20个回应

  1. CWhy
    2014-10-21

    千呼万唤shi出来~~
    又可以看这个系列了!!

  2. 小兵1912
    2014-10-22

    最后插图....

    有股没沟,差评!

  3. 冰火梦幻
    2014-10-22

    终于出来了……

  4. 厮跟着
    2014-10-22

    最后插图....
    没有打码,差评!

  5. 必填
    2014-10-22

    期待下一篇。。。

  6. Illusiwind
    2014-10-22

    方同学可否简单讲解下哥德尔完备性定理的完备性与不完备性定理的完备性是什么关系?看了一点没看明白。

    • 方弦
      2014-10-22

      完备性定理说的是,一阶逻辑的规则足以推出所有永真式,永真式就是一种逻辑命题,无论其中变量的取值如何,它都是真的。也就是说,一阶逻辑的理论能推导出来的东西,在它的所有模型中都是对的。

      不完备性定理说的是,自然数这个模型,在其中为真的命题组成的理论不是可计算的。也就是说,如果一个(我们能处理的)理论它描绘了自然数的话,那么它能推出的定理中必然漏掉某些真命题,因为一个我们能处理的理论,它能推出的定理组成的集合必然是可以计算的。

      这两个定理并不矛盾,因为一阶逻辑的皮亚诺公理并不只有一个自然数这模型,还有很多非标准模型,完备性定理说,皮亚诺公理能推出的定理在所有模型中都成立,包括非标准模型;不完备性定理说,在自然数这个模型中的真命题,在别的非标准模型中并不一定对。

      如果用二阶逻辑的话,二阶逻辑的皮亚诺公理只有自然数这一个模型,但二阶逻辑没有对应的完备性定理。

      • Illusiwind
        2014-10-22

        啊哈,所以简而言之,前者的“完全”是针对模型而言,后者的“完备”是针对命题而言?后者似乎好理解一些,在一个算术体系内判断所有命题的真假这个都懂。模型论没接触过,想不出怎么把一个命题放到另一个模型里,尤其是非标准的……只能想到把乘积定积分对应成线性空间的内积之类的东西,不过这似乎跟非标准模型没啥关系,因为既然能对应上肯定是同构的吧……
        感谢回复,多少明白了点~

  7. 9029527
    2014-10-23

    好吧,我恨数学。。。看不到一半就放弃了

  8. geoffrey
    2014-10-23

    先赞一个!~这个系列断断续续(主要都是断)很久终于又出啦~

  9. 唯心主义
    2014-10-24

    数学的不完备有物理基础吗?

  10. 一叶飞刀
    2014-10-25

    实际上,许多关于无穷的看似矛盾结论,都可以归根于我们在日常经验中对数量与顺序的混淆。比如说有人会认为偶数比自然数少,是因为自然数除了偶数之外还有奇数,但实际上这种说法隐含了“先数偶数再数奇数”的这一清点顺序,用这种方法偶数会比自然数先清点完,而我们现在知道,对于无限个物品来说,可以有无数种不同的清点方法,

    ————诡辩。当n趋向于无穷大时,很显然自然数和偶数的比值趋于2,你告诉我两个比值为2的同阶无穷大是相等的?无穷大有相等一说?!

    • 方弦
      2014-10-26

      首先,请不要将分析中的无穷大与集合论中的无穷大混为一谈。分析中的无穷大只是一种简便说法,真正用到的是delta-epsilon语言,其中没有无穷大。集合论中的无穷大,也就是这篇文章中讲的,是关于集合的基数与序数的问题,这里的无穷大是实在的概念而不是简化讲法。两者截然不同。

      其次,对于集合论中的无穷大而言,的确可以有相等的。偶数与自然数的基数就是相等的,因为它们之间存在一一对应,而这就是集合基数相等的判据。对于集合论来说,无穷大讲的不是“阶数”,而是基数。

      请多看看数学方面的科普,比如说认真读读这篇中关于基数与序数的部分,如果还不够的话请翻看数学教材,这都是些比较基本的概念,也正因如此我才敢写在科普里。

    • yaya
      2014-10-30

      我都糊涂了, 不是偶数和自然数一样多且有限吗?

      • Illusiwind
        2014-10-31

        有限?这是哪个宇宙的数学?

  11. wang kun
    2015-01-03

    最深奥的是数学

  12. wang kun
    2015-01-03

    最深奥的是数学,一点不假

  13. hdsdsd
    2015-01-12

    21321321312

  14. qyscw
    2015-01-15

    更新太慢啦。。。

  15. C19
    2015-01-17

    卧槽! 我就记得我高中的时候看过这个系列![从此走入IT坑]
    TMD居然3年更新一篇!
    作者我们给你捐稿费你快点写好不好...

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