很久很久以前，有一个地主。地主有一个老管家，当了一辈子仆人，打算告老归田。几十年主仆，也算有点情分。于是地主说，这样吧，你从我这里扯一根线，到我的田里圈一块地，圈多少算多少，全归你。老管家是个神人，眼珠子转了转，说：“你让我扯一根线，那我就扯一根直线吧。直线可不是线段哦，它的长度是无穷大。”哟，地主一惊，这不是要连我家一块儿吞了么。不过所谓道高一尺魔高一丈，他把袖子一捋：“好啊，无穷大就无穷大，但是得我来围。”
怎么围呢？他先画了一个等边六角形，说，这块地有一亩。管家半是好奇地点点头。接着地主把各边的三分之一抹去，换成等长的两条线段：
这样，每条边的长度增加了三分之一。从形状上看，每边多出了一个小号的三角形。然后他在每个新的小三角形上重复同样的步骤，得到了更多更小的三角形。这样不停地重复下去，得到的图案看起来就像一片雪花。
根据地主的规则，把每条边的中间部分抹去，换成两条线段。那么一条边就变成了四条边。像这样：
地主说，如果我永远地进行下去，这片雪花的周长将变成无穷大，里面圈起来的面积都归你。管家大喜过望，永远进行下去，这面积不就永远增加下去嘛！赶快说：“老爷，你一言既出，可不许反悔啊！”地主说，“那当然，该多少是多少。”
咦，这么爽快，难道这里头有猫腻？可不能被他忽悠了啊。管家嘛，精打细算可是看家本领，于是他盘算开了：这个图案有很明显的规律性——每次增长，都是在每条小边上增加一个三角形。那么如果知道总共有几条小边，也就能算出总共增加多少个三角形。嗯，看来，最关键的是找出边数增加的规律。
起始的六角形有12条边，那么第一步得到的新图形就有12×4=48条边，第二步得到的图形就有12×4x4=192条边，接下去就是12×4x4×4条边。。。。所以，从六角形开始，第一次增加了12个三角形，第二次增加了12×4=48个，第三次12×4x4=192个，接下去是12×4x4×4个。。。
太好了，最后就是算出每次增加的三角形的面积，把它们加起来就能算出总面积。这很容易，因为新三角形的边长都是老三角形的三分之一，所以新三角形的面积是老三角形的九分之一。老管家一系列推算的心理活动全在这儿。经过一番心算，他终于得出了面积的计算公式：
啊哈，原来是一个等比数列！等比就是不停地乘上一个相同的比值。老管家一眼就看出来，这个式子就是不停地乘上4/9。他记起高中老师教过怎么算等比数列的和。对于形如
的式子，如果r小于1的话，即使这个数列无限延伸下去，它的和也是有限的，可以用
这个公式算出来。那么，这里a是1/9，r是4/9，所以s就是
。不要忘了起始的那个1，所以总面积就是一又五分之一，即1.2亩。
管家傻眼儿了，费了这么半天劲，原来才一亩二分地啊！是不是搞错了？地主肯定耍花招了，这么下去周长肯定不是无穷大。管家重新检查了一下周长：每次抹去各条边的三分之一，换成两条相同长度的线段，那么就变成了原先的三分之四。每条边增长相同的比例，总周长就也增长到原先的三分之四。如果起始的周长是L，那么第二步就变成 
L，第三步是
L，……，第n步就是
L。管家记得高中数学老师也教过，如果每次都乘上一个大于1的比数，这样永远进行下去，最后的数值就趋于无穷大。也就是说，只要我们不停地让n增加，周长L是没有极限的。
管家这回可懵了。这是个什么怪物，无穷的周长，却只围成一亩二分地！他看了看一脸坏笑的地主，真想一头撞死算了。老大，你牛，你不愧是地主！
当我们的老管家在他的一亩二分地上享受夕阳红的时候，我们再看一眼这个奇妙的雪花吧。你有没有发现，其实它可以是任意的大小？如果开始我们规定六角形的面积是1公顷而不是1亩，那雪花的面积就是1.2公顷。或者如果把六角形缩小成1平方米，那就会得到1.2平方米的雪花。可是，不管面积大还是小，周长永远趋于无穷。奇怪不奇怪？
最后有一个小把戏留给你。这是一个“思想实验”，因为我们不能把有限的一辈子投入到无限的画雪花中去，呵呵。准备好，开始挑战自己的想象力吧。给你一支水彩笔。你能把一个1.2平方分米（巴掌大小）的雪花涂满颜色吗？如果能，你是怎么处理边缘的呢？因为边缘是无穷长的呀？如果不能，那么我保持每分钟涂0.1平方分米的速度，12分钟不就涂完了吗？0.1乘以12明明就是1.2呀？
怎么样，给我一个答案？
好在我们这个世界有托底的,物质不是无限可分的.
第一次写，不知道怎么截断
搞乱版面了，对不起大家啊，gerry帮帮忙吧~~
哈哈，写得真有趣儿，赶紧弄好~
求极限。。。呵呵。。
我想到了一个解决办法：反正面积是恒定的，把1.2平方分米的颜料倒进雪花里，让其自动填满雪花。就像把一定体积的水倒在边界无穷，但体积恒定的容器里一样。既然边界是无穷的，就让面积是流动的。
乱想的，好玩而已，呵呵。
因为小三角形的面积会越来越小，而水彩笔的笔尖面积是一定的，所以存在笔尖面积大于一个小三角形的情况，这样的话，沿边缘前进的方法就行不通了。于是该怎么做呢？本人目前没有想好:(
把边缘涂爆不就行了么。。。涂个大花脸
给婆婆请安
哇，laodu来啦！甭客气了，随便逛哈~
把这个原理应用到海岸线，“我国海岸线长3.2万公里”这个说法就是在扯淡
你只知道有人说过海岸线啥啥的和分形的关系, 却从来没想过怎样量海岸线的. 被科普普到一半的人的 POSE 真好看.
“扯淡”这个词虽然有点严重，但是从原理上讲没有错的。Y.X.，不要这么激动嘛。如果科普不能使人学会用逻辑来争论，而是变成人身攻击，那这普得可真失败。
赞^^
被科普普到一半的人。。。这个用法好华丽啊！
是可以填满的，因为保持恒定填空速度的情况下，越到后来，处理边界的速度会越快，最后处理边界的速度也会成为无限的速度，而且会超过边界增长的速度。
嗯，这个和下面wayt的答案联系起来看，就把问题给解决啦:D
不对,这个六边形边长无限细分后会形成一个新的六边形,面积是1.2倍的正的六边形,所以涂颜料没有问题,就是12分钟
不太准确哦，新形状不是一个六边形~
也给婆婆请安！婆婆是只老松鼠还是小松鼠哇？崇拜一下！
小潘也来啦~~俺是刚出生新鲜小松鼠一只，还是崇拜老松鼠前辈们吧：）
我想明白了答案，最后的问题可以这样说：一个有限的面积内，却可以有无限的周长，因为无论在多么小的二维世界里，都可以容得下无限长的一维线条。
我把问题简化成另外一个问题，就可以理解了，是这样的一个问题：在一个1平方厘米的方块内，我可以画无数条线段，你可以涂满方块，但你怎么描得完无数条的线段呢？
答案就是：作者耍猫腻了——涂色是二维的活动，而线段是一维的。哇哈哈，我答对了，给我奖励，奖励！
是个思路，你把这个悖论换一种方式表达出来了^^
楼上还真能深纠…
我把整张纸涂满颜色就好啦,你又没说不准出界
科学就是要追根逐底啊：）
这……不是问题吧……
有限的步骤可以完成无限的任务的
参考芝诺的：兔子追不上乌龟
我小时候被这个困扰了很久。。。
后来发现这只是一个诡辩而已
兔子当然能追上乌龟啦
但你能解释得清楚吗
我也联想到这个问题！
数学……好可怕
我也觉着类似那个兔子追乌龟的问题：）
也同意wayt的一种思路。
我的思路是：请问婆婆发的水彩笔，笔尖多粗？
给婆婆请安
边缘无穷长是建立在雪花一直保持分裂的前提下吧？那么就涂不完了。婆婆又说的保持每分钟涂0.1平方分米的速度，12分钟涂完是建立在停止分裂的情况下吧？也就是说，12分钟涂完实际上就已经否定了边缘无穷长。
不知道我这样说是不是把这个问题想得太简单了？婆婆指正一下。
婆婆这篇文章一直悬挂在热门区哇！俺来祝贺^-^
明显骗人嘛~双重标准。
周长是趋近于无穷的时候，实际面积也是趋近于1.2，所以根本就没有面积精确等于1.2的雪花，面积应该是1.2+a，而a这个无限小的量就是周长趋近于无穷的那个量。
所以，如果面积精确等于1.2，则周长并不是无穷大，则能涂满；如果周长真的是无穷大到无法处理边缘，则面积实际也不是1.2，用恒定涂速也有个无穷小量涂不完，则不能涂满。
唉，拿个两米的大刷子，一把扫过去不就行了。
这个太明显，另一个龟兔赛跑的更具有代表性和模糊性，建议看看:http://zhidao.baidu.com/question/31104.html?fr=qrl
一个极限理论罢了……
这个 类似海岸线问题 分形几何嘛
我觉得周长和面积一样，并不是无穷大，因为虽然边的数量总是在增加，但是增加的值却越来越趋近于无穷小，所以。。最后的周长也是可以算出来范围的
对不起，上边我说的有误，理解错了。边长是无穷大的，但是围成的图形最后是否会有重合的面积呢？
答案是没有，呵呵
把颜料实现涂抹在一块面积大于雪花的板子上，然后盖下去就可以了。反正只要求涂满，没说不能溢出。
这不是2002年全国高中数学联赛的一道题吗？！嘿嘿，我是学生我做过的……
面积Sn=8/5-[(4/9)^n]×5÷3 (以等边六角形面积为S1)
limSn=8/5
关于第二个问题，我想楼主把大家引入了一个误区：涂色是对面积进行累加，而边长的无上限是长度上的无穷，二者显然不能通过简单的累计进行比较。
[...] 看这片雪花：美丽外表下的大怪物？(39) [...]
初中的时候，看过一本物理科普书，好像叫趣味物理，特别棒，好像是德国人还是苏联人写的。里面就有这个问题。还记得里面介绍了一个与之类似，但是更难理解的一个问题：时间是是不是连续的？用来一只箭做比喻。具体忘了，唉唉，再次证明我不适合搞数学和物理。
好像是那个“飞矢不动”的悖论，就是一支箭不可能同时既在这里又在那里，那它在任何一个时刻都应当有一个确定的位置；
如果说在所有时刻都是固定的位置，那它就是一直静止的了？
涂出格一点
是可以以这样的速度涂下去，但是不不能确定着每分钟的0.1是涂在哪0.1上。
以无厚入有间，指涂颜色
这里不错啊。
可以科普下我这个‘科普到十分之一的人’。
嘻嘻
和大家的答案差不多，还是挺好玩的，我的涂法是大笔能够一下子把一分再分的分形的图形覆盖住，而不必沿着它的无限周长来画。
0.1平方分米/分钟的涂色速度对于边长趋近无穷而面积趋近于定值的雪花的不断生成的小三角形（达到一定程度以后）是无穷大的，而且>>面积增长速度。
初有点像兔子追乌龟的悖论，但仔细一想如果笔尖的面积算是无穷小，那不管是涂什么形状都是永远涂不完;如果笔尖有面积，那么跟一维的周长线条完全没关联啊！
PS:一堆公式。。。看晕。
一张纸折叠64回它的距离可以达到月球，不信试试
讲了“怎么样”，没说“为什么”，属于“少儿科普”。
“他们喜欢研究大自然，可那是为了欣赏她美丽玄妙的气质，为了大自然美丽的景象，漂亮的形态，绚丽的颜色跟优雅的结构。”
“他们当然是引人喜好，因为充满了少年般的热心，也因为他们会精彩及辛辣的演说，可是对于任何科学进步……
——拉蒙卡哈文章
这条线是介于一维和二维之间的维度。
说的原理挺好，但是故事编的真烂，可以说毫无想象力。看风格，像是参加过下乡的知青，品茶熬夜想出来的。
其实这个问题放在量子的角度来看是没有办法回答的
因为无论什么都是不可能被无限分割的 最小尺度取决于它自身的振荡频率
举一个类似的佯缪，乌龟和兔子赛跑了，乌龟的速度是１ 兔子的速度是１０，兔子就让了乌龟１０米，这样在第一秒的时候 兔子跑了１０米 乌龟前进了１米 他们之间的差距就是１米
把时间单位分割到0.1秒，乌龟前进了0.1米，兔子前进了1米，他们之间还是有0.1米的差距
按照10^-1 递减时间单位的话，那么兔子永远也追不上乌龟，总会差那么一点点
但这可能么，时间不可能被无限划分，长度也不可能被无限划分
类似的例子很多
虽然是思考实验 也要建立在现代数学和量子论、相对论的基础之上
其实龟兔佯缪的骗人把戏在于 时间是无限趋近于兔子追上乌龟的那一瞬间 而不再往前推进的
就是每一次兔子到达乌龟之前所在的位置的时间会越来越短 然后从赛跑开始计时的总时间就越来越趋近于兔子追上乌龟的那一刻
我们在这个佯缪里 始终是局限在这一段时间里看赛跑
换句话说 这个佯缪实质上是说：“在兔子追上乌龟之前 兔子永远也追不上乌龟”
这显然是句废话
兔子追不上乌龟的原型是古希腊哲学家芝诺的＂阿基琉斯追不上乌龟＂的悖论。
我们当然可以用数学无穷级数来算出来追上的时候需要多长时间，然而数学实际是在回答：假如能追上，我告诉你需要多长时间。
这位朋友的答案也类似，预设了已经追上的情景，再回答理由。
而芝诺的问题在于：凭什么能追上？
芝诺同学并非不懂常识，他提出这个问题只是为了证明其辩论对手盲目追捧”运动”的荒谬。
其实这个悖论最好的答案应该来自量子物理:时间和空间并非无限可分。
一点想法，可能有些片面，欢迎大家继续探讨，真理越辩越明。
不少人还未真识分形几何的“庐山真面目”
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[1][2]指出分形几何中的“柯赫雪花”是等边无穷多边（角）形。然而有不少人说作者不对。理由是与书本说的不一致。这些人不是以活生生的事实为准而是以死的书本为准。
科普大师 约翰&8226;葛瑞本一眼看出：“…就会得到由无限小的V形棱角所构成的柯克曲线，”（约翰&8226;葛瑞本著，张宪润译《深奥的简洁》091页，湖南科技出版社，2008-10）不少人（包括书作者）不知道这一真相，反映其还未真正认识这类图像的“庐山真面目”。
参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是“疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
电联:13178840497，
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某些人还还根本不懂分形几何学
李炳铁说：“分形几何学上的V形棱角构成圆弧，_”_______说明李先生被严重误导了！60度的V形棱角是绝对不可构成圆弧的！李先生还根本不懂分形几何学啊！
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=49158
分形几何有重大误解：将折线与曲线混为一谈
黄小宁
（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
曲线（弧线）与折线是有根本区别的。若有人说正方形、☆及其它多边
（角）形闭折线是闭曲线，就一定会被人们认为是缺乏起码数学常识而将曲
线与折线混为一谈。
[1][2]指出分形几何中的“柯赫雪花”是等边无穷多边（角）形，即是
闭折线而非闭曲线。不少编书者都有此清醒的认识，例如科普大师 约翰•葛
瑞本一眼看出：“…就会得到由无限小的V形棱角所构成的柯克曲线，[3]”
又例如“…，按上述方法生成的雪花呈多角形，… [4]”。
不少人（包括分形几何之父）不知道这一真相，反映其还未真正认识这
类图像的“庐山真面目”,对这类图像的认识有重大误解。
这就使人很自然地误以为“分形几何学上的V形棱角构成圆弧”
（http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=49158）。其实V形棱
角是绝对不能构成弧线的。同理，数学史上的“存在连续但没有切线的曲线”
是将折线与曲线混为一谈的重大误解。
参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如
{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是“疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百
年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]约翰•葛瑞本著，张宪润译，深奥的简洁[M]，湖南科技出版社，
2008.10：091。
[4]孙丽华、张魁元主编，工科数学基础（第2版）上册[M]，高等教育
出版社，2004.12：56.
电联:13178840497，
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
好难划呀！！！