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发表于 2018-11-17 06:26 | Tags 标签:, ,

本文修改版已发表于微信公众号“果壳少年”,未经许可不得进行商业转载

你见过这种椰菜花吗?

分形椰菜花,图片来自Wikipedia

分形椰菜花,图片来自Wikipedia

它的样子是不是特别魔性?整个椰菜花由一个个尖尖组成,而每个尖尖上面又有尖尖,就像一个小的椰菜花,如此重复……

这种椰菜花就是一种分形,你可以在超市买到的,看得见摸得着的分形。

说起分形,可能大家只会不明觉厉。但要辨别分形其实很简单:给你一个形状,如果将它一部分放大之后,差不多就是原来的形状,那么它多半就是个分形。

比如说一棵树,如果砍下它的一根枝条,你会发现枝条本身跟树长得差不多,都是枝枝丫丫各有分叉,就是尺寸小了点,所以说树的形状差不多就是分形。反过来看一个球的话,放大它的一部分,只是个有点弯曲的平面,根本不是一个球,所以球就不是分形。

一棵大树,图片来自Wikipedia

一棵大树,图片来自Wikipedia

当然,在数学里可不能这样定义。我们说分形就是放大之后跟本身“差不多”的形状,而这个“差不多”,就需要用数学来具体量化。如果要求放大之后形状完全一致的话,就是最经典的分形。龙形曲线、谢尔平斯基地毯、门格海绵,就都是经典的分形。

龙形曲线,图片来自Wikipedia

龙形曲线,图片来自Wikipedia

谢尔宾斯基地毯,图片来自Wikipedia

谢尔平斯基地毯,图片来自Wikipedia

门格海绵,图片来自Wikipedia

门格海绵,图片来自Wikipedia

当然,现实中哪有那么多“完全一致”,所以数学家也拓展了分形的定义。某种随机产生的形状,只要放大之后在数学的意义上“差不多”(用术语来说,就是来自同一种概率分布),那么这种形状也算是分形。用这种定义的话,分形椰菜花和树都是名正言顺的分形,而海岸线、云的边沿、甚至股市的走势,统统都是分形。甚至在某种意义上,拿起一张纸揉成一团,得到的也是个分形。

一团纸,图片来自Wikipedia

一团纸,图片来自Wikipedia

很多分形看起来都很奇幻。比如说龙形曲线,明明只是一根线,却搞出了一大片实体的效果;门格海绵明明应该是三维的实体,却看上去好像什么都被挖干净了,不像是有三维的样子。这是因为,我们平时接触的东西,维度都是整数,但分形的维度却可以是一个小数,处于两个整数之间,比上不足比下有余。所以,我们看分形,经常会觉得它由某种东西折叠而来,但这种折叠却突破了维度,看起来非常酷炫。

朱利亚集,图片来自Wikipedia

朱利亚集,图片来自Wikipedia

很多介绍分形的文章都会说分形无处不在,这话虽然奇怪,倒是千真万确。虽然你在日常生活中大概看不到什么分形,但实际上你身上就自带好几个!大脑皮层、肺泡网络、肾脏血管,这些都是分形。分形的好处,就是可以通过分数维度的特性,用“平面”把“立体”塞满,最大化平面的面积。大脑皮层皱皱地折叠在一起,大大增加了皮层可以拥有的面积,给计算能力来了一个飞跃,让人类得到思考(和刷手机,还有发明手机让你刷)的能力。肺作为交换气体的场所,表面积自然也是越大越好,而分形的肺泡网络恰好能最大化血液和空气接触的表面积。过滤血液废物的肾脏也是一样。

图片来源:《工作细胞》

图片来源:《工作细胞》

经过自然演化的鬼斧神工,人体内的分形已经将“把平面塞到空间”做到了极致。我们可以用分形维度来衡量这一点。分形维度越接近3,表明空间塞得越满。人类大脑皮层的分形维度已经到达大概2.79,肺泡网络甚至达到了2.97!多亏了它们的分形结构,我们才能活着并且思考。

但最能体现分形无处不在的,还不是我们身体内的这些器官。宇宙中的所有星系,本身就组成了一个分形。星系组成了星系团,星系团又组成了超星系团,超星系团之间互相勾连,又组成了大尺度的纤维状结构,可以横跨十亿甚至百亿光年。光从这种纤维状结构的一端走到另一端,可能需要超过宇宙年龄十分之一的时间。但这些纤维状结构本身,跟超星系团的结构又不无类似,组成了一个多尺度上多尺度上的分形。

宇宙的大尺度结构,图片来自Wikipedia

宇宙的大尺度结构,图片来自Wikipedia

而“分形无处不在”,最终极的例子是我们所生活的空间本身。物理学家在尝试统一量子力学和广义相对论的时候,提出了不少所谓“量子引力”的模型。在二维的量子引力模型里,空间由一个个小三角形组成,而这些小三角形还会不停地随机涨落,构成所谓的“布朗地图”,这也是一种分形。在我们生活的四维时空中,很可能也有类似的分形结构。所以,可能我们就活在一个巨大的分形之中,那么分形自然也就无处不在了。

布朗地图,图片来自math.uzh.ch

布朗地图,图片来自math.uzh.ch

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3 Responses to “无处不在的分形”

  1. 匿名说道:

  2. 匿名2说道:

    一入分形深似海

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