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以下是aqdd对第60期Dr.You实验党问题:如何用便宜的设备验证地球是圆的?的回答。你也可以在论坛找到这个回答的帖子

古代中国人相信“天圆地方”,不过时至今日已经不会有人再相信这样的说法了,哪怕是随便问一个小学生,他都会告诉你“地球是圆”的。这似乎已经成了一个无需证明也无可辩驳的事实,可是几千年来人类对地球形状的认知却是经历了一段相当漫长而艰难的过程。

最先提出“地球是个球形”这一概念的是生活于公元前五、六世纪的古希腊哲学家毕达哥拉斯。不过,他之所以持有这种信念并非源于某种客观事实,仅是因为他觉得圆球在所有几何形体中最完美。后来,亚里士多德给出了“地球是个球形”的第一个科学证据:月食时月面出现的地影是圆形的。公元前3世纪,古希腊天文学家埃拉托斯特尼根据正午射向地球的太阳光和两观测地的距离,第一次算出地球的周长。公元2世纪初,我国天文学家张衡也提出了“浑天如鸡子(鸡蛋),地如子中黄(蛋黄)”的说法。公元726年,唐代天文学家一行和尚主持了中国历史上第一次大规模的官方(朝廷组织的)天文和大地测量活动,并利用北极高度和夏日日长计算出了子午线1度之长和地球的周长。但是直到16世纪初,随着葡萄牙探险家麦哲伦环球航海的伟大壮举,人类才第一次用实证的方法无可辩驳的证明了地球是球形的事。

不同假设下的海面

在麦哲伦的船队离开西班牙塞维利亚港时,当他看着港口那高耸的灯塔逐渐消失在海平面以下时不知他是否思考过一个问题:如果地球是个平面,那大海也应该是个平面,而且没有任何能阻隔视线的东西,这样不管麦哲伦的船队航行多远,只要一回头,他就必定能看到出发港口那明亮的灯塔(图1)。理论上说,他甚至可以看到远方任一方向上的海岸。然而事实却不是这样,随着船队离开港口,船上的人们回望港口时会发现,灯塔不但越来越小,位置也会越来越低,直到完全消失在海平面以下。人们的视线完全被凸出来的海面所遮挡,那些原本高出海面的陆地、港口、灯塔统统都看不见了,视线所及到处都是茫茫一片大海(如图2所示)。仅凭这一点麦哲伦先生在他开始环球航海的第一天其实就可以确定无疑的认识到地球原来真的是个“球”。

科学技术发展到现在,我们可以通过很多方法来证明地球是个球形,我们甚至可以坐上宇宙飞船到外太空看看我们的地球家园,或者像麦哲伦一样做一次环球旅行(现在我们可以坐飞机而不必坐船)。不过既然Dr.Who让我们用比较便宜的方法去证明,那我们就要开动脑筋好好想想了,观察月食、测量日影之类的方法虽然不用花什么钱,但都被前人用过,了无新意。我倒是想到了另外一种方法,至少在我查阅过的资料里还从没看见有人用过同样的方法来证明地球是个球形。

这个实验并不复杂,开销不大,原理也很简单,只要具备基本的物理和几何知识都能看懂并理解。这个实验需要一支激光笔、一面质量较好的镜子、一把直角尺、一些尼龙丝线、三个铅锥(可用铁块等重物代替),还需要一些角铁和铁丝来制作支架。我大概算了一下,总花费也就是100元左右吧。

实验装置图

下面我就来具体讲解一下我设计的这个实验:

如图3所示,实验用具由两个支架组成,其中A支架上那根蓝色的线和下面的箭头代表尼龙丝线和一个铅锥,它们共同组成了一个标准铅垂线。铅垂线上固定的那个黄色物体是激光笔,就是多媒体教室里老师用的那种,在玩具店也能买到类似的东西。激光有个很好的特点就是发散性小,你把激光打到一个很远的物体上,它所产生的光点依然很小且清晰可辨,是一种很接近平行光的光线。我们就是利用激光的这种特性来完成我们的实验的,所以一定要买一只质量很好的激光笔,这点很重要。图中黑色的部分当然就是支架了,而那个白色的三角形物体是一把直角尺,它的作用是让激光笔,准确的说是让激光光束处在精确的水平状态。B支架和A支架类似,只是用了两根铅垂线,灰色的椭圆形物体代表镜子。这面镜子固定在铅垂线上使其完全垂直于水平面。用两根铅垂线没有什么特殊的目的,只是让镜子不会来回转动,你也可以用镜子代替铅锥直接吊在尼龙丝线上,让镜子本身变成铅垂线的一部分。具体怎么制作并不重要,重要的是让镜子垂直。

实验原理示意图

接下来我解释一下这个实验的目的。由于地球引力的存在铅垂线都垂直的指向地面,在我们的肉眼看来似乎都相互平行,建筑工人甚至用两根铅垂线来测量楼房上下是否等宽,这在精度要求不是很高的测量中是可行的,但从原理上讲其实没有任何两根铅垂线之间是绝对平行,所有的铅垂线都是指向地心,它们的虚拟延长线最终将会在地心处汇聚成一个点(如图4所示)。而我们实验的最终目的就是为了要证明这一点。只要能够证明地球上任意两点上的铅垂线之间都不平行,且方向都向同一点汇聚,就能证明地球的确是个“球”。另外使用铅垂线还有个好处就是无论你在什么地方做这个实验,也无论地面是否平整支架是否垂直,即便出现图4所画的那种高山陡坡的极端情况(我画的有些夸张,只是为了让大家看清楚),铅垂线也依然能够准确无误的指向地心。

好了,现在万事俱备,只欠行动了。让我们找一个晴朗无风的夜晚,寻一块平整的开阔地,或是广场上(要注意安全哦)开始我们这次有趣的实验吧。

这个实验至少需要两个人参与,其中一人将支架A摆放到广场的一端(a地点),打开激光笔并再次用直角尺调整激光光束与铅垂线之间的垂直,要细心,要保证最高的精确度。调整好后将光束射向广场另一端。这时另一人拿着支架B循着光束的方向走到广场另一端(b地点),同样也要细心调整镜子使其紧贴铅垂线,保持与地平线的绝对垂直。镜面调整好后再仔细调整支架B的摆放位置、高度和方向,要使镜面正对a地点,并让激光束正好照射到镜子上。再次调整支架B的方向,让反射的激光束能正好返回到原位,也就是a地点。反射回来的光束能否准确回到原位并不十分重要,但至少要保证大概的位置,让a地点上的人能同时看到射出去的激光和返回来的激光就行。a点上的人拿张白纸,让反射回来的激光束照射到白纸上,并对比激光笔与白纸上光斑的高度差。实验完毕。

实验效果示意图

这个实验要证明什么?我来解释一下实验原理。根据几何学上平行线定律,一条穿过平行线的直线与每一条平行线之间的夹角都相等。如图5所示,如果A点与B点上的两根铅垂线是相互平行的,那么垂直于A铅垂线的激光束也一定垂直于B铅垂线,从A点射出的激光与从B点反射回来的激光将在同一条直线上,不会有任何夹角。相反,如果从B点返回的激光和从A点射出的激光不在同一条直线上(如图6所示),那就能证明A点与B点上的两条铅垂线之间并不平行。根据三角形原理,如果激光的落点比出点位置高,那就证明两条铅垂线之间的汇聚夹角在下面,在A点与B点距离不变的情况下,落点与出点之间的高度差越大就说明汇聚夹角越大,汇聚点也越近;相反高度差越小就说明汇聚角越小,汇聚点也就越远。将这个实验在东南西北各个不同方位重复多次,保证每次实验A点与B点之间的距离都相等,如果每次对比激光的落点都比出点高且高度差相同,那就能证明所有的铅垂线都将在同一个点上汇聚,事实上那个点也就是地球的地心。证明了这一点也就证明了地球确实是个“球”。(我个人认为这个表述是错误的,别如至少也应该表述为“几何中心”之类的吧?而且,考虑到地球表面情况的差异,也未必都能落到同一个点吧?)

我的答案就是这些了,虽然字数已经远远超过了规定的1000字上限,但我还想在最后对这个实验的精度问题多说几句——通过这个实验我们不但可以验证地球是球形这个事实,而且也可以根据AB两点的距离和激光出点、落点的高度差计算出激光与镜子之间的夹角,进而根据勾股定律计算出激光出射点与AB两条铅垂线汇聚点之间的距离,也就是地球半径。但我并不主张这样做,因为这个实验能证明Dr.Who提出的问题就足矣了,而要用这么简陋的工具去测量地球半径这么巨大的尺度是很困难的,原因就在于我们无法保证测量精度。在这个实验中AB两点的距离越大实验效果就会越明显,但对实验工具的精度要求也会更高,且不说激光并不是真正的平行光,在很长的距离上它依然会有一定的扩散度,使我们无法准确判断激光落点的精确位置,就仅仅调整激光与铅垂线之间的垂直度一项任务就是一件十分考验我们耐心的工作。因为AB两点之间的距离很远的话,比如1Km的距离,只要激光束有0.1度的角度误差,就会在B地点出现约1.125m的高度误差,而返回A地点后这个误差更是扩大到2.25m多。所以说这个实验在原理上是成立的,但具体操作时要求我们有极高的精确度,否则就会出现很大的误差,甚至导致完全错误的结果。

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沐右的点评:

其实铅垂线并不是严格指向地心。不考虑其他因素,地球对物体的万有引力是指向地心的,但是由于地球自转的影响,万有引力扣除维持物体和地球一起自转的向心力之后才是我们说的重力。所以实际上来说重力并不是指向地心,而是稍微有一点偏差,不过这个一般可以忽略。另外当地的矿产分布、地形等因素也会改变物体受引力的方向,比如比较某个方向有比较重的大量矿产的话,实际受的引力会偏向这个方向的。

这个想法如果真能操作的话应该是可以作为一个测量地球半径的手段。但是实际操作中肯定精度问题很难达到。正如aqdd在文末所说,0.1度的偏差就有很大的误差(应该是1.745米而不是文章的1.125)。除了激光器、镜子的摆放位置之外,风的影响,光通过部分空气的影响(温度不均匀导致密度有偏差)可能都会使得这个实验得出错误的结果。

另外来说,这篇文章实际上还可以推导一下一定距离L的实验,对应的光斑位置差别有多少,然后和可能误差对比下,就会显得更实际一些。

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17 Responses to “[Dr.You第60期获奖答案]镜子也能测地球”

  1. Sheldon说道:

    赞思路

  2. airaria说道:

    让我想起了大学做的光学实验..那个对仪器精度要求真是高啊..

  3. ititjjk说道:

    铅垂线跟大地水准面垂直,不一定要指向地心
    大地水准面本来就不是个规则的“球”
    然后两个架子之间距离远的话还要考虑到球气差
    这位童鞋的思路不错
    但可操作性差了些

  4. Anakin说道:

    想法很帅气啊!赞一下~

  5. hbchendl说道:

    楼主想到了精度问题,但是并没有解决它。所以这只是个“理论”上成立的实验。地球周长是二万公里,一公里距离所对应的角度偏差就是360/20000大约是0.018度。也就是说,实验中的铅垂线与水平线的角度精确度都应该达到百分之一度以上。这显然是文章中这些材料所作不到的。最终的测量结果将是“检测不出地面的曲率”。

    • 沐右说道:

      其实地球周长是四万公里。。。。
      嘿嘿。。。。
      考虑是不是大家都在同一个行星上。。。。。

  6. aqdd说道:

    呵呵,谢谢各位,另外特别感谢沐右提出的点评,我当时只想证明这个实验在理论上是成立的,的确没有考虑理论外的各种实际存在的复杂因素。

    不过好在如地形变化、矿产分布等因素只存在于地球薄薄的地壳层,与整个地球的质量相比微不足道,对引力的平均分布影响甚微。

    • aqdd说道:

      其实与自传、地形等因素相比我们更应该考虑潮汐变化(也就是日月方位)对地球引力影响,那个影响应该比地形带来的影响大的多。

      现在想想还真是疏漏百出,不过好在评委们都宽宏大量。:)

  7. jtcat说道:

    这个实验的累积误差太大了,尤其对于垂直性,最后误差直接大于了测量值。

    另外,铅锤不是正指向地心的,会受到地壳质量分面的影响,山体质量也会有影响。
    美国有发射过两个连体卫星专门用于检查地壳质量分布。

  8. Aaron说道:

    我觉得这个实验抛开限制条件不说,在逻辑上有一定问题。假设A:反射光斑重合,B:地球是平的。我们可以说A能推出B。但是非A没有办法推出非B,就是说光斑不重合不能推出地球不是平的。

  9. 说道:

    麦哲伦出海不是为了验证地球是圆的,他是一名受西班牙皇室雇佣,去东方掠夺黄金的海盗!

  10. 穷举回魂鸟说道:

    只要能够证明地球上 任意 两点上的铅垂线之间都不平行,且方向都向同一点汇聚,就能证明地球的确是个“球”。
    ==========================
    圆柱体、半圆体、椭圆体、等集体飘过后,穷举回魂鸟~~~
    热切期盼和aqdd筒子环游世界。

  11. JS说道:

    我不太明白的是,16世纪初就无可辨驳地证明了地球是园的,可是那时候万有引力的概念还没有出来,那当时的人们怎么接受这个海水没有向“下面”流去,还有地球另一面的人为什么没有掉下去这些事儿的呢?

    “亚里士多德给出了“地球是个球形”的第一个科学证据:月食时月面出现的地影是圆形”-- 他还真牛。他是怎么发现月食是被地球遮住了?

  12. crushers说道:

    如果地球是平面的,而其中有一部分是椭圆隆起的。那你这个实验是否有问题呢,假设都是足够大的

  13. JQ说道:

    作者我实在不想打击你,但是hbchendl说到的实验精度不可能达到你无法解决,直尺顶多是0.1数量级精度。这个精度是在250M距离产生1CM光斑距离需要的条件,市场上的激光笔光斑在500M开外已经超过1CM了。连这些基本条件都没有,又何必去想“不过好在如地形变化、矿产分布等因素只存在于地球薄薄的地壳层,与整个地球的质量相比微不足道,对引力的平均分布影响甚微”之类的事情呢?另外提醒一下,文章中好些推断是站不住脚的,上面评论已有列举。最后,感觉沐右的点评也没怎么抓住要点……