这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题， 扭结分类问题。所谓扭结，顾名思义就是一根绳子首尾相接，它可能打了结。更一般的，可以是几根绳子，除了自身打结以外，还互相打结。对具体的一个扭结，也许可以通过做实验的办法判断它是否打结，但是数学家希望找一个普适的，定量的办法。比如说，任意画一个扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影），比如这个有点复杂的，怎样不动手做实验就能判断它到底有没有打结？
这个问题后来证实是非常复杂的问题。在有了计算机以后，才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。直到 2006 年，才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。
扭结分类的问题比判断是否打结更困难。比如，以下两个扭结都打了结，它们是否本质上是同一种结？
所谓 “分类”， 就是要找一个（可计算的）判据，使得当两个扭结满足这个判据时就是同一种结；当它们不满足这个判据时就不是同一种结。到现在为止，也还只能找到一些非常复杂的判据，同样要借助计算机才能大致判断两个扭结是否本质上为同一种结。
扭结理论有一段很有趣的早期历史。1867 年，著名物理学家开尔文勋爵，就是那个号称物理学已经接近终结，只剩 “两朵乌云”的开尔文，突然产生了关于化学元素表的新看法（那时候还没有发现原子，所以化学元素表还是一个谜）。开尔文认为，不同的化学元素其实是 “以太”的涡旋在空间中的扭结形态。“以太”是19 世纪的物理学家们发明的概念，它被想象成充满整个空间，是电磁波传播的载体（或媒质）。开尔文是很严肃的物理学家，当然不能凭空想象，实际上他提出了几个即使从现在的观点看来也很合理的证据：
（1）元素很稳定，这可以用扭结的拓扑性质来解释，微小的形变不改变扭结的 “扭法”。
（2）元素很多样，这可以用扭结的多样性来解释，不同的 “打结方式” 实在太多了。
（3）不同的元素发出不同的光谱，这可以用 “以太扭结” 的各种 “振动方式” 来解释。
有时候我们不得不佩服一些大师，他们虽然偶尔有点信口开河，不过极富原创力想象力。开尔文这个想法可以算是 “弦论” 的原生态。虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构，但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中依稀找到一点影子。
请原谅我不能在这里具体给出任何判断两个扭结不同的方法。任何这样一个方法，都需要很多图解和文字说明。有兴趣的网友可以读姜伯驹的《绳圈的数学》或者英文书 《An introduction to knot theory》， 作者 Lickorish, 属于系列 GTM (graduate texts in mathematics) 175. 再贴几个扭结：
然后是一个问题：下面三个扭结中，哪两个本质上是同一种结？
看上去好像是2和3一样……猜的
说真的，比较感兴趣有关数学的，只是，抱歉，我觉得拓扑学简介一和二文字都有点少，而且总觉得有点不够味儿呢……
我隐约记得在哪本书里面尝到过拓扑学比较接近纯数学（数学学）来的，但是在上一文这一文，正文评论，好像拓扑和实际还是有那么一点关系的。
希望能看到一些从不同学科或者著名学者的角度来评论拓扑学的一些描述和文字，或者更有意思的应用所在和举例……（人家只是随便想想而已……不要过于难为于我哦……）
嗯，我同意。不用公式图解单凭文字讲解数学，超出我的能力。扭结分类是个困难的问题，研究方法涉及数学其它很多领域，展开说就太长了。
1和3啊，他们是一样的结
其实可以讲一些扭结的简单的不变量，比如linking number.这样文章会更有趣味一些。虽然Kelvin的那些事请也很有趣，但是如果所有事情都只是一笔带过，读了之后也就忘了
3打结了
1和2一样的。
这种没有节的可以直接在头脑中解开，好判断。
但是怎么判断有节的是一样的呢？
这个有些复杂，现在用的判据是，从空间中分别挖去第一个扭结剩下的部分 M, 如果拓扑等价于挖去另一个扭结剩下的部分 N，两个扭结就是同一种结。直观上来说剩下的部分似乎比扭结本身复杂很多，但实际上，可以用来研究这个补集的工具更多，比如双曲几何。用现代的双曲几何理论结合计算机算法，现在基本上可以判断随手画出的两个扭结是否为同一种结。
说得不对，扭结补空间未必就是双曲的，另外，由于一般大家看到的都是扭结的投影图，因此如果随手画一个很多交叉的投影图，暂时还没有好的算法判断它是否是平凡结，因为现有的算法随着交叉数的增加运算复杂度增加很快。。
这里说的双曲几何工具泛指对三维几何结构的研究。 Snappea 的算法已经可以应付所有我们感兴趣的扭结了吧
好文章…我赶快去翻去..
囧…尖括号被吃掉了….
应该是”好文章…我赶快去翻什么是数学去..”
内容少了点，看起来不过瘾，看得兴头刚起，文章就戛然而止！可惜！
多谢建议。下次争取更饱满。
我觉得2和3是一样的。
看到了几个熟悉的结 没想到小时候的游戏也有拓扑在里面。
我自己用绳子套了一下，发现是1和3是一样的呀
都是一个交叉结
呵呵··笨办法啊···
管用就行：）
你没看清,1和2是一样的,没有结,3是有结的打不开…不用试,在脑袋里解得开的…
[...] 《Knot or Not》，《新科学家》10月16日专题。记得松鼠会上曾经发布的两篇《拓扑学简介》吗（这里和这里）？那是我们松鼠会给《新科学家》抛砖引玉呐～呼唤数学爱好者。 [...]
谢谢jones多项式吧
谈谈jones多项式吧
呵呵，Jones 多项式离原本的拓扑学还是有点儿远
xuanzhong和xiphoid都在这里混阿！
关注你的专栏，呵呵。
“在有了计算机以后，才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。直到 2006 年，才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。”
请问是什么算法？判断扭结是否平凡似乎是NP问题。
“请原谅我不能在这里具体给出任何判断两个扭结不同的方法。” 这是因为目前还没有分类扭结的办法。
knot Floer homology 的 grid diagram 算法。虽然不能从数学上证明这件事，但 Snappea 给出的 cusp neighborhood 图像（在实践上）似乎可以完全区分扭结
好吧，以我多年的蒙选择题的经验，从直观上看貌似大概可能是2和3一样。另外，同ls问算法
我把手提袋上的绳子解下来做了实验。
一开始我只解了一根，按照文末三幅图中最下边的那幅图（记为 图Ⅲ）的穿法，把绳子的两端连在了一起。然后提起来拉伸简化，结果出现一个“结”，跟其右上方的图（记为 图Ⅱ）不是同一种。
当我打算做图Ⅲ左上方的图（记为 图Ⅰ）实验时，发现绳子太短，于是我就解下了袋子上的另一根，把两根绳子打结变成一根。图Ⅰ实验最终结果跟图Ⅱ的完全相同。
上面klavier说做了实验，但是得到的结果跟我得到的不一样，于是我又重做了一次。结果仍然是：图Ⅰ、图Ⅱ中的纽结本质上是同一种结，图Ⅲ中的是另外一种。
附言：我查了一下维基百科，文中“扭结”似应改为“纽结”。另外，如果作者能给插图编号，也许会更方便描述、讨论。
传统上的确叫 “纽结”，但是 “纽” 这个字的意思好像跟我们谈论的这个东西没有任何关系，所以现在很多人都写成 “扭结”
咖啡豆你真好，给我提供了标准答案，哈哈～支持你
用看的，2和3一样。3其实就是团在一起了，没有结。一扥就开了，会变成和2一样的状态。
其实 1 和 2 一样。
嘿，你丫也来了。
各位看出1和2一样的同学，能不能教教我怎么看的？
我看了40多分钟才看明白，眼花的不行了。。。
2.3是一样的，3实际上是没有扭结的，眼睛都看花了，才看出来的。
唉呀，看了大家的留言，原来我看错了呀，看的时候真的晕晕的，难道这个只能靠实验法么？
本来妄想能看出来的，后来觉着不成，太晕了
后来用了个，怎么说，”程序式”的方法 拿铅笔画在纸上，一步一步化简的。感觉跟对付电路图有点像
步骤1 开始定了两个规则：
1 绳子上任意找个a点。从它出发，会经过交叉点，绳子在交叉点的上方或下方；如果连续经过n(n=2,3,4…)个交叉点，绳子都在交叉点同侧，到达b点，那么ab之间的路径可以任意——也就是只要不是n=1那种上下上下交错的顺序，这样的连续交叉点就没有意义，路径可以缩短。（n=1时，最短路径就是原图）
2 交错里边有个特殊情况。如果ab之间只有一个交叉点却经过了两次，也就是绕了一圈又回来了，那么ab可以直接连接。（废话。。这个主要是到最后比较有用）
步骤2 根据规则用橡皮一通狂擦。。。应该说用起来还是挺清楚的><
诶，难道回复有字数限制。。。那么还剩了一截= =
步骤2 根据规则用橡皮一通狂擦。。。应该说用起来还是挺清楚的><
好像打了个不该出现的字符。。。那么还剩了一截= =
步骤2 根据规则用橡皮一通狂擦。。。应该说用起来还是挺清楚的， 除了有点儿慢
做出来是1和2.
我觉着这样如果空间想象能力足够，不用画也是可以看出来的。。。但用这种方法，改动次数显得太多了
应该还有更简单直接的方法吧。。。。求看出来的诸位提供><
1与3不同，3有节，=》1与2 同
1，3，看文件名。。。
非常感兴趣
看文件名，哈哈，这招太巧妙了。看文件名，的确，1、2是一样的
2和3是一样的结。