首页 >> 数学 >> 文章

假如你是一名大侠,为了维护自己的江湖地位,在寒风中和另一名大侠约战紫禁之巅。一切看上去都很飘逸,你的造型和动作也早已练得很潇洒。但死理性派提醒你,风大,小心冷。一阵风来,冻得浑身哆嗦,未免有失大侠风范。

大侠们可能都会诧异,就是因为穿的少,特地看了天气预报选了一个温度并不低的时间决战,怎么出门这么冷?到底是天气预报不准还是自我感觉出了问题呢?其实,天气预报和大侠们自己的感觉都没有错。

风吹到脸上到底有多冷

在有风的时候,如果空气温度比我们体表温度低,运动速度越快的冷空气通过热对流从我们身上带走的热量就越多。因此,即使气温并不算低,风很大的话我们还是会觉得冷,这时我们的感受可以称为感觉温度(也叫做风寒指数,wind chill factor),代表我们在无风情况下会有同等感受的空气温度。

数学杂志 Mathematics Today 在 2011 年 12 月份的刊登了一篇文章[1],作者 Townie 对这个问题就进行了简单的分析。他计算出在空气温度为 0 ℃ 时,感觉温度随着风速变化如下图所示:

vl2oox

上图横坐标表示的风速都比较大,气象学家常用的风速指的是离地面 10 米处的数值。而实际计算中,用这个数值的 2/3 来估计人头部的风速的[1][3]。从图上可以看到,风的速度越大,感觉到的温度越低。刮 6 级以上的风(大于 40 km/h )[4],感觉到的温度比空气的温度( 0 ℃ )要低 10 ℃ 以上。

感觉温度是怎样计算的

这是怎么算出来的?不妨让我们来看看其中的道理。人体的头部一般暴露在外,更容易感到寒冷,为了简化问题, Townie 只考虑头部失去的热量,并将头部简化为直径 15 厘米的球体。尽管人的头有大有小,但这个简化结果的基本数量级是没错的。我们在中学物理里学过,热传递有 3 种方式:热传导,热对流,热辐射。 Townie 忽略了人体向周围发出的热辐射,选择用牛顿冷却定律来估算热量的损失速度。在稳定的情况下,人体表面温度恒定,牛顿冷却定律可以表达为:

t18gul

其中 q 表示单位面积的皮肤在单位时间内失去的热量, h 是热传导系数, T s 表示头部表面皮肤的温度, T a 是空气的实际温度。皮肤的温度基本上恒定,一般比体内温度稍低一点,大概是 33 ℃ ~ 34℃的样子,我们对外界温度的感觉和 q 有关, q 越大,说明热量失去的越快,我们也就越觉得冷。

在这里,热导系数 h 和空气相对人运动的速度有关,假设某个速度下求出的热导系数记做 h fc ,那么在这个速度下,单位面积失去热量的速度是

tuh1vi

在没有风的时候,热导系数 h calm 要比 h fc 小一些,这样,要得到同样的热量损失,需要的外界温度 T wc 就相应的要低一些,对应的公式为

5qx124

注意,这里的 T wc 就是我们感觉到的温度。对上面两个公式进行适当的整理,可以得到

jkqj1g

由此可见,问题的关键在于推导或者测量出有风和无风时空气热导系数的比值。

如何求出热导系数比值

如何求出这两个热导系数的比值,真要靠测量吗?不需要。由于这个问题涉及到空气(一种流体)的运动和导热,因此热导系数的比值可以根据流体力学的理论来估计。一般流体力学涉及到的物理量比较多,这些物理量可以构成许多无量纲的数字,能够表征在不同问题里什么影响因素更重要。

在流体力学里经常见到的一个数字叫做雷诺数(Reynolds),Re = ρvD/μ。 μ 是流体的粘滞系数,ρ 是流体的密度, v 是流体的速度, D 是问题涉及到的尺度大小[2],具体到本文所述的问题就是头部的直径。雷诺数给出了流体运动过程中,流体的惯性力和粘滞力的比值。当雷诺数比较大时,流体流动较不稳定,比如小溪里面的水流,这时可以将系统近似为非粘性流体,忽略掉液体的粘性;而雷诺数比较小时,流体流动稳定,比如室温下粘稠蜂蜜的运动,则可以近似地将惯性力忽略掉。 Townie 参考了这些知识,得到公式

zgshy3

Nu ( Nusselt 数)包含了热传导系数 h,它和 Re 、 Pr ( Prandtl 数)都是流体力学里面的无量纲数,根据这个数我们就能得出有风和无风时空气热导系数比值。这里就不仔细介绍各个无量纲数的含义了,有兴趣的读者可以自行学习。据此,Townie 就得到了文章开头给出的结果。

更精确的经验公式

当然,要说的是 Townie 的计算还比较粗略,其中用了很多的近似和假设,得到的结果在数量级上是对的,但并不精确。气象学家通常用的是通过人体实验和数据修正总结来的经验公式,如果温度 T 以摄氏度为单位,风的速度 V 以千米每小时为单位,那么感觉温度可以表达为[3]

jjsykc

细心的读者会注意到公式里如果取 T = 0,在 V = 0 的情况下得到的感觉温度不是 0。这是因为这个公式是经验拟合公式,只在一定的速度范围内适用,超出这个范围得到的结果就不那么精确你。而且,在实际计算中,“无风”的情况下用的速度 V 不是0,而是 4.8km/h ( 3 英里每小时),代表的是人在无风的情况下行走的速度。

Townie比较了这个经验公式的结果和用前面我们介绍的方法估计的结果。在空气温度是 0℃ 和 -15℃ 的情况下,两种方法计算出的感觉温度如下图所示

1nop39

可以看出, Townie 方法的估计结果(红色线段)和经验公式(蓝色线段)给出的结果还是比较接近的,随着风速的增加,都比空气温度(虚线)低出几摄氏度甚至十几摄氏度。单看经验公式的结果,在温度比较低的时候(比如 -15℃ ),感觉温度随着风速的增加,降低的更快,也就更冷。

最后要说明一下,本文只考虑了暴露在外的头部而没有考虑有衣服包裹的躯干部分。因为衣服包裹的地方散量流失的就会慢很多,尤其是像厚羽绒服或者冲锋衣那种衣服,相当于在皮肤和空气之间放了一层厚厚的隔热层,热量的流失会更小,身体表面的温度会和体温很接近。所以,讨论感觉温度就要讨论裸露在外的头部等部位。

了解到这些,你是不是觉得做一名大侠其实也挺不容易的?

参考资料:

[1] A.Townie, Urban Maths: Chill with Newton! Mathematics Today 294, December 2011.

[2] 维基百科: 雷诺数

[3] FCM-R19-2003. US Department of Commerce: National Oceanic and Atmospheric Administration, Report on wind-chill temper-ature and Extreme Heat Indices : Evaluation and Improvement Projects. 2003.

[4] 维基百科: 蒲福风级

本文发表于 果壳网 死理性派 主题站 做一名风中的大侠,你要知道啥?

0
为您推荐

28 Responses to “[流体力学趣事] 做一名风中的大侠,你要知道啥?”

  1. bmouse说道:

    感觉湿度也很重要

    • pasternak说道:

      有道理,啥时候让那位数学家再算一下干燥的夏天和潮湿的夏天有多热吧。

  2. Kent说道:

    大侠武功高强,自然不怕冷。

  3. F5刷新说道:

    当尝试读取以下网址(URL)时: http://img1.guokr.com/gkimage/vl/2o/ox/vl2oox.png

    发生了下列的错误:

    Access Denied.
    拒绝访问

    Access control configuration prevents your request from being allowed at this time. Please contact your service provider if you feel this is incorrect.
    当前的存取控制设定禁止您的请求被接受,如果您觉得这是错误的,请与您网路服务的提供者联系。

    本缓存服务器管理员:squid@chinacache.com

  4. Xeon说道:

    为毛我看成了中风……

  5. pasternak说道:

    另外,为什么所有的图片都看不到?

  6. mmm说道:

    为毛图全挂了

  7. L说道:

    大侠,无图无真相啊。

    • 沐右说道:

      现在应该好了吧。。。
      我没有看到出问题的时候
      多谢编辑帮忙!

  8. campell zheng说道:

    lz,辛苦了。但是我有个疑问想请教一下。
    在本文中“要得到同样的热量损失,需要的外界温度 T wc 就相应的要低一些”这一句话我又不一样的看法。我认为之所以我们感觉到更冷,原因在于热量损失得更快,而不是公式中的温度T更低,温度低是热量损失更多的结果不是过程。
    这一点请lz指点~

    • 沐右说道:

      的确感觉到冷是和热量损失的速度有关的。这个计算里面利用的也是这一点,某个温度Ta的时候,一定的风速下,热量损失的速度为q,那么这个感觉和无风、温度为Twc时候的损失速度一样,这样有风的Ta的时候感觉上和无风的Twc相似,Twc就是这种情况的感觉温度。

  9. 流体传热说道:

    写得很好。夸的话我就不多说了,只提点意见吧,就是在很多名词上虽然作者深入得恰到好处,但完全没有基础的读者还是可能看不懂,比如说无量纲是什么,努塞尔数到底怎么回事等等。如果不限字数作者不妨再多解释解释。另外严格讲这个问题是传热的范畴哦,尽管对流传热这块和流体不可能分开谈。

    • 沐右说道:

      多谢夸奖。
      主要是考虑到细节讲的太多的话,文章可能就显得面目可憎了,对于一般的读者来说,能知道Re,了解流体力学里面有很多的参数,就可以了。无量纲数的倒是没有解释清晰,以后我要注意下。
      多谢您的建议。

  10. naiyoujjyy说道:

    不考虑湿度么?

  11. tobenash说道:

    写的不错,但是前半部分是传热学,后半部分才涉及到流体力学。。。我觉得吧,但是流体力学的部分解释的不够通俗,没有点基础估计还真看不懂。流体尤其是湍流这块儿处处是经验半经验公式,大家只需知道得到公式的相似法则就行了,各无量纲数根本没必要知道怎么来的,只需要知道物理意义就行了。。。从这个角度讲,lz不需要花那么大工夫介绍某人的工作,而是介绍流体力学中的一个研究的概况,类似于综述了

  12. LRZ说道:

    图挂了的说。

  13. 风雷风趣说道:

    图挂了……

  14. 李哲说道:

    图在哪

  15. kbdtp说道:

    看不到图片

  16. kill2winer说道:

    好东西啊,收藏。我一直很想知道这个数据。
    顺便问个问题啊,请问一杯20度的水,用20度的风吹,在风速不同的情况下,水温最低多少啊?用吹风的方法可以用温度高于0度的风将水吹成冰块吗?

    貌似这个可以用模拟软件analys等计算,不过我不太会用。哪位大侠有兴趣帮忙解答啊?

    • hunter说道:

      那就变成用高于0度的风吹冰块

    • xiaolanglnag说道:

      风力再大也不可能让物体的温度比风(环境温度)还低吧?
      我记得高中的物理课有讲过…………

      • 喵唧说道:

        如果是个敞口杯,由于蒸发作用,能够比环境温度低些,高中讲过。

  17. 大白鲸说道:

    大侠天天练的怕这个。。。

  18. ashun说道:

    几个简单的公式,我估计算不出来有多冷吧,还需要大量的实验吧,比如说,H(表面传热系数)靠理论是很难算的,而且不准确。本人热物理的研究生

  19. NausicaaSylvan说道:

    我喜欢风之谷的娜乌西卡!