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冉有放学回到家里,一进门,就看到他的爸爸正在柜台后面专心致志地用一个精致的小秤称着一堆碎银子,不用问也知道,这是他家的冉氏土产公司一天的营业收入。要说冉氏土产公司,那可是鲁国第二大的奶牛饲养生产基地,受到国君嘉奖的冉有爸爸干脆连自己的名字也改了,叫做冉牛,端的是冉冉升起,牛气冲天。

难得看到爸爸,冉有兴趣勃勃地凑上去和爸爸聊天。他说:“爸爸,你知道吗?孔老师不光数学很棒,语文也很强。他修订了一本《诗经》,前几天出版了,还登上了咱们鲁国新鲁书店的畅销书排行榜呢。”

冉牛一边调整着秤星,一边漫不经心地问说:“什么经?”

“诗经!”

“湿巾?那有什么了不起的,咱们巷子口那个百货铺里一个铜贝币就可以买一大包呢。”

“你说的那是什么呀,不是毛巾的巾,是经典的经。诗经,有好多好多诗歌的诗经。”

“哦,是这个经呀,那也没什么。我敢说有一种经,你的孔老师肯定比不过我!”

“啊?真的吗?是什么经?”

“哈哈,生意经!”

“吹牛,我们孔老师说了,做生意也要有知识才行的。”

“谁说的,你老爸我的生意本领,那可是祖传的!人家说了,‘龙生龙,凤生凤,老鼠生儿子会打洞’,从你爷爷的爷爷的爷爷那一辈起,咱们冉家的人就会做生意。想当年……”

冉有知道,爸爸要是开始痛说家史,那没有几个小时是结束不了的,连忙说:“那好,爸爸,我先去做作业了……”说着连忙溜回自己房间去了。

看着自己书桌上的“铺地锦”,冉有心想:“要不是懂得计算中的数学道理,我能发明得出‘铺地锦’吗?对了,上次齐国来的那个文具公司的老板,还说要用高价钱买我的专利呢,也不知道是卖给他,还是让爸爸来帮我生产……”

正琢磨着,他的爸爸又进来了,看着冉有,一副欲言又止的样子。冉有奇怪地问:“爸爸,你有什么事吗?”

冉牛不好意思地说:“嗯,是这样的,你也知道,前阵子那个三无牛奶公司往奶里乱加坏东西,被官府给整治了。现在咱们冉氏的牛奶卖得很火呀,这可是咱们家的奶牛产业抢占全国第一的最好机会,所以我打算要养更多的奶牛,生产出更多的好牛奶,造福天下百姓。”

冉有一伸大拇指,说:“造福天下百姓,同时还能装满咱家的钱箱,好,我支持!”

“可是,这奶牛可不是随便就能多养的,要考虑到咱们家的牧场禁不禁得起,要是来一大群牛,那不象蝗虫一样,转眼就把牧场给啃成泥滩了?”

“这倒也是,爸爸,你想得真长远,这就是你说的生意经吧?”冉有对爸爸的生意头脑还是很佩服的。

“那可不?所以爸爸我来找你算算,一片草地能够让10头牛吃20天,如果放15头牛,能吃几天呢?”

冉有在沙盘上列起算式来:“20÷10×15=30天!”

冉牛刚一看,就把头摇得象拨浪鼓一样,说:“你还以为牛头数越多,吃的天数也越多吗?怎么可能?!”

冉有也发现了不对,他连忙说:“应该是牛头数越多,吃的天数就越少,对了,我猜是反比例关系!”于是他又列起算式来:“20×10÷15≈13天!”

可是冉牛还是摇头:“不对不对,我试过了,只能吃10天!问题没那么简单,牛吃的草,有的是原来的,有的是这些天里新长的,又不是只吃原来草场上的那些草。我虽然不懂数学,但是牛多了,新长的草还不够牛吃的,肯定吃的天数就少多了。”

冉有一听可傻了眼,叫起来:“这么复杂呀?那你还是另请高明吧。”

冉牛连忙说:“对呀,就是要让你另请高明呀,你的孔老师不是数学很厉害吗?你帮我问问他好不好?就问这样的一片草地养25头牛,能吃几天?”

于是冉有就带着爸爸的重托,第二天一早到了学校……

以上这些,就是冉有在数学课上对大家说的昨天他家的情况。对于最近的牛奶事件,孔老师自然也是相当关心,另外还加暗暗庆幸。(庆幸的是多亏当初孔师娘没有听他的话,买三无公司的牛奶给孔鲤喝,饶是这样,孔老师也被师娘数落了一顿。)所以,他一看到冉氏公司的请求,知识分子的责任感高度膨胀,立马带着我们全班同学研究起来。

言偃先发言说:“这片草地到底有多大不知道,那么是不是可以看成单位1?不过草又是不断增长的,看成单位1似乎也不合适。”

颜回不以为然地说:“这倒好解决,可以把1头牛1天吃的草看成一份,10头20天就吃了200份,15头10天就吃了150份。”

言偃听了很受启发:“好呀,这样一来,200-150得到的50份,不就是那20-10=10天里长出来的吗?顺理成章地,50÷10=5份,每天新长出来的草,就是5份啊!”

我一听这两位分析得头头是道,要不赶紧开口,那全让他们说完了,连忙说:“知道了每天新长出5份草,不就可以求原来牧场上的草了吗?比如说10头吃20天,那么200里减去新长出来的5×20,原来的草是100份。”

在场的同学中,冉有是听得最认真的,他也补充说:“15头10天,150-5×10,也能得到100份。”

孔老师听到大家讨论得很到位,非常高兴。他掰着手指数着:“原有100份,每天长5份……这两个数据都是很有用处的!那接下来呢?可以让25头牛吃几天?”

颜回计算起来:“100÷25=4天?不对,那这几天又新长了的草还没吃呢……”

冉有看着颜回在苦苦思索,叹气说:“是啊,其实我在家里想的时候,虽然没想到这么多,但也觉得这一直长出来的新草真是讨厌呢,如果能够不长新草,就容易了。”

孔老师哈哈大笑起来,说:“冉有的这句话很对,让草不新长出来,正是这个问题的解决关键!”

“让草不长出来?”“怎么可能?”“算式里怎么表示呢?”“还是不明白……”

看我们纷纷摇头,孔老师用手指蘸了蘸茶水,在桌子上画起来,他先画了一个大长方形,说:“这就是原来的100份草。”再在边上画5个小小的正方形,说:“这5份就是每天长出来的草。”

子路问:“那每天都长5份呢,不是要好多个5份吗?”

孔老师摇摇头,说:“你这样想就不灵活了,看,这是25头牛。”他指着的是捡来的25颗小石子,接着孔老师动手拿出5颗小石子,放在旁边的5个小正方形上面,说:“如果我派出这5头奶牛,专门吃这5份草呢?”

这种说法很新奇,我们一时没反应过来。

宰予思路敏捷,他第一个鼓起掌来,叫着:“我明白了!这5头奶牛,就象我们派出去剪草的工人,它们专门负责对付这些新长出来的草,每天草一长出来,就进了这些牛的胃。”

我也明白了,接着说:“对啊,这样一来,这个草场上的草,不就相当于不长了吗?那么只要把原来的100份草吃完,任务就完成了。”

孔老师对着我和宰予竖起了大拇指,这可是他最隆重的表扬方式之一。他说:“宰予的这个比喻很好,我们就是要派出5头‘剪草奶牛’,把这个草不断增长的难题,转变成草的总量是固定的,剩下的步骤就简单了。”他又转向冉有说:“冉有,你知道答案了吗?”

冉有很快地说:“剩下20头牛吃原来的100份草,那么100÷20,也就是5天就吃完了!我这就回家告诉我爸爸去,而且,我还要跟他说一个道理!”

“哦?什么道理?”大家都等着他的下文。

“一个人要想念好生意经,语文经、数学经、科学经,都是必不可少的!”

“太对了!”

数学链接:英国的著名数学家牛顿在1707年写的《普遍的算术》一书中,也提出了这样的问题,所以大家都把它叫做“牛顿问题”或是“牛吃草问题”。它最大的特点是草的数量在牛吃的天数中还是在不断地增长着的。解题的关键是先设法求出草地的原有草和每天新生长的草量,再把牛分成两部分,一部分专门对付新长出来的草,问题就转变成吃不变的草,也就容易了。想一想,在生活中有哪些问题和它很类似呢?

图片出处:山東嘉祥武氏祠出土,原石現存山東嘉祥

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51 Responses to “趣味数学故事:剪草奶牛”

  1. 我想知道更多说道:

    第一次沙发。。。。。感动中。。。。

    • 四月说道:

      我想象了一下冉牛用山东话说“诗经”的样子,然后……我就笑喷了……
      蔬菜老师写的文章总是这么好看啊~~

  2. zxcvb说道:

    我代表教育方面的砖家叫兽严重抗议!这篇文章怎么能冠以'少儿科普'/'趣味'等这些标签呢?

    这个问题可是精通函数几何等数学方法的理科博士花了半小时才用初中方法解决的难题啊,怎么成了‘少儿科普’了呢!

    这类问题的危害要远大于黄赌毒,远大于网瘾,怎么能冠以‘趣味’呢!

    像科学松鼠会这么优秀的网络平台,结果让广大网友们快快乐乐的接受了奥数的教育,这种事情性质及其恶劣阿,让我等天朝叫兽十分愤怒阿...

  3. 城际位移说道:

    HOHO~~生动有趣~~

  4. 乱步说道:

    生动,以后教自己孩子方便多了

  5. 炎龙无影说道:

    呃..其实就是水池问题的变相版.....

  6. nibble说道:

    有意思。

  7. 炎龙无影说道:

    呃..其实就是水池问题的变相版..

  8. Reason说道:

    100+5t=25*t
    t=5

    “剪草奶牛”的方法我想了半天才想明白是怎么回事,虽然方程式更加简单,但是方程式简单得让我忘记了思考。

  9. DFDer说道:

    看完这个,突然感觉自己老了...不喜欢动脑子去想一些简单的方法了

  10. crisco说道:

    呵呵,变成故事孩子理解起来就容易多也生动多了

  11. Mutoo说道:

    我想到的网络上流传的忽悠小学生的经典题目:三人三天喝三桶水,九人九天喝多少桶水?

  12. mayflower说道:

    小板凳也不错~

  13. suizui说道:

    哈哈,生长速度和抢吃速度对抗,就是龟兔赛跑的化妆舞会版本!

    同义问题:

    乌龟在兔子前面不知道多远的地方。乌龟的速度不变,但也不知道是多少,兔子的速度可以变。

    第一场比赛:兔子每秒跑10米,追上乌龟要花20秒。
    第二场比赛,兔子每秒跑15米,追上要花10秒。
    第三场比赛,兔子每秒跑25米,问——追上要花多久?

    这个是同时移动的追赶,要注意的就是乌龟和兔子本来有一段距离,用相对速度去跑这个距离就追上了!

    +++++++++++++++++++
    小学版本的无公式解法:
    +++++++++++++++++++

    第一、二场比赛中兔子分别花20秒、10秒追上,时间相差20-15=5秒,
    兔子分别跑出10×20=200米、15×10=150米,路程相差200-150=50米,
    乌龟速度不变化,当然就是在可以领先的一定时间内肯定跑出一定的路程,10秒跑50米,hihi,乌龟速度是50/10=5米/秒!

    第一场比赛中乌龟总共也跑20秒,它的路程就是5×20=100米,而兔子实际跑出200米,乌龟就必须在开始的时候领先200-100=100米!

    可以算第三场比赛了,

    兔子和乌龟的速度差是25-5=20米/秒,用这个速度跑那开始的距离,要花:
    100/20=5秒!

    +++++++++++++++
    中学版本的方程式解答
    +++++++++++++++
    设:
    L:乌龟开始就领先的距离
    V0:乌龟速度
    V1:兔子速度
    △V=V1-V0相对速度
    t:追赶用的时间
    。。。。。。。。。。。。。

    列方程组
    #################
    L+V0×20=10×20
    L+V0×10=15×10
    #################
    上者减下者消元,得
    V0×10=50
    V0=5(米/秒)
    代入求L
    L+5×20=10×20
    L=100(米)
    。。。。。。。。。。。。。
    列追击公式
    #############
    L+V0t=V1t
    #############
    变形得
    t=L/(V1-V0)
    =L/△V
    代入L、V0的具体数值得实用公式
    ##############
    t=100/(V1-5)
    ##############

    当V1兔子速度选择为25米/秒时:
    t=100/(25-5)
    =100/20
    =5(秒)
    嘎嘎嘎嘎!介就素答案啦!
    。。。。。。。。。。。。。
    。。。。。。。。。。。。。
    搞出来的公式很简单,可以任意加赛:
    如果兔子速度选55米/秒,追上就花
    t=100/(55-5)=2(秒)

    #################
    给你看个奇怪的
    #################

    如果兔子速度选5米/秒,追上要花
    t=100(5-5)
    =100/0
    =#%%^&$#$#$#%
    违反运算法则,何止,违反自然法则,有距离,相对速度是零,保持相对静止,距离永远不变,这时候问花多久能追上,已经违反实际规律乱说能追上了,是个伪命题!看,自然法则是多么的天网恢恢啊,嗯,数学课也可以是自然常识课。。。。

    谁算一下如果兔子速度选4米/秒,或者倒退着跑,要花多久可以追上?

    • suizui说道:

      呃,小学法两场比赛时间差搞错了,该是20-10=10秒

    • suizui说道:

      忘了加赛另一种奇怪的,可以看到数学法则多么害怕天意。
      没有开始的领先,L是0米,兔速大于龟速,问花多久可以追上。
      这样极限的尾巴就露出来了。

  14. lixy说道:

    问一个特二的问题。一开始10头牛可以吃20天,15头牛可以吃10天。咋就能算出草的生长速度,可以用200-150这样减吗????

    • zxcvb说道:

      草的生长速度:(10*20-15*10)/(20-10)=(200-150)/10=5

    • suizui说道:

      想到个直观些的说法,更方便理解了吧。还是用赛跑最方便。

      把前两场比赛看成两对龟兔的同时比赛。
      乌龟兄弟是双胞胎,跑得一样快,兔子兄弟就有快有慢了。

      开始的时候乌龟兄弟并驾齐驱,但是大兔跑得快,先追上来抓住大龟,停下来了。
      这时候小兔还没有赶上来,小龟就继续向前跑。
      大龟站着,看到的是小龟继续跑10秒,在前方50米远的地方才被抓住。
      既然乌龟兄弟跑得一样快,那么,小龟多跑的路程和多跑的时间相除,就是乌龟兄弟的速度了
      50/10=5(米/秒)

      应该清楚两场比赛对比的奥妙了吧。

  15. 说道:

    哈,我仿佛回到了小学时代,那时候每天脑子里转的都是“一只青蛙每天往上爬三米,然后掉下一米……”“一座城市有n座桥”“三个卖油匠”之类的问题哟。

  16. 冰雪学徒说道:

    啊啊啊,怎么在讲小学的问题啊~~~

  17. phoeagon说道:

    我习惯方程解,尤其是草地大小还有倍数关系时。
    其实小学过后就基本上不会去想那些构思奇特的算术解。宁愿来几道方程整一下~~~显然机械计算比奇思妙想要好遵循多了~~就好像代数和几何的关系。想一个精妙的算术解就好像用传统欧式几何证明一个命题,需要很多“灵光闪现”而很难有固定的模式可以遵循。

  18. sevestopol说道:

    suizui讲的例子勾起了我的回忆,不过想提醒的是,草的生长速度不是固定的,这个隐含的条件可能大家都没有注意到。牛吃草的问题实际上可以归结为一个工程问题,需要考虑的方面不象数学题那样简单。
    想当初这类问题让我很是困惑,觉得自己跟白痴一样,哎!

    • suizui说道:

      那是假设产草速度恒定的了,确实完全简化了,小学初中算还可以的。

      实在要仿真的话,应该要用到高中数学了吧,故事就变成:

      草象在银行存的钱一样,还没有被吃的任何草都按一定速度生利息,利息就是新的草。
      这样越多的草就让单位时间新草产量越高,更加接近真实的草场理想情况,计算起来的话,最初必须有一点草,否则不能生长(这个最真实了),然后假设按一定速率不断生息,越来越多,存量加速提高,就用银行存款复利公式算特定时点的本息总和了。
      N(t)=N0×(1+k)^t
      但是把牛放进去啃就麻烦大了,随时都有一些草被吃掉,亏了这部分本钱,而且无法生息。
      只要牛吃得太快,超过原来本钱的生息速度,总存量就会减少。
      另外,还没有被吃掉的草继续生息,只是补充亏损的新草生产速度越来越小,但是牛在准备啃掉最后一根草的时候,都会有新草长出来,总存量的变化就比往地上扔干草复杂了些。
      很动态的故事,确实有趣得多,牛要比吃干草还要快,才可能压倒新草产出的势头,把总存量啃到底去。
      如果刚开始啃的时候连正在产出的新草都吃不完,草就越吃越多,新草产出速度越来越高;
      如果恰好啃掉新草,基数就永远存在,到达产出和消耗的平衡,如果假设草随时都保持恒定速度生长,显然最好先让草场空闲一下,积累足够的基数,形成足够的新草产出速度,再放牛就可以连续承受较多的头数,这个是真实经营牧场时必须仔细考虑的问题。
      如果利息可以全部吃光,还多啃掉一些本钱,草场的剩余基数肯定不能提高新草产速,牛即使胃口不增大,也会继续啃个不断蚀本,新草产速更加低,总存量是加速地减少,但是因为随时都产新草,存量的减少速度始终比不能自我增加的干草低。
      算这样的追击时间有点麻烦了,复杂因变量非线性乘方开方对数换底都跑了出来,放到高考去都能让人脸色惨白惨白的,是说这个算法吧?说不定到时候高考真的出这个题目哦,读高中的最好赶紧练一下,嘿嘿。

  19. 李清晨说道:

    顶!

  20. 张撞鹿说道:

    文章最后部分怎么突然从冉有变成我了,赶紧改改吧

  21. 燕少说道:

    孔子修书的时代,《诗经》还没有被奉为“经”,称作《诗三百》,在《论语》中,多直接简称为“诗”,本文开头涉及《诗经》的那段对话,虽然风趣,但是有常识性错误。

  22. xy说道:

    每天牛吃剩的草都不一样 那么长出的新草也应该不一样 对孔老师关于那5头剪草奶牛的说法有点质疑

  23. xxx说道:

    这让我想起来今天帮同事小孩做的一道题

    是酒桶漏酒的问题,酒桶每天不停地往外漏酒,n人m天喝完,x人y天喝完,问A人几天喝完,或者几人B天喝完

    算术方法做完,我觉得真的是很“纠筋”

  24. xxx说道:

    话说,这还真的是小学数学

  25. 豆豆说道:

    小学时见过类似的题目(98年时),现在想一想如果认真起来极限这个概念就产生了。

  26. 尖尖的鹿角说道:

    那个“我”很突兀,窃以为都用第三人称更好一点
    可以找一个没有用的弟子名字代替“我”,比如子贡?这个高才生貌似还没有出现过

  27. BillLiv说道:

    非常好的数学科普文章!

  28. [...] 趣味数学故事:剪草奶牛 2009年5月31日 阅读评论 发表评论 0顶一下http://songshuhui.net/archives/14232.html [...]

  29. 吴丹说道:

    我真的要晕了!有几个人能看懂这些题目呢?它们又有什么实际意义呢?我想牵25头牛去吃草,管它能吃几天,大概就行了,我不会把它们饿死的。。。。。。青草吃完了就吃干草,然后过几天就又有新草了。一个牧场主是没有时间去算这个问题的,因为还有大堆的牛粪要清理!!!

  30. 吴丹说道:

    我其实很喜欢到这来看看,也觉得很有意思!但就是从心底排斥那些奥数题,我的儿子就经常被难倒,然后就是我。。。。难为了这些把数学问题说的比较有趣的作者们!!!还是很感谢你们!!!

  31. panda说道:

    用方程怎么解呢?

  32. anders说道:

    文章写的有趣生动,祝愿作者平时多多积累经验,希望有一天,当我的小孩长大后,能在这样的趣味引导中学习,至少可以作为重要补充。

  33. flignt_13说道:

    终于理解了,关键在于算出每天产出多少份草,然后不让草“生产”就可以了。。。。

  34. Sunny Zhao说道:

    看我晚上能不能把这个数学题目讲解清楚没,还是有点疑惑,不过应该在讲解中可以理解到。

  35. helc99说道:

    看完当场就晕了,我对数学最怕……

  36. Ssy说道:

    一般都是想105份草,变通一下就变成了100和5份。这样很明朗,答案一下就出来了。

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