糙。作为他的理论的核心，他认为一个对象的「美丽程度」可以用下面的公式来计算：

美 = 有序度 / 复杂度

其中有序程度和复杂程度对于不同类型的艺术作品有不同的定义方式。例如对于每一个多边形而言都可以用一种特定的算法算出一个美丽得分：

同样的方式也被他应用在音乐、绘画、建筑和诗歌上。毫不令人意外地，这种异想天开的「美学理论」很快就被人们抛诸脑后了。

但是这一理想并未消失。在二十世纪下半叶，它以崭新的形式重新出现在人们面前。一方面，这得益于电子计算和人工智能理论的迅猛发展；另一方面，现代艺术观念极大地改变了人们对艺术作品的认识和期望。毕竟，让今天的电脑模仿米开朗基罗或者黄宾虹的创作仍然是过于困难的任务，但是对普通欣赏者来说，很多现代艺术作品看起来不过只是幼稚随机的线条和色彩的涂抹，而这样的作品用机器算法实现起来一点也不困难。

从 1977 年开始，加州大学圣地亚哥分校的艺术家 Harold Cohen 开始编写一组名为 Aaron 的电脑程序，赋予其绘画的模式和功能。这些作品起初只是纯然随机的线条色块，随着程序日渐复杂，它开始「学会」画出更复杂的对象，例如石块和植物，以至于人像。题图和下图是两幅 Aaron 的作品，分别名为《在高更的海滩上相遇》（1988，题图）以及《Aaron 和装饰板》（1992，下图）。

Cohen 曾经带着这些 Aaron 的作品在国际上的多家画廊内进行展出。一开始，大多数观众拒绝相信这是纯粹由电脑生成的作品。当 Cohen 解释了这些作品的创作原理之后，观众们又断言说这些作品中体现出了某种统一的「个性」。这是个有趣的事实，因为这些作品除了都生成自同一算法之外别无共同点。这是不是意味着，所谓的艺术个性其实不过是一种程序性的算法模式而已呢？

编写 Aaron 程序的基本思路，是像教会一个没有见过大自然的孩子画出大自然一样教会电脑画画。也就是说，用语言为它定义出所有可能的物体的样子，以及这些物体会倾向于如何排列在空间中，然后令其自由随机发挥即可。这一过程可以是完全技术性的，不牵涉任何层面的美学观念，例如「平衡」或者「和谐」之类，然而其作品却会自发的体现出特定的艺术性选择。

当然，我们可以认为，电脑在这里并不真的是进行完全「自发」的创作。虽然每一幅画的生成过程不受干预，但是 Cohen 本人的美学观念毕竟以一种并不直接的方式隐藏在编程的过程之中。如果换了一个人来编写 Aaron 的源代码，哪怕同样只遵循同样的技术性原则，其结果也可能大相径庭。但是这一事实并不构成对这一方案的「客观性」的否定。它恰恰说明，无穷丰富的美学选择和艺术个性可以通过简单的技术手段实现和遍历。如果事实真的如此，那么考虑到电脑的海量计算能力，它的艺术「创造力」将是人类所无可匹敌的。

迄今为止，Cope 教授的 EMI 程序已经远远不满足于仿制一两首肖邦或者贝多芬的小曲子，而是把目光投向了复杂得多的大型音乐作品。它创作过若干独立的音乐作品，根据普罗科菲耶夫未完成的第十钢琴奏鸣曲的片段补完了全曲，甚至还写作了一部名为《马勒风格》的歌剧。正如我们前面所提到的那样，它和 Aaron 一样早已轻松地通过艺术领域的图灵测试，可以被认可为一位颇为高产的作曲家了。而它今年还不到三十岁，一切才刚刚开始。

苛刻的批评家也许会断言说：无论如何，EMI 和伟大的巴赫之间永远存在着一条无法跨越的鸿沟，正如 Aaron 永远不可能画出和蒙娜丽莎同样杰出的作品，作诗机也写不出超越李白的诗作一样。──尽管他们事实上并不能证明这一点。

退一步讲，就算它们真的永远充其量只是二流的艺术家好了。可是就在我们触手可及的未来里，这样一批不知疲倦、不会枯竭、不依赖于生活环境、不受限于观念桎梏的，拥有无限可能性的「二流艺术家」的出现，难道不会带来艺术史上最为空前的革命么？

本文发表于2010年3月号《新发现》。

第一首
第二首

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：       更多...

作为松鼠，自然也不能自外于这一话题。下面这篇文章建立在犹他大学数学家 Golden 教授关于北冰洋融化的数学模型的系列研究的基础之上。需要强调的是，这一方面的研究只是刚刚起步而已。

这一趋势还可以从下面的曲线中看出来。下图中的蓝色和黄色曲线分别表示三月（即冬季结束时）和九月（即夏季结束时）的北极冰盖面积的相对变化情况。从图中可以看出，在2007年夏天，北极冰盖面积下降到了历史上的最低点。

但是事实上，北极冰盖对全球暖化过程所起到的可远不仅仅只是一个指标计量器的作用而已，它本身就在全球气候变化中是一个重要的主动因素。北极冰盖对气候的影响体现在很多方面，例如它的漂移会带动海水的循环，它本身也能像一个水面上的盖子一样影响海水和空气之间的热交换。但是它对地球温度最重要的影响之一来自于它对阳光的反射作用，而这一点在全球变暖的过程中很可能至关重要。这是因为，海水本身是深蓝色的，而冰盖却是白色的。众所周知，深色的物体能够吸收阳光中的热量，而浅色的物体会把阳光反射出去。于是冰盖的存在保证了海水温度不至于过高，在正常情况下这两者处于平衡的状态。然而一旦冰盖的面积降低到一定程度之下，那么由于深色的海水能吸收热量，水温就会越来越热，然后进一步促使冰盖融化面积减小，这就形成了一个自反馈的加速过程，而局面就会失控，最后的结果就是夏季的北冰洋冰盖完全消失。事实上，很多科学家认为，2007年冰盖面积的大幅下降，标志着这个加速自反馈过程已经有开始的迹象了。

更糟的是，由于海洋浮冰是由盐水冻结而成的，它在性质上同淡水冰（例如冰川和冰架）有很大的不同。由于盐水比淡水更不容易结冰，海洋浮冰事实上往往呈现为固态冰和液态盐水的混合体。下图是一块海洋冰的剖面，其中可以看到大量盐水水泡的存在。

盐水在冰中所占的百分比是同温度相关的。温度越高，盐水的比例就越高。当温度高于 -5℃ 时，盐水的比例就会超过 5%，这时这些盐水水泡就能够在固态冰连接出一些细小的隧道，从而使得浮冰开始具有一定的透水性。随着温度提高，这种透水性也随之升高。其结果是海水可以透过浮冰而在冰面上形成一些冰上的池塘，而这就意味着浮冰表面的白色面积甚至都不需要等到它彻底融化就会开始大幅减少。下图就是一个在 2007 年六月拍摄到的典型的北极冰上池塘的照片。

有趣的是，这一问题可以同许多别的学科中业已存在的类似问题联系起来，统一到一个相同的模型下解决，这一模型曾经被用来讨论诸如岩石的渗水性和半导体的导电性等问题。让我们考虑如下简化的情形：给定一个方格点阵，任选一定比例的短边用单位线段连接起来（如下图），那么当这个比例达到多大时，可以形成一个无限大的网络？（你也可以把这些线段理解为导体，则问题相应的变成什么时候能保证相隔很远的两点之间几乎总可以被导线连接起来。）

上图左的连接比例为 1/3， 很显然， 此时整个网络只是一些支离破碎的碎片。上图右的连接比例为 2/3，此时尽管不是每条边都相连，但是已经足以保证整个网络构成一个联通整体了。很容易猜到，这个临界的比例正好是 1/2，今天人们已经证明这个数字是正确的。

（这一问题在三维空间中也存在，但是相应的临界比例就不这么直观了，它大约等于 1/4 左右。）

一个有趣的事实是人们发现这一现象（临界比例的存在及其数值）不仅对规则方格网络成立，而且对一般的随机网络也成立，于是这一理论就可以应用于诸如海洋浮冰渗水性的研究。下图是人们利用 X 光断层扫描成像技术绘制出的海洋浮冰中盐水水泡在不同温度下的形状，从左至右分别对应 -15℃、 -6℃ 和 -3℃ 时的情形。可以看到，随着温度上升，盐水「隧道」的比例也随之上升，在 -6℃ 和 -3℃ 之间越过了临界比例，整个网络从而被连接了起来，于是这块冰就可以被海水渗透了。

值得一提的是同样的模型也可以用来研究其他学科里的随机网络连通性问题。例如下面两幅图分别是正常的骨骼和骨质疏松的骨骼的剖面图，容易看出，在数学上它们同上面的那些图像别无二致，所以同样的模型也可以用来帮助研究和诊断骨质疏松症。

这一方面的研究（特别是数学模型的建立）在今天仍然停留在很初步的阶段，然而可以看到，即使这个单一层面的小问题（海洋浮冰的渗水性）也已经牵涉到许多不同分支的应用数学理论：随机网络、流体力学、断层扫描成像等等，而关于北极冰盖的研究本身所包含的问题又远不止这一个层面。正如前面所提到的那样，它的融化本身是一个自反馈过程，所以需要运用动力系统的理论加以解释和预测；它的尺度结构跨越了若干个数量级，所以需要用自相似理论来对大尺度的行为做出模拟；它能够极大地影响海水和空气之间的热量传输，所以这同时也是一个复杂的热传导方程问题，等等。

而海洋冰盖的融化又只是全球变暖过程的一部分而已，由此可以一管窥豹，看出全球变暖问题在科学上（甚至仅仅在数学上）对科学家们构成了多么巨大的挑战。然而这一次，留给人们探索的时间已经所剩无几了。下图是人们根据现有的数学模型对北冰洋冰盖融化速度的估计，从左至右分别对应1990年代，2010年代和2040年代。白色代表陆地，彩色部分代表冰盖的厚度。虽然目前各种模型的预测之间略有出入，但是人们普遍相信，在未来的五十年内夏季的北冰洋冰盖将会完全消失。如果足够幸运（或者不幸）的话，我们自己是能看到这一天的。

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：       更多...

下面所有括号中的文字都是我所添加，以帮助不熟悉复平面的朋友了解所说那些的点的位置。每幅图都可以点击放大。

点击图片可以看大图。二次多项式的根是灰色的，三次多项式的根是青蓝色的，四次多项式的根是红色的，五次多项式的根是黑色的。横轴是实轴，纵轴是虚轴，中间的大洞的中心是原点。两侧小一点的洞的中心是 ±1，在 ±i 处和 1 的所有六个虚根出也各有一个小洞（即中间那个大洞上下不远处对称的那些小洞）。

你可以在这里看到许多迷人的图案，给人的感觉是这些整系数多项式的根在竭力避开那些整点和单位根似的，──除非这些整点和单位根本身就是多项式的根。如果你把图案放大，可以看到更多细节：

在这里你可以看到，在 1 这个点所在的空白区域周围环绕着一些美丽的羽毛，在 exp(iπ/3) 这个点周围有一个六瓣的星形（即左上角那个梅花形状的洞），还有一条奇特的红色连线把这两个点连接起来，还有很多其他的点周围的星形的洞，诸如此类。

人们应该开始研究这些东西才对！让我们把所有系数为 -n 到 n 之间的整数的 d 次以下多项式的全体根构成的集合称为 Christensen 集 C_d,n，很显然当 d 和 n 越大， C_d,n 这个集合就越大，并且当 n 趋于无穷大时这个集合趋于布满全复平面。如果固定 d, 令 n 趋向于无穷大，那么我们就能得到全体有理复数；如果令 d 和 n 同时趋于无穷大，那么我们就能得到全体代数复数。于是一个有趣的问题就是，如果我们固定 n，令 d 趋于无穷大，会得到什么呢？

在上面这些图片的鼓舞下，Sam Derbyshire 决定绘制一些分辨率更高的多项式根的图片。试验了几次之后，他觉得他最喜欢的是系数为 ±1 的多项式。他把所有 24 次以下的这样的的多项式的根绘制成一副高清晰度的图片，这些多项式一共有 2²⁴ 个，其根大约共有 24 × 2²⁴ 个，也就是大约四亿个。他用 mathematica （一个数学软件）花了大概四天时间才计算出所有这些根，得到了大约 5G 的数据。然后他用 Java 语言生成了这幅美妙的图案：

颜色表示根的密度，从黑色到暗红色到黄色再到白色。上图是低分辨率版本，这里有一个 90M 的文件可供下载。我们可以放大一点看到更多细节：

请注意单位根周围的那些小洞，还有圆弧内部的那些羽毛。为了更清楚地观察，我们把下面这些标记出来的区域放大：

这里是 1 这个点处的那个洞。（即上面最右边那个标记出来的区域。）

中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。

然后这里是 i 这个点处的洞。（即最上面那个标记区域。）

这是 exp(iπ/4) 这个点周围。（差不多位于 1 和 i 正中央。）

请注意，根的密度在接近这个点的时候会变大，然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。

但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案！这里是实轴附近的样子，这个图的中心位于 4/5 点处。（右边数第二个标记区域。）

在 (4/5)i 点处的样子就截然不同了。（从上数第二个标记区域。）

但是我觉得最漂亮的还要说是 (1/2) exp(i π / 5) 这个点周围的区域。（剩下的那个标记区域。）这幅图生动的展示出，在我们的数学研究中，规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的，就像从薄雾中隐约显现出来一样。

这里有太多东西需要解释了，每幅图片都至少需要一两个定理来描述。如果想看到更多的这类结果，可以参见：

Loki Jörgenson， 限定系数多项式的根 以及 相关图片。
Dan Christensen，整系数多项式的根的图案。

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：       更多...

（四）若干注记

长度的意义说了这么多，到此差不多就可以告一段落了。但是关于在前面的讨论中出现的许多数学概念和思想，却还不妨多说几句。事实上，测度论虽然只是数学中一个具体的分支，但是它的发展和演进却和数学史上最有趣的篇章之一——所谓的“第三次数学危机”——联系在一起。关于这桩公案，坊间的科普书目已经汗牛充栋，我也并不想在这里再重复一遍那些随手就可以找得到的八卦，而只是想针对某些特别的概念和理论略加说明，至少，这对愿意继续阅读别的数学或者数学科普著作的朋友来说，会有点作用吧。

1. 无穷小。

这个概念无疑常常困扰没有受过现代数学训练的阅读者们，这是很自然的事情，因为它可以从直觉上意识得到，却又难于精确地把握：无穷小是什么？是不是可以精确定义的数学概念？它是一个数？还是一段长度？能不能对无穷小做计算？诸如此类等等。由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起，使得甚至哲学家们也对它颇为关注，——当然，还有数之不尽的民科们。

关于无穷小的讨论者，最著名的大概莫过于莱布尼茨，他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念并且以此作为整个微积分学的基石。在莱布尼茨看来，无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量，对它可以做四则运算，尤为关键的是可以做除法：两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。以此为基本语言他开始建立微积分学的基本理论，——他基本上成功了。直至今天，数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨，而数学学科内部关于微积分学的专门称呼——“ 分析学”——也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法：无穷小分析。尽管牛顿和莱布尼茨在微积分的发明权上争得不可开交，可是几个世纪过去，至少在这两件事情上莱布尼茨大获全胜。

可是，也许你想不到的一件吊诡的事情是：尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献，他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。人们发现这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处，于是作为一种语言，它被丢弃了。

事实上，即使在莱布尼茨的同时期人看来，无穷小也是一个有点让人不舒服的词：比任何大于零的数都小，却不是零。我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用，可是这样一个怪东西的存在，既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱，也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题（尽管它也确实带来了不少方便）。在分析学蓬勃发展的十八世纪，一代又一代数学大师为此争论不休，大家混乱而各行其是地使用这个词，却没人能说清楚它的精确含义。终于，从十九世纪初期开始，以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）为代表的一大批数学家开始为分析学的严密化做出了大量的工作，他们试图在完全不采用“无穷小量”这个概念的前提下重新建立整个分析学，——他们也成功了。

于是这个词就被抛弃了。时至今日，这个词尽管在很多数学书里仍然会出现，但是这时它仅仅作为一个纯粹修辞上的词汇而不是严格的数学概念，——人们通常用它来指代“极限为零的变量”（感谢十九世纪那一大批数学家，极限这个词已经是有了严密清晰的定义而不再仅仅是某种哲学性的描述），也有的时候它被用来作为对微积分运算中的某些符号的称呼，但是无论何时，人们在使用它的时候都明确的知道自己想说什么，更关键的是，人们知道自己并不需要它，而只是偶尔像借助一个比喻一样借助它罢了。

那么，回到这个词最本源的意义：到底有没有这样一个量，比一切给定的正实数都小却又不是零？或者这个问题还有一系列等价的提法：在直线上存不存在两个“相邻”的点？存不存在“长度”的最小构成单位？等等等等。

在今天我们已经能够确定无疑的回答这些问题了：不，不存在。

事实上，这个问题的彻底解答甚至比柯西和魏尔斯特拉斯的时代还要晚：它本质上是关于实数的结构的理解的问题。即使柯西本人——尽管他奠定了现代极限理论的基础——也并不真正了解“实数是什么”这样一个简单的问题。关于严密的实数理论的最终建立，一般认为是皮亚诺（peano），康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）这几位十九世纪下半叶的数学家的成就。所谓的“戴德金分划”仍然是今天的教科书里对“实数”这一概念所介绍的标准模型。在这套模型里，人们能够在逻辑上完全自洽的前提下回答有关实数结构的一切问题，而正如前面指出过的那样，它完全摈弃了“无穷小”的存在。

（是不是数学家说无穷小量不存在，这个词就没意义了呢？）

这又回到了前面我们屡次面对的那个关于数学断言的权威性的问题。如果承认无穷小是一个有关数的概念，那么，数学家的工作已经告诉我们，在实数理论中没有无穷小的位置。事实上，康托本人就曾经证明过承认无穷小是同承认实数中基本的阿基米德原理相矛盾的。（阿基米德原理是一个关于实数性质的基本原理，如果阿基米德原理是错的，整个数学大概都无法得以建立。）但是，如果把问题拉到数学的疆域以外，如果认为人们有权利不按照数学家的方式讨论数本身的性质，那么我们面对的就已经是全然另一层次的问题，——也就不可能在这里得到详尽的讨论了。

2. 无穷大。

有趣的是，和无穷小如此相似的一个词——无穷大——却在今天的数学语言中占有与之判若云泥的一个地位：人们谈论它，研究它，还给它以专门的记号（倒 8字）。造成这一多少有点奇特的事实的关键在于，和通常人们的误解不同，无穷大其实并不是无穷小这个词在概念上的对偶（尽管乍一看似乎如此）。事实上，就某种意义而言，说它是零这个词的对偶也许更为恰当一些。

让我们回顾一下这个概念在数学中的递进过程：我们都知道存在这样的数列（例如自然数列），可以一直变得越来越大，直到比任何给定的数都更大，这种时候，我们把这样的数列称为“趋于无穷大”或者直接就简称它是无穷大。——请注意，在这里无穷大仅仅是作为人们对一个数列或者变量的极限的叫法而存在的，我们并没有承认它是一个数或者一个确定的对象，而只是一个形容词而已。每个具体的数都不可能真的比别的数都大，尽管一系列数可以没有止境地变得越来越大，这实质上就是亚里士多德所强调的“潜无穷”。

如果事情只是到此为止，那一切相安无事，无穷大这个词今天的地位也只不过和无穷小一样仅仅作为对一种极限的描述而存在罢了。可是这里有某种微妙的差别：正如前面提到过的那样，“无穷小”不是别的，只是一个变量极限为零而已，所以我们总可以认为无穷小只是一种说法，在必要的时候可以用“趋于零”这样一个替代说法来换掉它。可是“无穷大”是什么极限呢？它并不是趋于任何特定数字的极限，而是“趋于无穷大的极限”，你看，这个词轻易回避不掉。

于是人们只好被迫不断的提及它，要是非要替换成别的说法，就要花好多倍唇舌才成。比如，前面说过直线本身也是直线的可测子集，那么整条直线的测度是多少？当然我们可以佶屈赘牙地说“直线可测，但是它的测度并不是一个确定的数，而只是比任何给定的实数都要大。”——这也太麻烦了一点。为什么不省点事直接说“直线的测度等于无穷大”呢？

这样人们就开始不断的把无穷大当一个名词来使用，假装它好像也是一个数一样，这就是所谓的“实无穷”。哲学家和数学家中比较喜欢哲学争辩的那一部分人对此有许多争论（直觉主义学派等等），但是让我们忽略掉它们，先看看在今天数学家是怎么使用这个词的吧。

首先，无穷大不是一个实数，在实数集中不存在任何数比其他所有数更大，这是确定无疑的事情。

其次，在许多场合下，我们确实可以把无穷大当作一个名词来使用，既方便又不造成困扰。例如前面提及的在测度论里我们说一个可测集的测度是一个“数 ”，这里的“数”既包括非负实数也包括无穷大。事实上，在有些数学书里索性把实数加上无穷大这样一个集合称为“增广实数集”。我们甚至可以对无穷大定义运算（在事先做好严格约定的前提下），这对于很多理论的叙述带来了极大的方便。如果说得更技术化一点，在很多数学分支（例如仿射几何）里我们还能像让每个实数对应于直线上的一个点这样一个几何对象一样，让无穷大这样一个特殊的对象也对应于一个特殊的几何对象（所谓的“无穷远点”），并且让所有这些几何对象平等地参与到几何学中来。只要仔细做好事先的公理准备，这样子做并不会引起任何逻辑问题。

——也许有人会觉得奇怪，怎么数学家可以如此随便，想给实数集添上什么就添上什么？事实上，数学家就是有这样的权利，因为说到底，数学不是研究真实自然界的学问，而只是研究人造概念的学问。任何人造概念，只要在逻辑上被严格的描述出来又不造成内在的逻辑不自洽，都可以被认为是“存在”的。复数的引进就是一个很好的例子。

——那前面怎么又说“无穷小不存在”？就算无穷小本身不能是一个实数，为什么不能把它添在实数集之外也弄一个“增广实数集”出来研究？

事实上，这样做是可以的，而且事实上也确实有好事者这样做过。问题在于它毫无意义。前面说了，任何人都有权利自己定义出一些什么东西来作为数学对象来研究，这是对的，只要他在逻辑上足够细心就行。可是这句话还有一个常常被人忽视的反面：数学尽管不是直接研究自然界的学问，可是它毕竟是在人们研究自然界的过程中形成而又有助于人们对自然界的理解的。如果一个数学概念纯粹只是自说自话的产物，那无论它多么自洽，也没有人会去关心它。复数这一人为的构造之所以被所有人承认是因为它巨大的威力。而无穷小——正如前面所指出的——是一个毫无必要引入的概念，添上它只会自找麻烦。无穷小和无穷大的命运之所以不同，关键正在于此。

回到无穷大这个词上来。这一系列文章的一开头还说过无穷大可以分成“可数”和“不可数”的无穷大，那又是怎么回事？

这是一个更常见的误解，这其实是两个不同的词：作为一个极限的（潜）无穷和由此引申而来的作为一个数学对象的（实）无穷是一码事，作为一个集合的势的可数无穷或者不可数无穷是另一码事，不同于前者的“无穷大”，后者其实应该被称为“无穷多”才对，只是人们通常混为一谈。事实上，当我们说“一个集合有无穷多个元素”的时候，我们有必要指出这个集合是不是可数，而当我们说“一条直线的测度是无穷大”的时候，却完全谈不上什么可数不可数。——在数学书中通过观察上下文，分辨这两者并不是很难的事情，可是如果把“无穷”作为一个哲学命题来研究的时候，这种区分却是必须的。——不幸的是，就我阅读所及，很多时候人们都没做到这一点。

3. 不可测集与选择公理、数学的严密性

回顾一下“不可测集”这个词的意思：在勒贝格测度的意义下，总有一些集合是没办法定义测度的，这样的集合称为不可测集。同时已经被我们反复指出过的一点是：一个没受过专门数学训练的人所能想象到的任何古怪集合其实都是可测的，不可测集非常罕见。

不可测集的存在是数学中中一件令人遗憾的事实，要是能给直线的任何一个子集定义长度，这样的理论该有多么漂亮啊……数学中常常有这样的情形，一个人们通过直觉认定的美妙设想，偏偏被一两个好事者精心构造出的反例破坏了，但是数学毕竟受制于逻辑，不管一个反例多么煞风景，只要它确实成立，数学家也只好接受它。

可是不可测集这个例子有点不同：构造不可测集，用到了选择公理。

这件事情说来话长，简单的说，我们都知道整个数学是建立在一些很显然也很直观的公理之上的，这些公理大多数都是诸如等量之和为等量之类的废话，可是选择公理稍微复杂一点，它是说：

任何给定一组非空集合，我们总能从其中的每一个集合里取出一个元素组成一个集合。

也像废话一样，是吧，可是这句话多少有点罗嗦，不像等量之和为等量一样简单明了。于是人们对它多少有所争议，有人认为它不应当排在基本公理之内。可是毕竟这句话也挑不出什么错，而且人们很快发现，很多很有用的数学结果离开选择公理就变得很难证明或者根本不可能证明，于是将就着也就承认它了。

可是不可测集的存在却又掀起了人们的疑虑，反对选择公理的人说，看看吧，要是没有选择公理，也就没有不可测集了。

赞成的人反驳说，不可测就不可测呗，有什么大不了的……虽然整个理论确实变得不那么完美了。——他们不知道更大的问题还在后面。1924年，波兰数学家巴拿赫（Banach）在选择公理和不可测集构造法的基础上，证明了石破天惊的“分球定理”：一个半径为1的实心球，可以剖分成有限的若干块，用这些块可以完整地重新拼出两个半径为1的实心球体！

这一下引起轩然大波，反对选择公理的数学家们声势大振，认为选择公理完全是trouble maker，必欲除之而后快。赞成选择公理的数学家们则指出选择公理“功大于过”，毕竟有很多有价值的数学成果出自选择公理的基础。双方僵持的结果是大家各行其是，大多数数学家承认选择公理，同时忍受巴拿赫分球定理所带来的不适感，少数数学家坚持不要选择公理，为此失去很多别的很有用的定理也在所不惜。

这一僵持局面维持了很多年，直到二十世纪的中叶才被戏剧性地解决。人们在不承认选择公理的假设下构造出了一大堆比巴拿赫的球体更严重的反例（例如一个空间同时有两个维数）。这些反例不只像巴拿赫的例子一样违反直觉，而且还严重的破坏了大多数已有的数学结果。于是人们发现，承认选择公理也许是必须的，而像巴拿赫的反例那样的反直觉的结果，也只能被迫承担下来了。

所以到今天几乎所有的数学研究都是在承认选择公理的基础上进行的。虽然作为一种后遗症，人们总是会时不时地谨慎的在使用选择公理的时候加上一句声明：“本文依赖选择公理。”——这也许是这条公理的一个特殊待遇了。

以上便是这段公案的来龙去脉。很多人可能在读完这段故事之后疑虑重重。什么啊？数学家们难道是这么随便的确定公理体系的么？如此的实用主义，似乎全然置真理的地位于不顾的样子。很多人可能还会想起欧几里德第五公设的故事，觉得数学家们原来如此不负责任，带给人们的不是一套严整规范的理论体系，而是一个支离破碎的混乱图景。连公理的问题都搞不定，整个数学岂不是空中楼阁？

限于篇幅，这篇文章不可能对这个问题予以展开论述，可是至少我们可以澄清一个常见的似是而非的误解：数学是严密性的科学，数学的发展也只有在严密的公理化基础上才能得以实现。

这句话——至少在字面上——是对的。不可测集的例子本身就说明，为了严密性，数学家们甚至不惜放弃直观，——像巴拿赫球那样的例子尽管如此怪诞，可是它是严密逻辑的产物，数学家也只好承认它的存在。

可是在更宏观的层面上，这句话却是错的。前面提到的分析学就是很好的例子：微积分的思想的提出是在十七世纪，在随后的十八世纪里取得了丰硕的成果，可是它的严密化却直到十九世纪下半叶才真正得以实现。测度论是另一个例子：“测度”是人们对于长度这个词的直观理解的严密化，可是这并不是说，在测度论被提出之前的漫长岁月里人们对于长度都一无所知，恰恰相反，人们已经知道了相当多的事情，只是等待测度论的语言让一切都变得精确和完整而已。

所以数学的发展实质上是一个拖泥带水的过程，一代又一代崭新、充满活力却又粗糙的思想被提出来，人们意识到它的重要性，予以发扬光大，产生一系列重要的成果同时又带来困惑，直到崭新的数学语言诞生，清理战场，让一切显得井井有条，像教科书上的文字一样道貌岸然，而同时却又有新的粗糙的思想诞生了…… 在这个过程里，严密性始终只是一个背景，尽管无处不在，可是并不占据舞台的统治地位。数学家们在意严密性，追逐严密性，甚至不惜为了严密性而牺牲看似有价值的学术成果，可是严密性并不是数学发展的引领旗帜，从来都不是。

这就是为什么同很多人的误解相反，大多数数学家其实并不关心那些关于数学基础的哲学性的争论，这也就是为什么我把眼前这些讨论放进附记的原因——一件事情是不是关系到数学的逻辑基础和这件事情在数学上是不是重要一点关系都没有。所有这些故事：可数与不可数、可测与不可测、选择公理等等，都是和二十世纪初所谓“第三次数学危机”的大背景联系在一起的，那段时间里数学家之间产生了无数纷争，可是今天的数学学生们在严肃认真地学习集合论和测度论的同时，却只对那些八卦付之一笑，作为茶余饭后的谈资。——事实上，即使在二十世纪初，也有大量的数学家根本不关注这件事情或者压根就采取了日后看来是错误的立场（反对康托，反对不可数集的概念，等等）却同时又在自己的领域里作出了重要的甚至是历史性的贡献。

关于那个所谓的“第三次数学危机”，有一本著名的科普著作《数学：确定性的丧失》[2]专门讨论了它。这本书内容相当详尽，不幸的是它所引起的误解和它阐明的事情一样多。关于这次“危机”的描述主要集中在第十二章，那一章的结尾倒是相当深刻，值得特别引用在此：

“一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。”

（完）

参考文献[1]：实变函数论 周民强著 北京大学出版社
参考文献[2]：数学：确定性的丧失 M.克莱因著 李宏魁译 湖南科学技术出版社

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：       更多...

回到我们的主题：“长度”的意义上来。

先总结一下我们已经知道了的事情：

所谓（一维）测度，就是要给直线上的每个子集标上一个数字，使得它们满足下面两条性质：

• 空集对应的数字（空集的测度）是零。
• 若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。

这样的测度存在很多种，而且几乎全都行为古怪。为了更好的符合“长度”的概念，我们添上第三条要求：

• 如果把直线看作实数轴，那么从数轴上a点到b点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应当等于b-a。

满足这三条性质的对直线上的每个子集定义的测度是不存在的。但是，如果放松要求，不对直线的每个子集定义而只对直线的可测子集定义测度，那么这样的测度存在并且唯一，数学上称为勒贝格测度。靠一系列定理的帮助，对直线的任何一个可测集（一般来说你能想象到的任何子集都是可测集），都有一套严密定义的公式能够把这个测度的具体大小算出来。

于是，数学家郑重宣布：

勒贝格测度就是人们通常所说的“长度”的严密定义，而且是唯一正确的定义。

“什么？”我们的哲学家朋友们一定要跳起来了。“你上面绕来绕去的说了一大堆让人听不懂的话也就罢了，你怎么能说这是关于长度唯一正确的定义呢？这顶多是你们数学家对这个词的理解而已，我最讨厌你们学理科的用这种自以为掌握绝对真理的口气说话了！”

“是么？”数学家回答道，“难道长度这个词还可能有别的理解不成？”

“当然可以。”哲学家愤愤不平地说。“亚里士多德说过……，莱布尼茨说过……，康德说过……，江泽民同志说过……，总之，人类对长度这个词的理解是经历过漫长的争论的，而且必然还会一直争论下去。每个人都有权提出自己的观点啊。”

“我不管他们怎么说，”数学家说，“我只问你心里有没有对长度的定义？”

“当然有了。”哲学家骄傲地说，“我认为，长度就是……”

“慢着，”数学家迫不及待的打断他，“我不想听你的哲学论文，我只问你，在你对长度的定义里，空集有没有长度？有的话，是不是零？”

“是……的。”其实哲学家暂时没想到空集这么细节的事情，但是他觉得反正这个无关紧要吧，所以先首肯了。

“那么，按照你定义的长度，数轴上从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度，是不是等于6.98-2.76=4.22？”

“这个废话，不然还叫什么长度啊。”哲学家有点不耐烦了。

“还有，如果我把可数无穷个有长度的集合放在一起，总长度等不等于各自的长度之和？”

“这个……”哲学家对于“可数无穷”这个词有点拿不准，“反正两个线段的总长度是等于它们各自的长度之和的，至于无穷个……好吧就算是吧，那又怎样？”

“那就结了。”数学家慢条斯理地说。“我根本不关心你关于长度的哲学观念是怎么建立起来的，我只想说，如果你的观念没有内在的逻辑矛盾，那它就一定和我们数学家所说的勒贝格测度是一回事。这就是我为什么说勒贝格测度是唯一正确的长度的定义。——你当然可以有你自己的定义，只不过它一定正好就是勒贝格测度！”

“什么和什么呀！”哲学家有点懵了。“可是你什么也没有定义啊，你只是自己号称证明了一个所谓勒贝格测度的存在，可是我们关心的是为什么！我们哲学家要问的是为什么从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度等于4.22，你却把它写在了定义里，这并没有回答问题本身啊。”

“唉，”轮到数学家不耐烦了。“从2.76这个点到6.98这个点的线段的‘长度’当然也可以不等于4.22，只要你不取勒贝格测度而换一种测度就成了，——问题是人们不喜欢那样啊。不是为什么它的长度等于4.22，而是你首先要求了4.22这一属性，然后把它叫做长度。为什么只有在春天桃花才会开？因为是你把桃花会开的那个季节叫做春天的！”

哲学家：“……”

数学家：“……”

嗯，我不知道这段对话是把问题讲清楚了还是搅得更混乱了。当然这里面还有许许多多的细节需要阐明，下面让我们来更仔细的讨论一下吧。

“长度是什么？为什么从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度等于4.22？”正如前面那个数学家所说的，这个问法本身就是不合适的。我们给从2.76这个点到6.98这个点的线段赋予一种属性是4.22，给从姚明的头到姚明的脚的线段赋予一种属性是2.26米，现在我们把这种属性叫做长度，如此而已。——这完全是人为的设定，没有任何先验的意义。数学家已经说了，你当然也可以给从2.76这个点到6.98这个点的线段赋予另一种属性是3.86，给从姚明的头到姚明的脚的线段赋予另一种属性是0.03米，只要你足够细心，这种做法是不会引起问题的，只不过你自己定义的那种属性不再被人们称作“长度”罢了。你可以把它称为“短度”或者别的什么，没有问题。

有趣的是，——测度论的伟大也就体现在这里，——只要我们承认了诸如从2.76这个点到6.98这个点的线段的长度等于4.22这样一些朴素的论断，那么仅仅靠着逻辑推演，我们就能够给直线的几乎所有子集——可测集——计算出对应的“长度”来，哪怕它们已经变得不是那么直观。譬如说，单点集的“长度”是0（不是什么无穷小，就是0），2到5之间的全体无理数的集合的“长度”是3，某个广义康托集（一种有着复杂分形结构的点集）的“长度”是2.86……这一切本来似乎都可以问一问为什么的事情，其实都只是逻辑的自然推论罢了，你要是不承认它们，就必然导致逻辑上的不自洽。

——为什么这个东西的长度是0？那个东西的长度是2.3？为什么这个奇奇怪怪的集合也会有长度？为什么它的长度不等于别的，偏偏等于根号2？

因为长度满足那三条性质，所以必然如此。

——为什么长度要满足那三条性质？

因为人们把满足那三条性质的属性就叫做长度。你当然也可以用别的几条性质定义出来一个什么度，只是不能再叫长度就是了。

这就是“长度”这个词的全部意义。

“可是，”我们的哲学家还是不甚满意，“我还是觉得你没有真正回答我想问的问题。”

“还有什么呢？”数学家说，“我上面这些理论不都已经自圆其说了么？”

“就是这个自圆其说让我特别恼火。”哲学家说。“我总觉得你绕过了我真正的问题。我问为什么长度要这么定义，你说因为人们把这样定义出来的属性就叫长度，这当然没错，可是我其实想问的是，为什么会有这样一种属性存在？为什么自然界中的事物可以具有长度——或者用你的话说——这种属性？你当然可以告诉我说，因为数学上证明了你的那什么勒贝格测度一定存在，可是我不想听你那个证明，我想听到的是一个更深入的解释，为什么长度是得以存在的？”

“因为……因为我们能证明它实际上存在……”数学家迷惑不解的说。

“我不是问你它存不存在，我是问它为什么存在！”哲学家怒气冲冲的说。“你不觉得这是件不太自然的事情么？反正是一堆点，你又说了点的长度是零，可是一旦把点排列起来得到的线段就有了测度，在这个过程中发生了什么呢？这个不为零的长度是怎么出现的呢？——别又对我说你能证明它不为零，我要问的是为什么，——比证明更本质一步的那个为什么！”

“啊，”数学家字斟句酌地说，“你想问的其实是为什么线段的测度不等于简单地把点的测度加在一起对吧。是啊，这确实是个有趣的问题……”

这确实是个有趣的问题。

如果我们仔细检查关于勒贝格测度的那三条公理，会发现关于第一条和第三条并没有什么可多说的，可是第二条——至多可数个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和——却多少让人心生疑惑。这句话读起来总是有点别扭。

如果我们把它换成“有限个彼此不相交的子集的并集的测度，等于这些子集各自测度之和”，听起来就会舒服多了，可是这里做了某种推广，从有限到无限，而且还不是任意无限个而是“至多可数无穷”个，这是为什么呢？

首先，这种推广是必须的：只对有限个的子集定义测度的可加性，这样得出来的测度会不满足人们的需要，——不仅仅是给长度一个精确定义的需要。测度论不只是为哲学家发明的，它要在数学的其他领域里以及别的自然科学领域里得到应用，而在这些场合里，我们时刻会碰到对无穷个集合的并集的测度的计算。我们必须在定义里就保证测度能够无穷相加。

可是另一方面，为什么又偏偏要限制可数无穷个集合才有可加性呢？

事实上，我们很容易就会发现，正是这一点促成了前面那个问题的出现：为什么线段具有长度？如果我们假设任意无穷个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和，那么，既然线段是由无穷个点构成的而点又没有长度，那线段也应该没有长度才对。难道这一条是专门为了避免这个悖论才设置的么？

不是。我们很快就能看到，这种对于可数性的限制，有着更为本质的原因存在。

首先，让我们想想看把很多数相加是什么意思。我们一开始学到的加法是针对两个数而言的，给定任意两个数，我们能够算出它们的和。进而，我们把这一过程推广到了三个数求和：先对其中两者求和，然后再把这个和同第三者相加。依此类推，我们可以把四个数相加，把五个数相加……

请注意，这里的过程完全是递归的（inductively）：只有定义了n个数的和，我们才能够继而定义n+1个数的和。然后，这样一直进行下去，我们就能够对任意有限多个数求和。——只是“任意有限”，还不是“无限”。

从有限到无限这一步跨越其实走得颇为艰难。哲学家也好别的领域的科学家也好常常随心所欲的使用数学词汇而并不特别在意自己是否真的明了它们的严格意义，可是数学家却不能如此自由。真正把无穷个数加起来，也就是数学中所谓的“级数”（series），这套理论的严密化在数学史上经历了相当长的一段时间。最终，借助于极限理论的帮助，真正严格的关于级数求和的理论才得以建立。——也就是说，事实上，什么样的无穷级数可以相加，什么时候不能相加，相加的时候要注意什么问题，这一切都受到了理论的约束。在这些理论的基础上，我们才能够确定当我们随口说出“把这无穷个数加在一起”的时候，我们确实知道我们在说什么。

什么是级数呢？级数就是把有限个自然数相加的自然推广：既然定义了n个数的和我们就能够进而定义n+1个数的和，那么，把这个过程递归地进行下去，我们就能够对任意有限多个数求和。当有无穷个数需要我们求和的时候，我们就只对它们中的前N个求和，并且让这个N不断变大，如果这一过程有极限，这个极限就被我们称为这个无穷数的和。

请注意上面这段话背后的涵义：当我们说“对无穷个数求和”的时候，我们其实潜在地要求了这些数的总个数必须能够通过n->n+1->n+2……这样的过程来逼近，然后通过极限的方式定义它们的和。这也就是说，这些数的总个数必须是可数个！

让我们回忆一下什么是“可数个”：“可数个”就是能够和自然数集建立起一一对应的那么多个，用更直观的语言来说，“可数个”就是“可以一个一个数下去”的那么多个。只有一个集合里包含可数个元素的时候，我们才能够对于它应用数学归纳法，因为数学归纳法的本质就是“一个一个数下去”：当一件事对n成立时，我们进而要求它对n+1成立，这样的过程进行下去的极限，就是可数无穷。

那么，既然多个数的加法本质上是个递归过程，——只有先把n个数加起来，我们才能进而加上第n+1个数，——所以加法至多能对“可数无穷”个数来定义（也就是级数加法）。把“不可数无穷个”数加在一起，这件事情是毫无意义的！

这正是前面所有那些所谓哲学悖论的根源：当人们想当然的说着“把无穷个点的测度加在一起”的时候，他们以为他们是在说一件自然而然的事情，可是事实上，除非这无穷个点是可数个，否则这里的加法根本无法进行。不幸的是，任何线段都偏偏是由不可数个点构成的（它们是连续统）。

为什么线段是由点构成的，而线段的测度却不等于组成它的那些点的测度之和？因为“组成它的那些点的测度之和”这个短语根本没有意义，所以两者也不必相等。

这个回答也许有些出人意料，可是事情就是如此。很多问题之所以令人迷惑，不是因为它们真的是什么悖论，而只是因为问题本身没有被恰当的叙述。人们常常自以为是的使用很多词汇却罔顾自己是不是了解它们的真实含义，譬如说“求和”。人们随心所欲地说“把若干个数加在一起”却忘了其实不可能真的把它们“一下子”加在一起，加法是个递归过程，这就决定了如果要加的东西的个数太多（不可数那么多），它们就加不起来了。

（不得不补充一点——一个很扫兴的补充——在数学中，某些场合下我们真的必须要对不可数个数定义总和……数学家总是这样，为了各种极端情况而拓展自己的定义。在这些情况下，这种不可数个数的和也是能定义出来的。但是，这件事并不会对上面那些论述造成削弱：这里的特殊意义上的“和”是为了应付特别的目的而定义的，它和我们平时所说的求和已经不是一个意思了。）

也许哲学家还会追问：既然线段的测度不是组成它的那些点的测度之和，那么这个测度是从哪里来的呢？

它们不是哪里来的……它们是线段自己所固有的。这就是为什么我们在定义长度的时候非要加上第三条公理的原因：我们必须在定义里就写明线段的测度，否则就没有办法建立起直线的所有可测子集的测度的架构。事实上，既然点的长度是零，根据可数可加性我们很容易推出一切可数集的长度也都是零，所以在某种意义上说来，“长度” 是本质上只属于连续统的一种性质。换句话说，只有进入了连续统的范畴，不为零的长度才可能出现。这就是为什么我们不能从单点集出发定义长度的原因。

那么，我们现在可以回答那个著名的“飞矢不动”的芝诺悖论了：一支飞驰的箭，在每一个确定的时刻都静止在一个确定的位置上，为什么经过一段时间后会移动一段距离？

答案是：因为任何一段时间（不管多么短暂）都是一个连续统，包含了不可数个时刻，所以箭在每一时刻的静止根本不需要对一整段时间之内的移动负责。——后者并不是前者的相加，而前者也根本不可能相加。

因为连续统不可数，所以我们能够在每时每刻里都静止的存在，同时又能在一段时间内自由运动。这也许是大自然的巧妙安排吧。

（待续）

本文地址（转载请注明出处）： 复制
收藏、分享这篇文章：       更多...