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在数学中,有很多不符合直觉,但却经常出现的东西,比如说虚数。因为不符合直觉,所以有些对数学不太了解的人,就会有这样的疑问:这些数学对象真的存在吗?

这其实牵涉到了一个相当深刻的数学哲学问题:数学对象到底是什么?

这个问题自然见仁见智,但我可以讲一下我自己的观点,相信也跟相当一部分数学家的观点一致。

一言以蔽之:两者都是,取决于你的视角。

举一个例子,一幅油画,它里面画的东西是真实存在的,还是画家创造出来的?

你大概会说,这当然是画家创造出来的,毕竟画里边画什么都可以,写实的风景可以,印象派的也可以,荒诞不经的也可以,甚至完全抽象的东西也可以。画里边的东西,在现实世界不一定存在,它们除了是画家创造出来,还能是什么呢?

但从另一个方向来说的话,画里边的东西,作为画的一部分,似乎也是真实存在的。比如梵高《星夜》中的星空,在现实中当然不存在,但你要是跟别人提起《星夜》这幅画,大家都会想起其中星空的模样。所以,要说《星夜》中的星空并非实在,好像也说不过去。另外,《星夜》中的星空虽然是虚构,但至少也是从现实的基础上升华而来,刻画了现实星空的某些方面。在这种意义上,《星夜》中的星空更加有了一点实在的味道。

梵高的《星夜》,图片来自Wikipedia

梵高的《星夜》,图片来自Wikipedia

数学也是如此。

与大部分人类活动的结晶一样,数学也是人构建的。许多数学理论,尤其是最前沿最抽象的那些,都很难说是直接描绘了现实中的什么东西。克罗内克说过:“上帝创造了自然数,其余一切都是人类的造物。”这就将这个方向的观点推到了极致。我们甚至可以说,连自然数也只是人类为了方便的创造出来的概念。三个苹果是存在的,三道门也可以存在,但“三”这个概念,脱离了实际的物质,是否还是真实存在呢?这就是一个很大的疑问。

但数学概念,作为人类活动的结晶,无疑是存在的,只不过不是什么看得见摸得着的东西,而是作为一种思想而存在。还是拿“三”这个概念做例子,应该没什么人会否认这个概念的存在,因为我们天天都在用这个概念。但即使作为一种思想,数学概念也有现实的部分,因为很多数学来源于生活。是因为有了三个苹果,有了三道门,所有这些真实存在的事物,才让我们提出了“三”这个概念。“三”,实际上刻画了现实的一个侧面,所以它是现实的一种抽象和延伸。

一切数学概念,都可以用这种眼光去看待。即使有一些数学概念看起来非常复杂抽象,但定义它的人必定有他的需要,而这种概念必定具有某种逻辑必然性,所以才会让别人想到要定义它。

现在重新举复数的例子。课本上定义虚数i就是满足i*i=-1的数,然后以此为依据构建出复数。你也许会觉得,这好像没有逻辑,不是在乱来么?这是因为课本只能讲大部分人能理解的内容。实际上,复数有其逻辑必然性,它是我们想要解方程的结果。实系数方程在实数内不一定有解,但我们可以证明,所有实系数方程在复数内必定有解。也就是说,复数是实数的一种延伸,使得我们可以在上面解任意的方程。我们可以证明,复数是所有这些延伸之中最简单的一种,这就是复数的逻辑必然性,用数学的术语来说,就是复数域是实数域的代数闭包。所以,定义复数是有理由的。另外的理由,就是复数的确在现实中出现了。电磁学中,利用复数能更好地描述电磁波的传播,而在量子力学中,波函数甚至只能利用复数来描述。所以,复数的确也描述了现实的某些侧面。

是的,复数是人类提出的概念,但难道它作为一个概念就并非真实存在,难道它之中就没有一点现实的成分吗?我想未必。

一切数学概念也是如此。它们是人创造的,但也描绘了现实的某些方面,具有逻辑上的必然性,而作为概念,它们必然真实存在。

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3 Responses to “数学概念是真实存在的,还是被人们创造出来的?”

  1. wanghorange说道:

    源于生活,高于生活

  2. op903说道:

    人类创造应该只是创造了描述和表达数学的语言吧,不论人类存在不存在数学逻辑性一直都有的吧 没有人类也会有其他的智能生命发现并用自己的语言表达的吧

  3. 匿名说道:

    方弦。把数学里的这些概念慢慢地一个个写出来。一个月一篇。3、5年也差不多了。松鼠粉们也有大收获。

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