给雪花上色：我们比阿基里斯更牛B
一提到在有限的时间通过无限细分的长度，就让许多人联想到芝诺那个著名的悖论。既然大家提到了这个，我们就来讲讲故事吧，权当饭后小娱乐啦。
故事是这样的：有一个倒霉蛋阿基里斯准备和乌龟赛跑。乌龟先天条件不好，于是阿基里斯大度地把起跑线往后挪了几米。芝诺同学马上跳出来说，哎呀，那你不是追不上乌龟啦！为什么呢？你看，要追上乌龟，你必须跑过你们之间的距离。当跑到1/10处的时候，它已经向前挪动了一点。要追上它，你仍然必须经过这个新距离的1/10处。可你跑到那时，乌龟又向前挪动了一点。虽然它挪动得比你慢，可这样进行下去，你也总是只追到1/10，何时才能超过乌龟呢？
这明显和我们经验中的事实不符：世界上有无数的人可以用行动证明他们能够追上乌龟，甚至连兔子也行。可从逻辑上看起来，芝诺并没有说错什么啊。怎么回事？怎么回事？
几千年过去了，哲学家数学家什么什么家们，吵啊吵啊，没个完。大家都发现了芝诺的一个问题：他只字未提时间。粗略地看，如果阿基里斯以匀速奔跑，那么经过越短的距离需要的时间越少。因为他比乌龟快，每次跑到1/10的时候，乌龟向前挪的距离要小于1/10。于是他们之间的新距离比上一次要小。那么阿基里斯跑下一个1/10需要的时间就比这次要短。很快地，阿基里斯每次要跑的距离就会变得非常小，需要的时间也就相应地非常短。到最后，每次到达1/10处经过的距离趋于0，时间也趋于0。那么他花费有限的时间追上乌龟是可能的。可是当距离和时间都趋于0的时候，阿基里斯几乎静止在原地，时间也几乎停止了。这样子我们还是没法观察他追上乌龟的过程。
换一种办法吧。如果记下每次他到达1/10处的时刻：t1，t2，t3，……芝诺的推论就等价于说，不管处在哪个时刻上，他和乌龟之间都存在着距离。也就是说你找不到一个可以和“距离为零”相对应的时刻。所以他追不上乌龟。可你发现了吗，这些时间点组成的集合，并不等于阿基里斯在追的过程中经过的所有时刻。比如我们追踪他每次经过1/20处的时刻，会得到另一个无穷集合t1’，t2’，t3’……。显然第二组的每一个时间值都要小于第一组，是完全不同的另一个集合，但它也包含在“阿基里斯经过的所有时刻”这个大集合中。同样地，你也可以追踪阿基里斯每次到达1/30处的时刻，1/40、1/50处的时刻……等等等等。它们全都包含在这个大集合中。哈，芝诺忽略了其它的时间点。
设想阿基里斯在跑，我们在旁观。0.1秒的时候他追上了1/10，0.11秒的时候追上了下一个1/10，0.111秒的时候追上了下下个1/10……芝诺因此说，你0.1111…地数下去，有无穷个“1”，所以他追不上乌龟，你同意吗？时间可不会在流淌到0.1111…秒的时候就静止在那里。阿基里斯不光经历了0.1111…，还经历了0.2222…、0.3333…，直到0.9999…。然后，bingo!他来到了1秒这个时刻，并在此和乌龟的距离缩小为零。芝诺只是挑出了这长为1秒的时间内包含的某些时刻，让它们逐渐趋近于0.1111…，然后企图把阿基里斯困在这一时刻之前。可是阿基里斯当然不会被困住，因为时间的流淌将永不停息。没有人知道为什么，但我们的确在有限的时间内经历着无穷个时刻。所以我们每个人都能追上乌龟。
=================涂雪花分割线 ==================
对于涂雪花的办法，我有个提议：
这片雪花可以被放进一个圆圈里，六个顶点与圆接触。在圆心，同时也是雪花的中心，一个沾满了颜料的橡皮圈开始扩张，它“蹭到”的地方就被涂上了颜色。那么，只要从圆心扩张到和外圈大圆重合，整个雪花就被完全覆盖了。所以雪花的确能在有限的时间内涂满，这个很容易看出来。那么处理无穷边缘的问题，该怎么看呢？
从橡皮圈开始和雪花的边缘接触的时候，边缘就开始以飞快的速度着色。有多快？我们随意挑一个时间间隔，看看夹在两个橡皮圈之间的雪花边缘有多长？是无穷！把时间间隔缩短一点，所夹的圆环更细了，可是被圈住的雪花边缘仍然是无穷。啊，发现了没，只要橡皮圈扩张一点点——哪怕就一丁点儿，涂上的雪花边缘长度就是无穷！啊噢，我们比芝诺同学的阿基里斯更牛B，可以在无穷小的时间内通过无穷大的长度！诡异啊诡异。
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实在忍不住想说两句。
首先说芝诺悖论问题：在高中数学当中是有关于等比数列求和的概念了。芝诺犯的错误是认为只要是无穷多项相加，结果一定是趋向于无穷的。但只要高中数学有及格的同学，即使是文科生，也一定能够知道公比小于1的等比数列求和是有极限的。但本文在解释这个问题上用了一种非常啰嗦的笔法，首先芝诺是否忽略其他时间点不是问题的关键，选择其他时间点或者把所有时间点都考虑进来，并不影响芝诺的逻辑。第二，与其花如此多的笔墨来写时间静止的问题，不如写一写极限的概念是什么（文中没解释就用了极限、趋向、无穷这几个个数学上的概念），以及按照芝诺的逻辑出发计算出的人龟相距趋向于无穷小时经过的时间与简单的追及问题算术解法所得出的答案在逻辑上的一致性。最终阐明芝诺悖论是一个唬人的伪命题，并非真正的悖论。
汗一个了，我对极限的理解相当不深。要在三段之内把“极限、趋向、无穷”，“以及按照芝诺的逻辑出发计算出的人龟相距趋向无穷小时经过的时间与简单的追及问题算术解法所得出的答案在逻辑上的一致性”写清楚，还要给人家看得明白，我承认，我不行哈。
可我很喜欢这个集合论的调调呀~~看到过很多从极限来解释的资料，可所有问题只能用一种办法解释么？
呵呵，这个集合论的调调是挺好的。可是你仔细想想，这个集合论并没有真正切中到这个悖论的point上。以为从逻辑上讲，这个错误并不能直接说明芝诺的理论不成立。而且以我粗浅的水平，实在也没办法从这一个角度出发推理出芝诺结论不成立的结果来。
嗯，我仔细想过了，还是极限更切中要害。而且我第一个图画得不对^^
既然三段写不清楚，给我点时间，写一篇完整的检讨书吧。
还是很可爱的
简单说一下“按照芝诺的逻辑出发计算出的人龟相距趋向无穷小时经过的时间与简单的追及问题算术解法所得出的答案在逻辑上的一致性”
芝诺的逻辑是在考虑阿基里斯追不上乌龟的时刻，把每次分段多花费的时间相加，是一个人龟之间距离不断缩短的过程。当这个过程趋向于极限，即分段次数趋向于无穷的时候，人与龟无限接近的时候。无穷多个分段时间相加，是一个等比数列求各项和的过程，所得到的答案就是人与龟无限接近（在这里可以认为是人追上乌龟的时间）的时间。这个极限计算的结果与普通追及问题计算出来的答案完全一样。是从不同的思考角度得到相同的答案，因此逻辑上是存在一致性的。
“在这里可以认为” , 哈, 正是这句话含糊了芝诺的问题. 前面也承认了”人与龟无限接近”, 只是在接近,可是在芝诺这个思辨的问题里,我想请问,到底什么时候,阿跨出了超越乌龟的第一步呢?
按照芝诺的思路计算出来的时间极限的那一刻，就是人追上龟的一刻，但芝诺的思路就到此为止了，之后的时间轴已经超出了芝诺理论的定义域了。换句话说，把芝诺的理论看成一个函数，他首先就给这个函数规定了一个值域，（即人未追上乌龟），然后这个值域反推了一个时间上的定义域，这个时间的定义域自然是被限制到人追上乌龟以前了，在这个定义域里不论如何讨论，都不能得到人超过乌龟的一刻。但是通过极限思想，可以推算追及时间。
整面回答你的问题的话，阿基里斯在追及乌龟后的下一瞬间超过了乌龟。
正解！厲害哦~~
先改正上面一个错误，有极限的等比数列应该是公比绝对值小于1.
再谈谈涂雪花问题。
总的来说，这也是个伪悖论。
思考角度1
雪花的周长趋向于无穷大的一个前提是，每段边长的长度可以趋向于0。（应该不需要我解释无穷多个趋向于0的项相加之和可以是无穷大的原因吧？）既然每段边长都是趋向于0的，哪么描绘这个周长的笔就必须能画出长度趋向于0的线段。如果考察笔触的形状，不难明白，任何二维图形都不可能满足这个条件。比如正方形的笔触画出的线段不可能小于笔触的一条边长，既笔触至少有一维长度须小于雪花边长。雪花的边长越短，能满足要求的笔触就越小。笔触又是一个存在的实体，长度不能取负值，又夹逼准则，当雪花边长趋向于零时，笔触至少有一维长度趋向于0只有一维的线段或者干脆是一个点，才有可能画出长度趋向于0的线段。
简单的说，只有笔触是线段或者点的时候，才有可能严格的勾勒出雪花的周长。绘图速度为定值的情况下，勾勒这个周长花费的时间趋向于无穷大。
另一方面，当我们涂色的时候，画的是一个面积。一个确定的二维图形是由无穷多条满足一定条件的曲线或者点构成的。即任意小的面积总可以分解为去穷多条曲线或者点。用满足上文要求的笔触，涂满雪花的面积，可以等同为描绘无穷多个曲线或者点的过程。同样，在绘图速度一定的情况下，时间趋向于无穷大。
两者得到的结论相同，不存在矛盾的地方。
思考角度2
如果笔触是2维图形，且允许一部分面积被涂色超过1次。那么2维图形的笔触，也可以勾勒雪花的周长。而所耗费的时间是无穷大。而一定的画图速度，雪花又是可以被完全涂色的。
那么这样出现悖论了么？答案是依然没有。
这里有一个逻辑的小陷阱：雪花是可以在一定时间内被完全涂色的，并不意味着按照任何方式涂色，都可以在给定时间内被完全涂色。因此在这种假设的情况下，依然没有矛盾。
博文中最后说无穷短时间内通过了无穷大的长度，其实是偷换了概念，把有限的2维的面积分解为无穷个1维曲线。让人看了更晕了，有点小小的违背了科普的理念。
照我用橡皮圈的方法，各部分面积被涂色都没超过一次啊。
边缘和橡皮圈“相交”的地方，就被上色。那么，相交的部分是点，点可是零维哦，我用零维笔触勾勒了边缘，有问题么？但耗费的时间可不是无穷哦。
雪花很冤枉呀，它不是一维的。。。如果在封闭的二维面积中挑任意一条一维曲线，用橡皮圈法上色，是做不到在任意无穷短的时间内通过无穷大的长度的。
安老师（同学？），学术讨论，我就不斟酌用词了，得罪之处，海涵，海涵。
错误一：你第一次提出这个问题的时候，给出的条件是用一直水彩笔来画。这里我以为默认这么一个前提：笔在纸面上只可以沿着某条曲线前进，且前进速度小于某给定实数。同一时刻被覆盖的区域是一个点或一个连续的二维区域。这样的话，你后面给出的方法就偏离这个前提了，没用水彩笔嘛。然后你回复的第二段中，说橡皮圈与雪花周长相交的问题。但是你仔细考虑一下，如果你采用的笔是零维的，而且交点的个数又不是0，是不可能在一瞬间完成涂色过程的，否则笔移动的速度就成了无穷大了。而这个相交、涂色的过程又是无穷的，无穷个不趋向于0的正项之和，必然趋向于无穷大。你还是通过用圈圈代替水彩笔偷换了原来的概念。
然后，错误二：不看你前提错误的话，最后一段截止到最后两句之前，都是正确的。但是倒数第二句有问题了，当橡皮圈扩张的时间趋向于0时，它扩张的面积也趋向于0，被覆盖的雪花周长趋向于孤立的点，涂色的总长度趋向于0。并非无穷短时间通过无穷大的长度。
最后，错误三：从最根本的逻辑上讲，你最初给出的问题核心是怎么处理涂色边缘。我这里给出答案：涂色超出雪花面积的范围即可。因为0维的点，可以准确勾勒雪花的外形，但不可能在时间内填充一个给定区域的颜色。一维线段或者二维图形的笔，可以涂色，但都不可能做到涂色范围与雪花外形严格一致。从逻辑上讲，以方法A不能完成任务X，与任务X不能被完成之间，不存在矛盾。
安老师，这篇文章中牵扯到的数学知识虽然不深，但是概念很多，很多是微积分的基础内容。与其说是分型几何，不如说是讨论集合与无穷的内容。
关老师，还是叫我同学吧~~
多亏写了这么一篇，这评论真叫“没看的悔死”:P
把水彩笔换成圈圈，确实有点耍花招了，我承认错误哈。
但是，不同意错误二。当橡皮圈扩张面积趋向于0的时候，我认为只要是大于0的任意小值，总长度是无穷的。被覆盖的是无穷多个康托集，每个康托集的总长为零。那么我们要求的长度是一个无穷大和0的乘积。这个极限是无穷大而不是零。
对于错误三，正是橡皮圈圈的用处所在。它在填充内部区域时，是一个二维笔，在勾勒雪花外形的时候，是零维的笔。一物两用，不好么？^^
呵呵，“当橡皮圈扩张面积趋向于0的时候，我认为只要是大于0的任意小值，总长度是无穷的。”这一句是有问题的，“扩张面积趋向于零”，“跟扩张面积是大于零的任意小值”在数学上的意义是不同的。一个是趋势的描述，另一个是给出一个定值。
还是以你原文为例，（姑且不论面积长度概念的问题）按照你的逻辑上讲，橡皮圈扩张一点点，涂色的长度就是无穷大。（其实较真的说，无穷只能趋向，不能用“是”）在这个前提下，能得到的结论是，涂色的的速度是趋向于无穷的。但是这并不意味着经过无穷短的时间，涂色的长度依然趋向于无穷。只能说橡皮圈扩展的速度是涂色长度的高阶无穷小。后者与前者的比值在橡皮圈扩张时间趋向于零的时候趋向于无穷大。举个不特别恰当的例子：橡皮圈扩展的速度为定值V，扩长时间为t，则涂色的周长为f（t）。我们得到的结果是f（t）/t 在t趋向于0的时候，趋向于无穷大。
但是f（t）本身在t趋向于零的时候，是不是趋向于无穷大，是不能从这个角度思考得出的。
我们再来考察一个例子，当一个二维图形任意一个方向的长度趋向于0的时候，它就失去了二维图形的属性，不再是无穷多个一维曲线的集合了，这是一个量变到质变的问题。也就是说当扩张面积趋向于0的时候，被覆盖的就不在是一个二维图形了，而是一堆孤立的点。为了从根本上讨论这个问题，我反问你一下，0.9循环（就是0.9后面跟无数个9）跟1是什么关系？
再者，零和无穷大的乘积，需要给出公式具体讨论结果。不能一概而论。
另外，既然不用水彩笔了，涂雪花的方式几乎就是有无穷多种了，悖论也不存在了，为什么要讨论用橡皮圈涂色的方法呢？这个方法特殊之处在哪里？
八关同学呀，你真是小看了这片雪花。我的意思正是在t取任意无穷小值的时候，f(t)”是”无穷大。对,不是”趋于”,就是”是”。
如果我们在雪花曲线上取一个很小的距离delta,其间所夹的雪花曲线长度为:(4/3)的无穷次方乘以delta。也就是说，只要delta是大于0的值，乘积恒为无穷大，而不是delta趋于0的时候长度才”趋于”无穷。
橡皮圈的特殊之处就在于它能追踪上色的具体过程,看清上面”任意时间间隔内上色长度是无穷”的结论。比”泼水填满”更清楚,比用”两米的大刷子”更精确,刚好填满,而不会溢出边界。八关同学，有没有兴趣从无穷多种方法里举个比圈圈更好的例子?
也并非偷换概念，只是一种说法，用二维的方法实现一维的覆盖
这种方法来的很高明，避免刷子什么的溢出的弊端。
这个问题不是早就有人说过了么？
所谓的“无限”只是一个无限数量的时间段。
按照基本的说就是等比数阶。
大小就是a/（1-p）啊。
回复的层数是有限的，先寒一下。。。
关于“无穷”这个概念，限于我才疏学浅不能清楚的予以解释，谈一点感想而已，有几分咬文嚼字。无穷是一个名词，“代表无界极限”（源自wiki），它不是一个数。“无穷的”是形容词，意思即为趋向于无穷。“如果我们在雪花曲线上取一个很小的距离delta,其间所夹的雪花曲线长度为:(4/3)的无穷次方乘以delta。”因此严格的讲，你是不能说（4/3）的无穷次方的，它合理的表达方式应为，（4/3）的n次幂，n趋向于正无穷，再乘以delta，delta趋向于0。（怎么贴出公式来？用语言叙述真是太痛苦了）出现了两个变量n和delta，这是一个零乘以无穷大形型（仅仅是题目分类名称，并不代表真的是数字零跟无穷大相乘）的二元函数求极限的问题，这种问题的常规做法是把乘以“无穷大”（的那部分因式）转化成除以“无穷大”的倒数，再考虑使用罗必达法则。但具体到这个题目中，n和delta之间是没有函数关系的，因此这个函数的极限是不确定的。（二元函数求极限问题，在全日制本科高等数学教材中有比较详细的论述，我就不啰嗦了）。例子说明:设f(x,y)=x*y。x趋向于正无穷,y趋向于零。则f(x,y)=? 讨论：在x=1/y的情况下，f(x,y)的极限就是1。在x=1/(y*y)，f(x,y)极限不存在，趋向于正无穷。在x*x=1/y的情况下，f(x,y)的极限是零。如果把讨论中的x看作是雪“4/3的无穷次幂”，y看做是delta，就可以理解为什么不能简单的从代数上去考虑涂色问题了。
要想理解这个问题，安同学你必须得放弃“只要delta是大于零的”这种思维方法。delta趋向于零是你讨论涂色问题的基础，”delta趋向于零”与”delta是大于零的一个数”的意义不同，完全不等价。
“无穷小的时间内通过无穷大的长度”是安同学的原文中给出的结论。这个结论用数学语言表达就是当橡皮圈扩张时间趋向于零时，覆盖的曲线长度趋向于无穷大。进而推理，橡皮圈扩张时间趋向于零，就可以等价为delta趋向于零。覆盖曲线长度趋向于无穷大就是f（x,y）趋向于无穷大。而上文已经证明了，f（x,y）的极限情况是不确定的。因此得出结论命题“无穷小的时间内通过无穷大的长度”为非真的。
请注意，八关同学，f(x)这个函数的极限不能用一般求导法则得出，并不代表它的极限就是不确定的。下这个结论要谨慎。不过我发现自己上一回复的错误，速度应该是lim(f(x)/x）,x->0, 而不是limf(x)。我先跑题的，不好意思~
你说长度的表达式是一个二元函数，我不同意。f(x)=lim((4/3)^n)*x,n->无穷。这是一个以极限值为系数的一元函数。n不是自变量。
涂色速度v=lim(f(x)/x),x->0.而f(x)/x=[(4/3)^n)*x]/x=(4/3)^n,n->无穷。（这样写公式的确很变态，哈哈）那么，lim(f(x)/x),x->0恒等于(4/3)^n,n->无穷。即速度恒等于无穷。
我们争论的焦点在于n是不是自变量。我坚持认为它不是。
我前文已经指出，橡皮圈法在雪花周长上的速度是趋向于无穷的，只是当时我囿于用水彩笔来画图的前提，自我否定了这个结论。抛开这个前提，结论是正确的。
这里你对雪花线长度给出的函数“f(x)=lim((4/3)^n)*x,n->无穷”思路是正确的。
“f(x)这个函数的极限不能用一般求导法则得出，并不代表它的极限就是不确定的。”这个帽子扣的有问题，我是否定了代数方法求极限，并不是说没有极限,这个极限需要依赖几何学的相关定义来理解，而如何从几何学上去理解，我前文已经说明。这才是我自己立论的部分，也更欢迎安同学一起讨论。
我关注的重心始终是“可以在无穷小的时间内通过无穷大的长度”这个结论。不论n是不是个自变量，都不影响问题的本质。我用二元函数来表达，只是想显得思路清晰一些，用一元函数也可以揭示这个矛盾。我并不坚持一定要把n看做变量。事实上，更彻底的说法是：不但这个极限不能用代数方法来讨论，连被涂色的雪花周长都不能用安同学你给出的代数式来表达。
下面我用归谬法来证明一下：
用一元函数来说，就是考察在f（x）函数在x趋向于0的时候的极限。
讨论你给定式子，你说f(x)的表达式中极限部分是一个系数，姑且认为是可以接受的。一个代数式中，一个量要么是常量要么是变量，两者必居其一吧？既然n不是自变量，也不太可能是因变量吧？于是它只好是常量啦。
n既然是常量，而且极限部分又不会是0，我可以放心的让它做分母吧？极限部分的倒数也是常量吧？
那么我考察x趋向于“1/lim((4/3)^n),n->无穷”f(x)的极限是多少？是不是1？
我再考察x趋向于“1/lim((4/3)^n),n->无穷”的平方，f(x)的极限是多少？是不是0？
那么你再告诉我，两个常量：“1/lim((4/3)^n),n->无穷”和“1/lim((4/3)^n),n->无穷”能不能比较大小？是不是相等？
你是不是发现，这两个“常量”都等于0？可能相等？如果相等的话，为什么x趋向于一对相等的值的时候会得到不同的极限？
如果你说两者不相等，比如你觉得前者大于后者，那么前者减去后者，得到什么答案？是不是零？不相等的两个量相减怎么差会是0呢？
咄咄怪事吧？
问题出在这里：“lim((4/3)^n)，n->无穷”趋向于正无穷，正无穷是极限不存在的一种情况，它根本不能在代数式中表达一个常量，不能当作系数来用。
于是，自变量、因变量、常量都不是，只有一种解释，这个f(x)是有问题的。
至此，既然不能写出f（x）的表达式，又怎么用代数方法来往下推理你的结论呢？
哦~~你这么一说，我明白了。有道理！
没说完，接着说。上文已经否定了从代数方向判断“无穷短时间通过无穷大距离（距离的概念也用的不对）”的路子，从代数上最多说“给出任意短的时间，覆盖的雪花线长度都趋向于无穷。”任意短跟无穷短，是质的不同的概念。
但这个结论就本质而言，跟“任意小的面积里都存在长度为无穷大的曲线”没有不同。
讨论橡皮圈问题，必须首先明确一个概念，什么叫“覆盖”什么叫“勾勒”。假设线条是y轴0-10之间的线段，笔触是一个10*10的矩形，笔触左下角从原点出发，沿x轴正方向平动前进10单位。显然给定的线条被包含在涂色范围之内了。这就是覆盖，如果笔是沿着y轴正方向平动，则可称线条是被勾勒了。抽象一下“勾勒”的一个必要条件就是：笔触任意一点运动形成的曲线的切线与给定曲线的切线平行。显然橡皮圈是做不到“勾勒”雪花线的。从这个而角度看，用大刷子跟用橡皮圈都是一样的，都是覆盖。（鉴于刷子头的笔触大小可以是任意的，因此我实际上给出超过了一种涂色方式）
下面说了，雪花线是处处不连续，处处有无穷导数的点集。对于雪花，哈哈，既不能”勾勒”，也不能”覆盖”。
如果用你对勾勒的定义，因为不存在切线（导数为无穷），这支勾勒的笔是无法移动的；用你的”任意笔触刷子”,只要你使用了x,y的定义方法，结果就会溢出，即无法精确地恰好使边缘上色。你说的勾勒是对一维图形的上色方法；你说的覆盖是对二维图形的上色方法。对于一维与二维之间的雪花，不是无法上色（勾勒）就是溢出（覆盖）。
雪花的内部面积是个二维概念。橡皮圈在给内部面积上色时是覆盖。给边缘上色时，它没有勾勒，而是”经过”所有的点（覆盖这个词被你用了，55）。和二维笔触不同的是，通过取交集的办法，橡皮圈精确定义了被上色的点，避免了溢出。因此，我始终觉得橡皮圈是优于刷子的。
橡皮圈精确定义了被上色的点没有溢出？安同学你自己看看你画的图。如果这个雪花是画在一张白纸上的，轮廓线内外都是白纸。你的方法能不画到曲线边界外面去？你确定了一个点又如何，你的笔只能画面积，不能点无穷小的点，只要一下笔，必然是有一部分确定点外的点被涂色了。
如果较真，硬说这支笔是零维的。零维的笔只能画曲线，又不能涂色。
为什么说雪花不能覆盖？怎么证明的？这不跟你说用橡皮圈法能经过的所有有点相矛盾了么？
大刷子刷，就不是取交集吗？
明白了明白了，哈哈哈，不吵了，我错了。
提出“勾勒”与“覆盖”区别在理！
时间太晚了，头晕了，上面写的有很多不严密的地方，特别是关于“勾勒”的定义。推敲一下，自己说的非常不准确。真的很难，与安同学一起推敲吧。
我忽然意识到一个问题，雪花线是一个处处连续却出处不可导的曲线，它上面的任何一点都没有切线。
祝贺你！终于开始觉出雪花线”不对劲“的地方了！
不过恰恰相反，它是一个处处不连续的曲线。实际上称为曲线都有点不准确，它是一个点集。它在各点处都有无穷导数。（别用”可导必连续”来反驳我哦，无穷导数在数学定义上是排除在”可导”之外的）
我晕。。。安同学，科赫雪花曲线是处处连续但处处不可导。。。你是不是笔误了？
嗯，处处连续，对的，是我错了，闹大笑话了。这篇文章可没白写，受教了，以后不敢乱发文章了，修炼去。
八关同学受我一拜，多谢啦。
救命啊，这次的评论真恐怖。。。讨论得把我下次想写的都讲掉了
我们还是先关注一下地震吧，这年头不太平啊
我喜欢松树会，因为我是抛弃了心爱的物理和滚瓜烂熟的文科投向了我的本能——艺术。松树会的文章能够有效帮助我保持大脑左右半球的平衡和精神稳定。感谢大家的激情燃烧。
是松鼠会，写白字了，不严谨啊～～
啊雅雅~~要是高中時的我來這裡玩就好了，數學成績肯定就超厲害了~~
这两个闲人呀。。。凌晨三点还在线
这种问题咬文嚼字起来就没意思了，看明白了就好，干嘛故意在字眼上计较
根据量子物理，时空是不连续的，数学上的无限可分不能应用于对时间和空间的划分，而芝诺悖论中有一个隐含前提，也就是时间和空间可以无限制的细分下去，大前提错了，结论也就错了
我赞成你的看法。
假如说距离可以无限分割，时间也可以，那么无限的时间点当然能对应无限的距离点，但问题是时间和距离是否可以无限分割~~
天，这是宏观问题，跟量子力学扯不到一起去吧，就是一个极限问题，好像是柯西给出的严格推证。
好像芝诺悖论本身的提法是个物理问题啊，数学家把他抽象出来说明极限的概念而已。单独谈芝诺悖论的话，量子物理对的比数学多。顶你，烤鱼片
在极限之外，我也另外要说时空的不连续性很重要
也就是说这个案例世界中的四个维度的度量尺是具有最小刻度的，只有在刻度上的运动状态能够被观测记录，而两个刻度之间的一切都是未知
用现有计算机作个比方，计算机数据的最小单位是比特，计算机上所有数据文档之类全部是以比特为单位进行衡量。从1G到2G之间会有1.5G，但是从1b到2b之间却不会有1.5b
那么这个问题，我们可以进行一个类比推论
有如下两个文档，A中有10比特数据，B为空白文档
现在开始进行数据写入操作
每一次操作中A文档写入1比特数据，而B写入2比特数据
那么经过多少次操作后B的数据容量会大于A呢？
好吧，或许换了小时和TB这样的大单位还有一点迷惑性，但是在限制为“次”和“比特”这样最基本度量衡之后，根本连讨论极限都不用，度量单位的不可分割性直接说明了悖论的不可存在性……
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