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计算无处不在。

走进一个机房,在服务器排成的一道道墙之间,听着风扇的鼓噪,似乎能嗅出0和1在CPU和内存之间不间断的流动。从算筹算盘,到今天的计算机,我们用作计算的工具终于开始量到质的飞跃。计算机能做的事情越来越多,甚至超越了它们的制造者。上个世纪末,深蓝凭借前所未有的搜索和判断棋局的能力,成为第一台战胜人类国际象棋世界冠军的计算机,但它的胜利仍然仰仗于人类大师赋予的丰富国际象棋知识;而仅仅十余年后,Watson却已经能凭借自己的算法,先“理解”问题,然后有的放矢地在海量的数据库中寻找关联的答案。长此以往,工具将必在更多的方面超越它的制造者。而这一切,都来源于越来越精巧的计算。

计算似乎无所不能,宛如新的上帝。但即使是这位“上帝”,也逃不脱逻辑设定的界限。

第一位发现这一点的,便是图灵。

计算的极限》系列

函数构成的世界

【图片来自Wikipedia】

丘奇作为图灵在数学上的前辈,思考的问题自然比图灵要深远得多。图灵考虑的问题,仅仅是希尔伯特的可判定性问题,而丘奇当时思考的,是如何重构数学的基础。

当时正是第三次数学危机勃发之际,数学界各路人马对数学基础应该置于何处争论不休。当时公理化集合论刚刚建立,作为新事物,自然有人持观望态度,而丘奇就是其中一位,他觉得自己可以创造一个更好的理论,以此作为数学的基础。与其选择集合与包含这两个概念,他选择了数学中另一个重要的概念:函数。

数学家眼中的函数,比你想像的要广泛得多。在中学数学中,说到函数,自然会联想起它在平面直角坐标系的图像。这是因为中学数学中的函数,大部分情况下不过是从实数到实数的映射而已。而数学家眼中的函数,可能与程序员眼中的函数更相似:它们更像是一个黑箱,从一边扔进去某个东西,另一边就会吐出来另一个东西。

【感谢neko(@iNEKO_mini)提供图片】

我们并没有限定能扔进黑箱的东西。事实上,将黑箱本身扔进黑箱也是可以的。对这种把戏,数学家们再熟悉不过了,在泛函分析这一数学分支中,数学家们就经常研究一种叫“算子”的数学概念,在某些特殊情况下,就是那些将一个函数变成另一个函数的函数。所以,不去限定能扔进黑箱的东西,似乎也没什么问题。

【再次感谢neko(@iNEKO_mini)提供图片】

总而言之,函数就是将一个函数变成另一个函数的东西。那么,要用符号表达这么普遍的函数概念,我们需要什么呢?

首先,就像在方程中我们用x, y, z等等符号表示未知数,我们也希望能用符号表示未知函数。我们将这些表示未知函数的符号称为变量。

其次,如果我们手上有两个函数\( M \)\( N \),那么我们自然希望研究函数\( N \)被函数\( M \)“处理”之后会变成什么。也就是说,既然\( M \)是一个函数,能将一个函数变成另一个函数,那么\( M \)会将\( N \)这个函数变成什么呢?即使不知道具体的过程,我们也希望能表达最后的结果。所以,我们将\( N \)\( M \)处理后得到的结果记为\( (M \, N) \)。这被称为函数的应用(application)。

最后,也是最抽象的概念,就是函数的抽象(abstraction)。

我们可以用变量x来表示未知的函数,自然也可以用x来构造更多的函数。比如\( (x \, x) \)就表示函数x应用到自己身上的结果,而\( ((x \, x) \, y) \)就表示将刚才得到的结果应用到另一个未知函数y上得到的结果,如此等等,不一而足。如果我们将变量x替换成一个具体的函数f,那么这些包含变量x的表达式就会变成包含具体函数f的表达式。

也就是说,如果我们有一个包含变量x的表达式\( M \),对于任意一个函数f,我们可以将它对应到一个新的表达式,记作\( M(f) \),而这个新的表达式是将M中的所有x替换成f所得到的。比如说,如果\( M=(x \, x) \),那么\( M(f)=(f \, f) \)\( M((y \, y))=((y \, y) (y \, y)) \),等等。

一个表达式也是一个函数。我们从表达式M出发,可以得到把一个函数f对应到另一个函数\( M(f) \)的方法,而这正是一个函数。也就是说,我们能从一个表达式“抽象”出一个函数。我们将这个函数记作\( \lambda x. \, M \),x是我们所要考虑的自由变量。

【注:在这里,我们只能替换那些所谓的“自由变量”。粗略地说,自由变量是那些之前没有被抽象过的变量。详细的技术细节略显繁复,而且也有办法绕过,所以于此略过。】

从这三点基本要求出发,丘奇开始定义他的λ演算。他将他考虑的这些函数称为“λ项”,而所有的λ项都可以从以下三种途径构造而成:

1. (变量)所有变量\( x,\, y,\, z,\, \ldots \)都是λ项。
2. (应用)如果\( M \)\( N \)都是λ项,那么\( (M \, N) \)也是λ项。
3. (抽象)如果\( M \)是一个λ项而x是一个变元,那么\( \lambda x. \, M \)也是一个λ项。

接下来,丘奇定义了一些λ项之间的转换法则。

首先是\( \alpha \)重命名,这项转换可以使我们在遵循一定的规则下,任意变换λ项中的变量名称,而不改变λ项本身的意义。也就是说,λ项中变量的名称无关紧要,无论是x, y, z还是苹果、香蕉、榴莲,又或者是小庄、游游、李清晨,项的本质是不变的。

然后是最重要的\( \beta \)规约:

\( (\lambda x. \, M) \, f \; \rightarrow_{\beta} \; M[x \leftarrow f] \)

在这里,\( M[x \leftarrow f] \)实际上是\( M(f) \)的严谨记法,表明了我们要替换的变量。而\( \beta \)规约实际上就是根据定义计算函数的一个过程。

最后,还有一个\( \eta \)变换。它的实质是所谓的外延性,也就是说,如果两个项对所有函数的作用都是相同的话,那么就认为这两个项是相同的。

这么几条简单的法则,就是丘奇的λ演算的全部内容。

那么简单的法则,很难想象λ演算能表达什么复杂的数学概念,这看起来不过是符号的简单推演而已。但既然同样简单的图灵机中也暗藏玄机,那说不定λ演算也有它自己的复杂内涵。

【图片来自http://blogs.msdn.com/b/ashleyf】

分崩离析的世界

丘奇最初建立λ演算的目的,是希望将它作为一种逻辑推理的方法。我们可以将某些逻辑公理表达为λ项;对于某个逻辑命题,我们可以先将其转化为λ项,再根据λ演算的法则将它不断简化,而命题正确与否就蕴含在计算结果之中。

通过这种方法,丘奇成功地在λ演算的框架下表达了不少的数学系统。λ演算看起来是如此的成功,甚至达到了无所不能的程度。

但如果我们还记得哥德尔的教训的话,无所不能有时并不一定是什么好事,因为在数学和逻辑的领域中,对于有意义的逻辑系统,强大的表达能力必然伴随着坚不可摧的限制。如果一个系统无所不能,那么更大的可能是它本身就自相矛盾。就像一个理论,如果对的也好错的也罢,正面反面都能解释得通,那相当于完全没有解释。

果然,几乎在丘奇向学术界展示他的λ演算的同时,克林(Kleene)和科里(Curry)就证明了,作为一个逻辑推理系统,λ演算在本质上就存在着矛盾,它是不一致的。通过适当地构造一些λ项,克林和罗瑟(Rosser)成功地利用λ演算找到了一切命题的证明,甚至包括那些错误的命题!一个连错误的命题都能证明的逻辑系统,也就是说一个不一致的逻辑系统,没有任何意义。

值得一提的是,上面这几位后来都成为了数理逻辑界的大人物。克林和罗瑟是丘奇的学生,而科里则师从希尔伯特。我们后面还会讲到这位科里教授,他的事迹之一就是有整整三个不同的编程语言是以他的名字命名的,连中间名都用上了,影响力可见一斑。

事实上,丘奇当初在筑建λ演算之时,就已模糊地认识到了这个问题,但他觉得这只是一种幻象,通过某些适当的限制,就能摆脱这些恼人的问题。但丘奇错了,实际上这是一个本质性的问题。

那么,问题的根源在何处?

我想,读过本系列之前文章的读者应该都猜到了,又是那绕不过去的自我指涉!

自指

但是,自我指涉在什么地方呢?

还记得λ项是什么东西呢?它的原型是函数,但不是一般的函数。在定义λ项之时,我们允许它将任意的λ项转化为另一个λ项。既然是任意的λ项,那么当然也包括它自己。如果将λ项看成程序的话,那又是一个可以将自己当作输入数据的程序。与图灵机不同的是,在λ演算之中,根本没有数据和程序之分,一切都是λ项,它们既是程序,也是数据。

λ演算的能力不止于此。考虑所谓的Y组合子:

\( Y = \lambda x. \, (\lambda y. \, x \, (y \, y)) \, (\lambda y. \, x \, (y \, y)) \)

将它应用到任意一个函数$f$时,我们会得到:

\( Y f \; = \; (\lambda x. \, (\lambda y. \, x \, (y \, y)) \, (\lambda y. \, x \, (y \, y))) \, f \)
\( \rightarrow_{\beta} \; (\lambda y. \, f \, (y \, y)) \, (\lambda y. \, f \, (y \, y)) \)
\( \rightarrow_{\beta} \; f \, ((\lambda y. \, f \, (y \, y)) \, (\lambda y. \, f \, (y \, y))) \)
\( = \; f \, (Y \, f) \)

这样不停替换下去,得到的结果就相当于将函数$f$应用到自身任意多次。λ演算的能力,特别是在自我指涉方面,于此可见一斑。

正是如此强大的表达能力,使得作为逻辑系统的λ演算一无所能。如果还记得图灵机是怎么在停机问题上失效的话,实际上利用相似的技巧,对于任意的命题,我们可以构造一个λ演算中的证明,无论命题本身是对是错。

后来Curry的工作在更深刻的意义上揭示了这一点。他概括了λ演算的某些特性,然后证明了对于无论什么逻辑系统,只要它拥有这些特性,那么它必然是不一致的。而这些特性,也恰好是会碍事的那部分自我指涉所需要的。

于是,作为一个逻辑模型,λ演算一败涂地。

但丘奇没有就此止步。虽然λ演算不能如他所愿成为数学的推理基础,作为一个计算模型似乎倒也不错。我们可以将一个计算过程看成函数,将输入数据转化为输出数据的函数。于是丘奇将“可有效计算”定义为“可以用λ演算表达的函数”。这时,自我指涉的特性就成为了不可多得的优点,因为这实际上说明λ演算有强大的计算能力。利用自我指涉的特性,通过相似的构造方法,丘奇同样解决了希尔伯特的可判定性问题,得到了与图灵相同的结论。

丘奇在构想λ演算之时,瞄准的是更为基本的数学基础模型,但它却成为了可计算性的模型,真可谓“无心插柳柳成荫”。这就是图灵看到的那篇论文的由来。

不难想象图灵当时读到这篇论文时的心情。如果将数学比作攀山,当你千辛万苦登上一座处女峰,却蓦然发现山顶已经插上了别人的旗帜,你大概会觉得一切都似乎失去了意义。

但数学毕竟不是攀山,不同的路径可能有不同的景致,要论高下为时尚早。况且要比较两者,要先知道两者解决的到底是不是同一个问题。虽然图灵和丘奇解决的都是同一个问题,但他们对“可计算性”各自做了不同的假定。图灵认为“可计算的问题”就是图灵机可以解决的问题,而丘奇则认为那应该是λ演算可以解决的问题。

问题是,图灵机和λ演算这两个计算模型,它们解决问题的能力一样吗?两种视点下的可计算性,到底是殊途同归,还是貌合神离?

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19 Responses to “计算的极限(三):函数构成的世界”

  1. abc说道:

    这个文章,写得非常好.
    期待后续.
    最近看到SICP,这个也是背景知识吧.
    (define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))
    (define (add-1 n)
    (lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))
    (define one (lambda (f) (lambda (x) (f x))))
    直接用函数定义出整数和加法运算,令人震惊.

  2. 张宁同学说道:

    是我……

  3. www.wuzhenlg.com说道:

    从小学到大学 数学是最头痛的

  4. cc说道:

    更新啦!

  5. zhblue说道:

    看了半天以为作者想推荐lisp语言给大家学
    结果居然不是!倒是评论里面见到了,作者看来是正宗数学家,不是苦逼程序员

  6. Ender说道:

    最近在玩LISP, 咋一看我也以为是介绍LISP的, 原来是系列文章里的一篇哟

  7. ROOT说道:

    y=f(x,....) 也可以(x,y,z)=l(a,b,c,d....)?反正只能是M=V M,V可以是任何变量作用的结果 结果等于结果 作用可以随便 是不是可以这样理解函数?

  8. walker说道:

    数学不是黑箱,是物质世界本质表现。数学,说成逻辑推理的一种工具,都比黑箱靠谱。

    • gjn说道:

      黑箱是黑盒的意思,比喻很恰当,
      指的是你甭管它形式是什么,它有输入,有输出

  9. yuri说道:

    期待后续阿!最近学计算理论,听得云里雾里的。P和NP问题头疼着呢,又来一个NPC...一堆概念搞不懂。。。

  10. 山外青山说道:

    人解决问题几乎从不追求绝对正确,而只考虑近似正确. 指导人类行为的不是推导出的定理,而是从现实总结出的经验.包括牛顿三定律,其实都是从观测结果总结出的近似正确的结论.

    形式逻辑不是人工智能真正的方向. 形式逻辑解决不了的问题,也未必就是人工智能的极限.

  11. 裘德说道:

    这个系列终于更新了。。

  12. GEEK说道:

    新的啥时候更新,等的花也谢了.顺便求大神推荐书籍.

  13. versugw www.kuaipu.com.cn说道:

    计算无处不在。

  14. Manwholiveswithhismom说道:

    计算本质就是数学

  15. yuanwf说道:

    后面的部分还没看懂,精心下来再读