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脱离物理的数学有意义吗?Comments>>

发表于 2018-06-16 06:57 | Tags 标签:, ,

数学在物理中应用非常广泛。甚至可以说,很多数学就是脱胎于物理的需要而产生的。很多人就此产生了数学是依附于物理的感觉。他们不禁要问:脱离物理的数学还有意义吗?

这个问题的回答是:数学的意义,正是它能够脱离一切具体的研究对象,包括物理。

图片来自pixabay

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举个例子。人们一开始定义实数,是因为它描述了物理世界中发生的事情,比如说距离和时间。那么,如果我们最后发现这个宇宙其实符合所谓的“数字宇宙”原则,也就是说拥有最小的组成单元,而其他一切东西都可以由此推出,那么是不是意味着实数就失去了意义?

并不是,原因有几个:

首先,实数的定义本身有其必然性。实数,其实就是有理数的自然延伸。有理数虽然运算很容易,但有一个问题,就是它不允许取极限,或者说,它构成的度量空间不是完备的。而作为度量空间,有理数的完备化自然给出了实数。而完备空间的概念也是自然的,因为它就是度量空间上连续性的体现,而连续性本身也是自然的,因为它本质上就是对元素的无限序列的一种考虑。

其次,实数的用处,不仅在于最基础的物理。所有有关概率的问题,比如说统计物理的问题,实质上都需要用到实数的概念。这是因为,通过将离散转化为连续,很多时候问题就能大大简化。即使在最基础的物理中,比如弦论,也需要用到很多高深的数学,比如霍奇积分等等,这些高深的数学也需要奠基在实数的基础上。

另外,即使宇宙拥有最小的组成单元,根据量子物理,概率(或者说希尔伯特空间)仍然是本质和必要的,而这就是奠基于复数以及实数的。基本上,在目前所有最前沿的理论中,都需要用到概率的元素,也就是实数。

最后,也是最重要的:实数在许多领域中都有着应用,而即使不考虑这些应用,实数本身就有研究价值。

数学最大的价值,不在于它有多少应用。应该反过来说,正是因为数学的研究方法,所以它能用到各种地方。

很多人也许会觉得,数学就是用于计算的学科,很多人在学习数学时,因为这种想法,往往只去机械地记住公式然后计算,却不去理解这些公式是怎么来的,也不在意这些定理的来源。这种想法其实不好,相当于将数学最有价值的部分丢弃了。

数学是什么?数学是研究抽象结构以及它们之间关系的学科。正因为它们没有具体附着在任何东西上面,所以它们能应用到任何条件合适的问题上。只要符合实数的公理,无论是物理量,还是生物种群,又或者社会心理,实数的数学理论都能用上。正因为它什么都不是,所以它什么都是。

所以说,数学,正是因为能够通过抽象这一利器,脱离物理,脱离化学,脱离一切学科,它才拥有了普适的意义。数学的意义不在于它能帮助我们解决某一个学科的问题,而在于无论什么问题,只要符合一定的前提,都能利用同一套数学理论解决。

这就是为什么数学是最基础的工具,也是科学的女王。

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14 Responses to “脱离物理的数学有意义吗?”

  1. sds说道:

    很难认同这种 “脱离物理” 的纯数学的概念。在这种数学体系中,一切都是同等的,任意前提可以推出任意结果,真是无法想像。
    因为宇宙已经存在了,所以我相信基于“数字宇宙”原则,即使抛弃“连续“的概念,也可以推出一套毫无矛盾的数学。
    数学概念和物理概念类似,可以假设,可以探索,也应该可以抛弃,类似“以太”概念。

  2. sds说道:

    当我们说 “在于无论什么问题,只要符合一定的前提,都能利用同一套数学理论解决” 的时候,“只要符合一定的前提” 已经在要求物理存在了。
    如果拿掉这一点,说 “在于无论什么问题,都能利用同一套数学理论解决” 那就非常的荒谬

    • 方弦说道:

      你这个是假定了我说的只是物理,但我说的不仅是物理。当然,如果你持数学宇宙的观点的话,宇宙中所有事情都只是某种子结构,所以也是数学。但是,数学宇宙数量太多,我们不知道自己身处哪个,而实际上科学做的可以说是研究我们到底在哪一个之中。

      但在物理之上涌现出来的还有别的学科,比如生物等等。这些学科的研究对象的确在数学宇宙的观点中也是数学结构,但要确定这些数学结构是什么东西,也不是轻松的事情。之所以说数学可以脱离物理甚至脱离一切学科存在,如果从数学宇宙的观点来说,就是同一个数学结构的不同子结构可以是同构的。不知道这种说法会不会更好理解。

      有一些子结构到处出现,有一些子结构很少出现。我们就说前者更重要,这也是很合理的。而且,纯粹数学也不是任何东西都能推出任何东西,不同的数学理论也有分别。

      • sds说道:

        感谢耐心解答。感觉我们的观点其实没有差异,只是强调的方向不同而已。

  3. 杨博说道:

    “数字宇宙”原则的意思是“可计算宇宙”吗

  4. 匿名说道:

    标题没错,但是例子举错了。应该举些先证明数学公式或者数学模型,之后才发现实际(物理)应用的例子。在《走进修仙》这部小说里看过的,也不知道是不是真的。

  5. illusiwind说道:

    然而对于99.9%的人,他们谈论“数学的本质”纯粹是个笑话……

    • sds说道:

      当使用 “本质” 这个词的时候,有谁不是笑话呢?大数学家对于数学是什么的意见,也不统一啊。

  6. 匿名说道:

    "即使宇宙拥有最小的组成单元,根据量子物理......",这时,量子力学也会改变吧。凭什么就不是分段的。

    • 方弦说道:

      首先,量子力学能符合一定范围的观察结果,它就是这个范围的有效理论,只要不出这个范围,它就是正确的,没有什么改变不改变。

      其次,有关最小组成单元的问题,请参见我的文章《构筑宇宙的三角形》。虽然有最小的组成单元,但这些组成单元很可能并不是固定的,而是某种概率性的存在,我们只能看到平均之后的结果。即使有一些新理论有最小的组成单元,它们也不一定甚至基本都不会是分段的,因为我们能观察到的世界有很多东西就不是分段的。

  7. 乌鸟说道:

    上帝借助规矩和数学利用物质和能量建造宇宙并使之启动而产生运动和变化。物理离开数学无法被解释,也无法有序构建宇宙本质,从而无法构成物理或者说物理参数以及某种定律或规律。数学离开物理实质什么都不是或者说毫无实际意义和用处之地。一切的运动,变化,度量都离不开数学和规矩的标注、解读,记录以及划分层次、类别以及律率。
    以此不难看出,如果你善于揣测上帝的数学、规矩工具并且学习使用,那么发现很多宇宙的秘密是迟早的事,能掐会算,继而你会成为一个有意无意模仿上帝的角色——文明人类。

  8. 匿名说道:

    什么都是 什么都不是 希尔伯特阿法狗将在虚空中将造物主抓出来! 魔兽世界里面术士带狗专抓隐身 人类天赋《感知》也能抓隐身

  9. 匿名说道:

    方旋假装懂数学。

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