很久很久以前，有一个地主。地主有一个老管家，当了一辈子仆人，打算告老归田。几十年主仆，也算有点情分。于是地主说，这样吧，你从我这里扯一根线，到我的田里圈一块地，圈多少算多少，全归你。老管家是个神人，眼珠子转了转，说：“你让我扯一根线，那我就扯一根直线吧。直线可不是线段哦，它的长度是无穷大。”哟，地主一惊，这不是要连我家一块儿吞了么。不过所谓道高一尺魔高一丈，他把袖子一捋：“好啊，无穷大就无穷大，但是得我来围。”
怎么围呢？他先画了一个等边六角形，说，这块地有一亩。管家半是好奇地点点头。接着地主把各边的三分之一抹去，换成等长的两条线段：
这样，每条边的长度增加了三分之一。从形状上看，每边多出了一个小号的三角形。然后他在每个新的小三角形上重复同样的步骤，得到了更多更小的三角形。这样不停地重复下去，得到的图案看起来就像一片雪花。
根据地主的规则，把每条边的中间部分抹去，换成两条线段。那么一条边就变成了四条边。像这样：
地主说，如果我永远地进行下去，这片雪花的周长将变成无穷大，里面圈起来的面积都归你。管家大喜过望，永远进行下去，这面积不就永远增加下去嘛！赶快说：“老爷，你一言既出，可不许反悔啊！”地主说，“那当然，该多少是多少。”
咦，这么爽快，难道这里头有猫腻？可不能被他忽悠了啊。管家嘛，精打细算可是看家本领，于是他盘算开了：这个图案有很明显的规律性——每次增长，都是在每条小边上增加一个三角形。那么如果知道总共有几条小边，也就能算出总共增加多少个三角形。嗯，看来，最关键的是找出边数增加的规律。
起始的六角形有12条边，那么第一步得到的新图形就有12x4=48条边，第二步得到的图形就有12x4x4=192条边，接下去就是12x4x4x4条边。。。。所以，从六角形开始，第一次增加了12个三角形，第二次增加了12x4=48个，第三次12x4x4=192个，接下去是12x4x4x4个。。。
太好了，最后就是算出每次增加的三角形的面积，把它们加起来就能算出总面积。这很容易，因为新三角形的边长都是老三角形的三分之一，所以新三角形的面积是老三角形的九分之一。老管家一系列推算的心理活动全在这儿。经过一番心算，他终于得出了面积的计算公式：
啊哈，原来是一个等比数列！等比就是不停地乘上一个相同的比值。老管家一眼就看出来，这个式子就是不停地乘上4/9。他记起高中老师教过怎么算等比数列的和。对于形如
的式子，如果r小于1的话，即使这个数列无限延伸下去，它的和也是有限的，可以用
这个公式算出来。那么，这里a是1/9，r是4/9，所以s就是
。不要忘了起始的那个1，所以总面积就是一又五分之一，即1.2亩。
管家傻眼儿了，费了这么半天劲，原来才一亩二分地啊！是不是搞错了？地主肯定耍花招了，这么下去周长肯定不是无穷大。管家重新检查了一下周长：每次抹去各条边的三分之一，换成两条相同长度的线段，那么就变成了原先的三分之四。每条边增长相同的比例，总周长就也增长到原先的三分之四。如果起始的周长是L，那么第二步就变成 
L，第三步是
L，……，第n步就是
L。管家记得高中数学老师也教过，如果每次都乘上一个大于1的比数，这样永远进行下去，最后的数值就趋于无穷大。也就是说，只要我们不停地让n增加，周长L是没有极限的。
管家这回可懵了。这是个什么怪物，无穷的周长，却只围成一亩二分地！他看了看一脸坏笑的地主，真想一头撞死算了。老大，你牛，你不愧是地主！
当我们的老管家在他的一亩二分地上享受夕阳红的时候，我们再看一眼这个奇妙的雪花吧。你有没有发现，其实它可以是任意的大小？如果开始我们规定六角形的面积是1公顷而不是1亩，那雪花的面积就是1.2公顷。或者如果把六角形缩小成1平方米，那就会得到1.2平方米的雪花。可是，不管面积大还是小，周长永远趋于无穷。奇怪不奇怪？
最后有一个小把戏留给你。这是一个“思想实验”，因为我们不能把有限的一辈子投入到无限的画雪花中去，呵呵。准备好，开始挑战自己的想象力吧。给你一支水彩笔。你能把一个1.2平方分米（巴掌大小）的雪花涂满颜色吗？如果能，你是怎么处理边缘的呢？因为边缘是无穷长的呀？如果不能，那么我保持每分钟涂0.1平方分米的速度，12分钟不就涂完了吗？0.1乘以12明明就是1.2呀？
怎么样，给我一个答案？
是可以以这样的速度涂下去，但是不不能确定着每分钟的0.1是涂在哪0.1上。
以无厚入有间，指涂颜色
这里不错啊。
可以科普下我这个‘科普到十分之一的人’。
嘻嘻
和大家的答案差不多，还是挺好玩的，我的涂法是大笔能够一下子把一分再分的分形的图形覆盖住，而不必沿着它的无限周长来画。
0.1平方分米/分钟的涂色速度对于边长趋近无穷而面积趋近于定值的雪花的不断生成的小三角形（达到一定程度以后）是无穷大的，而且>>面积增长速度。
初有点像兔子追乌龟的悖论，但仔细一想如果笔尖的面积算是无穷小，那不管是涂什么形状都是永远涂不完;如果笔尖有面积，那么跟一维的周长线条完全没关联啊！
PS:一堆公式。。。看晕。
一张纸折叠64回它的距离可以达到月球，不信试试
讲了“怎么样”，没说“为什么”，属于“少儿科普”。
“他们喜欢研究大自然，可那是为了欣赏她美丽玄妙的气质，为了大自然美丽的景象，漂亮的形态，绚丽的颜色跟优雅的结构。”
“他们当然是引人喜好，因为充满了少年般的热心，也因为他们会精彩及辛辣的演说，可是对于任何科学进步……
——拉蒙卡哈文章
这条线是介于一维和二维之间的维度。
说的原理挺好，但是故事编的真烂，可以说毫无想象力。看风格，像是参加过下乡的知青，品茶熬夜想出来的。
其实这个问题放在量子的角度来看是没有办法回答的
因为无论什么都是不可能被无限分割的 最小尺度取决于它自身的振荡频率
举一个类似的佯缪，乌龟和兔子赛跑了，乌龟的速度是１ 兔子的速度是１０，兔子就让了乌龟１０米，这样在第一秒的时候 兔子跑了１０米 乌龟前进了１米 他们之间的差距就是１米
把时间单位分割到0.1秒，乌龟前进了0.1米，兔子前进了1米，他们之间还是有0.1米的差距
按照10^-1 递减时间单位的话，那么兔子永远也追不上乌龟，总会差那么一点点
但这可能么，时间不可能被无限划分，长度也不可能被无限划分
类似的例子很多
虽然是思考实验 也要建立在现代数学和量子论、相对论的基础之上
其实龟兔佯缪的骗人把戏在于 时间是无限趋近于兔子追上乌龟的那一瞬间 而不再往前推进的
就是每一次兔子到达乌龟之前所在的位置的时间会越来越短 然后从赛跑开始计时的总时间就越来越趋近于兔子追上乌龟的那一刻
我们在这个佯缪里 始终是局限在这一段时间里看赛跑
换句话说 这个佯缪实质上是说：“在兔子追上乌龟之前 兔子永远也追不上乌龟”
这显然是句废话
兔子追不上乌龟的原型是古希腊哲学家芝诺的＂阿基琉斯追不上乌龟＂的悖论。
我们当然可以用数学无穷级数来算出来追上的时候需要多长时间，然而数学实际是在回答：假如能追上，我告诉你需要多长时间。
这位朋友的答案也类似，预设了已经追上的情景，再回答理由。
而芝诺的问题在于：凭什么能追上？
芝诺同学并非不懂常识，他提出这个问题只是为了证明其辩论对手盲目追捧"运动"的荒谬。
其实这个悖论最好的答案应该来自量子物理:时间和空间并非无限可分。
一点想法，可能有些片面，欢迎大家继续探讨，真理越辩越明。
不少人还未真识分形几何的“庐山真面目”
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[1][2]指出分形几何中的“柯赫雪花”是等边无穷多边（角）形。然而有不少人说作者不对。理由是与书本说的不一致。这些人不是以活生生的事实为准而是以死的书本为准。
科普大师 约翰&8226;葛瑞本一眼看出：“...就会得到由无限小的V形棱角所构成的柯克曲线，”（约翰&8226;葛瑞本著，张宪润译《深奥的简洁》091页，湖南科技出版社，2008-10）不少人（包括书作者）不知道这一真相，反映其还未真正认识这类图像的“庐山真面目”。
参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是“疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
电联:13178840497，
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某些人还还根本不懂分形几何学
李炳铁说：“分形几何学上的V形棱角构成圆弧，_”_______说明李先生被严重误导了！60度的V形棱角是绝对不可构成圆弧的！李先生还根本不懂分形几何学啊！
http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=49158
分形几何有重大误解：将折线与曲线混为一谈
黄小宁
（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
曲线（弧线）与折线是有根本区别的。若有人说正方形、☆及其它多边
（角）形闭折线是闭曲线，就一定会被人们认为是缺乏起码数学常识而将曲
线与折线混为一谈。
[1][2]指出分形几何中的“柯赫雪花”是等边无穷多边（角）形，即是
闭折线而非闭曲线。不少编书者都有此清醒的认识，例如科普大师 约翰•葛
瑞本一眼看出：“...就会得到由无限小的V形棱角所构成的柯克曲线，[3]”
又例如“...，按上述方法生成的雪花呈多角形，... [4]”。
不少人（包括分形几何之父）不知道这一真相，反映其还未真正认识这
类图像的“庐山真面目”,对这类图像的认识有重大误解。
这就使人很自然地误以为“分形几何学上的V形棱角构成圆弧”
（http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=49158）。其实V形棱
角是绝对不能构成弧线的。同理，数学史上的“存在连续但没有切线的曲线”
是将折线与曲线混为一谈的重大误解。
参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如
{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是“疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百
年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]约翰•葛瑞本著，张宪润译，深奥的简洁[M]，湖南科技出版社，
2008.10：091。
[4]孙丽华、张魁元主编，工科数学基础（第2版）上册[M]，高等教育
出版社，2004.12：56.
电联:13178840497，
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
好难划呀！！！