写在前面的话：
这篇文章写于三年前，严格说起来，这是我认真写过的第一篇关于数学的文章。
写作动机来自于一次在网络上和一个学哲学的朋友的聊天，当时谈到了几个关于长度的哲学问题，那个朋友想知道从一个学数学的人的角度来看，这些问题是怎样被回答的：点没有长度和面积，为什么由点组成的线和面会具有长度和面积？“长度”“面积”这些词汇究竟是在怎样的意义上被使用的？有的时候我们把点的长度叫做零，有的时候叫做无穷小，这两个称呼是不是都有道理？
当时松鼠会还没有出现，我也并不觉得自己有资格写所谓的科普，但是既然这些问题摆在面前，我也就认认真真地尝试着把自己关于这些问题的理解用尽可能非数学化的语言描述出来。当我最终完成这一组文章的时候所得到的那种满足感，相信很多朋友们也都体会过。
后来有了松鼠会，有这么多朋友们也在兴高采烈地做着同样的事情。现在松鼠会即将迎来自己的周年庆了，我把这组文章发在这里，算是我自己的一点致意。松鼠会，生日快乐。
（一）关于无穷
当我们使用“无穷”这个词的时候，我们必须时刻谨记，这个词有两种截然不同的意义——不，我这里说的不是亚里士多德关于实无穷和潜无穷的那些绕口令，而是某些重要得多的本质问题，对他们的清晰阐释开始于伟大的德国数学家康托Georg Cantor (1845-1918)：当我们说一个集合有无穷多个元素的时候，我们必须指明这里的无穷是哪一种，是“可数无穷”还是“不可数无穷”。虽然都是无穷集合，但是它们会体现出截然不同的性质。
为了说明这一问题，我们引进集合的“势（cardinality）”的概念。简单说来，势就是集合的元素的个数。一个集合有三个元素，我们就称其势为3。两个集合如果元素个数相等，我们就称它们为等势的。——很显然，要判断两个集合是不是等势，只需要看这两个集合之间能不能建立起元素的一一对应即可，如果可以的话，我们就说这两个集合的元素是一样多的。
到这里为止都显得很简单。可是最有趣的部分马上就要出现了：康托指出，不但对于有限个元素的集合我们可以讨论它们的势，对于无穷个元素的集合，我们同样可以讨论它们之间是否等势。换句话说，我们可以讨论两个无穷集合的元素是不是一样多！
之所以如此，是因为集合之间的“一一对应”本质上只是个数学概念，是可以被精确研究的对象（请回忆高中数学课本关于映射的那一章）。从而，随便拿两个集合来，它们之间是否能建立一一对应只是数学上的问题而已。
以下是一些最基本也是最著名的例子和命题，请尽量耐心的阅读。所有这些陈述都是可以基于最简单的形式逻辑给出严格证明的，证明可以在参考文献[1]上查到：
- 每一个集合都和它自身等势。
注：废话。
- 全体正整数的集合和全体正偶数的集合等势。
注：这是第一个有趣然而迷惑人的结果。我们等于是在说：一个集合可以和它的一部分一样多！——但是这并不是一个悖论。我们通常觉得一个集合不能和它的一部分一样多只是针对有限集合而言的，本来就没人说过无限集合不能和它的一部分一样多，只是有时候大家会不自觉地有这个误解而已。
- 全体正整数的集合和全体有理数的集合等势。（什么是有理数来着？查书去！）
注：这是在数学上很重要的一个例子，说明一个实数中的稠密集可以和一个离散集等势，不过大家看到这里大概已经开始打瞌睡了……跳过这个例子！
- 全体正整数的集合和全体实数的集合不等势。
注：睁大眼睛，迄今为止最重要的一句话出现了！你永远不可能在全体正整数的集合和全体实数的集合之间建立起一一对应来。对这个陈述的证明是数学上最有趣也最迷人的证明之一，可惜的是篇幅所限我不能在这里证明给大家看。那么只讨论结论好了：并不是所有的无穷集合都是等势的，有一些无穷集合比另一些无穷集合的元素更多，换句话说，无穷之间也是有大小的。
- 任给一个无穷集合，我们都能够造出一个集合包含它，而且和它不等势。
注：换句话说，无穷和无穷相比，没有最大，只有更大。——但是请注意，虽然我们能够造出越来越大的无穷集合，但是我们并不真正对那些太大的无穷感兴趣，因为和这个世界没什么关系。
- 如果两个集合都和第三个集合等势，那么它们彼此也等势。
注：好像也是废话，但是它引出了下面的重要陈述。
- 有很多集合都和全体正整数的集合等势，从而它们彼此也等势，我们称所有这样的集合为“可数无穷的（countably infinite）”。有很多无穷集合比全体正整数的集合的势更大，我们称所有这样的集合为不可数无穷的（uncountably infinite）。但是，不存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。
注：我们待会儿再来讨论为什么起这么两个名字。前面的例子告诉我们，全体正偶数的集合是可数无穷的，全体有理数的集合是可数无穷的，但是全体实数的集合是不可数无穷的。
- 在不可数无穷集合中间，有些集合是和全体实数的集合等势的，这些集合被称为“连续统（continuum）”
注：好了，现在我们对全体无穷集合建立了一个简单的分类。最小的一类称为可数无穷集。剩下的都叫不可数无穷集。不可数无穷集里面又有特殊的一类叫作连续统，剩下当然还有一些非连续统的不可数无穷集，但是它们几乎和真实世界没有任何关系，所以忽略之。（有人不愿意忽略它们，非要去研究里面的一些麻烦的问题，于是产生了数学中间最让人头晕的一部分结论，比如什么哥德尔不完全性定理之类……这个定理偏偏还特别著名，很多人都问过我它究竟说的是啥。相信我，你不可能弄明白的。）
也就是说，我们真正关心的是两类特殊的无穷集合，一类称为可数无穷集，一类称为连续统。所有的可数无穷集彼此等势，所有的连续统彼此等势，但是任何可数无穷集和连续统之间不等势，后者总是更大一些……真绕嘴阿。
下面是一些可数无穷集和连续统的例子：
可数无穷集：
自然数集，整数集，有理数集。（基本上，如果你在平面上或者直线上随手点无穷个点，并且这些点彼此都不挨着，那么它们的总数就是可数无穷的。但是也存在一些不这么简单的可数无穷集。）
连续统：
实数集，直线上点的个数，平面上点的个数，一个正方形里点的个数，或者简而言之，一切几何对象里的点的个数都是连续统。（这里一个常常被人提到的推论就是直线上的点和平面上的点一样多，——都是连续统那么多。其实证明很简单，但是一言难尽，请查书去。）
好了，现在我们可以讨论这两个名字是怎么来的了。请注意，所有的可数无穷集都是可以和正整数建立起一一对应的，这是什么意思呢？这意味着，我们可以把一个可数无穷集中的每个元素都对应到一个正整数，这相当于给他们编了号码，从而我们可以去数它们（这就是可数这个词的来历）。也就是说，我们可以按照1号、2号、3号这么一直数下去，虽然总数是无穷的，但是只要我们在理论上一直数完所有的自然数，我们就能真正数遍这个集合的所有元素（至少在想像里是这样）。
而连续统集合却不是这样。一个直线上的点是连续统，这就是说，无论怎么巧妙的给这些点编号，我们都是不可能给所有的点都编上号码然后一个一个的数下去把它们都数完的。它们是“不可数”的。
有人会说，这不是自欺欺人么？反正都是无穷个，反正事实上总也不可能数得完，那么在理论上区分“想像中数得完”和“想像中也数不完”有什么实际意义呢？
有的。正是这一点微妙的差别，使得有些事情我们能够对可数集去做却不能对连续统集合去做，也正是这一点差别，促成了从没有大小的点到有大小的直线和平面之间的巨大的飞跃。
（待续）
昨天在食堂，邻桌有两个数学系的人发生互扼。
女生挑了几颗米，就把饭全部耙给男生，自己边看边玩筷子。
女生举起筷子说：“胖度2.0，好过香肠差过针。”
男生用鼻子顶着一颗米说：“丽度75，但是抱度负90，遥远的不可约。”
女生就骂：“你坏度86！转折度0！色度95！”
男生抬抬下巴：“厚度10万8千，无所谓。你的弧度才60。”
女生不说话，用手帮男生压鼻子上的米。
我目测估算了一下，力度99。
好高深哦，有好多不懂！但还是认真把它读完啦，谢谢大师的指点
请教一下，能不能举个比可数集的势大，比连续统集合的势小的集合的例子？
连续统假设的内容就是：不存在这样的集合，它的势比可数集的势大，但比连续统的势小。
不过连续统假设被证明是与现在使用的ZFC公理体系独立的，也就是说你说它对也可以不对也可以……
原来连续统假设是这么回事啊……久仰大名，今日才得以一窥。。
有点意思，虽然读起来不是很好懂，但慢慢看，还是弄懂了个大概！
不错，把实变函数论的一些关于“测度”的基本内容以这样的开式讲出来，不会缺乏其严谨性。 I love that.
嘿嘿！ 看到一半，要去上晚自习，回来再看完
学过微积分的话用无穷量比较的思路理解起来其实差不多。很有趣，我继续去读（二）……
对了，所谓不可数应该就是不可编吧？不可数之所以不可数就是不能向可数那样将其分解为某一个最小的成分？
好看有意思。期待四
一个无穷集合的一部分有可能和它本身等势（比如有理数和正整数）
那一个无穷集合的一部分的势可能比它本身大吗？
一个无穷集合的一部分的势可能比它本身小吗？
我想不出例子⋯⋯
看了就不想看，比以前上高数课还枯燥。楼主很有数学家的能力。该文科普对象应该是数学系的新手
对于哥德尔不完全性定理的评论不敢同意。
1. 不记得该定理讨论的是“非连续统的不可数无穷集”。
2. 估计理解原版证明的人很少，但不少数理逻辑的书里有简化版的证明。跟计算机理论的关系很大，而且不难理解。总的来说，表述的思想是在形式系统（包括，计算机语言，图灵机）中，无法对其自身作出证明。跟罗素悖论是一脉相承的。
证明直线上的点与平面上的点一样多：
只需先证明区间（0，1）范围内点的数目跟1*1单位正方形内的点一样多。
在区间（0，1）范围内的点都可以表示为一个无限小数(如果有限，就加上无限个零）。
在正方形内，以对角线交点为原点，建立平面直角坐标系。
将小数位的奇数位与偶数位分别取出，分别作为x轴坐标与y轴坐标（比如说，0.2563145.....可以取出0.2615......作为x轴坐标，取出0.534....作为y轴坐标）。
可以发现，区间（0，1）中的任何一个点都可以与单位正方形内的一个点唯一对应，即区间（0，1）中的点与单位正方形内的点一样多。
同理可证，直线上的点与平面上的点一样多。
假设实数集合与自然数集等势，那么也就说可以可以通过如下方式将全部的实数罗列出来
1－－－－a1
2－－－－a2
3－－－－a4
……－－……
也就是说数列{an，n为自然数}包含了所有实数，现在取a1的第一位小数加1作为第一位小数，取a2的第二位小数加1作为第二位小数，a3的第三位小数加 1作为第三位小数，a4的第四位小数加1作为第四位小数，……（这里约定9＋1＝0）如此构造一个新的数，首先这个新的数是实数，其次这个数与数列 {an}中的任意数都不相等，所以这个数肯定不包含在{an}中，这与{an}包含全部实数矛盾，故假设不成立。
我搜长度、集合的网页，先到了网易，再看到了百度文库，后到了教育人博客，终于在这里，看到文章作者。我也想从哲学和数学的角度来理解，希望读完后，能够完整地理解，而不是零散的理解。
[...] 长度是怎样炼成的（一） [...]
看完了，多谢楼主。但我想看之后的连载，写完了吗？在哪能看到？另外想看楼主的其它博文，到哪看呀？
另外科学松鼠会只能是回复一次需填一次姓名及邮件等信息吗？不能注册吗？注册之后不就可直接回复了吗？