今天你想投票了吗？
2008年11月4日，美国总统大选让奥巴马成为美国历史上第一个黑人总统，也让这个日子永载史册。美国媒体在之前的宣传中纷纷称之为“你一生中最重要的一次投票”，——事实上，每次投票之前都会有类似的宣传出现，但是这一次也许是最贴切的。
既然有投票，就有事前的机关算尽，事后的败寇成王。美国人的情绪在那个特殊的夜晚激烈地动荡着，藕粉们（奥巴马的支持者）纷纷称之为美国历史的新纪元，麦片们（麦凯恩的支持者）愤愤不平地说奥巴马只不过靠巧言令色才窃得大位，稀饭们（希拉里的支持者）则黯然神伤，来来去去想的都是“要是希拉莉当时赢了民主党初选……”。而在大洋此岸的中国，借助互联网的帮助，大家也纷纷密切注视着这次大选中的种种风吹草动。在论坛里，在博客上，大家理直气壮地谈论着发生在另一个国家里的选举，在指点江山的快意之外，也心照不宣的把它视为某种意义上的借镜。由于众所周知的原因，我们对于投票这件事情的了解几乎总是匮乏的，隔岸观火，也不失为一个学习投票常识的办法。
“且慢，”也许你会有异议，“如果说选举过程中的政治操作需要学习还可以接受的话，投票本身还有什么知识可言？一人一票的统计就是了啊。”
当然不仅如此。正如我们所知，美国的选举制度并非是简单的一人一票。事实上， “一人一票”并不一定是个自然的办法——甚至也不一定是个好办法。
让我们从下面这个简单的例子开始。假设有一组人要从ABC三个候选人中选出一个来担任某项职务。大家对这三个人的内心偏好列如下表：
有2个人认为A优于B优于C
有3个人认为A优于C优于B
有2个人认为C优于B优于A
有4个人认为B优于C优于A
现在大家投票。按照每人投一票的原则，每个人给他心中最胜任的人选投上一票，结果是A得5票，B得4票，C得2票，排名是A高于B高于C，最后A当选。看起来没什么问题。
如果换一个规则，假定大家认为每人一票不足以反映民意，决定仍然按照上面的偏好顺序投票，但是每个人分别投两票给他认为最胜任和次胜任的人选，那么结果会有多大差别？计算一下就会发现，最后A得5票，B得8票， C得9票，排名是C高于B高于A，当选的是C，原先票数最高的A反而垫底！
上述怪诞的事实说明，在选民意志不变的情形下，选举规则的改变有时会在根本上颠覆（而非像直觉告诉我们的那样至多小幅改变）选举的结果。事实上，你很容易想到，除去上面所说的一票制和两票制，还有很多别的看似公平的选举方式，例如数学家J. Borda在1770年批评法兰西科学院选举制度时提出来的Borda计票法。Borda认为如果每个人只投一票，那么选民对自己心目中除最优者之外的选项的偏好顺序就完全无从在选举中得以表达，而每人投两票或者更多票也不公平，因为那抹煞了每个人心目中最优和次优的区别。他建议，比方说还是有三个候选人的情况下，每个人给心目中的最优者投两票，次优者投一票，第三名不投票，这是最能完整表达投票者偏好顺序的方式。如果你把这个规则应用到上面那个实例，结果会变成A得10票， B得12票，C得11票，排名是B高于C高于A，最后当选的是B。——又是一个新结果。
事实上，把上面的论述抽象化一点。无论是一票制，两票制，还是Borda投票制，都可以看成排序投票制的特例。所谓排序投票就是每个人给候选人在心中排好一个偏好次序，然后给每个次序上的人投一定票数。这听起来是很合理的办法，唯一的区别只是第几名到底投几票而已，而数学家D. Saari却在上世纪末给出了下面这个荒谬的定理：
如果有n名候选人，那么可以找到合适的一组选民，使得这组选民在偏好不变的情况下，由不同的排序投票制给出多达(n-1)(n-1)!种不同的投票结果（这是一个非常大的组合数）。不仅如此，如果n>3，那么可以找到合适的一组选民，使得在选民偏好不变的情况下任何候选人都通过选择一个合适的排序投票制当选。
也许你会认为这只是数学家们挖空心思构造出来的别扭反例罢了，在很多情况下，比如说，大家“万众一心地”认为A优于B优于C，那么无论怎么投票，最终都会是A当选。这当然是没错的，不幸的事实是D. Saari和M. Tataru仔细估计了在三人竞选的情况下当选民人数足够多时这种“正常状况”（也就是无论怎么投票都是同一个人当选）和“异常情况”（也就是同样的选民在不同的投票制度下选出不同的当选人）的出现几率，结果发现，“正常情况”的概率只有30%左右，也就是说，如果是三人竞选，那么大多数时候都能通过改变选举制度来影响最后的当选结果！
事实上，人们并不是第一天注意到选举结果对选举制度的强烈依赖性了。如果观察一下西方国家的大选制度，会发现虽然它们都号称是民主选举，但是具体的投票办法却几乎两两不同。以大家最为熟悉的美国总统大选为例，很多人都注意到，美国的大选并非全国统一计票，而是各州分别计票，然后每个州的胜者囊括该州的全部“选举人票”（其数额根据各州人口比例事先确定）。这是从美国立国早期就形成的“选举人团”制度，其用意在于平衡州权，放大人数上居于弱势的地区和团体的利益，防止少数人的利益被忽视。举例来说，某一利益团体或族群，比如亚裔，在全美的人口比例很小（占4%左右），那么如果全国统一计票，除非两名候选人得票咬得很紧，否则这4%的偏好并不会被得到特殊的重视。但是在选举人团制度下，由于亚裔在某些州（譬如加州）的比例很高（12%），那么这些亚裔的投票倾向就会影响到加州全部选举人票的走向，而加州的选举人票在全美举足轻重，于是本来人数很少的团体的力量就会被这种杠杆效应放大，从而得到更多的重视。二百年来这一投票办法已经成为美国政治制度的核心之一，虽然争议颇多，但是至今没有改变。
但是，正像我们前面看到的那样，既然采用了同普遍计票法不同的计票方法，就要面对最终的当选人同按照普遍计票法不一致的情况。最近（也是最著名）的例子是2000年总统大选，小布什以271张选举人票对戈尔的266张选举人票赢得了大选，而全国选票统计却是戈尔以48.4%的得票率胜过小布什的47.9%的得票率。很显然，戈尔面对的是一个看似不公平的结果（当然这取决于你怎样定义公平），并且只要美国继续采用选举人团制度，他就肯定不会是有此遭遇的最后一位竞选人。
回到我们一开始的问题，既然同样的一组选民可以在不同的选举规则下给出不同的结果，那么有没有别的方法来进一步比较这些选举规则的优劣呢？或者换句话说，如果事先定好选举制度，还会有什么别的问题可能发生呢？
让我们考虑下面这个有趣的例子。假定一个部门要招聘一个新人，有四个人竞争这个职位，在考察过他们的条件后部门内部对他们进行了评价，其中
有3个人认为A优于C优于D优于B
有6个人认为A优于D优于C优于B
有3个人认为B优于C优于D优于A
有5个人认为B优于D优于C优于A
有2个人认为C优于B优于D优于A
有5个人认为C优于D优于B优于A
有2个人认为D优于B优于C优于A
有4个人认为D优于C优于B优于A
如果事先约定只采用一票制，那么最后的结果是A 高于 B高于C高于D，于是人力部门决定给A发出offer。
假定就在此时，人力部门忽然收到C的通知，宣称由于收到了别的公司的offer要退出这次申请。那么这个时候人力部门是应该接着给A发offer，还是宣布由于竞争者少了一位所以要重新投票呢？恐怕大多数人都会觉得，反正C本来得票也靠后，他的退出应该无伤大局才对。
实则不然，只要把上面那个表中C的名字划去重新统计就会发现，仍然是一票制的情况下，结果会变成D高于B高于A，原先得票垫底的D才应该拿到这个offer！
（事实上，如果你有兴趣，可以把退出的人从C换成D或者B或者A，你会发现在这个例子里无论谁退出竞争，剩下的人的得票顺序都会整个颠倒过来。——当然这是精心构造的例子，一般说来不至于这么离谱。）
这个例子反映了投票制度的“混沌性”，或者说，结果对扰动的敏感依赖性。大家都知道的一句描述混沌现象的名言是“某地的一只蝴蝶扇动翅膀也许会影响到某一场飓风”，那么在这里我们可以说，“某一个次要竞争者的变化，也许会影响到重量级竞争者的崛起或者覆灭。”一个类似但是复杂得多的例子是在2008年年初的民主党党内初选中，希拉里和奥巴马双雄鼎立，希拉里略占优势。而爱德华兹一直屈居第三，终于在“超级星期二”来临之前的1月底宣布退出竞争，他的退出很快打破了希拉里和奥巴马的平衡，部分地促成了奥巴马在超级星期二之后的十连胜，最终逼得希拉里退选。
混沌性是由选举制度本身决定的，但是对不同的选举制度来说，其“混沌”的程度有所区别。关于排序投票制，D. Saari给出过下面的结果：对于三个以上的候选人来说，大多数排序投票制都会容许一些特例使得选举结果在某一候选人退出时发生所有可能的剧变，只有少数投票法，例如Borda计票法，能够在一定程度上避免这种变化的幅度，例如至少避免原本排名第一的候选人忽然变成排名垫底。
这看起来像是说Borda计票法比别的排序投票制都要好，但是这要看是在什么意义上说。毕竟，Borda计票法要求每个选民都要对所有的候选人有一个完整的倾向排序，这在实践中往往是不可能实现的事情。而且正如上面的结果所描述的那样，即使采用了Borda计票法，也不能从根本上排除混沌的存在。
事实上，在投票这件事情上，我们面对的不仅是简单的数字游戏，而是人类社会最本质的问题之一：如何才有可能把社会中每个成员的意见，综合成为一个社会的整体意见？有趣的是，对这个问题最好的回答之一是以数学形式得到的。经济学巨擎，1972年诺贝尔经济学奖得主K. Arrow在他的成名作Social Choice and Individual Values中给出了著名的Arrow定理，在这里考虑的是比投票更为普遍的情况，即如果一个集体中每个成员都对给定的一系列选项（或者候选人）有一组偏好顺序，那么一个“社会选择机制”能够在多好的程度上得到一个综合的排序？换句话说，需要找到一个函数，把所有人的排序映射为一个综合的排序，关于这个函数我们有下面这些自然的标准：
- 非独裁性：这个函数的输出意见不能总是等于同一个人的输入意见，也就是说，不存在一个人的意见总是凌驾于所有人的意见之上。
- 帕雷托最优：如果在每个人的排序中A都优于B，在输出结果中A也应当优于B。
- 无关因素独立性：如果人们对C的看法改变了，不应当影响到结果中A和B的相对排序。
Arrow定理是说，只要有三个或更多的候选者，就不可能存在一个函数，或者说社会选择机制，满足这些标准。
这个定理有很多种通俗的（也是容易引起误解的）解释和陈述方式，比如“所有的投票都不公平”或者“唯一理想的决策方式是独裁”，等等。但是事实上通过前面的讨论，我们很容易意识到这三个条件里最苛刻的是最后一条，即无关因素独立性。前两条看起来都是很自然的要求（事实上帕雷托最优性也有其争议性，不过这一点按下不表），只有第三条，我们已经看到，受制于投票机制的混沌特征，是非常难于满足的。
这一结论看似是令人失望的。它意味着我们这个社会不仅暂时还不完美，而且永远都不会完美。正像我们在许许多多别的领域中看到的那样，这种不完美似乎是造物主的限定，也就是说，它并非出于某种粗糙的错误，而是理性和逻辑的必然。无论是数学中，还是自然科学中，这样的例子都数不胜数。
但是也正像许许多多别的领域中类似的例子那样，正是这些不完美才构成了这个世界的迷人之处。有了对现实中的不完美的解剖，和对更好的理想的无限追求，我们才有了演进的动力。正如深刻的理解了大洋彼岸这传奇式的经验和教训，我们才能更了解自己前进的方向一样。
而在这一切之中最迷人之处，则是这样复杂的现实可以被这样优美的数学所描述和论证。——诚然，人们对这个课题中的大量细节还所知甚少，还有大量的悖论等待澄清，大量的工具等待发明，但是第一步已经走了出去，人们已经意识到，人类的社会生活本身是有可能在某种程度上被数学语言所刻画和约束的。自上世纪中叶以来，在这个领域中已经产生了若干位诺贝尔经济学奖得主，也诞生了若干深刻漂亮的数学成果。社会科学和数学的交互作用已经成为蔚为大观的潮流。
而正像D. Saari在一篇名为《数学与投票》的文章中所说的那样，还有更多的挑战和机会就在前面等待着，一切还只是个开始而已。
沙发~
(先睹为快了已经~)
图片是童年的奥巴马！
现在呢……
哼。。不过你配的确实比我好！
这个不是我找到的……是作者推荐的，哈哈
猛犸配的图片，大叔们看完上面，就想看下面。
板凳，说实话，一眼溜下来，似懂非懂～～
仔细看呦，其实不难~
又读了一遍，表达得真好。
远非想像得那么简单啊！
自从我有了选举权，还没有真正有机会行使它
= =比想象中复杂很多呀
难得看到了经济学的文章，松鼠会终于不歧视社会科学了，呵呵。
这是数学。。。
觉得是数学，呵呵
从来都不歧视！有好文章都欢迎！
这是数学，但是是获了诺贝尔经济学奖的数学……
坚决不敢歧视社会科学！
只说一个问题，就是多个候选人时大家投票可多选的情况下，为什么不是首选得3分，次选得1分这样得呢？明显第二选应该得分低，傻傻得第二选也按一票，世界足球先生评选都比这个例子公平
第一名三票第二名一票，也不外乎就是文中说的排序投票制的一个特例。所以排序投票制所具有的问题它也都具有，并没有什么特别的优势。
好文章，原理早就知道，但是我肯定不能说得如此有逻辑。
原来这么神奇，果然是万物皆数
赵心树对Borda法进行了进一步的推演变化，提出了计分法。在计分法中，自己选的相邻顺序的候选人之间究竟相差多少分，由自己来给定。自己没投的候选人，得分计为0。
具体参见他写的《选举的困境（修定版）》一书。
这本书c也看过，可见是一本比较易懂的普及书。
即新闻与传播普及，简称“传普”吧。
除了大量关于美国选举的具体操作，c印象最深的是，
在这本书里面，赵用了很多篇幅讲了:
“legitimacy”应译作“正当性”，而不是“合法性”。
c也推荐。
这次的图好…
事实上社会选举比Arrow定理要复杂的多。因为选举制度大多是在选举前就定好了的，所以侯选人可以根据选举制度和数学原理去影响选民心中的候选人排序。
太好了太好了，这篇文解开我好多疑问哪~~
木遥可不可以简单说说，研究选举系统里的混沌，具体的数学方法是什么？还有把个体排序映射为综合排序的函数，又是什么样子的？很感兴趣，想多看看这方面的资料，指点一下吧^^
呼唤再来一篇讲选举人权重的，那个也好好玩呀（是不是有个shapley shubik index和banzhaf index？）
选举系统的混沌是个非常新的话题，我文中反复提到的Donald Saari是美国科学院院士，一直在做这个。他有一本新书就叫做Chaotic Elections! A mathematician looks at voting，可以看一看。
至于power index这些东西我也只知大概，估计没法给别人讲……=,=
多目标决策的最重目标函数选择，的确是个难题，那么多的权重需要均衡……
恩，好文！
呵呵，以前看《阿基米德的报复》，里面有一章说选举的，就是和lz意思差不多
这样跟数学有关的文章多点才好呀……
对于美国人来讲，选举只是一场游戏，并不需要太认真。
无论麦凯恩还是奥巴马，其本质也是代表美国利益的。如果你认为这个世界政策有“唯一最优解”。那么无论哪个当选都会实行这个最优政策。反之，因为未来的极度不确定性，选举选一个聪明人，或者看起来聪明人。
如果你认为这个世界政策有“唯一最优解”。那么无论哪个当选都会实行这个最优政策。－－－这么说逻辑不正确。因为这个唯一最优是客观物。当政者是有主观倾向的个人，不一定会认同这个客观最优。
选举选一个聪明人，或者看起来聪明人。－－民主政治不一定产生聪明人，甚至是看上去聪明的人。有些时候，他们喜欢选择那些看上去和普通老百姓一样，甚至显得更土的人，认为这种人更能贴进生活，更理解老百姓。所以当年美国人选了小布什。结果是小布什在伊战和经济上都让老百姓失望了。
游戏……美国人这么努力的一场“游戏”。我同学，这么年轻的人，有几个每星期开车几个小时往返于两个州之间，劝说那里的人关注政治，关注投票。
好文！很喜欢。连我这样一个数痴（白痴的痴）都看得很明白且舒服。
用得着这么多数学模型吗？长官意志不就完了，反正下面的人们也是听领导的。
很多中国人连投票的权利都没有，
在这里谈不同的投票方案问题，不现实。
看来，这位仁兄是很现实，很有理性的。
但是，如果有意争取权利的人们，个个都这么“理性”，
那么，最后的结果，只会正好落入“囚徒困境”的圈套。
任何的社会变革，最初，
都是由一些顾前不顾后、不计较个人得失的仁人志士
（或曰“愣头青”，又或曰“炮灰”）带头发动的。
不管其能力具备与否，Ta们的变革意愿空前高涨，
Ta们反复尝试，Ta们锲而不舍，直至“历史”在Ta们手中终结。
过程：
如历史记者吴思 所穿越报道的《出售英雄》；
又如，小岗村18位农民兄弟冒死齐按手印的一幕。
结果：
如《教父2》中毒枭恶棍荟萃的赌国大变天鸟；
又如，靠小额赞助无私宣传起步的BHOII的成功登顶。
追思往昔，比对中外，几近含泪
c斯又再
发出毫无理性而嘶哑的骇人怪叫：
“我泪落下 当你说我很坚强
不是那样 我只是不肯绝望
因为最怕 茫茫然随便风飘荡。
忍痛不放手 紧捉住梦想的翅膀
永远相信远方 永远相信梦想!”
楼主谈的是有趣的数学问题。和你说的是两码事。
好文，第一张图是谁选的？
我。。。
好图……
很令人耳目一新的文章啊，不过有人拿这种理论来论证中国不能施行民主，那就是其心可诛了。其实选举只是手段，民主的精髓是实现对权力的制约，是最大限度的保证社会的公开与透明。
呵呵~~可怕的选举悖论，正如产品调查一样，如果得出由优到劣有n个人排列为abc,n个人排列为cab,n个人排列为bca，那么究竟该怎样安排产品产量？
cnba
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这个貌似是《身边的数学》里的章节……不过还是中文的看起来方便
[...] 投票的科学，其实概括起来很简单 —— 规则决定胜负！ Post a comment — Trackback URI RSS 2.0 feed for these comments This entry (permalink) was posted on 星期日, 11月 30, 2008, at 14:43:19 by sbilly. Filed in 阅读时间 and tagged 投票, 电子商务, 趋势. [...]
[...] 今天你想投票了吗？ [...]
这是不是也解释了为什么第一志愿没考上要降好多分才能到第二志愿呢
受益匪浅啊
嗯嗯。。。我爱作者！