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以下是laoma对第60期Dr.You实验党问题:如何用便宜的设备验证地球是圆的?的回答。你也可以在论坛找到这个回答的帖子

最直接的验证方法是拍一张地球的照片。自从人类进入太空,宇航员为我们带回了很多圆形的地球照片,你对此一定不陌生。

地球全景照片

第一张地球全景图,照片摄于1972年,当时阿波罗17号航天飞机组脱离地球轨道,飞向月球,背对太阳,宇航员捕捉到一个完美的蓝色星球。
图片提供:美国宇航局 /约翰逊空间中心

如果想亲自拍摄一张足以证明“地球是个球”的照片,就要费点事了。普通照相机是很便宜的设备,4000万美元的商业太空旅行也可以认为是便宜或者不受题目关于“设备价格”的限制,那么我们可以搭乘宇宙飞船,到太空给地球拍照了。

如果评委对以上提议都不认可的话,我们就只能退而求其次,尽可能远离地球表面,在天上拍摄地平线,用弯曲的地平线,来证明地球是圆的。

实验工具:数码照相机,图像编辑软件,飞机票一张
数据采集:在飞行过程中到飞机的窗口拍摄地平线,同时记录飞机飞行的高度。
数据处理:用图象编辑软件打开拍摄的图像,用直线工具连接照片最左端地平线和最右端地平线,在连接线的中点,数一下地平线离开直线的像素个数。

数学分析:

示意图飞机在H点,在地面的投影是A,所以高度是h。在H点,我们向地平线PNQ拍照,在照片中,P、Q分别是照片边缘的地平线交点,M是PQ的中点,N是地平线的中点,N照片上是在M的上面。对于一个照相机,在一定的最广角的放大(zoom)时照相机的视角β是确定的(比如28mm广角代表76度视野),通过地球半径r、飞行高度h、视野角度β可以计算∠NHM,进而计算出照片上NM之间的像素个数。
通过计算我们得到

公式通过分析NM之间的像素与h、r的关系,我们可以进一步了解地球圆形的性质。

像素-地球半径关系地球半径越大,拍出来的地平线越是不弯曲

高度-像素关系飞得越高,拍出来的地平线越是弯曲

最近我没有乘飞机,拿一张以前的照片看看,由于没有记录飞行高度,不能拿来计算地球半径。不过反推出来,飞机的高度大约2千米。

飞机上拍的地面

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沐右的点评:

我对这个答案很欣赏这个还不错,虽然这个方法不一定便宜,但是是非常有创意的,而且有完整正确的理论计算。其实好好展开一下的话完全可以媲美那个湖上面的太阳。这个方法其实在山上也可以的。

另外这个过程实际上受地形的影响比较大,不如水面理想,而且飞机离地面的高度不好估计,为了避免当地海拔的影响,可能在飞在大海上的飞机上更合适。

还要保证照片上地平线保持水平,或者计入照片上地平线和照片横向的夹角,否则beta角的值意义就不大了。

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15 Responses to “[Dr.You第60期获奖答案]用照片测地球半径”

  1. Yang Cui说道:

    这里作者忽略了一个很重要的问题。照相机的镜头都不是完美的,尤其是普通数码相机的镜头,并且文中作者还提到这是个28mm的镜头,广角镜头的畸变是很大的,在没有对广角畸变进行校正前,计算出来的地球半径是不够准确的。在这个问题中,镜头畸变导致的测量误差应该不是一个可以忽略的误差来源。当然如果真的要考虑镜头畸变带来的影响的话,恐怕设计的数学工具就远超出本文的讨论范围了。

    • jamesr说道:

      的确如此

    • laoma说道:

      的确如此
      但是如果把地平线放在照片中间的水平线上的话,MN很小,如果认为照片中心畸变很小的话,可以忽略广角的误差。

      • laoma说道:

        不对,如果畸变,NM和PQ没有线性关系,还是要校准。

    • laoma说道:

      用excel做了一个方格,用原来的照相机对着计算机拍了一张照。
      算出来一共有23.64个格子,占了宽4000个像素;中间一个格子占178个像素。误差5.2%。Sony傻瓜照相机的Zeiss镜头还是不错的。

      所以图上17个像素折合16个等效像素,高度大约2000米。

      http://songshuhui.net/forum/viewthread.php?tid=11483&pid=195128&page=1&extra=page%3D9

      • 皇家刺客说道:

        对的,用实验的方法校正镜头的畸变还是比较简单的......不需要套用到很复杂的数学模型。也能解决问题。

  2. rainforest说道:

    不同像素大小的相机对结果也有影响。
    比如一台200万像素的相机和一台1200万像素的平拍出的照片上的NM之间的像素个数是不同的。

    • laoma说道:

      第二个公式中w表示照片横向像素的总数,通过这个值和MN的像素个数可以计算出角NHM,所以这个问题解决了。

  3. Frankie说道:

    非常有创意,但我觉得有个小小逻辑问题,就是既然是证明地球是圆的,那就应该利用这张照片来计算出地球半径,而不是用地球半径作为条件来计算,当然用它来说明后面的结论关系是没有问题的。

  4. jtcat说道:

    问题很大,首先,相机的透镜组畸变非常大。尤其在广角端,随便拍一张就可以明显看到向照片中心的弯曲畸变。

  5. jtcat说道:

    我记得古代 计算地球直径用的是两个南北方向不同地点的距离和这两地正午太阳影子的最大长度。

  6. Terry说道:

    呵呵,看到这么长的计算公式,很温暖啊!

  7. 穷举回魂鸟说道:

    偶上骨骼地图,拉到出鸟整个地球图象,一甩鼠标…… 耗费几乎……
    laoma和很多回应验证地球是圆的问题之筒子一样,都很有创意性和知识性,值得撒花赞扬。
    只是对题性儿嬉点鸟。

  8. cheva说道:

    原理看懂了,不过三角函数忘光了。

  9. [...] [Dr.You第60期获奖答案]用照片测地球半径 [...]