前情提要，小世界（0+1）壹

量子

匝道是连续的，楼梯是量子的；咖啡是连续的，咖啡豆是量子的；青春是连续的，板砖是量子的；丝带是连续的，蝴蝶结是量子的；回忆是连续的，照片是量子的；海是连续的，鱼丸是量子的；不可数名词是连续的，可数名词是量子的；如果非要引入数学才觉得够精确，那么，实数是连续的，自然数是量子的。

量子这个词并没什么新鲜：离散的，不连续的，一份一份的。可为什么需要量子？

一切，要从年轻时说起。青春往往令人迅速膨胀，充沛的才情和体力让自己觉得无所不能，仿佛一天之内可以搞定三场球赛外加一百个积分公式。牛顿定律和麦克斯韦方程的巨大成功让人坚信，所谓的精确，只需要在计算或者测量时，多取几位有效数字而已。姑娘，告诉我你喜欢哪颗星星，我把它算出来给你！

随着年龄增长，渐渐收拢少年心气，睿智和锋芒与日俱增，淡定之中对世界的思考更加理性：精确测量的极限在哪里？

（图1）英国地图和标尺（改编自wikipedia）

1967年5月，数学家伯努瓦·曼德勃罗在《科学》杂志上问了个问题：英国的海岸线有多长？从图1中可以明显看出，用50千米长的尺子去量，一定比用200千米的尺子去量得到的结果精确。那么看上去，一个人如果有足够的耐心和细心，用世界上最小的尺去量，就能得到一个精确值了。可最小的尺在哪里呢？即便把原子当作最小单位，为了得到准确的地理数据，请求政府拨款雇人去一个一个的数海岸线上有多少个原子，纳税人会同意么？至少英国诗人约翰·多恩（1572-1631年）不，他在《沉思录 十七》中表示反对说：

如果有一块泥土被海水冲击，欧洲就会失去一角，这如同一座山岬，也如同你的朋友和你自己。

意思是：海浪不停冲刷海岸线，想知道其精确长度简直是做梦！测量的极限并不会随耐心和细心无限逼近，因为随机涨落（噪音）在现实世界无法完全消除，涨落的尺度便是精度的极限。

即便在以不现实著称的数学家和诗人眼中，精确测量的任务都不可能完成，物理学家考虑得当然更为周密。最通常的观测过程大致如此：光照在物体上，然后反射到眼中，或者探测器（比如机械相机里的底片）上。如果想去看一个甽子，也无非是如法炮制，可电子是如此之小，光射到上面，不免对电子的状态有所干扰。“测量”和“干扰”就如同硬币的正反面。对宏观物体，同样的观测条件下，光子的干扰也一样存在，只不过过于微小，甚至还不及我们跺一下脚对地球的影响，惊鸿一瞥，就如同不曾发生过。

（图2）单缝衍射实验（改编自wikipedia）

看起来，如果能找到一种不依赖光子的测量方式，似乎应该可以避免这个扰动，比如单缝实验（图2）。一个电子源垂直发射电子到一道狭缝上，狭缝后面放着一个探测屏幕，电子打在上面会留下一个亮点。如果这个狭缝足够小，我们不就知道电子通过狭缝时的确切位置了么？是的，但有趣的是，如果狭缝逐渐变小，探测器上的亮点就不仅出现在与狭缝平行的位置了，还会出现在两侧，甚至很远的地方。也就是说，对位置的测量改变了电子的行进方向，本来直直进来的电子，通过狭缝后，方向变得不再确定了。更精确的描述来自于海森堡，他提出的“不确定性原理”（又称“测不准关系”）是量子力学基础之一：粒子的动量和位置无法同时完全确定，其涨落的乘积永远大于h/4π，h表示普朗克常数。至今还没有实验证实，世间万物，哪些可以逃脱得了不确定性原理的束缚。

有一个笑话，很黄很物理。丈夫下班未归，妻子打电话盘查：死鬼，你在哪呢？丈夫回答：我正试图穿越一扇窄门。

再深入分析一下单缝实验，会发现电子在屏幕上形成的图像非常像波的衍射条纹。这证明了微观粒子的波动性。1961年，德国物理学家约恩逊完成了电子单缝实验。但是因为早先的电子晶格散射实验（1927年由戴维森和汤姆生各自独立领导完成，二人于十年后同获诺贝尔奖）已经确凿的验证了电子的波动性，约恩逊并没有太大的名气，但他的实验因为更加直观有效，在课堂上经常被提及。

（图3）几率波（图：侯戏）

值得注意的是，量子论中，波是“几率波”，其振幅表示的并不是粒子实际的运动，而是粒子在一个位置出现的可能性（更准确一点，物理学家用振幅绝对值的平方作为计算几率值的方法）。我认为美女图片不仅仅有助于理解什么是波，更有助于理解什么是“几率波”。图3中紫色曲线表示的是读者眼睛停留在纵轴各处的几率，无需赘言，波峰和波谷表示最大几率出现的位置——眼波流转，最愿意停留的地方；而波节则表示几率为零。微观粒子波动性的几率解释由德国物理学家波恩首先提出，并成为量子论中另一个基本原理。

粒子，可以用自然数标记出一二三四来，当然就是量子化的。而波动性，又将自然的导致其他物理量的量子化。这里举个简单的例子。

文艺青年崔健在《这儿的空间》里唱道：想的都没说，说的也都没做，乐的就是弹吉他为你唱个歌。科学青年的乐趣是弹着吉他为你讲量子论。琴弦两端固定，拨一下，无论用力还是轻柔，出来都是同一个调儿，最响亮的那个音高，称为“基音”。在同一根弦上，左手按住琴弦从低把位向高把位滑动，音逐渐变高，因为琴弦基音的振动频率只与琴弦固定端的距离有关。

（图4）粒子囚禁在一维盒子中（改编自wikipedia）

现在考虑一个微观粒子，被囚禁在一维的盒子里，因为无法逃脱，这个粒子在盒子边缘出现的几率被限制为零，而其他地方的几率分布必须是波的形状——如图4所示，类似于琴弦的情况。这一来，粒子的几率波便无法任意取值，而只能取一系列分立的特定值。于是，波的频率就被量子化了，又因为微观粒子的能量和频率成正比，粒子的能量也就成为分立的，这些分立的能量叫做“能级”。粒子如果吸收能量，比如吸收一个能量合适的光子，它将从低能级跃迁到高能级；反之，也会释放能量，一个光子就被吐了出来。

20世纪初，物理学家注意到只有可观测的量才是值得研究的，而后，无论是相对论，还是量子论，都是通过对“测量”的深入思考才得以建立。不确定性尽管有可能造成哲学上的恐慌，但它并不会带来不可知论，只是更好的限定了科学预测的范围。对生活而言，每天都是新的，这不是很好么？

有意思的是，20世纪初的艺术家们也开始关注观众的“测量”行为，并注意到：观众对作品的阐释也是艺术作品的一部分，个体的体验才是艺术性的主要来源，因此必须抛弃普适的艺术价值。艺术的现代性便由此而生，抽象和实验成为艺术表达的主要方法。去看现代艺术，没有懂与不懂的区别，只看有没有被感动或者好不好玩。

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