四维盒子的展开图
思考有时候是很有乐趣的，特别是你发现解开一个问题的同时，同样的思路能把其他一连串问题也解决了。从特殊的情况推广出一个通用的原则，可是不小的本事，也是相当不容易的一件事。它需要一些洞察力，想象力和把看起来不相关的东西扯到一起的本领。尤其在抽象的问题上，当直觉开始显得吃力的时候，这种推而广之的方式可能会打开从显见通往深奥的道路。柯赫同学诡异的雪花曲线，它怎么会和芝诺的乌龟拉上关系，它俩又如何都能用极限的定义来认识？洞察这一切联系带来的乐趣，大概就像长期忍受便秘之苦终于畅通无阻的快感吧。
这样的乐趣可不能让老书虫们给垄断了，精彩的思想不等于复杂艰涩哈。凭着常识和逻辑，也能解开反常识的问题。比如，这个四维盒子的展开图。
四维盒子？长啥样啊？呵呵，我也没见过——估计地球人都没见过。我想问的是，它拆开来以后是个啥样。大家都见过被拆开压平的纸箱，从一个三维的立方体变成了一串连在一起的二维正方形。那么，四维的盒子拆开以后，我们就能在三维的空间中看到它。你有兴趣来告诉我，你会看见什么吗？想一分钟，再往下看，好不好？
让我们来做个推而广之的思想实验，从日常生活中人人都看得见的三维盒子开始。要得到一个立方体，需要六个面。这六个面是什么关系呢？
我们观察一个正方形，把它叫做“A”。A是一个二维的物体，让它沿着第三维平移到A’处，它所经过的就是一个三维的空间。把这个空间封闭起来，就成了一个盒子。那么封闭需要几个面呢？观察上面左图，因为A和A’两条相互平行的边之间要一个面来封（叫做“B”），A有四条边，所以一共需要四个B。哇哈，一个起始面，一个截止面，四个封闭面，这就是一个立方体。
把标注过的三维盒子拆开，我们可以见到这样的平面图：起始的A各条边都和一个B相连，截止的A’“挂”在这个对称图形的任意一个B上。
好了，可以开始联想了。三维物体是用二维物体封闭起一段空间，那么四维物体就是用三维物体来封闭四维空间。所以四维盒子的各个“面”应该是立方体。剩下的问题是我们需要几个立方体，怎样组合？
如果在假想的第四维上平移，我们需要一个起始立方体A，一个截止立方体A’，以及若干用于封闭的立方体B。在A和A’两个相互平行的面之间需要一个B，A有六个面，所以总共要六个B。看看上面的盒子展开图，四维盒子就不难拆开了：一个A在中央，各面粘上一个B，在这个对称物体的任意一个B上粘个A’，就成了！
怎么样，和你想的一样吗？整个思路并不复杂。就像三维盒子可以有不同形式的展开图，这个答案不是唯一的。其它的情况对想象力的挑战更大，你有兴趣做个不同的展开图不？下次你去高维度大集合星球旅游，别忘了带上这个纸箱皮，帮我验证一下是不是可以折成个四维的盒子。多谢多谢:D
什么意思？怎么没看懂？
让我想到了《变形金刚》里的“火种”由一个巨大立方体变为小立方体的镜头，莫非…它是个四维盒子？
同感 同感
三维圆形怎么办？
圆形似乎不能通过二维图形的移动形成，那是不是说有些四维图形不能在三维面上展开？
我看懂了。这样的话，四维球在三维的投影就应该是半径变化的三维球了吧？
三维球可以像剥橘子皮一样在二维平面展开，那么四维球是不是可以类似地展开为一系列锥形呢？
楼上说的“投影”不太准确吧，四维球的投影是不是应该是三维球呢？
呵呵，要我也这样猜
不过这可不敢乱说了，得请教数学家~
把三维球（准确说是壳体吧)剥开，在二维平面上会形成一个“圆”（或者椭圆，取决于展开方式），这个“圆”由无数从圆心到圆周的线段组成（可以想象，无法构造？）。那四维球体在三维上的展开应该是由通过空间中某点的无数球型组成。
还有个问题想不太明白，二维图形圆怎么一维展开？展开就是一个线段？
我觉得有问题吧，
数学上空间、坐标有他严格的定义的，
这么简单就能展开，
我觉得不太对，
就是感觉，
我也不是学数学的。
这大概是最简单的一个例子了
就像楼上有评论说到的
球体展开就没这么容易想了
但是从数学上仍然可解的
用数字和公式来归纳几何规律
也是一种高级的推而广之吧
对称没考虑。四维盒子是什么样的对称群？这个图满足所有的对称条件不？
看不懂说什么
空间就是三维的吧, 真的有四维吗
我觉得二维平面可以投影到一条直线上, 三维可以投影到二维上, 4维空间的也能投影到三维, 就是时间停止状态
比较统一这个看法。我觉得先要搞清楚什么是第四维，才有4维展开的问题。而且，如果第四维是时间，怎么拿四维去包裹三维呢？实际上，想要去包裹3维本身应该就是错的，本身就是三维世界的四维。还有，从逻辑上，为什么要用三维去包裹三维呢？B为什么就不能使二维的面呢？
另外，如果LZ的说法可以成立，应该还有个0维，那就是一个独立的点，不知道LZ同意不？：）
完全同意
点就是0维啊
不是普通的点……是奇点吧=____=
奇点是什么点？
物理上的点是抽象出来的。没有大小没有体积没有质量的东西是东西吗？
呵呵，我自己也晕了。
四维的概念只存在于数学的抽象中，是纯粹的精神产物，客观世界中不存在，因此这种思想试验是没有什么太大的意义的。鉴定完毕！
客观世界中存在，就做实物实验了，那啥时候才能做思想实验涅？
当然不是。我们的世界，至少是四维的时空。按照光以相对论，时间和三维空间组成四维时空，不可分割，所有物体都存在并运动于四维之中。按照量子力学热门的super-string理论，这个世界本质上还是11维的呢，我们只能看到3维空间，只是因为其他8维蜷曲着。
能不能介绍些资料啊，为什么蜷曲着就看不到呢？
三维矢量俺已经学得云山雾罩，多维矢量俺连照葫芦画瓢都画不好，所以看到这个标题就想起了那如花（头脑昏花的花）的岁月。
哇，手动画图？还是生在计算机的时代幸福啊~
让人想起了Cube2倒是真的。
我记得 伽莫夫在他的科普名著《从一到无穷大》里，有过一个四位的盒子在三维空间的投影，过几天找来再看看
看了告诉我啊~
记得就是文中第3张图……
另外印象里在加来道雄的某本书里也有这个投影图
可以看看这个，维基百科上关于四维时空的，里面还有一幅图片，四维的物体在三维下的投影：http://en.wikipedia.org/wiki/Fourth_dimension
那里有个图跟楼主的一样！！！！！！！
讨论之前最好想wiki那样，指明第4维是指一个空间的维度。否则容易误认为第４维为时间。
如果第四维是时间的话，也可以投影，而且要简单很多，大家可以想一想，哈哈～
就是一个盒子摆在那里。。。？
嗯，对了一半吧～
一个盒子摆在那里，是将四维投影在时间这一维上。
还有一种可能是将四维投影在空间这一维上，结果就更简单了不是？
咦，是什么呢？
晕啊，是随时间变化的２维平面图形嘛。
博文中的展开法在逻辑上有不少的欠缺，不敢苟同。
就拿归纳法来分析的话，我们只有知道2维盒子的展开方式和3维盒子的展开方式，我们才能去推测4维盒子的展开方式不是么？况且这种归纳出来的结果还是会有一些问题。
比如给出数列 1，2，4请推测出下一个数字是多少？
有人说是6，因为他把这个数列看成2n(n是自然数），
也有人说是9，因为他把这个数列看成n*n(n是自然数）。
所以单凭3维盒子的展开方式就来推测4维的情况实在有点臆测的味道，是不准确的。
这有点太挑了。我最开始也怀疑这种推断方法，于是开始反推，如果它是正确的，那么从二维到一维的展开也应该符合这个规律，事实证明的确符合。科学的方法，无非八个字“大胆假设，小心求证”，就如softwill举的这个例子，不管下一个是6还是9，都是可以解释的，那么在现有条件下，那两个都要假设为正确的。如果有一天，我们能得到更多的数据，比如第四个数是16，那么才可以认为第二种猜测更加正确。
楼主介绍的是一种猜测方法，当给出逻辑的时候，就不能说这个是臆测了。
1,2,4的下一个数字不会是6吧，1没法解释，我猜楼上的意思是8吧(2^n)，最近有个电影《牛津杀手》就是讲不可知的种种，其中主线之一就是数列的不可知，比如，1，2，4的下一个数字是7也可以啊（1和2差1，2和4差2，4和7差3），不过我个人认为对于正方体来说，lz的展开方法：n维正方体的n-1维展开，即是一个起始n-1维正方体的每个n-2维边界，都用1个尺寸完全相同n-1维正方体连接，并且其中一个连接着一个终止n-1维的正方体，应该是对的，一定可以证明，召唤数学达人！！
嗯，谢谢zlbruce ，推荐大家都去看看那个链接
疏忽了，应该在文中补充一点资料的
object\dimension 0 1 2 3 4
0 dot 1
1 line 1*2=2 1
2 square 2*2=4 1*2+2=4 1
3 cube 4*2=8 4*2+4=12 1*2+4=6 1
4 super-cube 8*2=16 8*2+8=16 6*2+12=24 1*2+6=8 1
B[i][j]=B[i-1][j]*2+B[i-1][j-1]
Definition:
1. B[i][j] =The j-dimension border of i-dimension object.
2. The i-dimension object is made from a [i-1]-dimension object move in a new 1 dimension.
3. The 0-dimension object is a dot.
Explanation:
The j-dimension border of i-dimension object comes from two parts:
1. B[i-1][j]*2
The [j]-dim border of [i-1]-dim object appears at the start point and end point of the new dimension.
So the total border come from this way is B[i-1][j]*2
2. B[i-1][j-1]
One [j-1]-dim border of [i-1]-dim object moved along the new dimension creates one [j]-dim border in [i]-dim object.
So the total border come from this way is B[i-1][j-1]
Then you can add these two parts to get the total number: B[i-1][j]*2+B[i-1][j-1]
哇，perfect generalization~
最后那个
4 super-cube 8*2=16 8*2+8=16 6*2+12=24 1*2+6=8 1
B[4][2]应该是 8*2+8=24吧？小笔误，呵呵
汗颜。。。
其实应该是 12*2+8=32
总算看明白了安婆婆的意思……不过四维空间内个东东真的能叫盒子吗？如果拿一维的来作二维的盒子，结果发现作不出来什么东西。= =
个人感觉这个类推方法不太准确，因为这是一个6面体，而不代表4维空间。此外还有8面体等等，比如我们用三角形照着该方法却做不出一个三维的图形的展开图。因此如果单纯认为一个四维空间中8个6面体可以组成一个4维空间的盒子还是显得有点牵强了。
不过真的是很好的想法。我觉得再此基础上可以进行更深层次的考察
是的，边缘和封闭的概念是和空间维度的定义相关的，这种“平移推论”适用于平行多面体却不适合诸如锥体之类。“盒子”只是一个叫法，指一段封闭起来的空间。一维线段做出来的是二维的方形，一个封闭起来的二维空间。二维盒子。。。是有点怪异哦，呵呵
我想这里 三维空间中的8个封闭的正方体 仅仅是 四维物体在三维上的八个边界而已 你其实 可以把它们完全分开而没有关系 就如同你可以把组成三维正方体的六个正方形分开一样。至于四维物体如何组成的，那要站在思四维空间才好想象。wiki上已经提供了很多图形可以帮助你在三维空间yy一下四维物体的样子。
根据维数原理,点平动成线,线平动成面,面平动成体.
那么,四维体在三维空间展开的各部分(或任何部分)都不能相交相连.比如:面在线空间的展开,可能展开形式有无穷种或无穷多个部分,它们不可能有任何联系(相交,相连等)
展开形确实有多种，可以认为是在不同维度不同方向的投影。
但是不相交相联就不一定了。比如起点和终点重合。
再比如面可以在有夹角的两个线空间有投影。
最后一句不是很明白。
认为有夹角的两条线的平移产生的面是两个重合的面。
不太同意你的做法：把三维盒子移动平移实际上还是在三维空间里操作的，反推回去你应该在A平面所在的二维平面内移动出来一个A’平面，这样A和A’就连不出来立方体了——能否解释得通？
三维盒子是在第四个维度上移动的
这要看你的第四个维度怎么定了。
比如从一点出发画一个园，虽然起点和终点重合，但是它也是在一个维度（圆周）上运动过的。
其实你也可以把我们想象的三维盒子移动的三维空间中的第四个维度（不管是不是平移）看成是四维空间中的第四维在这个三维空间的投影。我们是无法感知真正的四维曲线的，但是我们可以看到它的三维投影。就像一条三维曲线在二维上仅能投影成二维平面上的一条曲线。
综合上面的一些想法，其实高维空间的物体的性质是可以一点点分析出来的，比如：
如果每次运动向同一方向且起点和终点重合，那么：
0维 点 1维 封闭曲线（比如圆周） 2维 封闭曲面（比如球面） 3维 封闭物体 （比如圆环体）
以上每一维的物体仅在本维度上有一个边界，且只能在更高的维度才能感知区别。比如对于圆周，在一维上无法分辨是线段还是圆周，只能在二维感知，而对于线段，在一维上就可以感知，因为你向一个方向会走到尽头。
再比如三角形和锥体的例子，其实就是每多一维，就多一个0维边界，然后从现有的各维度边界向多出来的0维边界连接形成新的高维物体，也就是：
物体\边界 0 1 2 3 4
0 点 1
1 线段 1+1=2 1
2 三角形 2+1=3 1+2=3 1
3 三棱锥 3+1=4 3+3=6 1+3=4 1
4 中心有一个点的三棱锥 4+1=5 6+4=10 4+6=10 1+4=5 1
B[i][j]=i维物体的j维边界
B[i][0]=i+1
每多一维，0维边界（点）多一个
B[i][j]=B[i-1][j]+B[i-1][j-1]
i维物体的 j维边界由两部分组成：
1. B[i-1][j] i-1维物体的j维边界
2. B[i-1][j-1] i-1维物体的j-1维边界与新的0维边界构成的新的j维边界
这是一个打从我知道有维这个东西时就在想的问题。你做了一个局部推广，按常理来说我认为没问题，但对错与否我不知，你确定你说的有根据么？不光是四维，多维在任意维度的投影都很有意思，用图形解释会更生动些。呵呵~你的文章对知识普及有很大贡献嘛~
谢谢^^
所以《维度》那部电影比这个要生动多了
我们还是看电影吧
用数学归纳法容易得到，N维的盒子是由2N个N-1维的“盒子”围成的。
把它看成一个色子，就可以解决啦。
http://dabenxiong.blogbus.com/logs/24249264.html
最小的四维正多面体，应该是五个正四面体围成的，比六个立方体围成的还要简单一些。
我认为，这不可信。由于我们无法确定四维是时间上的四维还是空间上的四维。如果是空间上的四维，我们是无法确定其真伪的，因为弦理论只是一种猜想；而第四维是时间的话，我们无法建立这样一个盒子，便没有展开了！
四维盒子会不会是一个沿时间轴无限拉长的盒子？
根本就没有所谓的四维。时间确实和空间有着千丝万缕的联系，但是时间并非是一个维度。小到一个基本粒子，大到宇宙星球，到一个人一个生物，都有自己的相对时间。时间是相对的，依附于物质基础之上的存在。
至于三维结构，三维结构本身是一种可以无限拓展的结构，根据简化原则，根本没有多余的维度存在。所有的维度都可以被三维涵盖，还要那些维度做什么呢？
另外我解释一下弦论和超弦理论。该理论只是在数学模型上成立，表明物质可以用一段波或者波图像来表示，但是没有任何证据可以证实弦论。
所以，四维展开盒子，这篇文章真的是，出发点就有问题。
应该不是这样的，如果从3维到4维和从2维到3维一样，那从1维到2维，2维到3维就是一样的了，可是事实不是这样的。所以这篇文章…………
以t轴作为截断轴，xyz三条轴为投影空间
就很好理解了，在t轴的每一个段上投影出的都是一个三维物体，体现的是某个时间点该物体的位置
同样，以x轴截断，tyz三条轴进行投影的话
得到的是同样是一个三维物体，体现的是处于该x坐标上所有世间点的物体的yz投影，不过形状很难想象就是了
换句话说，在座的各位在某种意义上每人都是一个四维或者更高纬度的物体，但是由于观察手段的限制，我们观察的角度受到了限制
举个浅显的例子，在一张白纸上画一个树形分支图案的话，我们俯视白纸的话，整个图案都一目了然
但是如果假想某二维观察者（指其在t轴下的观察视点，实际上应该算是三维）存在的话，那么在一个时间点，它只能看到树形结构的一部分，并对没有观察到的部分一无所知
那么，我们再假设它只能沿着x轴和t轴做单向运动（实际上这进一步降低了观察者的维度），那么，在这条树形结构上移动的观察者就看到了所谓的——人生，或者说是命运什么的东西
虽然对过去拥有记忆，但对于未来一无所知，并且会产生“未来是不确定的”这样的错觉
那么回到我们自己身上，如果能以更高维度观测的话，能够看到未来是肯定的，但是未来是否仍然确定不变仍然不可知
在那张白纸上前进的低维度观测者所面对的是绘在白纸上一成不变的树形结构，但如果它所观测的是位于计算机屏幕，时刻都在发生着变化的树形结构呢？
那么，只有获得更高维度的观测角度才能看穿这一切
这也就是我们的物理和数学，逻辑等等永远无法洞悉宇宙终极法则的原因——我们的观测权限不够
在我们看来是随机行为的乱数很可能在更高维度上是非常有规律的数据，然而遗憾的是，即使我们怀疑这一点——我们也永远无法去证明它
话说一直没搞清楚“展开”到底是个什么概念。。。
球的展开，可不可以这样理解，一维的线绕一个点（奇点？哈）旋转即可成面，二维的面绕一条线旋转即可成体，那三维的体绕一个面做某种Alulu的脑袋搞不清楚的运动，是不是就成四维的了呢？然后拿任意一个四维的玩意反演回去，是不是就算展开了？
有点晕
球面和立方体的面不一样，球面是曲面，不可能展开到一个平面上
这个展开并不是四维的展开，而是四维体的边界的展开，N 维体的边界是N－1维的，所以可以展开，也就“搞平”，其实不搞平也是N－1维的，比如一张白纸折两折或卷成筒还是二维。
完全还是三维嘛，三个线性维度，你的那个思路是什么回事
有谁能详细解说:一种智力玩具?
共27个小四方块,组合成一个三维体,外面的26个小四方块可以围绕着中间一个转动.每面可以看到9个,每个小方块的外面有不同颜色的ABCDEFG字样或者是数字123456789有规律的排放的.
当转动之后原来 有规律排列的字母或数字就变得杂乱无章了!
有没有谁知道该怎么转动使之从杂乱无章变成之前的有规律排列?
我家儿子问我,有五维的吗?有六维的吗?真恨自己没多读几年书.
hoho，更有趣的是lz最后作的那个东西，现在看来是完全不能折的，但是拿到4维空间里面就可以在完全不破坏的情况下在第4维上折叠起来，真是有点让人跃跃欲试啊！！！
….你这个是不是有点太抽象了啊?
我怎么就看不懂呢?
一群疯子，说了半天什么~~~~
额这个问题，我们好像讨论过
“mas 在 2008.07.08 09:07, 说:
用数学归纳法容易得到，N维的盒子是由2N个N-1维的“盒子”围成的。”
mas的观点和我一样 不过这个是没有考虑单边维度的情况
我不认为那是四维盒子的展开图，那只是三维盒子展开图的一个简单“类比”。至于真正的四维展开是什么形象，我想答案大可能是：不知道。因为60亿人谁也没见过四维到底是什么样子的。
我认为这种说法是错误的
拿三维立方体说，如果A在它所在的平面移动，是不能得到三维立方体的
同样，在得四维的立方体展开图的过程中，我们也不能将它在它所在的平面内移动
因此这个展开图是错误的
抱歉，说错了
第三行应为“同样，在得四维的立方体展开图的过程中，我们也不能将A在它所在的空间内移动”