拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑”一词是音译自德文 topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入 （1848年），用来表示一个新的研究方向，“位置的几何”。中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（1931年）。
拓扑学经常被描述成 “橡皮泥的几何”，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着 “言必称希腊”，只要从莱布尼兹开始就行。
莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号 dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。
莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是现在称为“代数拓扑”的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的思考和尝试，终于在19，20世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中，高斯名气最大，被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼，其实他同高斯在数学史上的地位是相当的，他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响；莫比乌斯，他在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带，它的重要特性是，虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做 “单侧曲面”。在这样的曲面上散步一定很别扭，哈哈。
很有趣的一门学科，一直想接触，苦于自己数学基础太差~~
我们很多游戏都涉及到这个。
其实并不需要很多基础，很多人开始是完全靠直观和想象力来学习和研究拓扑的。当然，要做点严肃的研究还是需要学习一些基本的数学知识。
有意思，什么游戏会用到这个？
题头的FLASH就是最好的吸引，要不俺还不知道拓扑学
那是GIF……
想当年学解析几何学的天昏地暗的，到现在也忘的差不多了。只是提到黎曼，柯西这些人觉得耳熟...
期待中，希望后面的内容更深入。
还想读一点入门的教科书 不知道能不能推荐则个
推荐姜伯驹写的《绳圈的数学》，更严肃一点可以看一本翻译作品，阿姆斯特朗的《基础拓扑学》，不知道现在绝版了没有。
http://www.douban.com/subject/1234142/
北大尢承业的教材《基础拓扑学讲义》就更更 “严肃” 一些。
没有绝版吧：）
九章书店还有卖的，应该。
我觉得这本书比尤承业老师的书写的好，更适合于中国的初学者。个人意见。
在读尤的书 苦恼啊
高斯是不是那个加数的小男孩
从一加到一百的那个
他在数学领域里建树颇丰
好多学科里都有他
真有意思啊。
Escher好多用了拓扑学吧。
Escher这位初中开始数学就不及格的天才，总是那么受到数学家的推崇。。。。
Poincare的标准译法是庞加莱~~~就是庞加莱猜想的那个~~~
话说我觉得这个系列的文章有看头啊~~~
他娘的古代人都研究出来了我现代人还不能理解人类的智商是进步还是倒退？
文章开头的杯子动画很形象，“橡皮泥科学”让人一目了然
期待后文
好玩。
在那个单侧曲面上走有俩结果，一是摔到外科病房去（脑外骨外胸外不一定），二是自己摔成橡皮泥了……
真有意思，不上数学课了以后发现才发现数学这么有意思
不是你的错，是学校教的数学太没意思了。
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写得不错
就是有一个小问题
连续变形下不变的性质是同伦不变性质但不是拓扑不变性质
这种两种还是不一样的
不过作为拓扑介绍文章，这个小问题不是很重要了
黎曼，高斯的学生。创建了黎曼几何，和罗巴切夫凹面几何并成曲面几何。爱因斯坦在创建广义相对论的时候因为涉及到空间弯曲从而好好学了学黎曼几何。他曾经说过自己的数学不好，就是指不了解曲面几何。
还有一个克莱因瓶
如果莫比乌斯环能在现实中应用，那么商场的电梯只要一根就够用了。同理类推其他传送带。
一根电梯倒是够用,就是不知道你用什么对抗地球的引力!
关键是空间是否能够扭曲。
有个问题。
“拓扑”一词音译自德文是否有根据？wiki中文版的说法是译自希腊语，文言版说是译自英语……
我不懂德文，但从外貌上topologie这个词不太像德文……法语的“topology”倒是这么写的。
克莱因的《古今数学思想》上这么说，因为第一个引入这个词的李斯亭是德国人。当然，它有可能来自希腊语的词根。
我至少搞错了一件事，德语的“拓扑”和法语是一样的，都是topologie，谢谢。
感兴趣，学习学习。
当初学的时候是一团浆糊啊。如果教材也是这么有趣的话，学到的东西一定比现在多得多
真有意思呀！我今天还做了一个"莫比乌斯带”呢^o^~
莱布尼兹
对他的哲学很熟悉
至于数学
应该属于她的秘密手稿里的吧
看了就头晕。。
“将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质”
重新燃起了对数学的兴趣，有些无法真接想象出来的东西和理论可以通过数学去演算推理，也许最终的结果是让人难以置信的，比如多维空间，比如拓扑学。。。现在才发现数学真的很强大。
大愛Klein Bottle
3D建模要用到的。。。虽然不想学，但还得硬着头皮学。。
请问拓扑具体涉及哪些领域, 听说现代通讯科技这个的运用就很广泛
记得有年Nebula最佳小说就是关于topology的，Sword Game by H H Hollis那个看时就明白单个词的意思但整篇因为拓扑方面不了解还是很迷糊
在小说里topology能改变对时间的感觉
这是一个很好的松鼠主题!
一直都听说拓扑拓扑，难为我一个文科生啊，微积分都半懂不懂的！
不过看了这篇文章，确实觉得有点有趣了，可惜数学太差，看得也是一知半解……
拓扑学主要研究图形的拓扑性质，与几何学研究的对象相同，但完全是两个不同的学科，几何学主要研究图形的形状、大小、角度、长度、曲率等等，而拓扑学研究的是图形在拉伸、压缩、扭曲下不变的性质。也即同胚性质。