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发表于 2011-01-21 12:00 | Tags 标签:, ,

人们最初产生了自然数 1, 2, 3, ...... 的概念,后来产生了 0 和负数的概念。这些概念虽然已经成为最简单的常识,但它们实际上是非常抽象的概念。人类可能已经进化出了理解这一类抽象概念的基因,这才使得 ”学习数字“ 成为很简单的事情。这种把具体而复杂的事物抽象为简单概念的过程,就是 ”数学“ 这门学科的发展过程。而到了21世纪,人们已经开始反思,这个过程是否过多地隐藏了世界呈现给我们的重要信息?我们也许应该从抽象的数学对象和它们之间简单的相互关系返回到它们所代表的、更为复杂丰富的事物及其相互关系。这就是本世纪数学界所谓 “范畴化” 浪潮。这是一点题外话,可能是另一篇帖子的主题。现在我们开始谈谈“数”。

引进 0 和负数自然有很多历史的理由,但从抽象的观点来说,可以理解成是为了使 “减法” 对任意选取的两个自然数有意义。同理,引进 “分数” 是为了使 “除法” 对任意选取的两个自然数有意义。负数概念和分数概念使我们有了最 “自然” 的所谓 “数系”,所有 “有理数”。在这个数系里,可以几乎自由地做 “加、减、乘、除” 运算。古希腊的毕达哥拉斯学派曾经认为有理数就是所有的宇宙奥秘。从数学的角度来说,这几乎是对的。其它一切 “数” ,进而大多数数学对象,都可以认为是从有理数系里面衍生出来的,而且是纯粹思维的产物。只有有理数是现实中 ”可见“ 的,或者说,”可操作“ 的。

发现无理数的过程大家可能都听说过,最初认识到有理数之外的数可能存在的人遭到了毕达哥拉斯学派 ”卫道士“ 们的血腥屠杀。但是历史的洪流是任何力量阻挡不了的,无理数还是迅速在人类的思维中占有了一席之地。从有理数系到实数系的扩展已经是更抽象的数学过程,大学里只有两三个非常依赖数学的专业才要求掌握其严格表述。直观上看,从有理数到实数可以看作一个从有限到无限的扩展。我们小学就已经学到了 ”循环小数“ 和 ”无限不循环小数“。有限长度的小数和循环小数都可以看作某种程度上有限的东西(至少可以用有限的表达式表示),而无限不循环小数是真正无限的东西,本质上是不可操作的、纯思维的对象。所有的小数构成了实数系。

通常大家认为,复数是比实数更复杂的东西。但事实并非如此。有些复数比有些实数要简单得多。比如,虚数单位 i 就比圆周率 π 要简单得多。 i 就是二次方程 x2+1 = 0 的一个解。而这个方程的系数特别简单。圆周率 π 是某个系数为有理数的多项式方程的解吗?不是。但要证明这一点却不容易。可以看到,像虚数单位 i 这种数可以从整数出发经过有限的、可操作的步骤扩展出来(列出一个方程,然后定义 ”新的数“ 为此方程的解,即,这个方程就是这个新定义的数满足的全部关系,从而可以作为这个 ”数“ 的定义。比如,我们所要知道的关于虚数单位 i 的全部信息就是 i2+1=0, 有了这个关系,我们就可以自由地使用它了。)显然,被称为 ”平方根“、”立方根“ 的那些数都是如此定义的。就像 √ 2 这个符号,它只是个抽象的符号而已,其实我们只知道并且只需要知道它的平方等于 2.

我们现在看到一种可操作的产生新数的办法,它不同于以往产生新数的办法,以往是为了让旧有的数之间直接的 ”运算“ (减法、除法)总是有意义而产生的新数,而现在这种办法是为了我们总能解出以旧有的数为系数的 ”多项式方程“ 而产生的新数。以有理数为系数的多项式方程的解称为 ”代数数“。虚数单位就是一个 ”代数数“,整数的平方根也是 ”代数数“。代数数之间同样可以自由进行加减乘除运算,同时,还可以自由进行开方、解代数方程的操作。这种产生新数的办法一旦建立,其威力无穷。古希腊尺规作图三大难题马上就有了结论。

尺规作图,咱们中国古人从来不计较什么规矩。这里规矩应该加引号,因为规矩本来就是指圆规和两把互相垂直钉在一起的尺(一把叫勾,一把叫股)。所以按照原意,咱们中国古人作图还是有 “规矩” 的。咱们的 “规矩” 上面画满了刻度,作起图来好用得很。当时的西方人,古希腊人,贫富两极分化太厉害,所以有一部分富人开始瞎想。这又跟如今中国两极分化的情况不同,如今好像是穷人才爱瞎想。再说古希腊人,他们喜欢没有刻度的尺(没有他们这类怪癖就没有现代科学),古希腊人希望用没有刻度的直尺和圆规做以下这三件事:

1. 倍方:给定一个立方体,存在一个大立方体,体积是原来那个的两倍。用尺规作出大立方体的边长。

2. 化圆为方:给定一个圆,存在一个正方形,面积等于这个圆的面积。用尺规作出这个正方形的边长。

3. 三等分角:任给一个角,用尺规把它三等分。

这几个问题合称 “古希腊三大难题”。其实比这几个更难的作图题还有很多,因为这几个看上去特别简单,所以有名。之后大约两千年都没有人能作出来。到了19世纪,终于有个人能够证明三等分角问题是不可解的。值得注意的是, 这个问题不可解, 是指不存在一个作图程序来三等分 "任意" 的角. 有些特殊的角是可以用尺规三等分的, 比如直角.

后来不久,经过两个英年早逝的天才 Abel 和 Galois 的工作,人们了解到这三个问题有共同的背景------数域的扩张。“ 域”,简单的说就是一些可以做加减乘除的东西放在一起组成的集合,条件是,四则运算的结果必须还在这个集合里。全体自然数不是一个域,因为两个自然数的差就不一定是自然数了;全体整数也不是一个域,因为除法的结果不一定是整数。全体有理数组成一个域 Q, 全体实数组成一个域 R, 全体复数组成一个域 C.

还能有些什么域?比如所有这种数: a+b√3 其中 a, b是有理数,就组成一个域,因为这些数加减乘除以后还是这种形式。这个域比有理数域大. 大多少?可以用 “次数” 来衡量------每个这种数需要两个有理数来表示,所以扩张次数是2。这是域扩张的最简单的例子。望文生义,域扩张就是把一个域扩大到更大的一个域。

再看这个扩张:要找一个域,包含有理数以及 1 的某个立方根 w. 现在所有 a + bw就不够了。要对乘法封闭,必须包含w2. 所以这个域的每个数都写成 a + bw + c w2 , 其中 a,b,c 是有理数. 这个在有理数域上的扩张的次数是 3 次。

现在来看尺规作图与域的扩张之间的关系。用尺规可以做两条互相垂直的直线,然后可以把两条直线标上刻度 (用圆规),然后把这个刻度拓展到全平面得到方格点。把这些格点看成坐标是整数的点。然后所能做的事情是,连接两个格点得到一条直线,或者以某个格点为中心,以到另一格点的距离为半径画圆。这些直线和圆的方程的系数都是整数(至少是有理数). 它们之间的交点由解方程组得到。初中数学告诉我们,这些交点的坐标要么是有理数,要么是一些二次方根和有理数做四则运算的结果 (因为圆方程是二次的)。比如直线 x=y 和圆 x2+y2 = 1 的交点就是( √2 /2,√2 /2 ). 在这些交点的基础上再用尺规作图,交点的坐标应该是一些二次方根里面套二次方根的数,比如

  _______
3+5 √ 7 .

这个事实在代数上的意义就是,尺规作图所得交点的坐标,处在有理数域的某种扩张之中。这种扩张的性质是由圆方程的二次性质决定的,即,除去四则运算以外只有累次开平方运算。更准确的说法是,这些交点的坐标, 作为一个数, 满足很多系数是有理数的方程,这些方程中次数最低的那个, 其次数一定是2 的乘方,1, 2, 4, 8, 16, ... 。比如这个数

  _______
3+5 √ 7 .

满足的有理系数代数方程中次数最低的一个是 (x2 -3)2 = (5 √ 7 )2 = 175. 其次数为 4.

现在很快就能解释倍方问题为什么不可解:倍方问题相当于要作出 2 的 "立方根" 3 2 ,它满足的次数最低的有理系数方程是 3 次的( x3 = 2). 根据上面的分析,尺规作图不可能做出这样的数。

三等分角问题还要费一番周折。作出一个角,等价于作出这个角的某个三角函数,比如余弦。一个角 θ 的余弦和它的三等分角 θ/3 的余弦之间的关系是一个三次关系 cos(θ)=4 cos3(θ/3)-3 cos(θ/3) . 等式左边是已知的,所以这个关系是关于三等分角余弦的一个3次有理系数方程。这里可能需要一点小技巧来证明对于一般的角 θ 这个方程就是要求用尺规作出来的那个数满足的次数最低的有理系数方程。这样,根据以前的分析,这个 cos(θ/3) 不可能用尺规做出来。在一些特殊情形, 比如 θ=90度, cos(θ)=0, 两边消去 cos(θ/3), 可知现在 cos(θ/3) 满足一个二次方程。之前的分析并不能排除用尺规作出这个角(30度)的可能。实际上,直角的确可以用尺规三等分。

化圆为方问题就更复杂,涉及到圆周率 π 这个数到底满足一个什么样的有理系数方程。可以证明 其实不满足任何有理系数方程。这种数有个名字,超越数。尺规是作不出超越数来的,所以化圆为方是不可能的。

总结:有理数系在 “域的扩张” 这种有限的代数操作下产生新的数,包括一些有理数构成的根式。它们放在一起组成一个新的数系(而且是一个 “数域”,即可以进行加减乘除运算),称为 “代数数”。有理数域和代数数域之间存在很多中间域,比如所有尺规作图能作出来的数组成的域。

下一集我们来看看另一种由有理数产生新数的办法 ------ 赋值完备化。实数就是这么产生的。还会看到一些非常奇怪的数 (p-adic 数) 也是这么产生的。在数论研究中这些数尤其重要。

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60 Responses to “数的创生(一)方程的解”

  1. gildor说道:

    大赞!看完了感觉甚为透彻

  2. Mine说道:

    这样的文章很赞!期待后续的篇章~
    不知道会不会看到集合论对数的描述?

  3. sopp说道:

    什么时候超实数也能放到初中课本讲就好了
    0不能做除数这种规定太烦人了

    • views63说道:

      这不可能吧。超实数可是非标准分析里面的,这东西好像现在都很少人提了。

    • 姬如说道:

      你以为初中生都是天才啊,0不能做除数这种规定都还有人搞不清楚的。还提超实数

  4. zhang3说道:

    这篇非常非常好,深入而且浅出,相当的有料,期待后续。

  5. hahahaha说道:

    我们的数论老师就是做p-adic表示的。。。。

  6. Sheldon说道:

    终于了解到几何和代数的联系了

  7. 王伟成说道:

    季候风来了,话说这个在《数学之旅》上看到了……

  8. 戏言说道:

    看来身为理科生的我把数学全部还给老师了……

  9. trustno1说道:

    数系的扩张如果从等价类来阐述会更加清晰一些。除了从皮亚诺公里定义或者基数定义的自然数集合之外,任何其他的数系,都可以看作是自然数集笛卡尔积的某种等价类。换一种说法,任何一个数都可以看成一个集合,这个集合中的对象是某种算法。比如说,什么是-3?就是这样一个集合{(x,y)|x+3=0+y}; 比如说什么是1/3? 1/3是这样一个集合{(x,y)|x*3=1*y}.
    这些集合中的对象都可以看成是某种程序。对于负数,有理数来说,这种方法可能感觉非常的无趣。如果进入到实数系统的话就会清晰很多,比如说什么是√ 2 ?实数系可以通过极限或者戴德金分割定义,其实两者等价。以极限的定义为例,按白话说,√ 2 等于一组程序。对于其中的任何一组程序,我可以输入一个要求的精度,然后他会返回给我一个结果x,这个值在我要求的精度上使得x*x=2。任何两个不同的程序,输入相同的精度,他们返回值相同。于是√ 2 等于所有能完成这种任务的程序集合.当然不同的程序执行的快慢不同,有些程序10步以内能得出结果,有些程序就要几亿步才能完成。这就是极限的收敛速度。比如说Jhon Carmark那个著名的快速开方函数就是一例.

    实则上数不是其他,就是一系列算法。

    • 石头说道:

      数不是其他,就是一系列算法 --- 很是赞同

      • 犹豫的迷数女生说道:

        数是一个集合,大体可以理解,就是把数的功能当作数的定义。

        把数当作一个算法,太深奥了。如果不是事先定义数,如何定义算法?数与算法,谁更基本?它们根本是一码事?

  10. tfls说道:

    这个~不是离散数学里学到的,然后又好像有些没见过~是哪门学科啊?

  11. 某高3学生说道:

    _______
    √ 3+5 √ 7 .

    这个事实在代数上的意义就是,尺规作图所得交点的坐标,处在有理数域的某种扩张之中。这种扩张的性质是由圆方程的二次性质决定的,即,除去四则运算以外只有累次开平方运算。更准确的说法是,这些交点的坐标, 作为一个数, 满足很多系数是有理数的方程,这些方程中次数最低的那个, 其次数一定是2 的乘方,1, 2, 4, 8, 16, … 。比如这个数

    此段不懂。、。。。。

    • views63说道:

      等你学了近世(抽象)代数就明白了。

    • trustno1说道:

      他的意思是,尺规做图,在直角坐标系上只能表示为圆或者直线,直线的方程是一次的,圆的方程是2次的.这个你高三应该都学过把。那么使用尺规做图,就是让不同的直线和不同的圆求交点.在代数上就表示为不同的二次和一次方程联立起来求解.比如一个圆跟一跟直线相切,也就是要求圆方程和直线方程的联立求解的实数解唯一。这个你们高三解析几何应该学过对吧。那么再进一步说在一个圆A的边界上取一点做圆心心,做另外一个圆B, 如果A的方程是 x^2+y^2=1, 边界上的某一点为
      _____ ____
      (x',√1-x'^2),做半径为1的圆是(x-x')^2+(y-√1-x'^2)^2=1 展开可以得到,
      _____ _______________
      x^2-2xx'+y^2-2y√1-x'^2=0。用求根攻势,x=x'+/-√x'^2-y^2+2y√1-x'^2. 这是类似
      _______
      √ 3+5 √ 7 这样根号套根号的方程。反过来说如果要用x来表示x',那么x的次数一定是四次方。也就是说如果一直用圆规做图,得到的方程的次数总是2的幂。

      • Metaverse说道:

        刚想提问“……在这些交点的基础上再用尺规作图”是什么意思,看了这段明白了,THX。。。

  12. biohu说道:

    好文!

  13. 路人甲说道:

    "只有有理数是现实中 ”可见“ 的,或者说,”可操作“ 的。"

    这里“可见”和“可操作”的定义是?

  14. adu说道:

    现在的高中生真幸福,能在网上看到各种好文章。

  15. 怎么赚钱说道:

    学习数字“ 成为很简单的事情。这种把具体而复杂的事物抽象为简单概念的过程,就是 ”数学“ 这门学科的发展过程

  16. qingterbao说道:

    感觉学习伽罗瓦理论的学生,应该有必要先看看像这样的介绍

  17. ZnO说道:

    现在的数学书这样写就好了。想自学一点泛函神马的,结果所有的书都吝惜于多加一个字的解释。定理+纯数学例证,理解起来效率太低了。希望能有像本文一样的数学书,从思想的轨迹和实际需要出发,系统地介绍相关数学知识。

    • 123说道:

      推荐《什么是数学》
      这些问题都讲的很透彻,而且很好。

  18. 周雨说道:

    深入浅出,难得的好文,最近松鼠会写的最好的一篇。

  19. 说道:

    现在才理解为什么牛顿的巨著《数学原理》都是用几何证明的了。

  20. zmn0079说道:

    文科生表示完全看不懂,有没有简单一点的入门材料推荐

  21. 吼海雕说道:

    古希腊的富人闲着没事瞎想想出了现代数学,我们瞎想能想出什么……

  22. 大笨猫同学说道:

    期待下集。

  23. 石头说道:

    “最初认识到有理数之外的数可能存在” 这里“存在”的定义是什么?

    我认为无理数只是一套逻辑游戏中的存在,未必是物理现实的存在,即任何物理测量或物理感知都不能证明无理数的存在。

    整数是物理存在的:我们可以数出1、2、3头羊
    分数(有理数)也是物理存在的:我们可以对线段进行分割。

    而无理数的物理存在需要先证明“无限”的物理存在,后者是不可能的。毕竟向上,宇宙是有限的,向下则微观世界有测不准原理。

    • kk说道:

      物理世界中也没有绝对的直线、平面、正方形、圆
      可以这么说,数学,至少分析和代数是纯理念的。

      • 石头说道:

        是的,我也持这种理解。因此,数学中的“存在”都是定义出来的。比如,整数经过一系列自乘和加减法后一定可以等于0(如对x=2,x^3+x-10=0)。因此,任何整数都是某个整系数多项式的根。我们很想扩展这个结果:【任意多项式的根也是一个“数”】,为了这个目的,无理数、复数就必须存在。

  24. Thomas说道:

    原来一直在想为什么这三个问题不可解,今天终于看到了浅显易懂的答案,赞一个!!!

  25. UCC说道:

    圆周率 π 是某个多项式方程的解吗?不是。
    ================================
    π 显然是 x - π = 0 的解。正确说法是,π不是有理系数多项式方程的解。

  26. 犹豫的迷数女生说道:

    我读懂了。有季大哥写文章是松鼠们福气。季大哥的讲解能力真是好强喔。

  27. 谈泊说道:

    有几何中的尺规作图问题,一百多年来很多人都认为一些难题被“解决”了。在我国,长达几十年的时间里,不断有人声称他“破解”了这些难题。这是为什么?这种对立说明了什么问题?当人们弄清楚持--一些难题被“解决”了——的理论时,一定会明白,为什么在那么长的时间里会出现声称他“破解”了这些难题的人。 (1)什么样的角能三等分?“有理数数域的二次扩充的数”的理论能支持这个角可以三等分。(2)为什么可以二等分一任意角?“实数数域的二次扩充的数”的理论能支持可以二等分一任意角。不用说,“有理数数域的二次扩充的数”与“实数数域的二次扩充的数”的逻辑概念是有区别的。这个混乱的逻辑理论造就了不断出现声称他“破解”了这些难题的人。这个混乱的逻辑理论正以“数域的二次扩充”的语言误导、愚弄着中学生们(可网上查阅“高中选修3-6三等分角与数域扩充”)。尺规作图还是一个有用的数学内容,它是可以继续研究探索的。

  28. [...] 上篇请见《数的创生(一)方程的解》 [...]

  29. zhang说道:

    在平面上解决不了问题,在三维空间用尺规也许可解。

    • Truman说道:

      嗯,我也这么认为,在三位空间,尺规可以做出任意有理数的三分之一次方,如3^1/3.但在平面做不出这个数。

      • FancyMouse说道:

        立方体的对角线是3^(1/2)不是3^(1/3)。尺规作图即使放到多维里,每一步操作依然可以看做在尺规所在的平面上的操作。
        鉴于以上两个理由,俺实在不觉得即使放到n维空间里,尺规可以做出来2幂次扩张以外的任何数。
        顺便,俺觉得,尺规作图只能做2幂次扩张的数,它的本质是欧几里得空间的metric定义为L_2模(平方和的平方根),而不是操作在2维空间里。

  30. 三厂口说道:

    学习数论的时候看看会很有帮助,现在很多忘得差不多了

  31. cf说道:

    真棒

  32. cf说道:

    目瞪口呆

  33. evolvemunger说道:

  34. 红楼尘梦说道:

    浅显易懂啊

  35. lery3510说道:

    嗯,顶,话说楼主的更新周期是多长啊

  36. ZKL47说道:

    古代数学非要把代数和平面几何连系在一起,所以对代数抽象性发展是一个坎。但解析几何真正代数几何合二为一,是数学史上一个拐点,恩格斯认为运动的辩证法进入了数学。

  37. Raymond-维刚说道:

    要是学校里都是这种方式的授课该有多好。

  38. 傲览千古说道:

    楼主讨论的数,非常不清楚,还误导了很多围观者。

    数集合,在第一级分类上通常被分为两大性质非常不同的数集:

    1.有限数集
    2.无限数集

    暂且不妨以“自然数集”的第一级分类为例,

    1.有限自然数集
    2.无限自然数集

    楼主的讨论,仅对“无限自然数集合”成立!

    对于“有限自然数集”而言,假如碰巧是素数阶的有限自然数集,那么

    自然数+自然数=自然数
    自然数-自然数=自然数
    自然数×自然数=自然数
    自然数÷自然数=自然数

    比如,N(7)={1,2,3,4,5,6,7}

    3+4=7,5+6=4,2-7=2,2-6=3,1÷3=5,……,等等。

    除了该自然数的阶数7之外,任何两个自然数都可以“加减乘除”,最后所得的数,都是该集合中的正整数。直言之,对于任何素数阶的有限自然数集(即集合的基数或者势碰巧等于素数的自然数集合),任意“加减乘除”都是是闭合的,即解集就是本集。

    假如“有限自然数集”不是素数阶的有限自然数集,那么该集合至少对于“除法”,必定无法闭合!换言之,解集超出了非素数阶的该自然数集合。

    这里,我们就能看到素数的一个非常重要性质:即任何一个素数阶的“有限自然数集”,一律对“加减乘除”的运算是闭合的。从而能够形成一种“有限素数代数学”和“有限素数几何学”。

  39. 傲览千古说道:

    “有限素数几何学”就是“毕达哥拉斯几何学”中的一个重要分支学科之一

  40. 傲览千古说道:

    对于任何阶的有限自然数集,减法都不会产生出任何“负数”。对于任何素数阶的有限自然数集,即使是“除法”也不会产生出任何“分数”或者“小数”。古代中国的八卦易经数学,以及天文学,命理学,风水学,编年历史学等等,全是这种有限自然数集的离散数学。

  41. 傲览千古说道:

    对于一个任何阶的有限自然数集而言,它永远都是周而复始的一种有限离散集合。因此,能够将任何一个有限阶的有限自然数集称作为“周期集合”。其中这种有限的自然数集合的阶或者称势,便是该集合最小的整整数,同时也是数集的最小正周期,属于该有限自然数集合的基数。

    我们古代中国部分常见的一些“算术有限离散常整数几何学”的自然数周期集合有:

    0.阴阳(即日月)自然数周期集合:Z(2)={1,2}
    1.天干自然数周期集合:Z(10)={1,2,…,10}
    2.地支自然数周期集合(即十二属相自然数周期集合):Z(12)={1,2,…,12}
    3.历史纪年天干-地支混合自然数周期集合:Z(60)={1,2,…,60}
    4.四方四季四相自然数周期集合:Z(4)={1,2,…,4}
    5.五行自然数周期集合:Z(5)={1,2,…,5}
    6.八卦自然数周期集合:Z(8)={1,2,…,8}
    7.六十四卦自然数周期集合:Z(64)={1,2,…,64}
    8.七星七窍自然数周期集合:Z(7)={1,2,…,7}
    9.二十八宿自然数周期集合:Z(28)={1,2,…,28}
    10.七十二候自然数周期集合:Z(72)={1,2,…,72}
    11.太阴自然数周期集合:Z(30)={1,2,…,30}
    12.太阳自然数周期集合:Z(360)={1,2,…,360}

  42. oldkey_cj说道:

    我看到的最好的一篇数学科普。

  43. paw说道:

    离散里的数论

  44. 刘洪说道:

    你太有才了

  45. 匿名说道:

    涨知识了

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