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今年五月,美国新泽西州发生了一起交通事故,其中有两人死亡。这起事故吸引了全世界经济学家的眼光,倒不是因为它有着多么大的经济影响,而是因为去世的两人,正是1994年诺贝尔经济学奖的获得者之一数学家约翰·纳什与他的妻子阿莉西亚·纳什。一代大师意外去世,自然令人悲痛。

纳什是一名数学家,不是一名经济学家,为何他能获得诺贝尔经济学奖?我们来看看当年挪威皇家科学院为纳什而写的颁奖词:“纳什首次区分了合作博弈与非合作博弈,合作博弈允许结盟,而非合作博弈不允许。纳什发展了一种非合作博弈上的均衡概念,后来它被称为纳什均衡。”这一段解释似乎更加把人绕糊涂了。什么是博弈?什么是均衡?这些算是数学吗,又与经济学有什么关系?

万事皆博弈

博弈论翻译自英语的“game theory”,原意是“游戏的理论”。在某种意义上,可以说博弈论就是对于游戏的研究。“石头剪子布”可能是大家最熟悉的游戏。最简单的版本只有两个玩家,两人分别选择石头、剪子、布中的一种手势,然后按照“石头砸剪子、剪子剪布、布包石头”的规则来判断这一局谁胜谁负。一般意义上的博弈也非常类似,其中有数位参与者,每人可以自由选择一定的行动,最后根据给定的规则判定每个人的得失。

博弈的种类繁多,从简单的“石头剪子布”到复杂的象棋,都算是博弈。广义地说,社会上很多经济活动,小至选择商品和购买保险,大至公司并购和货币政策,都可以抽象为某种博弈。这就是经济学家对博弈论感兴趣的原因。

但类似象棋这样的博弈,需要每个玩家反复做多次选择,研究的难度相当大。饭要一口一口吃,在博弈论发展的早期,数学家考虑的都是像“石头剪子布”那样,所有玩家都知道同样的信息,而每个玩家只需要同时做一次选择就能决出确定结果的博弈。在这种博弈中,玩家有多种策略的选择。比如一直出石头,或者各以三分之一的概率选择三种手势,这都是可行的策略。

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【如果猜拳这种简单的博弈让你觉得数学家实在是小题大做,那么看看这个进阶版的猜拳:石头、剪子、布、蜥蜴、史波克(图片出处:维基百科),还不过瘾?看完文章附赠给你一张图(放在这里会让你分心,就好好读文章了)】

 

数学家希望能计算每个博弈中将收益最大化的最优策略。因为我们事先并不知道对手的策略,所以我们希望找到一个即使在最坏情况下仍然能够最大化收益的策略。形象地说,就是“做最好的准备,做最坏的打算”。但这种最优策略是否存在呢?博弈论的开山祖师,数学家冯·诺伊曼证明了,对于所谓的“零和博弈”,也就是一方的胜利相当于另一方的失败的游戏,这种最优策略必定存在。我们平时玩的游戏都是零和博弈。

但这毕竟不是一个你死我活的世界,虽然一方的得益常常意味着另一方的损失,但双赢的局面也能存在。冯·诺伊曼的定理无法处理各方收益总和不为零的情况,在这种“非零和博弈”下,因为双方的收益没有联系,所以最优策略不总是存在。那么,在这类博弈中,应该如何选择策略呢?

稳定的选择

我们先来举个例子。假设你很喜欢粤菜,而你的朋友喜欢西餐。今天晚上你们打算出去就餐。如果分开吃的话,两人都会觉得独自用餐索然无味。如果一起吃粤菜,两位会更高兴,但你会更高兴一些;如果吃的是西餐,则是你的朋友更高兴。现在两人分别从家里出发,应该选择什么策略呢?

这是一个典型的非零和博弈。在这场博弈中,最好的情况当然是两人一起用餐。但如果我们用零和游戏中最优策略的方法分析的话,每个人应该采取的策略显然是去吃自己喜爱的餐点,这种“最优策略”带来的结局却是最糟糕的。矛盾在于,在零和游戏中,因为玩家的收益就是对方的损失,所以玩家清楚对方的目的就是减少玩家本人的收益。但现在双方的得失并不矛盾,玩家无法得悉对方的想法,之前的“最优策略”自然无效。我们需要一个更好的概念来涵括对方的想法。

假设我们知道对方希望采取的策略,比如说你朋友希望迁就你吃粤菜,那么,你最好的选择当然是吃粤菜。我们将这种情况记作(粤菜,粤菜),前者是你采取的策略,后者是对手采取的策略。在这种情况下,每个人都没有动力改变自己的策略,包括你朋友,即使他比较喜欢吃西餐,但在你不改变策略的前提下,他如果决定吃西餐也只能一个人吃,还不如跟你一起吃没那么喜欢的中餐。这种情况就是这个博弈的一个纳什均衡。

更一般地说,在某个博弈中,假设每位玩家都已经选定了自己的策略,并且每个人都知道各自的策略。这时,如果每位玩家在别人不会改变策略的假设下,即使改变自己的策略,也不会带来更高的收益,那么这种情况就称为一个纳什均衡。纳什均衡是一个神奇的稳定点。在一切不是纳什均衡的情况中,都会有玩家希望改变策略来打破现况。而在纳什均衡中,每位玩家的策略都是当前情况下的最优策略,他们都没有动力改变自己的策略,博弈于是达到了平衡点。

因为纳什均衡的概念能延伸到非零和博弈上,而现实生活中的博弈往往是非零和的,所以纳什均衡在经济学上有着更重要的意义。

一个博弈可能有不只一个纳什均衡。在之前你与朋友的博弈中就有两个纳什均衡点,(粤菜,粤菜)和(西餐,西餐)。这时,如何选择均衡点呢?如果你的朋友对西餐非常执着的话,他可能会以一些代价(比如说送你两罐啤酒)来换取你同意去吃西餐,而你也可以跟他讨价还价,比如除了啤酒还跟他要点花生。在拥有多个纳什均衡的博弈中,双方如何通过协商选取某个均衡的问题,就叫讨价还价问题。纳什同样解决了这个问题。

纳什提出纳什均衡的概念时,刚刚开始在普林斯顿大学攻读博士。他同时证明了每个博弈都存在至少一个纳什均衡。他将博弈论作为博士论文题目,以这些研究为基础,在一年半内就完成了博士学业,这无论在什么时代都是极高的速度,也能说明纳什的天才之处。

操纵均衡

纳什均衡能够用于解释很多经济现象,比如“公地悲剧”,也就是公共物品往往会被无节制地使用殆尽的现象。比如污染的河水和由于放牧而沙漠化的草地,这往往是公地悲剧的体现。如果某项公共资源的使用所导致的代价会平均分摊到每个人头上,那么在这个博弈中,无论在哪一个纳什均衡点上,公共资源都会被过度消耗,每个人的收益反而不如对资源有节制的使用。空气污染、全球暖化、人口问题,这些都是公地悲剧的体现。

但除了解释以外,纳什均衡也能用作解决问题的参考工具。通过不同的经济手段改变博弈中每个人的收益,就可以将均衡点引导到对所有人更加有利的情况。比如在公地悲剧中,如果按照每个人消耗的资源来征收费用,再用这些收入帮助公共资源的恢复,这就相当于将使用资源的代价从平摊变成与使用量挂钩,均衡点就会改变,人们的最佳策略不再是竭泽而渔,而是按需取用。通过对纳什均衡的研究,我们能设计出更好的制度,保证即使是自私的每个人,在均衡点的引导之下,都能作出有益于社会福祉的行动。

除此之外,纳什均衡在经济学上还有许多应用。在各种投标与拍卖中,拍卖一方希望以尽可能高的价格将商品拍卖出去,而竞拍一方往往有多位参与者,他们希望能以尽量低的价格拍得商品,而双方都不知道各自的底牌。他们只能通过叫价来相互试探。这时,如何设计拍卖的规则,使得拍卖能高效完成而双方的收益都最大,这就是所谓“拍卖理论”研究的问题。拍卖可以很复杂,比如说对各地电视频道的拍卖,竞拍一方可能需要获得多个地区相同频道,才能获得相当的收益。但利用纳什均衡,即使对于复杂的拍卖,很多时候我们仍能设计出对应的拍卖机制,保证拍卖的成功。

但也有一些经济现象不能用纳什均衡来解释,比如说银行挤兑。这是因为在建立模型时,我们假定人们是无限理性的,只会以最优的策略最大化自己的收益,这是对现实的简化,实际上人们的行为要复杂得多,不一定总是理性的。比如说,几个人报1到100之间的数字,最靠近报出的所有数字的平均值的一半的人获胜。如果所有参加者都是无限理性的话,那么每个人都会报1,但实验告诉我们上不是这样。人们在实际生活中的选择往往与纳什均衡很接近,但有时也会有一定的偏差。对这种偏差的研究,是目前行为经济学的研究方向之一,可以视为对以纳什均衡为代表的传统博弈论的一种良好补充。

虽然纳什教授不幸逝世,但他提出的纳什均衡已经深入博弈论与经济学研究的核心,无数学者,仍会沿着他开创的道路前行。所谓科学,就是来自这样的日积月累与前赴后继。

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本文获得作者方弦授权看法,并已发表于北京日报,未经正式许可禁止转载

一张不要轻易尝试的猜拳进阶指南图

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7 Responses to “角力中的平衡点:纳什均衡与经济”

  1. 大叶子说道:

    “比如在公地悲剧中,如果按照每个人消耗的资源来征收费用,再用这些收入帮助公共资源的恢复,这就相当于将使用资源的代价从平摊变成与使用量挂钩,均衡点就会改变,人们的最佳策略不再是竭泽而渔,而是按需取用。”

    为什么现实中并没有这样的例子?例如捕鱼,现实中约束这个行为的不是执照就是休渔期,并没有按你的渔获量征税之类的(增值税不算,因为它适用于所有货物)。究其原因,这个所谓的均衡分析忽略了交易费用的存在,因为要确切知道每个人消耗的资源是非常困难的,含义着交易费用非常巨大,所以就干脆用执照或休渔期等交易费用较低的方式来约束资源的使用。

    “比如说,几个人报1到100之间的数字,最靠近报出的所有数字的平均值的一半的人获胜。如果所有参加者都是无限理性的话,那么每个人都会报1,但实验告诉我们上不是这样。”

    “理性”是经济学的基本假设,到这里怎么又“不理性”了?既可以理性又可以不理性,那就是相当于数理逻辑中的矛盾,可以证明上帝的存在!有人不报1,对他来说,完全可以是理性的,因为他认为所有数字的平均值足够大,他错了的话,就是因为无法预先知道其他人的选择。这个“无法预先知道”,反映的就是交易费用的存在。各种“不理性”“非均衡”的分析因为忽略了最基本的交易费用,都被现实世界无情的打脸。

    • 方弦说道:

      公地悲剧的例子,请参照碳排放量交易。

      “平均值一半”的例子,请查阅经济学中“理性”的定义,在这里“理性”不是指合乎常理。

      • 大叶子说道:

        几轮气候谈判下来,包括最近的巴黎协议,还是没有达成具有法律约束力的减排目标,恰恰证明了量度共用品使用的困难,代价之大可能超过了人类延续。我没有说公地就不悲剧了,但是忽略了交易费用的均衡分析并不能给出什么有效的方案。

        “理性”的定义,古典经济学和行为经济学就不一样,这里用的是哪一种?

        • 方弦说道:

          在博弈论的mechanism design中,度量成本作为成本之一,当然是包含在分析中的。如果度量很困难,那么成本很高,自然会影响博弈均衡的分析。实际上,要正确分析一个mechanism的均衡,必然需要估算所有可能的支出和收入。

          在博弈论的分析中,“理性”一般取微观经济学的“理性人”定义,用数学术语来说就是博弈中各方计算能力无限,拥有无限制的公共知识,并且总是尝试最大化自身利益。近来也有尝试分析行为经济学中展现出来的人的部分理性,但仍然没有很好的定义。

  2. Daniel Shen说道:

    Game并不特指游戏,它的真正含义本就是多方博弈。所以game theory英文的本意就是博弈论,而不是游戏的理论。

    举个例子,英国和俄国在18,9世纪在中东的一系列政治博弈,在欧洲历史上就被西方历史学家称为“big game”(大博弈),这显然是不能用“大游戏”的翻译能解释的通的。

    同理,某体育评论员笑称老外口中的奥运会是game,以此来证明老外游戏人生的态度,证明老外把奥运会竞争不当回事,也是让人贻笑大方了。

  3. zkl47说道:

    任一门科学有了数学才是成熟的学科,社会科学也不例外。博弈论关键词:双方理性、考虑对方的利益、追求利益的均衡…。比如非市场经济思维方法:资产阶级和无产阶级是敌对性,是后者养活前者。市场经济认为前者是雇主阶级,不带罪恶性帽子,雇佣双方理性合作才能利益均衡。比如美GM公司工会提出过高的福利搞垮了GM,工人大量失业,两败俱伤。

  4. 崔琳说道:

    大学里微观经济学在学纳什的纳什均衡。
    感觉纳什这个人在头脑方面非常了不起。
    就是不明白为何纳什出了车祸。
    为何他头脑这么聪明,却乘车的时候忘了系安全带而出了车祸???
    这是聪明人做的事吗???