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我是一个“西瓜控”,不管夏天还是冬天,都喜欢吃。要是一人独享西瓜的话,我都是一刀两半,然后拿勺子大口大口地吃,痛快。可是如果和家人朋友一起分享的话,那只好把西瓜切成一块一块的,大家一人一块的这么吃。可是面对西瓜,我总会邪恶地挑大块的吃,以免“吃亏”。如果两个人分瓜,一人一块轮流吃下去,谁会吃得多呢?又怎么才会吃得多呢?

你或许不知,这也是一个有趣的数学难题呢,虽然不像哥德巴赫猜想这么有名,但它也整整经历了15年才终于在去年被成功解决。

问题最早在1967年《数学杂志》上被提出,好事之人叫厄普顿(Upton),但他关注的不是分西瓜,老外嘛,爱分Pizza。因此问题如下:如果有一个Pizza,经若干刀分成顶角相等的若干份之后,两个人按照顺时针(或逆时针)的顺序一人一块来吃的话,谁能吃得多呢?这个问题看似很白痴,有人会说,每个人都取来自己分得的Pizza,然后称一下不就知道了吗?但这个问题在数学家眼中,却是另一个世界。

问题的开端:切2刀和切偶数刀

数学家磨刀霍霍,开始考虑各种情况。第一,如果每一刀都经过Pizza的圆心的话,那当然不管切几刀,两个人都会分到一样多。实际上人们分Pizza不可能精确地都切过圆心的,所以问题来了:如果每一刀交错点不在圆心上,那两个人谁能分的多呢?

显而易见,切两刀的话,那Pizza会分成四份(见下图)。如果两刀的交错点不在圆心,那么一定会有一块大一些,也就是包括Pizza圆心的那一块。结果不难推出:吃到Pizza圆心的那个人会分得更多Pizza,也就是图中白色的两块Pizza。

如果切4刀,6刀,8刀或更多的偶数刀的话,结果就有所不同了——两个人会分得一样的Pizza。(见上图)这个问题并不是很难证明,不用很难的代数知识就可以解决。厄普顿也就是做了这个工作,分析了所有偶数刀的分发结果。可如果是切3,5,7,9刀呢?这才是真正难题的开始。厄普顿并没有研究这个,它也就一直沉寂到了1994年。

真正的难题:切奇数刀的话

数学家迪尔曼在1994年的时候同样是在《数学杂志》上再次提到了这个Pizza难题,并且邀请广大数学家们来解决:如果切奇数刀会怎么样?他自己计算了,如果切3刀的话,吃到Pizza中心的人会分得的更多。然后另一个数学家马布里加入了这个研究,他计算了切5刀的情况。结果正好相反,吃到Pizza中心的那个人会分得更少。如果继续计算下去,再增加两刀达到7刀的时候,结果又反过来了……每到下一个奇数,结果好像就颠倒一次。(见下图)

如何分析所有奇数的情况呢,这似乎才是问题的关键所在。迪尔曼和马布里两人由此展开了他们漫长的数学解密征途。这个问题看似简单,但是要做到严格的数学证明,并不容易,就像历史上那些著名的数学难题一样,需要精密而且精巧的方法,才能解决。

经过了漫长的15年,他们才终于征服了这个Pizza难题。15年,就研究了怎么分一个Pizza,听上去有点滑稽,但对于数学理论来说,这是一个不可忽视的贡献。具体的解决方法,我想我和大家都不能完全看懂,在此就不赘述,大致上他们把问题转化了一下:把“每多切一刀,两个人相比谁多谁少”由一个正负值的来表示。为了分析这个正负值是如何变化,他们需要一个代数模型来计算。经过多年来在无数的代数学已有的模型中辛勤搜索,他们终于从一篇1979年的论文中找到了所需的模型,然后问题迎刃而解。结论也就是——切3,7,11,15刀(4N-1刀)时,吃得到Pizza中心的人会分得更多;切5,9,13,17刀(4N+1刀)时,吃到中心的人分得少

问题是解决了,结论是证明了,不过有人问,这个给我们的工业生产带来什么好处了吗?没有,暂时还没有。数学的美,不在于那些,而在于其精巧的思路和严谨的逻辑,这才是一个有一个数学难题真正的魅力。不过这至少让我知道了,如果我和另一个人分西瓜的时候,如果切了偶数刀的话,那就一人分一半;如果切了奇数刀的话,那我有50%概率多吃到西瓜。也就是说不用想太多了,总体来说,西瓜总是平分了的。但是对于看了本文的朋友们,你们现在应该有足够的自信大胆切奇数刀,然后保证自己能吃到更大分的Pizza(或者西瓜)吧。

(最后特别感谢小庄,小方,郑然对本文的帮助,排名先后不代表贡献大小,谢谢)

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96 Responses to “15年的数学难题 —— 分Pizza”

  1. bean说道:

    能不能讲一下偶数刀(大于2)那个怎么证明的?

    • yuye说道:

      偶数刀可以这样证明:取任意一刀做直径,把圆分成两部分,因为是偶数刀推出圆的一半上面有奇数个pizza,所以先拿的甲也应该拿到这个半圆的最后一块,然后另外乙就先拿另外一个半圆的第一个和最后一个,刚好与上个半圆顺序相反,乙的第一块和甲的第一块相等,最后一块和甲的最后一块也相等。同理,归纳到所有的每块,甲拿后半圆与乙拿前半圆都相等,甲拿前半圆与乙拿后半圆也相等,所以吃的一样多。前提是,不能抢,只能按顺序一人一块拿。

      • cc21说道:

        没有这么简单的。。。
        完全可以没有直径存在,全是一些不对称的批萨。

      • 123说道:

        您分析的偶数刀建立在每一刀都过圆心的基础上

      • hou_garden说道:

        你的证明建立在刀刀过圆心的条件上,这是特定条件下的,不具有普遍性。文中证明的是没过圆心的情况。

    • whensee说道:

      文氏一 猜想:这样证明 歌德巴赫猜想 行不行?

      文氏一猜想:

      把所有任意两个奇素数之和按从小到大的顺序排列就可以得到不小于6的连续不间断的偶数数列。 ­

      (注)除特别说明以外,文中所说的“质数”或“素数”均指奇素数,对于唯一的偶素数2暂不与讨论。

      因为篇幅有限,具体论证过程请登录我的QQ空间阅读。

      我的QQ:248914156

      谢谢!

  2. 思齐说道:

    哈哈 学习了 下次去必胜客可以用上了

  3. doyle说道:

    第一,如果每一刀都经过Pizza的圆心的话,那当然不管切几刀,两个人都会分到一样多。

    为什么我没看出这个当然在什么地方?求解释.
    是不是得有个限制,要求每一片的顶角角度相同?

    • ted说道:

      注意到问题是按两个人对着一块可怜的PIZZA顺时针或逆时针来“吃”。那么一个隐含的假设必定是:两个人吃东西的速度一样。
      直觉上来理解:假设过圆心把PIZZA切成4块,2大2小,那么拿到小块的人吃得必然快,从而拿PIZZA的顺序是:1(大块),2(小块),2(大块),1(小块)。两人吃的PIZZA一样多。
      严格推导的话,应该涉及先后顺序吧(第一半多拿了,另一半旧少拿了)。
      可惜我不是数学家:)

      • lightson说道:

        跟速度没关系。因为比较的是交错出现的切块的面积的总和的大小,并不对应实际的进食。
        数学毕竟还是抽象的。

    • Netson说道:

      “如果有一个Pizza,经若干刀分成若干份之后,两个人按照顺时针(或逆时针)的顺序一人一块来吃的话”

      要按顺序一人一块。

      • Netson说道:

        不对,的确有问题,在圆心的话,只有奇数刀才能保证两个人分到的一样多。

        • Netson说道:

          看来的确是要要求每片顶角角度相同了,不然没法解释。

          • 璇儿说道:

            我想这里的一刀指的是横跨整个pizza的一刀,而不是我们通常切法:以圆心为起点往外切。所以切偶数刀就是对半分。

        • 害虫说道:

          貌似是这样的,只有奇数刀才能保证交点过圆心时是公平分配的。

    • shiryuki说道:

      文中的意思是两个人交替拿,那么就只要切过圆心,不需要考虑角度了^_^

    • aland说道:

      过圆心切2刀,如果不是等分的话,按顺时针或逆时针每人轮流拿一块,那么很显然一人拿的是2块都较小的,1人拿的是2块都较大的啊, 是不是漏了等分的条件啊

  4. 刘冲说道:

    巧了,每次吃西瓜我也会算计先吃哪块吃的最多,不过后悔没有涉及到数学上.

  5. GSMOWNER说道:

    理论是这么说,我相信,但是在现实中谁能切得那么准确?谁会在意多了小点少了小点?

  6. feifei说道:

    我看切Pizza跟切西瓜还是有点不同的吧,毕竟一个是2D,一个是3D。

  7. walkerxk说道:

    条件太少了,如果我在边缘切,不管几刀,我可以控制包含圆心的那块面积可以到达整个圆面积的70%以上,肯定是包含圆心的多了。

    • Netson说道:

      这里有个隐含条件,就是那几刀必须交于唯一一点,不能切一半,这一点还得在pizza内……

      • 害虫说道:

        对啊,考虑到交点无穷接近边,而每一切的斜率都接近离交点最近的切线的情况,明显是包含中点的那部分面积更大的说。

    • shiryuki说道:

      看来是要求披萨的顶角度数恰好平分圆周,否则确实没有那规律,也就是要求每块披萨的顶角为360/2N(N为刀数),才能讨论不过顶点时的情况

  8. whensee说道:

    文氏一 猜想:这样证明 歌德巴赫猜想 行不行?

    文氏一猜想:

    把所有任意两个奇素数之和按从小到大的顺序排列就可以得到不小于6的连续不间断的偶数数列。 ­

    (注)除特别说明以外,文中所说的“质数”或“素数”均指奇素数,对于唯一的偶素数2暂不与讨论。

    因为篇幅有限,具体论证过程请登录我的QQ空间阅读。

    谢谢!

  9. whensee说道:

    版主:

    我的那篇文章挂在空间已经快2年了,但一直找不到数学方面的专家来帮我会诊。

    能不能麻烦你帮我找个高人看看,真不行的话我也就死心了。

    谢谢!

  10. Cielo说道:

    西瓜是球体,难道结论和这个一样?

  11. 戈城说道:

    刚好今天看到的:5个小朋友分1个pizza,只准切三刀,怎么平均分呢?
    答案:先用两刀把pizza平均分成四份,然后一刀砍死一个小朋友……

  12. 易晖seo说道:

    数学之美

    可惜

    高中以来,没一次考试数学是合格的,哈哈~~

  13. icebound说道:

    西瓜的话,直接按投影面积算大小,就从3维退化到2维的分披萨了

  14. 李赛特说道:

    这也还是特殊情况嘛,所有刀间存在一个公共交点
    在这个条件下用数学归纳法是不是可以证明出这个相对直观的结论

  15. [...]     今天,我看到科学松鼠会上谈到了 Pizza 定理,正巧我最近也读到了很多与 Pizza [...]

  16. 股旁网说道:

    还真是个技术性难题,怪不得15年了

  17. 其遥说道:

    “有人问,这个给我们的工业生产带来什么好处了吗?没有,暂时还没有。数学的美,不在于那些,而在于其精巧的思路和严谨的逻辑,这才是一个有一个数学难题真正的魅力。”

    呵呵,看到这儿我突然想起了何夕的《伤心者》。纯理论研究和实际应用的关系真是微妙得不可言说。
    “古希腊几何学家阿波洛尼乌斯总结了圆锥曲线理论,一千八百年后由德国天文学家开普勒将其应用于行星轨道理论;
    数学家伽罗华公元1831年创立群论,一百余年后获得物理应用;
    公元1860年创立的矩阵理论在六十年后应用量子力学;
    数学J.H莱姆伯脱,高斯,黎曼,罗马切夫斯基等人提出并发展了非欧几何。高斯一生都在探索非欧几何的实际应用,但他抱憾而终。非欧几何诞生一百七十年后,这种在当时毫无用处的理论以及由之发展而来的张量分析理论成为爱因斯坦广义相对论的核心基础;
    何夕提出并于公元1999年完成的微连续理论,一百五十年后这一成果最终导致了大统一场理论方程式的诞生。”

    说不定N年以后,这个分披萨的问题还真能应用到我们今天想象不到的重要领域呢。

  18. 紧张状态中说道:

    果然表面的是假象。

  19. 我说说道:

    没理清思路~~~

  20. 墨花水影说道:

    其实就是NIE游戏的进化版本……

  21. CZ说道:

    除非限定每块PIZZA的顶角相同,否则文中的结论全部都错,而我从头到尾都没有看到这个限定条件,可见作者写文章时根本没有好好思考这个问题
    假如限定每块PIZZA的顶角相同,还花了15年去证明文中的结论,那这帮数学家也太2了

  22. joy32812说道:

    到了最后的切西瓜的话,个人感觉和切pizza是有所不同的;
    pizza是一维的圆形,而西瓜则扩展到了二维的球体。。。。
    so。。
    (but i can't prove it)

    • 滕子京说道:

      我也觉得西瓜和PIzza不一样,西瓜的体积并不是和上面那一面的面积成正比的。作者在写这篇文章的时候没有仔细考虑这个问题,如果没有很好的对应的话,不必将例子本土化,毕竟Pizza已经很生活了

  23. joy32812说道:

    sorry ! pizza是二维的,西瓜是三维的。。刚写错了。。

  24. 偶嗒咦哆说道:

    那个...5个小朋友 分一个匹萨...只能切三刀...如何平分...
    答案是一刀先砍死一个小朋友然后再两道切成4块...

  25. 木鱼说道:

    额,除开数学,隐约还看到了博弈论的影子...

  26. 水珠儿说道:

    应该有每块pizza的顶角相等的条件吧,否则,以3刀为例,令3刀的相交点很接近圆周,如果包含圆心的那块顶角(以及和它对顶的那一块)无限小,另外4块顶角相同,那么拿到包含圆心那块pizza的人一定分到的比较少!画画看就知道了~~

  27. 水珠儿说道:

    应该有每块pizza的顶角相等的条件吧,否则,以3刀为例,令3刀的相交点很接近圆周,如果包含圆心的那块顶角(以及和它对顶的那一块)无限小,另外4块顶角相同,那么拿到包含圆心那块pizza的人一定分到的比较少!画画看就知道了~~

  28. judehan说道:

    求解,那个两刀不过圆心,白色面积大于粉色是怎么证得的?。。

  29. tenloss说道:

    doyle 说: 2010-03-17于12:06第一,如果每一刀都经过Pizza的圆心的话,那当然不管切几刀,两个人都会分到一样多。

    为什么我没看出这个当然在什么地方?求解释.
    是不是得有个限制,要求每一片的顶角角度相同?

    你可以实际切一下……

    • transmixer说道:

      只要自己画一下图就知道了,这个结论在文中给出的条件下是不成立的
      两个人轮各自流取一块时,假设过圆心切两刀,A拿一块小的,B拿一块大的,A下面拿的第二块是自己第一块的正对面,也就是小的,B仍然拿一块大的,不可能相等。
      所以这文写得虽然有趣,不过并不严谨……

      • geoffrey说道:

        文章开篇的确有说每块pizza的顶角相同,所以结论是正确的

  30. prosup说道:

    这...还未论证不是每一刀都交叉与一点的情况,未结题

  31. lugi说道:

    第一,如果每一刀都经过Pizza的圆心的话,那当然不管切几刀,两个人都会分到一样多。

    这个错了吧,切两刀,过园心的话应当是第一个人吃得多吧?选夹角大的那块先吃吃得多么 :)

    过圆心的话,不管切几刀,选择总夹角最大的吃的多

    伪科学哦

  32. Ent说道:

    查了一下原文献,要求顶角是相同的,这个确实是作者失误了忘记写上……小易你赶紧改过来吧~

  33. greenbug说道:

    我觉得数学家想的问题还真是比较无聊,花个几十年研究个问题,最后发觉对人类没啥用

    • 郭玮说道:

      不怕货比货,就怕不识货。还好像你这样没什么眼光的人比较少

    • 费孛沓说道:

      一个妇人问法拉第电磁感应有什么用,答曰:刚出生的婴儿有什么用。

  34. 幻想音符说道:

    (+﹏+)~狂晕,( ⊙o⊙?)不懂……我只是小学生……

  35. 佛坯子说道:

    请问达人,n元一次方程组,需要n个不相关联的n元一次方程式才有唯一一组解。我想问:存在有n+1个不想关联的方程式吗?

    • moto说道:

      考虑一下一元一次,你就有答案了

      • 佛坯子说道:

        一元一次方程都可以直接算出答案,这可以看作简化方程后都是一个方程,即一元一次方程只有一个方程形式即x=x,并没有二个以上的方程。

      • 烤绵羊说道:

        大赞 解释得很通俗
        x=1,x=2
        是无解的

    • cc21说道:

      n+1个不想关联的n元一次方程式不存在。
      学习线性代数中矩阵的秩理论就明白了。

    • da_说道:

      不存在,线性代数基本知识可以知道,第n+1个方程一定与之前的线性相关。

  36. roy_hu说道:

    切西瓜是球形,和切pizza一样吗?

  37. moto说道:

    条件不足

  38. peterpollicy说道:

    就是喜欢数学的美!

  39. kongyunzi说道:

    过圆心时,确实只有奇数刀比较明显啊

  40. 舟舟说道:

    如果切的不是圆呢?比如不规则图形,那么结果会是一样的么?

  41. 阿法纳斯说道:

    我想起了另外一个故事,说的是先挑大块西瓜吃的人吃得慢,于是最后吃的反而少

  42. 扳手说道:

    楼主似乎漏说了个条件,在交点不过圆心的情况下,批萨被切分后是要求每一块批萨圆弧所对的那个三角的角度都必须相等的。

  43. [...]                15年的数学难题 —— 分Pizza [...]

  44. 福哥说道:

    切偶数刀就能保证两个人分的一样,还是值得怀疑,如果那两刀切得很偏的话,尤其是靠近边缘!

  45. hhh168168说道:

    两刀不行,人家没说2刀可以啊,4刀以上;
    两刀完全可以使其中一块大于50%,怎么可能平分哪!?

  46. 说道:

    这篇文章涉及的几个命题 请作者详述推导 不然大家理解上多有偏差

  47. hy说道:

    前提:交于一点。两人轮流拿的意思是:第一个人拿1块,第二个人拿两块,第一个人再拿两块。直到拿完。

  48. Eldorado说道:

    看意思切割的前提应该是每份的尖角角度应该是360/2n刀哈

  49. ococu说道:

    貌似过圆心,切奇数刀才平分啊。我不懂数学,画画图都觉得偶数刀不太会平分:)

    作者是否再检查下?

  50. asg说道:

    似乎有其他条件,文章没有写明,参考图片:http://www.maorongrong.net/pizza.jpg

    • giliwala说道:

      asg 说: 似乎有其他条件,文章没有写明,参考图片:http://www.maorongrong.net/pizza.jpg

      有道理,“http://songshuhui.net/wp-content/uploads/2010/03/4-Cuts.jpg”图里的每个红色区域的两边缘可以无限趋近,导致红色分区面积趋于零(如果不是要求双方弧长相等的话)。

      希望作者补充完整。

  51. wencan说道:

    数学很有趣
    可惜我不会成为一个数学家

  52. zhang说道:

    应该有个条件,每一片的角度是同样大的。否则可以切出一块特别大的,秒杀其它的。

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