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发表于 2011-06-01 06:01 | Tags 标签:, , ,

——有关二维、三维,以及生物如何企图抵抗物理定律的故事

在达尔(Roald Dahl)的童话名作《好心眼儿巨人》中,一个二十四英尺(1英尺≈0.3米)高的巨人要和英国女王共进晚餐,女王的内廷总管是个很聪明的人,很快做出了计算:一个六英尺的普通人要坐在高三英尺,宽一英尺,长两英尺的桌子前,吃两个煎鸡蛋。那么,一个高度是普通人四倍的巨人,就需要高十二英尺,宽四英尺,长八英尺的桌子,吃八个煎鸡蛋,总之,一切都应该乘以四。

于是总管指挥佣人们,用大座钟和乒乓球桌搭了一张临时的桌子,巨人很满意这个座位,但问题是,八个鸡蛋只够他吃一小口。

巨人的桌子是一般桌子高度的四倍,但桌子的大小并不是一般桌子的四倍。当我们说一张桌子桌面“宽一英尺,长两英尺”时,我们讨论的是二维的东西——面积:

普通人的桌子:1×2=2(平方英尺)
巨人的桌子:4×8=32(平方英尺)

也就是说,巨人桌面的大小是一般桌子的十六倍。

至于桌子的重量,要先知道桌子的体积才能计算,这是一个三维(立体)的问题,我不太清楚大座钟搭成的桌子是什么形状,所以我假设两张桌子都是最简单的长方体:

普通人的桌子:3×1×2=6(立方英尺)
巨人的桌子:12×4×8=384(立方英尺)

巨人的桌子体积是一般桌子的64倍,所以,重量也应该是一般桌子的64倍。

如果把长度放大成原来的四倍,那么,面积会是原来的十六倍,体积和重量则是原来的六十四倍,桌子如此,巨人先生本人如此,鸡蛋亦是如此。回头考虑鸡蛋的问题,我们关心的是它的重量,对巨人来说够吃一顿的鸡蛋,应是普通鸡蛋重量的64倍——我们没有那么大的鸡蛋,但可以用数量来弥补:

2×64=128(个)

在故事里,巨人吃掉第72个鸡蛋时,皇家厨师来报,厨房的存货空了——对于高度是普通人四倍的巨人来说,这其实算不了多少。

如果你要把一个东西变大,一维(高度)上的增加赶不上二维(面积)的增加,二维的增加又赶不上三维(体积和重量)的增加,这是我们这个世界的规则,它决定了大象和蚂蚁哪个更强,猫为什么摔不死,天使的翅膀要有多大,蚯蚓的腰围能有多粗等等问题。

大象一定要有大象腿

面对大象、长颈鹿、蓝鲸和恐龙,我们会慨叹人类多么渺小,但实际上我们是巨兽。在灵长目里,只有大猩猩比人体型大,兽类中最兴旺的家族是鼠辈(啮齿目),其次是蝙蝠,已知的物种中昆虫超过一半。这是一个小东西的世界,我们是遗世独立的巨人。

我们习惯了巨人的世界,对于许多仅出现在巨人世界的特殊问题也不再关心,比如,人腿为什么这么粗?

骨头的强度取决于粗细,越粗壮自然也就越结实,而决定粗细的标准是横截面积——把骨头切开,得到断口的面积,这是一个二维的问题。而动物体重的增加,是三维的问题。如果真有身高是常人四倍的巨人,他的体重将是常人的64倍,骨头的粗细却仅仅是16倍——他等于是站在火柴棍上。

结论是,动物若想长大,支撑体重的腿就必须额外加粗,否则就会被自重压垮。昆虫的腿可以像毛发一样细(可参考 Ent《 [怪物]昆虫怪兽能称霸世界吗?》),而庞然大物——不管是大象、犀牛还是恐龙,腿必然是又粗又壮,猫的骨头只占体重的7%,而大象的骨头占到20%。

下图是三种巨型动物的大腿骨对比——左到右:史上最大的陆地动物阿根廷龙(学名Argentinasaurus,根据为数不多的化石推测,体重超过60吨),大象,人。

即使大象的骨头如此粗,它还是处在岌岌可危的状态。大到这个程度,体重本身就成了一枚定时炸弹,运动能力也受到限制。

浓缩的才是精华

大象可以用鼻子举起250公斤重的木头,考虑到它体型巨大,这个重量只相当于一个人抱起一只猫。小生物的速度和力量,绝对比大动物更令人叹为观止。蚂蚁出去寻粮的运动量,相当于一个人以长跑冠军的速度跑出15公里,然后背回一头整牛。虎甲科的美丽甲虫如果和人一样大,它的奔跑速度会超过300公里/时。

肌肉的强壮度和骨骼一样,是由肌纤维的粗细决定的。如果体重变大,肌肉变粗壮的速度会跟不上体重,看来巨人不仅脆弱,力气也不大。

如果把人缩小到原来身高的1/4,情况就会完全不同。力气减小的速度,比体重减轻慢得多。缩小后他的体重仅剩原来的1/64,肌肉的粗细却是原来的1/16,他的力气也是原来的1/16。假设这个人体重是64公斤,能搬动相当于体重一半的东西,也就是32公斤,现在他体重1公斤,能搬动2公斤——相当于体重两倍的东西。

蚂蚁会让人觉得力大无比,是因为它的相对力量,蚂蚁举起的东西比自身重好几倍,然而,如果把人缩小到和蚂蚁一样,力气也不会比蚂蚁弱。在力量方面,越小越强大。已知所有动物中力量最大的是一种螨虫(学名Archegozetes longisetosus),能拖动相当于自身体重1180倍的重物,它的体长一毫米都不到。

九命猫与春哥鼠

俗话说猫有九命。根据兽医诊所记录,猫跳楼的死亡率大概是10%。一般对此的解释是猫比人灵活,猫可以在空中转成四脚着地的姿势,还可以屈腿来减小冲力,但猫不怕跳楼的主要因素,还是它们的体型,猫比人小太多了。

跳楼的猫除了重力之外,还受到空气的阻力——这个阻力的大小,取决于猫身体的表面能“接”到多少空气,像降落伞一样。

于是我们又遇到了类似骨头粗细的问题。表面是二维的,而体重是三维的,所以体重增长的速度,要快过表面扩大的速度。如果跳楼的不是一只猫,而是一条狗,因为狗的体重远比猫大,能接住空气的表面却不会大太多,结果就是悲剧。一个合格的降落伞应该重量小而面积大,能“兜住”更多空气,在这方面,猫要比狗够格,狗要比大象够格,动物越小越够格——笔者目睹过一只从二楼跳下的兔子,萎靡不振一段时间后死于内伤,小白兔的平衡感毕竟不如猫(请不要在家里尝试该实验)。

生物学家霍尔丹(J.B.S. Haldane)曾经说过,如果你把一只小老鼠顺着管道,扔进一千米深的矿井里,它会愣一愣,随即若无其事地跑掉。但大老鼠会摔死,人会粉身碎骨,马会尸骨无存。

对巨人来说,重力是恐惧和危险的源泉,但对于昆虫来说,重力只是浮云,因为它们微小的体重和大表面,“兜”住的空气阻力足以克服大多数重力。苍蝇可以在天花板上散步,如果你把蚂蚁扔进矿井,它大概是饿死的。

比动物更小的生物根本不知重力的存在。有些细菌体内有细小的天然磁石,起着指南针的作用,指引细菌向北游,这些小东西不是要去北方,而是要下潜到水底寻食——从下面的图可以看出,地球磁场的磁力线其实不是平平地向北,而是略向下倾斜。在巨人看来,细菌的方向感是非常奇特的:知南北而不知上下。人类没有这个问题,是因为我们往下走有重力作先导。

翼若垂天之云

另外一个跟克服重力相关的问题是飞行。飞行需要空气的升力,而承接升力的东西是翅膀,确切地说,是翅膀的表面。

于是,类似猫跳楼的情况又出现了。把小动物变大,它的体重(三维的)会增加很多,翅膀(二维的)表面却增加不了多少,如果大动物想飞,就必须把翅膀额外扩大,来“接住”更多的升力。昆虫凭着玩具般的小翅膀就能飞,蜂鸟这样的小型鸟翅膀也大不了多少,